1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。
1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去,在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下,画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图,并指出在这种化简情况下,汽车振动有几个自由度?
1.3 设有两个刚度分别为k1,k2的线性弹簧如图T—1.3所示,试证明: 1)它们并联时的总刚度keq为:keqk1k2 2)它们串联时的总刚度keq满足:
1k11
eq
k1
k2
解:1)对系统施加力P,则两个弹簧的变形相同为x,但受力不同,分
别为:
P1k1x
P2k2
x 由力的平衡有:PP1P2(k1k2)x 故等效刚度为:kPeq
x
k1k2
2)对系统施加力P,则两个弹簧的变形为:
Px
1k
1
,弹簧的总变形为:xxx1112P(k) x1k2
2Pk2 故等效刚度为:1Pk2k
eq
x
k1k2k
1
11
k1
k
2
1.4 求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为kt1,kt2。
解:对系统施加扭矩T,则两轴的转角为:
T
1k
t1
T
2kt2系统的总转角为: 12T(
1k1),
1
(
1
1t1
kt2
keqT
kt1
k)t2
故等效刚度为:
11
k
1
eq
kt1
kt2
1.5 两只减振器的粘性阻尼系数分别为c1,c2,试计算总粘性阻尼系数ceq 1)在两只减振器并联时, 2)在两只减振器串联时。
,受力分别为: 解:1)对系统施加力P,则两个减振器的速度同为x
P1c1x
Pcx22
由力的平衡有:PP1P2(c1c2)x
故等效刚度为:ceq
Px
c1c2
2)对系统施加力P,则两个减振器的速度为:
P
1xc111
xxxP() ,系统的总速度为:12
Pc1c2
x2c2
故等效刚度为:ceq
Px
1c1
1c2
1.6 一简谐运动,振幅为0.5cm,周期为0.15s,求最大速度和加速度。
223
解:简谐运动的n(rad/s),振幅为510m;
T0.15
23
x510cos(t)(m)0.15
22
5103tsin(t)(m/s)即:x
0.150.15
22322
x510(t)cos(t)(m/s)
0.150.15
2
max5103x(m/s)0.15
所以:
2322xmax510()(m/s)
0.15
1.7 一加速度计指示出结构振动频率为82Hz,并具有最大加速度50g,求振动的振幅。
xmaxAn可知: 解:由
2
A
xmax
n
2
xmax(2f)
2
509.8m/s
2
22
(225)1/s
9.850
2
m
1.8 证明:两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动,即:AcostBcos(t)Ccos(t),并讨论0,/2,三种特例。
证明:
AcostBcos(t)
AcostBcostcosBsintsin(ABcos)costBsinsint
t)t)
Ccos(t)
Bsin
arctg()ABcos其中: C1)当0时:0;CAB; 2)当
时:arctg(B/A);C
2
3)当时:0;CAB;
1.9 把复数4+5i表示为指数形式。
解:4+5i=Aei
,其中:A
5,arctg()
4
1.10 证明:一个复向量用i相乘,等于把它旋转/2。
证明:AeiAee
i
i
i
2
Ae
i
2
1.11 证明:梯度算子是线性微分算子,即
[af(x,y,z)bg(x,y,z)]af(x,y,z)bg(x,y,z)
这里,a,b是与x、y、z无关的常数。
1.12 求函数g(t)AcosptBcosqt的均方值。考虑p与q之间的如下三种关系:
① qnp,这里n为正整数; ② q/p为有理数; ③ q/p为无理数。
1.13 汽车悬架减振器机械式常规性能试验台,其结构形式之一如图T—1.13所示。其激振器为曲柄滑块机构,在导轨下面垂向连接被试减振器。试分析减振器试验力学的基本规律(位移、速度、加速度、阻尼力)。
图 T—1.13
1.14 汽车悬架减振器机械式常规性能试验台的另一种结构形式如图T—1.14所示。其激振器采用曲柄滑块连杆机构,曲柄被驱动后,通过连杆垂向带动与滑块连接的被试减振器。试分析在这种试验台上的减振器试验力学的基本规律,并与前题比较。
图 T—1.14
2.1 弹簧下悬挂一物体,弹簧静伸长为。设将物体向下拉,使弹簧有静伸长3,然后无初速度地释放,求此后的运动方程。
解:设物体质量为m,弹簧刚度为k,则:
mg
k,即:n
取系统静平衡位置为原点x0,系统运动方程为:
mxkx0
x02x00
(参考教材P14)
解得:x(t)2cosnt
2.2 弹簧不受力时长度为65cm,下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放,试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解:由题可知:弹簧的静伸长0.850.650.2(m)
所以:n
7(rad/s)
取系统的平衡位置为原点,得到:
2
xnx0 系统的运动微分方程为:
x(0)0.2
其中,初始条件: (参考教材P14)
x(0)0
所以系统的响应为:x(t)0.2cosnt(m) 弹簧力为:Fkkx(t)
mg
x(t)cosnt(N) 27
(s)、弹簧力最大值为1N。
因此:振幅为0.2m、周期为
2.3 重物m1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置,另一重物m2从高度为
h处自由落到m1上而无弹跳,如图所示,求其后的运动。
解:取系统的上下运动x为坐标,向上为正,静平衡位置为原点x0,则当m有x位移时,系统有:
ETU
1212
(m1m2)x
2
2
kx
