衍射极限光圈（Diffraction Limited Aperture）
作者：水之北
1. 爱里斑（Airy Disk）
点光源通过理想透镜在焦平面上的成像被称为爱里图形（Airy pattern）。爱里图形由一个圆形的中央亮斑（Airy disk）和围绕这个亮斑的一系列同心亮环组成。衍射是造成点光源的像不是一个点而是爱里图形的原因。
图1. 爱里图形（三维强度值和和平面图像）
爱里图形中央亮斑光强极大值处与第一暗环光强极小值处之间的距离被称为爱里斑的半径。爱里斑的半径对透镜光心的张角θ（第一暗环的衍射方向角）满足：
sinq»1.22
l D
其中， 是光波波长，D是透镜的光阑孔径。 2. 瑞利判据（Rayleigh Criterion）
瑞利判据给出了一个光学系统的角分辨率（Angular resolution）。瑞利指出，当两个物体对透镜光心的张角小于爱里图形第一暗环的衍射方向角θ时，观察者便无法通过透镜分辨出有两个物体。
3. 衍射极限光圈（Diffraction Limited Aperture）
若数码相机感光元件上两个相邻的感光像素点对透镜光心的张角刚好满足瑞利判据，则此时的光圈值被称为数码相机的衍射极限光圈。
4. 衍射极限光圈的计算
由于θ值很小，爱里图形第一暗环的衍射方向角公式可写成：
sinq»tanq
d=f
其中，d是爱里斑的半径，f是透镜的焦距。这样，就有：
dl=1.22fDd=1.22l
f
D
f
是焦距与光阑孔径的比，也就是透镜的光圈值F。因此： D
d=1.22lF
d
F=
1.22l
设数码相机感光元件的尺寸为L×H，像素为nL×nH，则两个相邻的感光点之间的距离为：
dL=dH=
nLnH
设d0=min(dL,dH)，则F0=
d0
是数码相机镜头的衍射极限光圈。 1.22l
在数码相机中，由一个理想点成像的爱里斑所覆盖的感光元件的感光像素个数为：
pd2
N=
dLdH
5. 算例
计算了Canon EOS 7D和Canon EOS 5D Mark III的衍射极限光圈、各种光圈值下爱里斑的半径以及一个爱里斑所覆盖的感光像素个数。
Canon EOS 7D相机
L
感光元件参数 光波波长（nm） 衍射极限光圈F0
光圈值 2.8 3.5 4.0 4.5 5.0 5.6 6.3 7.1 8.0 9.0 10 11 13 14 16 18 20 22 光圈值 2.8 3.5 4.0 4.5 5.0 5.6 6.3 7.1 8.0 9.0 10 11 13 14 16 18 20 22
1.37 1.71 1.95 2.20 2.44 2.73 3.07 3.46 3.90 4.39 4.88 5.37 6.34 6.83 7.81 8.78 9.76 10.74 0.3 0.5 0.6 0.8 1.0 1.3 1.6 2.0 2.6 3.3 4.0 4.9 6.8 7.9 10.3 13.1 16.1 19.5 mm 22.3 400 10.8
H mm 14.9 450 9.6 1.54 1.92 2.20 2.47 2.75 3.07 3.46 3.90 4.39 4.94 5.49 6.04 7.14 7.69 8.78 9.88 10.98 12.08 0.4 0.6 0.8 1.0 1.3 1.6 2.0 2.6 3.3 4.1 5.1 6.2 8.6 10.0 13.1 16.5 20.4 24.7
nL 5184 500 8.6 1.71 2.14 2.44 2.75 3.05 3.42 3.84 4.33 4.88 5.49 6.10 6.71 7.93 8.54 9.76 10.98 12.20 13.42 0.5 0.8 1.0 1.3 1.6 2.0 2.5 3.2 4.0 5.1 6.3 7.6 10.7 12.4 16.1 20.4 25.2 30.5
nH 3456 550 7.8 1.88 2.35 2.68 3.02 3.36 3.76 4.23 4.76 5.37 6.04 6.71 7.38 8.72 9.39 10.74 12.08 13.42 14.76 0.6 0.9 1.2 1.5 1.9 2.4 3.0 3.8 4.9 6.2 7.6 9.2 12.9 14.9 19.5 24.7 30.5 36.9
dL 10-3 mm 4.3017 600 7.2 2.05 2.56 2.93 3.29 3.66 4.10 4.61 5.20 5.86 6.59 7.32 8.05 9.52 10.25 11.71 13.18 14.64 16.10 0.7 1.1 1.5 1.8 2.3 2.8 3.6 4.6 5.8 7.4 9.1 11.0 15.3 17.8 23.2 29.4 36.3 43.9
dH 10-3 mm 4.3113 650 6.6 2.22 2.78 3.17 3.57 3.97 4.44 5.00 5.63 6.34 7.14 7.93 8.72 10.31 11.10 12.69 14.27 15.86 17.45 0.8 1.3 1.7 2.2 2.7 3.3 4.2 5.4 6.8 8.6 10.7 12.9 18.0 20.9 27.3 34.5 42.6 51.6
