2005年第4期 中学数学教学 31
几何中的分类计数法
浙江省嵊州市教研室 蔡建锋 (邮编:312400)
分类计数法是将题目中包含的全体对象, 按几何结构特征分成若干类, 然后逐类讨论计数, 综合后得出正确答案的一种解题方法。下面举例说明如下:
例1 若平行线EF 、M N 与相交直线AB 、CD 相交成如右所示图形, 则共得
) 同旁内角多少对(
(A ) 4 (B ) 8(C ) 12(D ) 16(1994年全国初中数学联赛试题)
分析与求解, 行分类。
(1) 平行线中的同旁内角4对; (2) 相交线中的同旁内角12对
。
所以满足题意的三角形共有12+2=14个, 选(D ) 。
例3 如右图的方格纸中, 每个小方格都是边长为1的正方形, A 、B 两点是方格纸中的两个格点, 在5×5, C , 使2) (
(A ) 5 (B ) 4(C ) 3 (D ) 2
(2004年重庆市中考试题) 分析与求解 由图形的特征与三角形的面积可分为三类:
(1) 底为2、高为2的三角形有3个, 即△AB C 1、△AB C 2、△AB C 3;
(2) 底为4、高为1的三角形有1个, 即△AB C 4; (3) 由两个面积为1的三角形组成的三角形有1
2对 2对 3×2=6对 3×2=6对所以共有2+2+6+6=16对, 选择(D ) 。
注 这种分类方法与竞赛卷的参考答案的分类方法相比较, 具有简洁、方便的优点。例2 右图是由六个面积为1的正方形组成的长方形, 其中有A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七个点, 以此七点为顶点, 则面积为1的三角
) 形有(
(A ) 11个 (B ) 12个(C ) 13个 (D ) 14个
(1995年河南省初中数学竞赛题) 分析与求解 根据图形的特征与三角形的面积公式, 按底的长度进行分类。
(1) 以底为1、高为2的三角形有12个, 其中:AB 为底的有4个; 分别以D E 、EF 、FG 、CG 为底的各有2个, 合计8个。
(2) 以底为2、高为1的三角形有2个, (其中以D F 、EG 为底的各一个) , 合计2个。
个, 即△AB C 5。
所以满足条件的格点C 有3+1+1=5个, 选(A ) 。
例4 如右图, 在4个正方形拼接成的图形中, 以这10个点中任意3点为顶点, 共能组成
个等腰直角三角形。你愿意把得到上述结论的探究方法与他人交流吗? 若愿意, 请简要写出探究过程。
(2003年福建省泉州市中考题) 分析与求解 按斜边长分类进行计数。
(1) 当斜边为时, 等腰直角三角形有18个; (2) 当斜边为2时, 等腰直角三角形有10个; (3) 当斜边为2时, 等腰直角三角形有2个。所以满足条件的等腰直角三角形共有18+10+2=30个。
例5 如右图, 在2×3的矩形方格纸上, 各个小正方形的顶点称为格点。则以格点为顶点的等腰直
)
个。角三角形有(
中学数学教学 2005年第4
期32
(A ) 24 (B ) 38 (C ) 46 (D ) 50(2004年全国初中数学联赛试题)
如下图
:
分析与求解 下面按斜边长分类进行计数
(1) 当斜边为时, 斜边一定是小正方形的对角线, 这样的线段有12条, 每条这样线段对应着两个等腰直角三角形, 共有2×12=24个;
(2) 当斜边为2时, 图中长为2的线段有10条, 其中有6条在2×3矩形的四周上, 每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形; 另外4条在2×3矩形的内部, 每条这样线段对应着两个等腰直角三角形, 共有6+2×4=14个;
(3) 边为2时, 斜边一定是2×2正方形的对角线, 这样的线段有4条, 每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形, 共有2×4=8个;
(4) 当斜边为10时, 这样的线段有4条, , 个;
所以, 24+14+8+D ) 例6 9同的形如“□”小正方形拼成的图形。假定已知形如AB CD 的四边形都是正方形, 则图中一共可以找出
个正方形。
(1988年上海市初一数学竞赛题)
分析与求解 根据图形的结构特征可以分为五
类:
所以图中共有9+5+12+4+1=31个。例7 在正方形格纸上有20个点, 其分布如下图所示, 现用4个点作为正方形的4顶点, 这样总共可以组成个正方形。
(上海市1988年初二数学竞赛试题)
分析与求解 根据正方形的边长的特征可分成五类
所以总共有9+4+2+4+2=21个。
例8 如下图, 锐角△AB C 的3条高线相交于点H , 问图中共有多少个三角形?
