大学机械振动课后习题和答案(1~4章总汇)

1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。

1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去,在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下,画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图,并指出在这种化简情况下,汽车振动有几个自由度?

1.3 设有两个刚度分别为k1,k2的线性弹簧如图T—1.3所示,试证明: 1)它们并联时的总刚度keq为:keqk1k2 2)它们串联时的总刚度keq满足:

1k11

eq

k1

k2

解:1)对系统施加力P,则两个弹簧的变形相同为x,但受力不同,分

别为:

P1k1x

P2k2

x 由力的平衡有:PP1P2(k1k2)x 故等效刚度为:kPeq

x

k1k2

2)对系统施加力P,则两个弹簧的变形为:

Px

1k

1

,弹簧的总变形为:xxx1112P(k) x1k2

2Pk2 故等效刚度为:1Pk2k

eq

x

k1k2k

1

11

k1

k

2

1.4 求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为kt1,kt2。

解:对系统施加扭矩T,则两轴的转角为:

T

1k

t1

T 

2kt2系统的总转角为: 12T(

1k1),

1

(

1

1t1

kt2

keqT

kt1

k)t2

故等效刚度为:

11

k

1

eq

kt1

kt2

1.5 两只减振器的粘性阻尼系数分别为c1,c2,试计算总粘性阻尼系数ceq 1)在两只减振器并联时, 2)在两只减振器串联时。

,受力分别为: 解:1)对系统施加力P,则两个减振器的速度同为x

P1c1x

Pcx22

 由力的平衡有:PP1P2(c1c2)x

故等效刚度为:ceq

Px

c1c2

2)对系统施加力P,则两个减振器的速度为:

P

1xc111

xxxP() ,系统的总速度为:12

Pc1c2

x2c2

故等效刚度为:ceq

Px

1c1

1c2

1.6 一简谐运动,振幅为0.5cm,周期为0.15s,求最大速度和加速度。

223

解:简谐运动的n(rad/s),振幅为510m;

T0.15

23

x510cos(t)(m)0.15

22

5103tsin(t)(m/s)即:x

0.150.15

22322

x510(t)cos(t)(m/s)

0.150.15

2

max5103x(m/s)0.15

所以:

2322xmax510()(m/s)

0.15

1.7 一加速度计指示出结构振动频率为82Hz,并具有最大加速度50g,求振动的振幅。

xmaxAn可知: 解:由 

2

A

xmax

n

2

xmax(2f)

2

509.8m/s

2

22

(225)1/s

9.850

2

m

1.8 证明:两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动,即:AcostBcos(t)Ccos(t),并讨论0,/2,三种特例。

证明:

AcostBcos(t)

AcostBcostcosBsintsin(ABcos)costBsinsint

t)t)

Ccos(t)

Bsin

arctg()ABcos其中: C1)当0时:0;CAB; 2)当

时:arctg(B/A);C

2

3)当时:0;CAB;

1.9 把复数4+5i表示为指数形式。

解:4+5i=Aei

,其中:A

5,arctg()

4

1.10 证明:一个复向量用i相乘,等于把它旋转/2。

证明:AeiAee

i

i

i

2

Ae

i

2

1.11 证明:梯度算子是线性微分算子,即

[af(x,y,z)bg(x,y,z)]af(x,y,z)bg(x,y,z)

这里,a,b是与x、y、z无关的常数。

1.12 求函数g(t)AcosptBcosqt的均方值。考虑p与q之间的如下三种关系:

① qnp,这里n为正整数; ② q/p为有理数; ③ q/p为无理数。

1.13 汽车悬架减振器机械式常规性能试验台,其结构形式之一如图T—1.13所示。其激振器为曲柄滑块机构,在导轨下面垂向连接被试减振器。试分析减振器试验力学的基本规律(位移、速度、加速度、阻尼力)。

图 T—1.13

1.14 汽车悬架减振器机械式常规性能试验台的另一种结构形式如图T—1.14所示。其激振器采用曲柄滑块连杆机构,曲柄被驱动后,通过连杆垂向带动与滑块连接的被试减振器。试分析在这种试验台上的减振器试验力学的基本规律,并与前题比较。

图 T—1.14

2.1 弹簧下悬挂一物体,弹簧静伸长为。设将物体向下拉,使弹簧有静伸长3,然后无初速度地释放,求此后的运动方程。

解:设物体质量为m,弹簧刚度为k,则:

mg

k,即:n

取系统静平衡位置为原点x0,系统运动方程为:

mxkx0

x02x00

(参考教材P14)

解得:x(t)2cosnt

2.2 弹簧不受力时长度为65cm,下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放,试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。

解:由题可知:弹簧的静伸长0.850.650.2(m)

所以:n

7(rad/s)

取系统的平衡位置为原点,得到:

2

xnx0 系统的运动微分方程为:

x(0)0.2

其中,初始条件: (参考教材P14)

x(0)0

所以系统的响应为:x(t)0.2cosnt(m) 弹簧力为:Fkkx(t)

mg

x(t)cosnt(N) 27

(s)、弹簧力最大值为1N。

因此:振幅为0.2m、周期为

2.3 重物m1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置,另一重物m2从高度为

h处自由落到m1上而无弹跳,如图所示,求其后的运动。

解:取系统的上下运动x为坐标,向上为正,静平衡位置为原点x0,则当m有x位移时,系统有:

ETU

1212

(m1m2)x

2

2

kx

kx0 由d(ETU)0可知:(m1m2)x

即:n

xm2g

0系统的初始条件为:0x12

(能量守恒得:m2gh

12

0(m1m2)x

2

因此系统的响应为:x(t)A0cosntA1sinnt

Axm2g

00其中

:0xA1

n

m2gk

(cosnt

即:x(t)

nt)

2.4 一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动,圆心受到一弹簧k约束,如图所示,求系统的固有频率。 解:取圆柱体的转角为坐标,逆时针为正,静平衡位置时0,则当m有转角时,系统有:

ETU

12

112222

Im(r)(Imr) 222k(r)

2

1

kr20 由d(ETU)0可知:(Imr2)

即:n

(rad/s)

2.5 均质杆长L、重G,用两根长h的铅垂线挂成水平位置,如图所示,试求微幅振动的周期。

此杆相对铅垂轴OO

2.6 求如图所示系统的周期,三个弹簧都成铅垂,且k22k1,k3k1。

解:取m的上下运动x为坐标,向上为正,静平衡位置为原点x0,则当m有x位移时,系统有: E1T2mx

2 U

152

k22kx2

12

k1x

2

6

k1x

(其中:k

k1k)

1k2

由d(E5TU)0可知:mx

3

k1x0

即:nrad/s)

,T2

(s)

2.7 如图所示,半径为r的均质圆柱可在半径为R的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O为平衡位置左右微摆,试导出柱体的摆动方程,求其固有频率。