d0 10-3 mm 4.3017 700 6.1 2.39 2.99 3.42 3.84 4.27 4.78 5.38 6.06 6.83 7.69 8.54 9.39 11.10 11.96 13.66 15.37 17.08 18.79 1.0 1.5 2.0 2.5 3.1 3.9 4.9 6.2 7.9 10.0 12.4 14.9 20.9 24.2 31.6 40.0 49.4 59.8
不同光圈值和波长下的爱里斑半径（10-3mm）
不同光圈值和波长下爱里斑（一个理想点的像）覆盖的感光像素个数
Canon EOS 5D Mark III 相机
L
感光元件参数 光波波长（nm） 衍射极限光圈F0
光圈值 2.8 3.5 4.0 4.5 5.0 5.6 6.3 7.1 8.0 9.0 10 11 13 14 16 18 20 22 光圈值 2.8 3.5 4.0 4.5 5.0 5.6 6.3 7.1 8.0 9.0 10 11 13 14 16 18 20 22
1.37 1.71 1.95 2.20 2.44 2.73 3.07 3.46 3.90 4.39 4.88 5.37 6.34 6.83 7.81 8.78 9.76 10.74 0.2 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0 1.2 1.6 1.9 2.3 3.2 3.8 4.9 6.2 7.7 9.3 mm 36 400 15.6
H mm 24 450 13.9 1.54 1.92 2.20 2.47 2.75 3.07 3.46 3.90 4.39 4.94 5.49 6.04 7.14 7.69 8.78 9.88 10.98 12.08 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0 1.2 1.6 2.0 2.4 2.9 4.1 4.8 6.2 7.9 9.7 11.7
nL 5760 500 12.5 1.71 2.14 2.44 2.75 3.05 3.42 3.84 4.33 4.88 5.49 6.10 6.71 7.93 8.54 9.76 10.98 12.20 13.42 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9 1.2 1.5 1.9 2.4 3.0 3.6 5.1 5.9 7.7 9.7 12.0 14.5
nH 3840 550 11.4 1.88 2.35 2.68 3.02 3.36 3.76 4.23 4.76 5.37 6.04 6.71 7.38 8.72 9.39 10.74 12.08 13.42 14.76 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 1.1 1.4 1.8 2.3 2.9 3.6 4.4 6.1 7.1 9.3 11.7 14.5 17.5
dL 10-3 mm 6.25 600 10.4 2.05 2.56 2.93 3.29 3.66 4.10 4.61 5.20 5.86 6.59 7.32 8.05 9.52 10.25 11.71 13.18 14.64 16.10 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.4 1.7 2.2 2.8 3.5 4.3 5.2 7.3 8.4 11.0 14.0 17.2 20.9
dH 10-3 mm 6.25 650 9.6 2.22 2.78 3.17 3.57 3.97 4.44 5.00 5.63 6.34 7.14 7.93 8.72 10.31 11.10 12.69 14.27 15.86 17.45 0.4 0.6 0.8 1.0 1.3 1.6 2.0 2.5 3.2 4.1 5.1 6.1 8.5 9.9 12.9 16.4 20.2 24.5
d0 10-3 mm 6.25 700 8.9 2.39 2.99 3.42 3.84 4.27 4.78 5.38 6.06 6.83 7.69 8.54 9.39 11.10 11.96 13.66 15.37 17.08 18.79 0.5 0.7 0.9 1.2 1.5 1.8 2.3 3.0 3.8 4.8 5.9 7.1 9.9 11.5 15.0 19.0 23.5 28.4
不同光圈值和波长下的爱里斑半径（10-3mm）
不同光圈值和波长下爱里斑（一个理想点的像）覆盖的感光像素个数
不同光圈和光波波长时的爱里斑半径
20 18 16 爱里斑半径（10-3mm）14 12 10 8 6 4 2 0
0 5 10 15 20 25
光圈值
光波波长 （nm）
[**************]
EOS 5D Mark III
EOS 7D
650700像素间距像素间距
不同光圈和光波波长时爱里斑覆盖的感光像素个数
（Canon EOS 7D）
60 50 爱里斑半径（10-3mm）40 30 20 10 0
0 5 10 15 20 25
光圈值
[***********]700
不同光圈和光波波长时爱里斑覆盖的感光像素个数