分析与求解 (1) △AB C 被3条高分割成6个互不重叠的小三角形, 称为素三角形;
(2) 由2个相邻的素三角形组成的三角形有3个:△A HB 、△B HC 、△A HC ;
(3) 由3个相邻的素三角形组成的三角形有6个:△ABD 、△AB E 、△B CE 、△B CF 、△CA D 、△CA F;
(4) 4个相邻的素三角形不能组成三角形; (5) 5个相邻的素三角形不能组成三角形; (6) 由6个相邻的素三角形组成△AB C 。所以图中共有6+3+6+1=16个三角形。
几何计数问题一直来是初中数学竞赛试题的基本内容, 也是教材和中考试题开放探索的一个新的亮点。几何计数问题, 着重考查了学生对几何图形的观察、分解、组合的能力, 注重了问题解决的思维过程, 体现了数形结合和分类讨论的数学思想, 有效促进了学生思维品质的发展。
(收稿日期 2005-04-28)
2005年第4期 中学数学教学 31
几何中的分类计数法
浙江省嵊州市教研室 蔡建锋 (邮编:312400)
分类计数法是将题目中包含的全体对象, 按几何结构特征分成若干类, 然后逐类讨论计数, 综合后得出正确答案的一种解题方法。下面举例说明如下:
例1 若平行线EF 、M N 与相交直线AB 、CD 相交成如右所示图形, 则共得
) 同旁内角多少对(
(A ) 4 (B ) 8(C ) 12(D ) 16(1994年全国初中数学联赛试题)
分析与求解, 行分类。
(1) 平行线中的同旁内角4对; (2) 相交线中的同旁内角12对
。
所以满足题意的三角形共有12+2=14个, 选(D ) 。
例3 如右图的方格纸中, 每个小方格都是边长为1的正方形, A 、B 两点是方格纸中的两个格点, 在5×5, C , 使2) (
(A ) 5 (B ) 4(C ) 3 (D ) 2
(2004年重庆市中考试题) 分析与求解 由图形的特征与三角形的面积可分为三类:
(1) 底为2、高为2的三角形有3个, 即△AB C 1、△AB C 2、△AB C 3;
(2) 底为4、高为1的三角形有1个, 即△AB C 4; (3) 由两个面积为1的三角形组成的三角形有1
2对 2对 3×2=6对 3×2=6对所以共有2+2+6+6=16对, 选择(D ) 。
注 这种分类方法与竞赛卷的参考答案的分类方法相比较, 具有简洁、方便的优点。例2 右图是由六个面积为1的正方形组成的长方形, 其中有A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七个点, 以此七点为顶点, 则面积为1的三角
) 形有(
(A ) 11个 (B ) 12个(C ) 13个 (D ) 14个
(1995年河南省初中数学竞赛题) 分析与求解 根据图形的特征与三角形的面积公式, 按底的长度进行分类。
(1) 以底为1、高为2的三角形有12个, 其中:AB 为底的有4个; 分别以D E 、EF 、FG 、CG 为底的各有2个, 合计8个。
(2) 以底为2、高为1的三角形有2个, (其中以D F 、EG 为底的各一个) , 合计2个。
个, 即△AB C 5。
所以满足条件的格点C 有3+1+1=5个, 选(A ) 。
例4 如右图, 在4个正方形拼接成的图形中, 以这10个点中任意3点为顶点, 共能组成
个等腰直角三角形。你愿意把得到上述结论的探究方法与他人交流吗? 若愿意, 请简要写出探究过程。
(2003年福建省泉州市中考题) 分析与求解 按斜边长分类进行计数。
(1) 当斜边为时, 等腰直角三角形有18个; (2) 当斜边为2时, 等腰直角三角形有10个; (3) 当斜边为2时, 等腰直角三角形有2个。所以满足条件的等腰直角三角形共有18+10+2=30个。
例5 如右图, 在2×3的矩形方格纸上, 各个小正方形的顶点称为格点。则以格点为顶点的等腰直
)
个。角三角形有(
中学数学教学 2005年第4
期32
(A ) 24 (B ) 38 (C ) 46 (D ) 50(2004年全国初中数学联赛试题)
如下图
:
分析与求解 下面按斜边长分类进行计数
(1) 当斜边为时, 斜边一定是小正方形的对角线, 这样的线段有12条, 每条这样线段对应着两个等腰直角三角形, 共有2×12=24个;
(2) 当斜边为2时, 图中长为2的线段有10条, 其中有6条在2×3矩形的四周上, 每条这样的线段对应着一个等腰直角三角形; 另外4条在2×3矩形的内部, 每条这样线段对应着两个等腰直角三角形, 共有6+2×4=14个;
(3) 边为2时, 斜边一定是2×2正方形的对角线, 这样的线段有4条, 每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形, 共有2×4=8个;
(4) 当斜边为10时, 这样的线段有4条, , 个;
所以, 24+14+8+D ) 例6 9同的形如“□”小正方形拼成的图形。假定已知形如AB CD 的四边形都是正方形, 则图中一共可以找出
个正方形。
(1988年上海市初一数学竞赛题)
分析与求解 根据图形的结构特征可以分为五
类:
所以图中共有9+5+12+4+1=31个。例7 在正方形格纸上有20个点, 其分布如下图所示, 现用4个点作为正方形的4顶点, 这样总共可以组成个正方形。
(上海市1988年初二数学竞赛试题)
分析与求解 根据正方形的边长的特征可分成五类
所以总共有9+4+2+4+2=21个。
例8 如下图, 锐角△AB C 的3条高线相交于点H , 问图中共有多少个三角形?
分析与求解 (1) △AB C 被3条高分割成6个互不重叠的小三角形, 称为素三角形;
(2) 由2个相邻的素三角形组成的三角形有3个:△A HB 、△B HC 、△A HC ;
(3) 由3个相邻的素三角形组成的三角形有6个:△ABD 、△AB E 、△B CE 、△B CF 、△CA D 、△CA F;
(4) 4个相邻的素三角形不能组成三角形; (5) 5个相邻的素三角形不能组成三角形; (6) 由6个相邻的素三角形组成△AB C 。所以图中共有6+3+6+1=16个三角形。
几何计数问题一直来是初中数学竞赛试题的基本内容, 也是教材和中考试题开放探索的一个新的亮点。几何计数问题, 着重考查了学生对几何图形的观察、分解、组合的能力, 注重了问题解决的思维过程, 体现了数形结合和分类讨论的数学思想, 有效促进了学生思维品质的发展。
(收稿日期 2005-04-28)