解:设物体重量W,摆角坐标如图所示,逆时针为正,当系统有摆角时,则:

UW(Rr)(1cos)W(Rr)

2

2

为圆柱体转角速度,质心的瞬时速度: 设

,即:c(Rr)r

(Rr)

 r

记圆柱体绕瞬时接触点A的转动惯量为IA,则:

IAIC

Wgr

2

1W2g

r

2

Wg

r

2

ET

12

IA

2

13W2Rr23W22

(r)()(Rr) 22gr4g

12

1W2g

22

(Rr),转动和平动的动能)

(或者理解为:ET

Ic

2

由d(ETU)0可知:

即:n

3W2g

2(Rr)W(Rr)0

rad/s)

2.8 横截面面积为A,质量为m的圆柱形浮静止在比重为的液体中。设从平衡位置压

距离x(见图),然后无初速度地释放,若不计尼,求浮子其后的运动。

解:建立如图所示坐标系,系统平衡时x0,由牛顿第二定律得:



(Ax)g0,即:nmx

子低阻

有初始条件为:

x0x

00x

所以浮子的响应为:x(t)xsin(2

)

2.9 求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O1,O2转动,它们相互啮合,不能相对滑动,在图示位置(半径O1A与O2B在同一水平线上),弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘,质量分别为m1,m2。

解:两轮的质量分别为m1,m2,因此轮的半径比为:

r1r2

由于两轮无相对滑动,因此其转角比为:

12

r2r1

1

2

取系统静平衡时10,则有:

[1**********](m1r1)1(m2r2)2(m1m2)r11 [1**********]

Uk1(r11)k2(r22)(k1k2)(r11)

222

12(kk)r20 由d(ETU)0可知:(m1m2)r12112112ET

即:n

(rad/s)

,T2

(s)

2.10 如图所示,轮子可绕水平轴转动,对转轴的动惯量为I,轮缘绕有软绳,下端挂有重量为P的体,绳与轮缘之间无滑动。在图示位置,由水平簧维持平衡。半径R与a均已知,求微振动的周

解:取轮的转角为坐标,顺时针为正,系统平衡0,则当轮子有转角时,系统有: ET

1

2I2

1P2g(R)21P222(IgR) U

12

k(a)

2

由d(E

PR2

TU)0可知:(I)

2

2

g

ka0

即:n

(rad/s),故

T

2

2

n

物弹期。 时

s)

2.11 弹簧悬挂一质量为m的物体,自由振动的周期为T,如果在m上附加一个质量m1,则弹簧的静伸长增加l,求当地的重力加速度。

解:

T2

2

k

4mT

m1gklg

klm1

4mlT

m1

2

2.12 用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重P,(b)与(c)中每个弹簧的弹性系数为k/2。(1)杆重不计;(2)若杆质量均匀,计入杆重。

解:取系统的摆角为坐标,静平衡时0 (a)若不计杆重,系统作微振动,则有:

ET

1P22(L) 2g

UPgL(1cos)

12

PgLPg

2

由d(ETU)0可知:即:n

2LPL0

rad/s)

如果考虑杆重,系统作微振动,则有:

1P22111Pm2222

(L)(mLL)(L)L 2g232g3

L2

Pg

mL2

ET

UPgL(1cos)mLg

(1cos)(gL

2

2

由d(ETU)0可知:(

Pg

mL

Pm2

)L(L)gL0 3g2

即:n

(rad/s)

(b)如果考虑杆重,系统作微振动,则有:

ET

1P22111Pm2222

(L)(mLL)(L)L 2g232g3Pg

mL2

U()gL

2

2

1kL2

()()2222

即:n

(rad/s)

(c)如果考虑杆重,系统作微振动,则有:

ET

1P22111Pm2222(L)(mLL)(L)L 2g232g3Pg

mL2

U(gL

2

2

1kL2

()()2222

即:n

(rad/s)

2.13 求如图所示系统的等效刚度,并把它写成与x的关系式。

2

2

答案:系统的运动微分方程mx

aba

2kx0

2.14 一台电机重470N,转速为1430r/min,固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点,如图所示。每根槽钢长1.2m,重65.28N,弯曲刚度EI=1.66105N·m2。

(a)不考虑槽钢质量,求系统的固有频率;

(b)设槽钢质量均布,考虑分布质量的影响,求系统的固有频率; (c)计算说明如何避开电机和系统的共振区。

2.15 一质量m固定于长L,弯曲刚度为EI,密度为的弹性梁的一端,如图所示,试以有效质量的概念计算其固有频率。

wL3/(3EI)

2.16 求等截面U形管内液体振动的周期,阻力不计,假定液柱总长度为L。

解:假设U形管内液柱长l,截面积为A,密度为,取系统静平衡时势能为0,左边液面下降x时,有: E1T

2Alx

2

UAxgx

由d(ETU)0可知:Alx

2gAx0

即:n

(rad/s)

,T

s)

2.17 水箱l与2的水平截面面积分别A1、A2,底部用截面为A0的细管连接。液面上下振动的固有频率。

为求

解:设液体密度为,取系统静平衡时势能为0,当左边液面下降x1时,右边液面上升x2,液体在水箱l与2和细管中的速度分别为x1,x2,x3,则有:

ET

12

1[A1(hx1)]x

A1A3

2

2

12

3[A3L]x

A1A2

1)]x

2

2

2

12

2[A2(hx2)]x

2

2

[A1hA3L()A2h(

1A2x2A3x3;A1x1A2x2) (由于:hx1h;hx2h;A1x

UAx1g

x1x2

2

A1A2

)L(

A1A3

1g(1)]x

A1A2

)x10

由d(ETU)0可知:[h(1

即:n

(rad/s)

2.18 如图所示,一个重W、面积为A的薄板悬挂在弹簧上,使之在粘性液体中振动。设T1、T2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。试证明:



2WgAT1T2

T2T2

2

2

并指出的意义(式中液体阻尼力Fd=•2Av)。

2.19 试证明:对数衰减率也可用下式表示

1n

ln

x0xn

,(式中xn是经过n个循

环后的振幅)。并给出在阻尼比为0.0l、0.1、0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。

解:设系统阻尼自由振动的响应为x(t);

t0时刻的位移为x0;tnt0nT时刻的位移为xn;则: x0xn

XeXe

nt0

cos(dt0)

n(t0nTd)

cos[d(t0nTd)]

x0x1

e

nnTd

1n

x0xn

所以有:ln

x0xn

nnTdnnln

,即:

ln

当振幅衰减到50%时,xn

0.5x0,即:n1)当 0.01时,n11;要11个循环; 2)当 0.1时,n1.1;要2个循环; 3)当 0.3时,n0.34;要1个循环;

1

ln2ln2

2

2.20 某双轴汽车的前悬架质量为m1=1151kg,前悬架刚度为k1=1.02105N/m,若假定前、后悬架的振动是独立的,试计算前悬架垂直振动的偏频。如果要求前悬架的阻尼比0.25,那么应给前悬架设计多大阻尼系数(c)的悬架减振器?