（Canon EOS 5D Mark III）
30 25 爱里斑半径（10-3mm）20 15 10 5 0
0 5 10 15 20 25
光圈值
[***********]700
衍射极限光圈（Diffraction Limited Aperture）
作者：水之北
1. 爱里斑（Airy Disk）
点光源通过理想透镜在焦平面上的成像被称为爱里图形（Airy pattern）。爱里图形由一个圆形的中央亮斑（Airy disk）和围绕这个亮斑的一系列同心亮环组成。衍射是造成点光源的像不是一个点而是爱里图形的原因。
图1. 爱里图形（三维强度值和和平面图像）
爱里图形中央亮斑光强极大值处与第一暗环光强极小值处之间的距离被称为爱里斑的半径。爱里斑的半径对透镜光心的张角θ（第一暗环的衍射方向角）满足：
sinq»1.22
l D
其中， 是光波波长，D是透镜的光阑孔径。 2. 瑞利判据（Rayleigh Criterion）
瑞利判据给出了一个光学系统的角分辨率（Angular resolution）。瑞利指出，当两个物体对透镜光心的张角小于爱里图形第一暗环的衍射方向角θ时，观察者便无法通过透镜分辨出有两个物体。
3. 衍射极限光圈（Diffraction Limited Aperture）
若数码相机感光元件上两个相邻的感光像素点对透镜光心的张角刚好满足瑞利判据，则此时的光圈值被称为数码相机的衍射极限光圈。
4. 衍射极限光圈的计算
由于θ值很小，爱里图形第一暗环的衍射方向角公式可写成：
sinq»tanq
d=f
其中，d是爱里斑的半径，f是透镜的焦距。这样，就有：
dl=1.22fDd=1.22l
f
D
f
是焦距与光阑孔径的比，也就是透镜的光圈值F。因此： D
d=1.22lF
d
F=
1.22l
设数码相机感光元件的尺寸为L×H，像素为nL×nH，则两个相邻的感光点之间的距离为：
dL=dH=
nLnH
设d0=min(dL,dH)，则F0=
d0
是数码相机镜头的衍射极限光圈。 1.22l
在数码相机中，由一个理想点成像的爱里斑所覆盖的感光元件的感光像素个数为：
pd2
N=
dLdH
5. 算例
计算了Canon EOS 7D和Canon EOS 5D Mark III的衍射极限光圈、各种光圈值下爱里斑的半径以及一个爱里斑所覆盖的感光像素个数。
Canon EOS 7D相机
L
感光元件参数 光波波长（nm） 衍射极限光圈F0
光圈值 2.8 3.5 4.0 4.5 5.0 5.6 6.3 7.1 8.0 9.0 10 11 13 14 16 18 20 22 光圈值 2.8 3.5 4.0 4.5 5.0 5.6 6.3 7.1 8.0 9.0 10 11 13 14 16 18 20 22
1.37 1.71 1.95 2.20 2.44 2.73 3.07 3.46 3.90 4.39 4.88 5.37 6.34 6.83 7.81 8.78 9.76 10.74 0.3 0.5 0.6 0.8 1.0 1.3 1.6 2.0 2.6 3.3 4.0 4.9 6.8 7.9 10.3 13.1 16.1 19.5 mm 22.3 400 10.8
H mm 14.9 450 9.6 1.54 1.92 2.20 2.47 2.75 3.07 3.46 3.90 4.39 4.94 5.49 6.04 7.14 7.69 8.78 9.88 10.98 12.08 0.4 0.6 0.8 1.0 1.3 1.6 2.0 2.6 3.3 4.1 5.1 6.2 8.6 10.0 13.1 16.5 20.4 24.7
nL 5184 500 8.6 1.71 2.14 2.44 2.75 3.05 3.42 3.84 4.33 4.88 5.49 6.10 6.71 7.93 8.54 9.76 10.98 12.20 13.42 0.5 0.8 1.0 1.3 1.6 2.0 2.5 3.2 4.0 5.1 6.3 7.6 10.7 12.4 16.1 20.4 25.2 30.5
nH 3456 550 7.8 1.88 2.35 2.68 3.02 3.36 3.76 4.23 4.76 5.37 6.04 6.71 7.38 8.72 9.39 10.74 12.08 13.42 14.76 0.6 0.9 1.2 1.5 1.9 2.4 3.0 3.8 4.9 6.2 7.6 9.2 12.9 14.9 19.5 24.7 30.5 36.9
dL 10-3 mm 4.3017 600 7.2 2.05 2.56 2.93 3.29 3.66 4.10 4.61 5.20 5.86 6.59 7.32 8.05 9.52 10.25 11.71 13.18 14.64 16.10 0.7 1.1 1.5 1.8 2.3 2.8 3.6 4.6 5.8 7.4 9.1 11.0 15.3 17.8 23.2 29.4 36.3 43.9
dH 10-3 mm 4.3113 650 6.6 2.22 2.78 3.17 3.57 3.97 4.44 5.00 5.63 6.34 7.14 7.93 8.72 10.31 11.10 12.69 14.27 15.86 17.45 0.8 1.3 1.7 2.2 2.7 3.3 4.2 5.4 6.8 8.6 10.7 12.9 18.0 20.9 27.3 34.5 42.6 51.6
