圆锥曲线的焦点弦问题(特征梯形)

课题：探究抛物线中的焦点弦问题

【学习目标】：

探讨解决抛物线中有关焦点弦问题的思想方法.

【问题探究】：

抛物线定义：平面内与一个定点F的距离和一条定直线l距离相等的点的轨迹.

问题一：已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则AB? （1）：ABx1x2p （2）：ABmi

问题二、已知过抛物线y2

2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，A',B'

为A,B在准线上的射影，则A'FB'

? （3）：A'FB'

90

（4）：以Q为圆心，以A'B'

为直径的圆切AB于F点

问题三、已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线

交抛物线于A,B两点，A',B'为A,B在准线上的射影，则以A,B为直径的圆与准线的位置关系？

（5）：以P为圆心，以AB为直径的圆切A'B'

于Q点（6）：AQB90

问题四、已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则x1x2?,y1y2?（7）：xx12

p22

2p

问题五、已知过抛物线y2

2px(p0)的焦点F的直线

交抛物线于A(x11

1,y1),B(x2,y2)两点，则AFBF

?

（8）：1AF12B

(x1,y1)

(x2,y2)

例1、过抛物线y24x的焦点做直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，如果

x1x26，那么AB

变式：过抛物线y24x的焦点做直线交抛物线于A,B两点，如果AB8，O为坐标原点，则OAB的重心的横坐标是

例2、直线l经过抛物线y22px(p0)的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，由A,B分

''''''''

别向准线引垂线AA,BB，垂足分别为A,B，如果ABa，Q为AB的中点，

则QF （用a表示）

变式：直线l经过抛物线y2px(p0)的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，由A,B分别向准线引垂线AA',BB'，垂足分别为A',B'，如果ARa,BFb，Q为AB的中点，则QF （用a,b表示）

例3、设坐标原点为O，过焦点的直线l交抛物线y24x于A,B两点，则OAOB

例4、过抛物线y2ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p,q，则

 pq

小结：

（1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用；

（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.