2.21 重量为P的物体,挂在弹簧的下端,产生静伸长,在上下运动时所遇到的阻力与速度v成正比。要保证物体不发生振动,求阻尼系数c的最低值。若物体在静平衡位置以初速度v0开始运动,求此后的运动规律。

解:设系统上下运动为x坐标系,系统的静平衡位置为原点,得到系统的运动微分方程为:

Pg

cxx

P

x0

系统的阻尼比

:

系统不振动条件为:

1,即:c2P/

物体在平衡位置以初速度0开始运动,即初始条件为:x

00

x00

此时系统的响应为:(可参考教材P22) 1)当1时:

x(t)e

nt

(A1e

nA2e

n

A1,2其中:

n

nt

nt

2) 当1时: x(t)A1e

即:x(t)0tet

n

A2te

A10

,其中:A

2

3) 当1时: x(t)et(C1cosdtC2sindt)

n

C01

其中:C20/

nd

,即:x(t)et

n

0d

sindt

2.22 一个重5500N的炮管具有刚度为3.03105N/m的驻退弹簧。如果发射时炮管后座1.2m,试求:

①炮管初始后座速度;

②减振器临界阻尼系数(它是在反冲结束时参加工作的); ③炮管返回到离初始位置0.05m时所需要的时间。 2.23 设系统阻尼比0.1,试按比例画出在

n

=0.5、1.0、2.0三种情况下

微分方程的向量关系图。

2.24 试指出在简谐激励下系统复频率响应、放大因子和品质因子之间的关系,并计算当0.2、n=5rad/s时系统的品质因子和带宽。

2.25 已知单自由度系统振动时其阻力为cv(其中c是常数,v是运动速度),激励为FFsint,当n即共振时,测得振动的振幅为X,求激励的幅值F0。若测得共振时加速度的幅值为A,求此时的F0。

2.26 某单自由度系统在液体中振动,它所受到的激励为F50cost(N),系统在周期T=0.20s时共振,振幅为0.005cm,求阻尼系数。

解:由T0.20s时共振可知,系统固有频率为:n

当n时,已知响应振幅: X所以:c

F010

5

2T

10

F0c

,(参教材P30)

(Ns/m)

X

2.27 一个具有结构阻尼的单自由度系统,在一周振动内耗散的能量为它的最大势能的1.2%,试计算其结构阻尼系数。

2.28 要使每一循环消耗的能量与频率比无关,需要多大的阻尼系数。

2.29 若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比,即

Fdax2

2

Fdax

0x0x

求其等效阻尼系数和共振时的振幅。

解:实际上,这是一种低粘度流体阻尼。

设系统的运动为:x(t)Xcos(t)

c

 

0000

/w

/w

dxx

d(A|H(w)|w)(wt)x

2

2

[a|H(w)|w(wt)][|H(w)|wAsin(wt)]dx

3aXA

33

2

/w

wAsin(t)dt

3

3

333

/w

awX

2

sin(t)dt

2

3

3

Xw[2(0)

43

(0)]

3

d

ax ax

2

3

2

32

d

83

3

83

ax

8ax3

3

2

CX

2

Ce

2.29

xXcos(t)

xXsin(t)

Wc



/

xdx

2

2

2



2

2//

xdx

2

2

/

Xsin(t)(Xcos(t))dt

2

2

2

2

2/

/

Xsin(t)(Xcos(t))dt

3

2

8X3

WPWCCX

2

C

X

8aX

3

3F08aX

2

F0c

X

3F0

2

8axwn

1

22wn

3F02a

2.29

x

Fd2

x

2

x0

T/4

2

x0

e

F

d

dx4

xdx

44

T/4

xdx

Zcos(t)dt

23

3

3

3

T/4

3

8Z3

PCCZ

2

e

Z

8

3

Z

Z

3F08Z

2

F0C0

2.30 KGlⅡ电动机重P,装在弹性基础上,静下沉量为。当转速为nr/min时,由于转子失衡,沿竖向有正弦激励,电机产生振幅为A的强迫振动。试求激励的幅值,不计阻尼。

2.31 电动机重P,装在弹性梁上,使梁有静挠度。转子重Q,偏心距为e。试求当转速为时,电动机上下强迫振动的振幅A,不计梁重。

2.32 一飞机升降舵的调整片铰接于升降舵的O轴上(图T—2.32),并由一联动装置控制。该装置相当于一刚度为kT的扭转弹簧。调整片转动惯量为

I

,因而系统固有频率nKT/I,

但因kT不能精确计算,必须用试验测定n。为此固定升降舵,利用弹簧k2对调整片做简谐激励,并用弹簧k1来抑制。改变激励频率直至达到其共振频率图 T—2.32

T。试以T和试

验装置的参数来表示调整片的固有频率n。

解:设调整片的转角为,系统的微分方程为:

I[kT(k1k2

)L2]k2Lysint 系统的共振频率为:2

kT(k1k2)L

2

I

因此:k2TI0(k1k2)L2

调整片的固有频率为:2n

2.33 如图所示由悬架支承的车辆沿高低平的道路行进。试求W的振幅与行进速度关系,并确定最不利的行进速度。

解:由题目

2.33 T

V

不的

w

2VL

2T

2VL

yYcos



t

wXK(xy)



wXKYcos



2VL

t

2VL

wXKxKYcoswSX(s)KX(s)KYX(s)

KY

(s(

2

2VL

2VL2

t

2

(

2VL

22V2

)sL

Kw

))(wsK)

2

n

2

X

X

2nY

2n

2

a

2

sina

Y

2

2aY

na

22

sinnt

Y

2/n

1(a/)0

2n

1(a)

2

Y14

Vw2KL2

2

KLYKLTVw

2

2

2

2

V

2

k/w

2.33 

2T

TvL





2vL

mXKXKy



XnXny X

XV

2

22

Yn

2

22

n

Yn

2

2

Yn

222v2L

n

2

n4

2

RL

2

4m

2

2.34 单摆悬点沿水平方向做简谐运动(图T—2.34),=asin。试求在微幅的t强迫振动中偏角的变化规律。已知摆长为L,摆锤质量为m。

2.35 一个重90N的飞机无线电要与发动机的频率1600~2200r/min范围的振动隔离,为了隔离85%,隔振器的静变形需要多少? 2.36 试从式(2.95)证明:

1. 无论阻尼比取何值,在频率比/n2. 在/n大而增大。

2时,恒有X=A。

2,X/A随增大而减小,而在/n

2,X/A随增

2.37 某位移传感器固有频率为4.75Hz,阻尼比=0.65。试估计所能测量的最低频率,设要求误差≤1%,≤2%。

2.38 一位移传感器的固有频为率2Hz,无阻尼,用以测量频率为8Hz的简谐振动,测得振幅为0.132cm。问实际振幅是多少?误差为多少?