d0 10-3 mm 4.3017 700 6.1 2.39 2.99 3.42 3.84 4.27 4.78 5.38 6.06 6.83 7.69 8.54 9.39 11.10 11.96 13.66 15.37 17.08 18.79 1.0 1.5 2.0 2.5 3.1 3.9 4.9 6.2 7.9 10.0 12.4 14.9 20.9 24.2 31.6 40.0 49.4 59.8
不同光圈值和波长下的爱里斑半径（10-3mm）
不同光圈值和波长下爱里斑（一个理想点的像）覆盖的感光像素个数
Canon EOS 5D Mark III 相机
L
感光元件参数 光波波长（nm） 衍射极限光圈F0
光圈值 2.8 3.5 4.0 4.5 5.0 5.6 6.3 7.1 8.0 9.0 10 11 13 14 16 18 20 22 光圈值 2.8 3.5 4.0 4.5 5.0 5.6 6.3 7.1 8.0 9.0 10 11 13 14 16 18 20 22
1.37 1.71 1.95 2.20 2.44 2.73 3.07 3.46 3.90 4.39 4.88 5.37 6.34 6.83 7.81 8.78 9.76 10.74 0.2 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0 1.2 1.6 1.9 2.3 3.2 3.8 4.9 6.2 7.7 9.3 mm 36 400 15.6
H mm 24 450 13.9 1.54 1.92 2.20 2.47 2.75 3.07 3.46 3.90 4.39 4.94 5.49 6.04 7.14 7.69 8.78 9.88 10.98 12.08 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0 1.2 1.6 2.0 2.4 2.9 4.1 4.8 6.2 7.9 9.7 11.7
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nH 3840 550 11.4 1.88 2.35 2.68 3.02 3.36 3.76 4.23 4.76 5.37 6.04 6.71 7.38 8.72 9.39 10.74 12.08 13.42 14.76 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 1.1 1.4 1.8 2.3 2.9 3.6 4.4 6.1 7.1 9.3 11.7 14.5 17.5
dL 10-3 mm 6.25 600 10.4 2.05 2.56 2.93 3.29 3.66 4.10 4.61 5.20 5.86 6.59 7.32 8.05 9.52 10.25 11.71 13.18 14.64 16.10 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.4 1.7 2.2 2.8 3.5 4.3 5.2 7.3 8.4 11.0 14.0 17.2 20.9
dH 10-3 mm 6.25 650 9.6 2.22 2.78 3.17 3.57 3.97 4.44 5.00 5.63 6.34 7.14 7.93 8.72 10.31 11.10 12.69 14.27 15.86 17.45 0.4 0.6 0.8 1.0 1.3 1.6 2.0 2.5 3.2 4.1 5.1 6.1 8.5 9.9 12.9 16.4 20.2 24.5
d0 10-3 mm 6.25 700 8.9 2.39 2.99 3.42 3.84 4.27 4.78 5.38 6.06 6.83 7.69 8.54 9.39 11.10 11.96 13.66 15.37 17.08 18.79 0.5 0.7 0.9 1.2 1.5 1.8 2.3 3.0 3.8 4.8 5.9 7.1 9.9 11.5 15.0 19.0 23.5 28.4
不同光圈值和波长下的爱里斑半径（10-3mm）
不同光圈值和波长下爱里斑（一个理想点的像）覆盖的感光像素个数
不同光圈和光波波长时的爱里斑半径
20 18 16 爱里斑半径（10-3mm）14 12 10 8 6 4 2 0
0 5 10 15 20 25
光圈值
光波波长 （nm）
[**************]
EOS 5D Mark III
EOS 7D
650700像素间距像素间距
不同光圈和光波波长时爱里斑覆盖的感光像素个数
（Canon EOS 7D）
60 50 爱里斑半径（10-3mm）40 30 20 10 0
0 5 10 15 20 25
光圈值
[***********]700
不同光圈和光波波长时爱里斑覆盖的感光像素个数
（Canon EOS 5D Mark III）
30 25 爱里斑半径（10-3mm）20 15 10 5 0
0 5 10 15 20 25
光圈值
[***********]700