一、【立方和與立方差】
我們可利用分配律來展開(a +b )(a 2-ab +b 2) 即可得到：
(a +b )(a 2-ab +b 2) = a 3-a 2b +ab 2+a 2b -ab 2+b 3
= a 3+b 3
因此，得到立方和公式：
【範例】利用公式1展開下列各式：
(1) (x +2)(x 2-2x +4) (2) (2a +5b )(4a 2-10ab +25b 2)
【解】 (1) 由(x +2)(x 2-2x +4) =(x +2)(x 2-x ⋅2+22) ，與公式1比較可知，
以x 取代a ，以2取代b ，可得
(2-2x +=4x ) 3+23 (x +2) x
=x 3+8。
(2) (2a +5b )(4a 2-10ab +25b 2)
=(2a +5b )[(2a ) 2-(2a )(5b ) +(5b ) 2]
=(2a ) 3+(5b ) 3
=8a 3+125b 3
同樣的，我們可以展開(a -b )(a 2+ab +b 2) 並經合併化簡後，而得到立方差公式：
其實，只要把公式1中的b 以-b 代入，即可得公式2。
【範例】利用公式2展開下列各式：
22a b a ab b +) (1) (2x -1)(4x 2+2x +1) (2) (-)(+32964
【解】 (1) (2x -1)(4x 2+2x +1) =(2x -1)[(2x ) 2+(2x ) ⋅1+12]
=(2x ) 3-13
=8x 3-1 a b a 2ab b 2a b a a b b +) =(-)[() 2+⋅+() 2] (2) (-)(+
【類題練習】
[1**********]=(a ) 3-(b ) 332 a 3b 3=27-8 (1) 試展開(5a -b 25ab 2)(25a +2+b 24) 。 (2) 試展開(x -3y )(x +2y )(x 2-2xy +4y 2)(x 2+3xy +9y 2) 。(3) 已知x 3=2，求(x -3)(x 2+3x +9) 的值。
二、【立方差與立方和的因式分解】
【範例】利用立方和或立方差公式，因式分解下列各式：
(1) x 3-1 (2) a 3+8b 3 (3) x 6-y 6
【解】 (1) x 3-1=x 3-13
=(x -1)(x 2+x ⋅1+12)
=(x -1)(x 2+x +1)
(2) a 3+8b 3=a 3+(2b ) 3
=[a +(2b )][a 2-a ⋅(2b ) +(2b ) 2]
=(a +2b )(a 2-2ab +4b 2)
(3) x 6-y 6=(x 3) 2-(y 3) 2
=(x 3+y 3)(x 3-y 3)
=(x +y )(x 2-xy +y 2)(x -y )(x 2+xy +y 2)
【類題練習】利用立方和或立方差公式，因式分解下列各式：
(1) x 3+
在範例的第(3)題中，也可以將x 6-y 6寫成(x 2) 3-(y 2) 3，因此得到： 1 (2) 8a 3-125b 3 27(3) x 3+x 2-2 (4) a 6-64b 6
x 6-y 6=(x 2) 3-(y 2) 3
=(x 2-y 2)[(x 2) 2+x 2y 2+(y 2) 2]
=(x 2-y 2)(x 4+x 2y 2+y 4)
一、【立方和與立方差】
我們可利用分配律來展開(a +b )(a 2-ab +b 2) 即可得到：
(a +b )(a 2-ab +b 2) = a 3-a 2b +ab 2+a 2b -ab 2+b 3
= a 3+b 3
因此，得到立方和公式：
【範例】利用公式1展開下列各式：
(1) (x +2)(x 2-2x +4) (2) (2a +5b )(4a 2-10ab +25b 2)
【解】 (1) 由(x +2)(x 2-2x +4) =(x +2)(x 2-x ⋅2+22) ，與公式1比較可知，
以x 取代a ，以2取代b ，可得
(2-2x +=4x ) 3+23 (x +2) x
=x 3+8。
(2) (2a +5b )(4a 2-10ab +25b 2)
=(2a +5b )[(2a ) 2-(2a )(5b ) +(5b ) 2]
=(2a ) 3+(5b ) 3
=8a 3+125b 3
同樣的，我們可以展開(a -b )(a 2+ab +b 2) 並經合併化簡後，而得到立方差公式：
其實，只要把公式1中的b 以-b 代入，即可得公式2。
【範例】利用公式2展開下列各式：
22a b a ab b +) (1) (2x -1)(4x 2+2x +1) (2) (-)(+32964
【解】 (1) (2x -1)(4x 2+2x +1) =(2x -1)[(2x ) 2+(2x ) ⋅1+12]
=(2x ) 3-13
=8x 3-1 a b a 2ab b 2a b a a b b +) =(-)[() 2+⋅+() 2] (2) (-)(+
【類題練習】
[1**********]=(a ) 3-(b ) 332 a 3b 3=27-8 (1) 試展開(5a -b 25ab 2)(25a +2+b 24) 。 (2) 試展開(x -3y )(x +2y )(x 2-2xy +4y 2)(x 2+3xy +9y 2) 。(3) 已知x 3=2，求(x -3)(x 2+3x +9) 的值。
二、【立方差與立方和的因式分解】
【範例】利用立方和或立方差公式，因式分解下列各式：
(1) x 3-1 (2) a 3+8b 3 (3) x 6-y 6
【解】 (1) x 3-1=x 3-13
=(x -1)(x 2+x ⋅1+12)
=(x -1)(x 2+x +1)
(2) a 3+8b 3=a 3+(2b ) 3
=[a +(2b )][a 2-a ⋅(2b ) +(2b ) 2]
=(a +2b )(a 2-2ab +4b 2)
(3) x 6-y 6=(x 3) 2-(y 3) 2
=(x 3+y 3)(x 3-y 3)
=(x +y )(x 2-xy +y 2)(x -y )(x 2+xy +y 2)
【類題練習】利用立方和或立方差公式，因式分解下列各式：
(1) x 3+
在範例的第(3)題中，也可以將x 6-y 6寫成(x 2) 3-(y 2) 3，因此得到： 1 (2) 8a 3-125b 3 27(3) x 3+x 2-2 (4) a 6-64b 6
x 6-y 6=(x 2) 3-(y 2) 3
=(x 2-y 2)[(x 2) 2+x 2y 2+(y 2) 2]
=(x 2-y 2)(x 4+x 2y 2+y 4)