2.39 一振动记录仪的固有频率为fn=3.0Hz,阻尼比=0.50。用其测量某物体的振动,物体的运动方程已知为

x=2.05sin4t+1.0sin8t (cm)

证明:振动记录仪的振动z将为

z=1.03sin(4t-500)+1.15sin(8t-1200)(cm)

2.40 求单自由度无阻尼系统对图所示激励的响应,设初始条件为零。

解:

a

nt

h(t)

1md

e

sindt

sin[d(t)]

h(t)

md

e

n(t)

h(t)

md

sindt

1md

h(t2)X(t)

sin[d(t)]

F1R

t

dcosn(t)

t01mn

(cosnt)

F1

sinn(t)d(t)

X(t)



t

F1(t)h(t)d

t

t1

F2(t)h(t)d

F1R

[cosn(tt1)]

F2R

[1cosn(tt1)]

X(t)

b

t1

F1(t)h(t)d

t

t1

F2(t)h(t)d

F2R

t

t2

0*h(t2)

F1R

[cosn(tt1)cosnt][cosn(tt2)cosn(tt1)]

F()X(t)

X(t)

C

F0t1t

t F(t)F(t)h(t)[

tt1

sinnt

F0t1

(t) [

tF0t1

1n

(t)dcosnt

F0R

nt1

]

t1

F1()h(t)d

t

t1

0*h(t)d

F1R

[cosn(tt1)]

sinn(tt1)sinnt

nt

]

F()X(t)

F0t1

t F(t)

F0t1

(t)

[1cosn(ttt)

1

t

F(t)h(t)d

F1R

nt1

sinnt]

X(t)

t1

F1()h(t)d

t

t1

0*h(t)d

F1R

[cosnt

sinn(tt1)sinnt

nt

]

2.41 求图T—2.41所示系统的传递函数,这里激励是x3(t)。

2.42 一弹簧质量系统从一倾斜角为300光滑斜面下滑,如图所示。求弹簧与墙壁始接触到脱离接触的时间。

解:弹簧接触墙壁时,m的速度为:

0

的开

以接触时m的位置为原点,斜下方为正,则m的微分方程为:

kxmgsin30 mx

x00

考虑到系统的初始条件:x

0x(t)

0x

sinnt

mgsin30

k

(1cosnt)

其中:n

n

当m与墙壁脱离时应有x(t1)0 故由:x(t1)

nt1

mg2k

(1cosnt1)0

n

可得到:t1(

也就是弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间。

2.43 一个高F0、宽t0的矩形脉冲力加到单自由度无阻尼系统上,把这个矩形脉冲力看做两个阶跃脉冲力之和,如图所示。用叠加原理求t>t0后的响应。

2.44 如图T—2.44所示,系统支承受凸轮作用,运动波形为图中所示的锯齿波,求系统的稳态响应。

2.45 证明式(2.136),即卷积积分满足交换律

h(t)F(t)F(t)h(t)

3.1 如图所示扭转系统。设I12I2;kt1kt2

1.写出系统的刚度矩阵和质量矩阵;

2.写出系统的频率方程并求出固有频率和振型,画出振型图。

解:1)以静平衡位置为原点,设I1,I2的转角1,2为广义坐标,画出I1,I2隔离体,根据牛顿第二定律得到运动微分方程:

I11kt11kt2(12)0I11(kt1kt2)1kt220

,即: 

I22kt2(21)0I22kt21kt220

所以:M1

0

I

0kt1kt2

,KI2kt2kt2

 kt2

11

系统运动微分方程可写为:MK0 ………… (a)

22

或者采用能量法:系统的动能和势能分别为

122

I11I22 2211112222

Ukt11kt2(12)(kt1kt2)1kt22kt112

2222ET

1

求偏导也可以得到M,K

由于I12I2;kt1kt2,所以MI2,Kkt1

011

2

0

2

1

 1

1u1

2)设系统固有振动的解为: cost,代入(a)可得:

2u2

(K

2

u1M)0 ………… (b)

u2

2

得到频率方程:()

2kt12I2

kt1

2

kt1kt1I2

2

0

即:(2)2I2244kt1I22kt120

解得:1,2

2

4I2

(2

2

kt1

I2

所以:1

………… (c)

将(c)代入(b)可得:

(2kt12k2I2t1

2I2

kt1

u10

(2kt1u2kt1I2

2I2

kt1

解得:

u11u21



2

u12u22

2

令u21,得到系统的振型为:

1

0.707

-0.707

3.2 求图所示系统的固有频率和振型。设m13m2;k33k23k1。并画出振型图。

解:1)以静平衡位置为原点,设m1,m2的位移x1,x2为广义坐标,画出m1,m2隔离体,根据牛顿第二定律得到运动微分方程:

x1k1x1k2(x1x2)0m1

mxk(xx)kx02213222

所以:M1

0

m

0k1k2

,Km2k2k2

 k2k3

xx

系统运动微分方程可写为:M1K10 ………… (a)

x2x2

或者采用能量法:系统的动能和势能分别为

ETU

12121m1x

2

2

12

2m2x

2

2

k1x1

12

k2(x1x2)

12

k3x2

2

求偏导也可以得到M,K

3

由于m13m2;k33k23k1,所以Mm2

0

02,Kk211

1

 4

2)设系统固有振动的解为: 

x1u1

cost,代入(a)可得: x2u2

u1

(KM)0 ………… (b)

u2

2

2

得到频率方程:()

2k23m2

k2

2

k2

4k2m2

2

0

即:(2)3m22414k2m227k220 解得:1,2

2

6m2

(7k2

3

m2

所以:1

2

………… (c)

将(c)代入(b)可得:

(7k22k3m22

3m2

k2

k2

u10



u2

4k2m2

3m2

解得:

u11u21



5

3

u12u22

53

令u21,得到系统的振型为 :

0.09

-3.430

3.3 如图所示弹簧质量系统,写出系统的频率方程并求出固有频率和振型,画出振型图。

解:以静平衡位置为原点,设m1,m2的位移x1,x2为广义坐标,

系统的动能和势能分别为

ETU12121mx22122mx2 2kx112k(x1x2)mg(x1x2) 求得:Mm,Kk011

系统运动微分方程可写为:M1021 1x1x1K0 ………… (a) x2x2

设系统固有振动的解为: x1u1cost,代入(a)可得:

x2u2

u1(KM)0 ………… (b)

u22

2

得到频率方程:()2kmk2kkm20 即:(2)m243km2k20 解得:1,222m

所以:1

2 ………… (c) 将(c)代入(b)可得:

2km2m

ku10

u2(3kkm2mk

解得:u11

u21

12;u12u2212

令u21,得到系统的振型为:

1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。

1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去,在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下,画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图,并指出在这种化简情况下,汽车振动有几个自由度?

1.3 设有两个刚度分别为k1,k2的线性弹簧如图T—1.3所示,试证明: 1)它们并联时的总刚度keq为:keqk1k2 2)它们串联时的总刚度keq满足:

1k11

eq

k1

k2

解:1)对系统施加力P,则两个弹簧的变形相同为x,但受力不同,分

别为:

P1k1x

P2k2

x 由力的平衡有:PP1P2(k1k2)x 故等效刚度为:kPeq

x

k1k2

2)对系统施加力P,则两个弹簧的变形为:

Px

1k

1

,弹簧的总变形为:xxx1112P(k) x1k2

2Pk2 故等效刚度为:1Pk2k

eq

x

k1k2k

1

11

k1

k

2

1.4 求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为kt1,kt2。

解:对系统施加扭矩T,则两轴的转角为:

T

1k

t1

T 

2kt2系统的总转角为: 12T(

1k1),

1

(

1

1t1

kt2

keqT

kt1

k)t2

故等效刚度为:

11

k

1

eq

kt1

kt2

1.5 两只减振器的粘性阻尼系数分别为c1,c2,试计算总粘性阻尼系数ceq 1)在两只减振器并联时, 2)在两只减振器串联时。

,受力分别为: 解:1)对系统施加力P,则两个减振器的速度同为x

P1c1x

Pcx22

 由力的平衡有:PP1P2(c1c2)x

故等效刚度为:ceq

Px

c1c2

2)对系统施加力P,则两个减振器的速度为:

P

1xc111

xxxP() ,系统的总速度为:12

Pc1c2

x2c2

故等效刚度为:ceq

Px

1c1

1c2

1.6 一简谐运动,振幅为0.5cm,周期为0.15s,求最大速度和加速度。

223

解:简谐运动的n(rad/s),振幅为510m;

T0.15

23

x510cos(t)(m)0.15

22

5103tsin(t)(m/s)即:x

0.150.15

22322

x510(t)cos(t)(m/s)

0.150.15

2

max5103x(m/s)0.15

所以:

2322xmax510()(m/s)

0.15

1.7 一加速度计指示出结构振动频率为82Hz,并具有最大加速度50g,求振动的振幅。

xmaxAn可知: 解:由 

2

A

xmax

n

2

xmax(2f)

2

509.8m/s

2

22

(225)1/s

9.850

2

m

1.8 证明:两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动,即:AcostBcos(t)Ccos(t),并讨论0,/2,三种特例。

证明:

AcostBcos(t)

AcostBcostcosBsintsin(ABcos)costBsinsint

t)t)

Ccos(t)

Bsin

arctg()ABcos其中: C1)当0时:0;CAB; 2)当

时:arctg(B/A);C

2

3)当时:0;CAB;

1.9 把复数4+5i表示为指数形式。

解:4+5i=Aei

,其中:A

5,arctg()

4

1.10 证明:一个复向量用i相乘,等于把它旋转/2。

证明:AeiAee

i

i

i

2

Ae

i

2

1.11 证明:梯度算子是线性微分算子,即

[af(x,y,z)bg(x,y,z)]af(x,y,z)bg(x,y,z)

这里,a,b是与x、y、z无关的常数。

1.12 求函数g(t)AcosptBcosqt的均方值。考虑p与q之间的如下三种关系:

① qnp,这里n为正整数; ② q/p为有理数; ③ q/p为无理数。

1.13 汽车悬架减振器机械式常规性能试验台,其结构形式之一如图T—1.13所示。其激振器为曲柄滑块机构,在导轨下面垂向连接被试减振器。试分析减振器试验力学的基本规律(位移、速度、加速度、阻尼力)。

图 T—1.13

1.14 汽车悬架减振器机械式常规性能试验台的另一种结构形式如图T—1.14所示。其激振器采用曲柄滑块连杆机构,曲柄被驱动后,通过连杆垂向带动与滑块连接的被试减振器。试分析在这种试验台上的减振器试验力学的基本规律,并与前题比较。

图 T—1.14

2.1 弹簧下悬挂一物体,弹簧静伸长为。设将物体向下拉,使弹簧有静伸长3,然后无初速度地释放,求此后的运动方程。

解:设物体质量为m,弹簧刚度为k,则:

mg

k,即:n

取系统静平衡位置为原点x0,系统运动方程为:

mxkx0

x02x00

(参考教材P14)

解得:x(t)2cosnt

2.2 弹簧不受力时长度为65cm,下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放,试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。

解:由题可知:弹簧的静伸长0.850.650.2(m)

所以:n

7(rad/s)

取系统的平衡位置为原点,得到:

2

xnx0 系统的运动微分方程为:

x(0)0.2

其中,初始条件: (参考教材P14)

x(0)0

所以系统的响应为:x(t)0.2cosnt(m) 弹簧力为:Fkkx(t)

mg

x(t)cosnt(N) 27

(s)、弹簧力最大值为1N。

因此:振幅为0.2m、周期为

2.3 重物m1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置,另一重物m2从高度为

h处自由落到m1上而无弹跳,如图所示,求其后的运动。

解:取系统的上下运动x为坐标,向上为正,静平衡位置为原点x0,则当m有x位移时,系统有:

ETU

1212

(m1m2)x

2

2

kx

kx0 由d(ETU)0可知:(m1m2)x

即:n

xm2g

0系统的初始条件为:0x12

(能量守恒得:m2gh

12

0(m1m2)x

2

因此系统的响应为:x(t)A0cosntA1sinnt

Axm2g

00其中

:0xA1

n

m2gk

(cosnt

即:x(t)

nt)

2.4 一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动,圆心受到一弹簧k约束,如图所示,求系统的固有频率。 解:取圆柱体的转角为坐标,逆时针为正,静平衡位置时0,则当m有转角时,系统有:

ETU

12

112222

Im(r)(Imr) 222k(r)

2

1

kr20 由d(ETU)0可知:(Imr2)

即:n

(rad/s)

2.5 均质杆长L、重G,用两根长h的铅垂线挂成水平位置,如图所示,试求微幅振动的周期。

此杆相对铅垂轴OO

2.6 求如图所示系统的周期,三个弹簧都成铅垂,且k22k1,k3k1。

解:取m的上下运动x为坐标,向上为正,静平衡位置为原点x0,则当m有x位移时,系统有: E1T2mx

2 U

152

k22kx2

12

k1x

2

6

k1x

(其中:k

k1k)

1k2

由d(E5TU)0可知:mx

3

k1x0

即:nrad/s)

,T2

(s)

2.7 如图所示,半径为r的均质圆柱可在半径为R的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O为平衡位置左右微摆,试导出柱体的摆动方程,求其固有频率。

解:设物体重量W,摆角坐标如图所示,逆时针为正,当系统有摆角时,则:

UW(Rr)(1cos)W(Rr)

2

2

为圆柱体转角速度,质心的瞬时速度: 设

,即:c(Rr)r

(Rr)

 r

记圆柱体绕瞬时接触点A的转动惯量为IA,则:

IAIC

Wgr

2

1W2g

r

2

Wg

r

2

ET

12

IA

2

13W2Rr23W22

(r)()(Rr) 22gr4g

12

1W2g

22

(Rr),转动和平动的动能)

(或者理解为:ET

Ic

2

由d(ETU)0可知:

即:n

3W2g

2(Rr)W(Rr)0

rad/s)

2.8 横截面面积为A,质量为m的圆柱形浮静止在比重为的液体中。设从平衡位置压

距离x(见图),然后无初速度地释放,若不计尼,求浮子其后的运动。

解:建立如图所示坐标系,系统平衡时x0,由牛顿第二定律得:



(Ax)g0,即:nmx

子低阻

有初始条件为:

x0x

00x

所以浮子的响应为:x(t)xsin(2

)

2.9 求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O1,O2转动,它们相互啮合,不能相对滑动,在图示位置(半径O1A与O2B在同一水平线上),弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘,质量分别为m1,m2。

解:两轮的质量分别为m1,m2,因此轮的半径比为:

r1r2

由于两轮无相对滑动,因此其转角比为:

12

r2r1

1

2

取系统静平衡时10,则有:

[1**********](m1r1)1(m2r2)2(m1m2)r11 [1**********]

Uk1(r11)k2(r22)(k1k2)(r11)

222

12(kk)r20 由d(ETU)0可知:(m1m2)r12112112ET

即:n

(rad/s)

,T2

(s)

2.10 如图所示,轮子可绕水平轴转动,对转轴的动惯量为I,轮缘绕有软绳,下端挂有重量为P的体,绳与轮缘之间无滑动。在图示位置,由水平簧维持平衡。半径R与a均已知,求微振动的周

解:取轮的转角为坐标,顺时针为正,系统平衡0,则当轮子有转角时,系统有: ET

1

2I2

1P2g(R)21P222(IgR) U

12

k(a)

2

由d(E

PR2

TU)0可知:(I)

2

2

g

ka0

即:n

(rad/s),故

T

2

2

n

物弹期。 时

s)

2.11 弹簧悬挂一质量为m的物体,自由振动的周期为T,如果在m上附加一个质量m1,则弹簧的静伸长增加l,求当地的重力加速度。

解:

T2

2

k

4mT

m1gklg

klm1

4mlT

m1

2

2.12 用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重P,(b)与(c)中每个弹簧的弹性系数为k/2。(1)杆重不计;(2)若杆质量均匀,计入杆重。

解:取系统的摆角为坐标,静平衡时0 (a)若不计杆重,系统作微振动,则有:

ET

1P22(L) 2g

UPgL(1cos)

12

PgLPg

2

由d(ETU)0可知:即:n

2LPL0

rad/s)

如果考虑杆重,系统作微振动,则有:

1P22111Pm2222

(L)(mLL)(L)L 2g232g3

L2

Pg

mL2

ET

UPgL(1cos)mLg

(1cos)(gL

2

2

由d(ETU)0可知:(

Pg

mL

Pm2

)L(L)gL0 3g2

即:n

(rad/s)

(b)如果考虑杆重,系统作微振动,则有:

ET

1P22111Pm2222

(L)(mLL)(L)L 2g232g3Pg

mL2

U()gL

2

2

1kL2

()()2222

即:n

(rad/s)

(c)如果考虑杆重,系统作微振动,则有:

ET

1P22111Pm2222(L)(mLL)(L)L 2g232g3Pg

mL2

U(gL

2

2

1kL2

()()2222

即:n

(rad/s)

2.13 求如图所示系统的等效刚度,并把它写成与x的关系式。

2

2

答案:系统的运动微分方程mx

aba

2kx0

2.14 一台电机重470N,转速为1430r/min,固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点,如图所示。每根槽钢长1.2m,重65.28N,弯曲刚度EI=1.66105N·m2。

(a)不考虑槽钢质量,求系统的固有频率;

(b)设槽钢质量均布,考虑分布质量的影响,求系统的固有频率; (c)计算说明如何避开电机和系统的共振区。

2.15 一质量m固定于长L,弯曲刚度为EI,密度为的弹性梁的一端,如图所示,试以有效质量的概念计算其固有频率。

wL3/(3EI)

2.16 求等截面U形管内液体振动的周期,阻力不计,假定液柱总长度为L。

解:假设U形管内液柱长l,截面积为A,密度为,取系统静平衡时势能为0,左边液面下降x时,有: E1T

2Alx

2

UAxgx

由d(ETU)0可知:Alx

2gAx0

即:n

(rad/s)

,T

s)

2.17 水箱l与2的水平截面面积分别A1、A2,底部用截面为A0的细管连接。液面上下振动的固有频率。

为求

解:设液体密度为,取系统静平衡时势能为0,当左边液面下降x1时,右边液面上升x2,液体在水箱l与2和细管中的速度分别为x1,x2,x3,则有:

ET

12

1[A1(hx1)]x

A1A3

2

2

12

3[A3L]x

A1A2

1)]x

2

2

2

12

2[A2(hx2)]x

2

2

[A1hA3L()A2h(

1A2x2A3x3;A1x1A2x2) (由于:hx1h;hx2h;A1x

UAx1g

x1x2

2

A1A2

)L(

A1A3

1g(1)]x

A1A2

)x10

由d(ETU)0可知:[h(1

即:n

(rad/s)

2.18 如图所示,一个重W、面积为A的薄板悬挂在弹簧上,使之在粘性液体中振动。设T1、T2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。试证明:



2WgAT1T2

T2T2

2

2

并指出的意义(式中液体阻尼力Fd=•2Av)。

2.19 试证明:对数衰减率也可用下式表示

1n

ln

x0xn

,(式中xn是经过n个循

环后的振幅)。并给出在阻尼比为0.0l、0.1、0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。

解:设系统阻尼自由振动的响应为x(t);

t0时刻的位移为x0;tnt0nT时刻的位移为xn;则: x0xn

XeXe

nt0

cos(dt0)

n(t0nTd)

cos[d(t0nTd)]

x0x1

e

nnTd

1n

x0xn

所以有:ln

x0xn

nnTdnnln

,即:

ln

当振幅衰减到50%时,xn

0.5x0,即:n1)当 0.01时,n11;要11个循环; 2)当 0.1时,n1.1;要2个循环; 3)当 0.3时,n0.34;要1个循环;

1

ln2ln2

2

2.20 某双轴汽车的前悬架质量为m1=1151kg,前悬架刚度为k1=1.02105N/m,若假定前、后悬架的振动是独立的,试计算前悬架垂直振动的偏频。如果要求前悬架的阻尼比0.25,那么应给前悬架设计多大阻尼系数(c)的悬架减振器?

2.21 重量为P的物体,挂在弹簧的下端,产生静伸长,在上下运动时所遇到的阻力与速度v成正比。要保证物体不发生振动,求阻尼系数c的最低值。若物体在静平衡位置以初速度v0开始运动,求此后的运动规律。

解:设系统上下运动为x坐标系,系统的静平衡位置为原点,得到系统的运动微分方程为:

Pg

cxx

P

x0

系统的阻尼比

:

系统不振动条件为:

1,即:c2P/

物体在平衡位置以初速度0开始运动,即初始条件为:x

00

x00

此时系统的响应为:(可参考教材P22) 1)当1时:

x(t)e

nt

(A1e

nA2e

n

A1,2其中:

n

nt

nt

2) 当1时: x(t)A1e

即:x(t)0tet

n

A2te

A10

,其中:A

2

3) 当1时: x(t)et(C1cosdtC2sindt)

n

C01

其中:C20/

nd

,即:x(t)et

n

0d

sindt

2.22 一个重5500N的炮管具有刚度为3.03105N/m的驻退弹簧。如果发射时炮管后座1.2m,试求:

①炮管初始后座速度;

②减振器临界阻尼系数(它是在反冲结束时参加工作的); ③炮管返回到离初始位置0.05m时所需要的时间。 2.23 设系统阻尼比0.1,试按比例画出在

n

=0.5、1.0、2.0三种情况下

微分方程的向量关系图。

2.24 试指出在简谐激励下系统复频率响应、放大因子和品质因子之间的关系,并计算当0.2、n=5rad/s时系统的品质因子和带宽。

2.25 已知单自由度系统振动时其阻力为cv(其中c是常数,v是运动速度),激励为FFsint,当n即共振时,测得振动的振幅为X,求激励的幅值F0。若测得共振时加速度的幅值为A,求此时的F0。

2.26 某单自由度系统在液体中振动,它所受到的激励为F50cost(N),系统在周期T=0.20s时共振,振幅为0.005cm,求阻尼系数。

解:由T0.20s时共振可知,系统固有频率为:n

当n时,已知响应振幅: X所以:c

F010

5

2T

10

F0c

,(参教材P30)

(Ns/m)

X

2.27 一个具有结构阻尼的单自由度系统,在一周振动内耗散的能量为它的最大势能的1.2%,试计算其结构阻尼系数。

2.28 要使每一循环消耗的能量与频率比无关,需要多大的阻尼系数。

2.29 若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比,即

Fdax2

2

Fdax

0x0x

求其等效阻尼系数和共振时的振幅。

解:实际上,这是一种低粘度流体阻尼。

设系统的运动为:x(t)Xcos(t)

c

 

0000

/w

/w

dxx

d(A|H(w)|w)(wt)x

2

2

[a|H(w)|w(wt)][|H(w)|wAsin(wt)]dx

3aXA

33

2

/w

wAsin(t)dt

3

3

333

/w

awX

2

sin(t)dt

2

3

3

Xw[2(0)

43

(0)]

3

d

ax ax

2

3

2

32

d

83

3

83

ax

8ax3

3

2

CX

2

Ce

2.29

xXcos(t)

xXsin(t)

Wc



/

xdx

2

2

2



2

2//

xdx

2

2

/

Xsin(t)(Xcos(t))dt

2

2

2

2

2/

/

Xsin(t)(Xcos(t))dt

3

2

8X3

WPWCCX

2

C

X

8aX

3

3F08aX

2

F0c

X

3F0

2

8axwn

1

22wn

3F02a

2.29

x

Fd2

x

2

x0

T/4

2

x0

e

F

d

dx4

xdx

44

T/4

xdx

Zcos(t)dt

23

3

3

3

T/4

3

8Z3

PCCZ

2

e

Z

8

3

Z

Z

3F08Z

2

F0C0

2.30 KGlⅡ电动机重P,装在弹性基础上,静下沉量为。当转速为nr/min时,由于转子失衡,沿竖向有正弦激励,电机产生振幅为A的强迫振动。试求激励的幅值,不计阻尼。

2.31 电动机重P,装在弹性梁上,使梁有静挠度。转子重Q,偏心距为e。试求当转速为时,电动机上下强迫振动的振幅A,不计梁重。

2.32 一飞机升降舵的调整片铰接于升降舵的O轴上(图T—2.32),并由一联动装置控制。该装置相当于一刚度为kT的扭转弹簧。调整片转动惯量为

I

,因而系统固有频率nKT/I,

但因kT不能精确计算,必须用试验测定n。为此固定升降舵,利用弹簧k2对调整片做简谐激励,并用弹簧k1来抑制。改变激励频率直至达到其共振频率图 T—2.32

T。试以T和试

验装置的参数来表示调整片的固有频率n。

解:设调整片的转角为,系统的微分方程为:

I[kT(k1k2

)L2]k2Lysint 系统的共振频率为:2

kT(k1k2)L

2

I

因此:k2TI0(k1k2)L2

调整片的固有频率为:2n

2.33 如图所示由悬架支承的车辆沿高低平的道路行进。试求W的振幅与行进速度关系,并确定最不利的行进速度。

解:由题目

2.33 T

V

不的

w

2VL

2T

2VL

yYcos



t

wXK(xy)



wXKYcos



2VL

t

2VL

wXKxKYcoswSX(s)KX(s)KYX(s)

KY

(s(

2

2VL

2VL2

t

2

(

2VL

22V2

)sL

Kw

))(wsK)

2

n

2

X

X

2nY

2n

2

a

2

sina

Y

2

2aY

na

22

sinnt

Y

2/n

1(a/)0

2n

1(a)

2

Y14

Vw2KL2

2

KLYKLTVw

2

2

2

2

V

2

k/w

2.33 

2T

TvL





2vL

mXKXKy



XnXny X

XV

2

22

Yn

2

22

n

Yn

2

2

Yn

222v2L

n

2

n4

2

RL

2

4m

2

2.34 单摆悬点沿水平方向做简谐运动(图T—2.34),=asin。试求在微幅的t强迫振动中偏角的变化规律。已知摆长为L,摆锤质量为m。

2.35 一个重90N的飞机无线电要与发动机的频率1600~2200r/min范围的振动隔离,为了隔离85%,隔振器的静变形需要多少? 2.36 试从式(2.95)证明:

1. 无论阻尼比取何值,在频率比/n2. 在/n大而增大。

2时,恒有X=A。

2,X/A随增大而减小,而在/n

2,X/A随增

2.37 某位移传感器固有频率为4.75Hz,阻尼比=0.65。试估计所能测量的最低频率,设要求误差≤1%,≤2%。

2.38 一位移传感器的固有频为率2Hz,无阻尼,用以测量频率为8Hz的简谐振动,测得振幅为0.132cm。问实际振幅是多少?误差为多少?

2.39 一振动记录仪的固有频率为fn=3.0Hz,阻尼比=0.50。用其测量某物体的振动,物体的运动方程已知为

x=2.05sin4t+1.0sin8t (cm)

证明:振动记录仪的振动z将为

z=1.03sin(4t-500)+1.15sin(8t-1200)(cm)

2.40 求单自由度无阻尼系统对图所示激励的响应,设初始条件为零。

解:

a

nt

h(t)

1md

e

sindt

sin[d(t)]

h(t)

md

e

n(t)

h(t)

md

sindt

1md

h(t2)X(t)

sin[d(t)]

F1R

t

dcosn(t)

t01mn

(cosnt)

F1

sinn(t)d(t)

X(t)



t

F1(t)h(t)d

t

t1

F2(t)h(t)d

F1R

[cosn(tt1)]

F2R

[1cosn(tt1)]

X(t)

b

t1

F1(t)h(t)d

t

t1

F2(t)h(t)d

F2R

t

t2

0*h(t2)

F1R

[cosn(tt1)cosnt][cosn(tt2)cosn(tt1)]

F()X(t)

X(t)

C

F0t1t

t F(t)F(t)h(t)[

tt1

sinnt

F0t1

(t) [

tF0t1

1n

(t)dcosnt

F0R

nt1

]

t1

F1()h(t)d

t

t1

0*h(t)d

F1R

[cosn(tt1)]

sinn(tt1)sinnt

nt

]

F()X(t)

F0t1

t F(t)

F0t1

(t)

[1cosn(ttt)

1

t

F(t)h(t)d

F1R

nt1

sinnt]

X(t)

t1

F1()h(t)d

t

t1

0*h(t)d

F1R

[cosnt

sinn(tt1)sinnt

nt

]

2.41 求图T—2.41所示系统的传递函数,这里激励是x3(t)。

2.42 一弹簧质量系统从一倾斜角为300光滑斜面下滑,如图所示。求弹簧与墙壁始接触到脱离接触的时间。

解:弹簧接触墙壁时,m的速度为:

0

的开

以接触时m的位置为原点,斜下方为正,则m的微分方程为:

kxmgsin30 mx

x00

考虑到系统的初始条件:x

0x(t)

0x

sinnt

mgsin30

k

(1cosnt)

其中:n

n

当m与墙壁脱离时应有x(t1)0 故由:x(t1)

nt1

mg2k

(1cosnt1)0

n

可得到:t1(

也就是弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间。

2.43 一个高F0、宽t0的矩形脉冲力加到单自由度无阻尼系统上,把这个矩形脉冲力看做两个阶跃脉冲力之和,如图所示。用叠加原理求t>t0后的响应。

2.44 如图T—2.44所示,系统支承受凸轮作用,运动波形为图中所示的锯齿波,求系统的稳态响应。

2.45 证明式(2.136),即卷积积分满足交换律

h(t)F(t)F(t)h(t)

3.1 如图所示扭转系统。设I12I2;kt1kt2

1.写出系统的刚度矩阵和质量矩阵;

2.写出系统的频率方程并求出固有频率和振型,画出振型图。

解:1)以静平衡位置为原点,设I1,I2的转角1,2为广义坐标,画出I1,I2隔离体,根据牛顿第二定律得到运动微分方程:

I11kt11kt2(12)0I11(kt1kt2)1kt220

,即: 

I22kt2(21)0I22kt21kt220

所以:M1

0

I

0kt1kt2

,KI2kt2kt2

 kt2

11

系统运动微分方程可写为:MK0 ………… (a)

22

或者采用能量法:系统的动能和势能分别为

122

I11I22 2211112222

Ukt11kt2(12)(kt1kt2)1kt22kt112

2222ET

1

求偏导也可以得到M,K

由于I12I2;kt1kt2,所以MI2,Kkt1

011

2

0

2

1

 1

1u1

2)设系统固有振动的解为: cost,代入(a)可得:

2u2

(K

2

u1M)0 ………… (b)

u2

2

得到频率方程:()

2kt12I2

kt1

2

kt1kt1I2

2

0

即:(2)2I2244kt1I22kt120

解得:1,2

2

4I2

(2

2

kt1

I2

所以:1

………… (c)

将(c)代入(b)可得:

(2kt12k2I2t1

2I2

kt1

u10

(2kt1u2kt1I2

2I2

kt1

解得:

u11u21



2

u12u22

2

令u21,得到系统的振型为:

1

0.707

-0.707

3.2 求图所示系统的固有频率和振型。设m13m2;k33k23k1。并画出振型图。

解:1)以静平衡位置为原点,设m1,m2的位移x1,x2为广义坐标,画出m1,m2隔离体,根据牛顿第二定律得到运动微分方程:

x1k1x1k2(x1x2)0m1

mxk(xx)kx02213222

所以:M1

0

m

0k1k2

,Km2k2k2

 k2k3

xx

系统运动微分方程可写为:M1K10 ………… (a)

x2x2

或者采用能量法:系统的动能和势能分别为

ETU

12121m1x

2

2

12

2m2x

2

2

k1x1

12

k2(x1x2)

12

k3x2

2

求偏导也可以得到M,K

3

由于m13m2;k33k23k1,所以Mm2

0

02,Kk211

1

 4

2)设系统固有振动的解为: 

x1u1

cost,代入(a)可得: x2u2

u1

(KM)0 ………… (b)

u2

2

2

得到频率方程:()

2k23m2

k2

2

k2

4k2m2

2

0

即:(2)3m22414k2m227k220 解得:1,2

2

6m2

(7k2

3

m2

所以:1

2

………… (c)

将(c)代入(b)可得:

(7k22k3m22

3m2

k2

k2

u10



u2

4k2m2

3m2

解得:

u11u21



5

3

u12u22

53

令u21,得到系统的振型为 :

0.09

-3.430

3.3 如图所示弹簧质量系统,写出系统的频率方程并求出固有频率和振型,画出振型图。

解:以静平衡位置为原点,设m1,m2的位移x1,x2为广义坐标,

系统的动能和势能分别为

ETU12121mx22122mx2 2kx112k(x1x2)mg(x1x2) 求得:Mm,Kk011

系统运动微分方程可写为:M1021 1x1x1K0 ………… (a) x2x2

设系统固有振动的解为: x1u1cost,代入(a)可得:

x2u2

u1(KM)0 ………… (b)

u22

2

得到频率方程:()2kmk2kkm20 即:(2)m243km2k20 解得:1,222m

所以:1

2 ………… (c) 将(c)代入(b)可得:

2km2m

ku10

u2(3kkm2mk

解得:u11

u21

12;u12u2212

令u21,得到系统的振型为:


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