kx0 由d(ETU)0可知:(m1m2)x
即:n
xm2g
0系统的初始条件为:0x12
(能量守恒得:m2gh
12
0(m1m2)x
2
)
因此系统的响应为:x(t)A0cosntA1sinnt
Axm2g
00其中
:0xA1
n
m2gk
(cosnt
即:x(t)
nt)
2.4 一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动,圆心受到一弹簧k约束,如图所示,求系统的固有频率。 解:取圆柱体的转角为坐标,逆时针为正,静平衡位置时0,则当m有转角时,系统有:
ETU
12
112222
Im(r)(Imr) 222k(r)
2
1
kr20 由d(ETU)0可知:(Imr2)
即:n
(rad/s)
2.5 均质杆长L、重G,用两根长h的铅垂线挂成水平位置,如图所示,试求微幅振动的周期。
此杆相对铅垂轴OO
2.6 求如图所示系统的周期,三个弹簧都成铅垂,且k22k1,k3k1。
解:取m的上下运动x为坐标,向上为正,静平衡位置为原点x0,则当m有x位移时,系统有: E1T2mx
2 U
152
k22kx2
12
k1x
2
6
k1x
(其中:k
k1k)
1k2
由d(E5TU)0可知:mx
3
k1x0
即:nrad/s)
,T2
(s)
2.7 如图所示,半径为r的均质圆柱可在半径为R的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O为平衡位置左右微摆,试导出柱体的摆动方程,求其固有频率。
解:设物体重量W,摆角坐标如图所示,逆时针为正,当系统有摆角时,则:
UW(Rr)(1cos)W(Rr)
2
2
为圆柱体转角速度,质心的瞬时速度: 设
,即:c(Rr)r
(Rr)
r
记圆柱体绕瞬时接触点A的转动惯量为IA,则:
IAIC
Wgr
2
1W2g
r
2
Wg
r
2
ET
12
IA
2
13W2Rr23W22
(r)()(Rr) 22gr4g
12
1W2g
22
(Rr),转动和平动的动能)
(或者理解为:ET
Ic
2
由d(ETU)0可知:
即:n
3W2g
2(Rr)W(Rr)0
rad/s)
2.8 横截面面积为A,质量为m的圆柱形浮静止在比重为的液体中。设从平衡位置压
距离x(见图),然后无初速度地释放,若不计尼,求浮子其后的运动。
解:建立如图所示坐标系,系统平衡时x0,由牛顿第二定律得:
(Ax)g0,即:nmx
子低阻
有初始条件为:
x0x
00x
所以浮子的响应为:x(t)xsin(2
)
2.9 求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O1,O2转动,它们相互啮合,不能相对滑动,在图示位置(半径O1A与O2B在同一水平线上),弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘,质量分别为m1,m2。
解:两轮的质量分别为m1,m2,因此轮的半径比为:
r1r2
由于两轮无相对滑动,因此其转角比为:
12
r2r1
1
2
取系统静平衡时10,则有:
[1**********](m1r1)1(m2r2)2(m1m2)r11 [1**********]
Uk1(r11)k2(r22)(k1k2)(r11)
222
12(kk)r20 由d(ETU)0可知:(m1m2)r12112112ET
即:n
(rad/s)
,T2
(s)
2.10 如图所示,轮子可绕水平轴转动,对转轴的动惯量为I,轮缘绕有软绳,下端挂有重量为P的体,绳与轮缘之间无滑动。在图示位置,由水平簧维持平衡。半径R与a均已知,求微振动的周
解:取轮的转角为坐标,顺时针为正,系统平衡0,则当轮子有转角时,系统有: ET
1
2I2
1P2g(R)21P222(IgR) U
12
k(a)
2
由d(E
PR2
TU)0可知:(I)
2
2
g
ka0
即:n
(rad/s),故
T
2
2
n
转
物弹期。 时
s)
(
2.11 弹簧悬挂一质量为m的物体,自由振动的周期为T,如果在m上附加一个质量m1,则弹簧的静伸长增加l,求当地的重力加速度。
解:
T2
2
k
4mT
m1gklg
klm1
4mlT
m1
2
2.12 用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重P,(b)与(c)中每个弹簧的弹性系数为k/2。(1)杆重不计;(2)若杆质量均匀,计入杆重。
解:取系统的摆角为坐标,静平衡时0 (a)若不计杆重,系统作微振动,则有:
ET
1P22(L) 2g
UPgL(1cos)
12
PgLPg
2
由d(ETU)0可知:即:n
2LPL0
rad/s)
如果考虑杆重,系统作微振动,则有:
1P22111Pm2222
(L)(mLL)(L)L 2g232g3
L2
Pg
mL2
ET
UPgL(1cos)mLg
(1cos)(gL
2
2
由d(ETU)0可知:(
Pg
mL
Pm2
)L(L)gL0 3g2
即:n
(rad/s)
(b)如果考虑杆重,系统作微振动,则有:
ET
1P22111Pm2222
(L)(mLL)(L)L 2g232g3Pg
mL2
U()gL
2
2
1kL2
()()2222
即:n
(rad/s)
(c)如果考虑杆重,系统作微振动,则有:
ET
1P22111Pm2222(L)(mLL)(L)L 2g232g3Pg
mL2
U(gL
2
2
1kL2
()()2222
即:n
(rad/s)
2.13 求如图所示系统的等效刚度,并把它写成与x的关系式。
2
2
答案:系统的运动微分方程mx
aba
2kx0
2.14 一台电机重470N,转速为1430r/min,固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点,如图所示。每根槽钢长1.2m,重65.28N,弯曲刚度EI=1.66105N·m2。
(a)不考虑槽钢质量,求系统的固有频率;
(b)设槽钢质量均布,考虑分布质量的影响,求系统的固有频率; (c)计算说明如何避开电机和系统的共振区。
2.15 一质量m固定于长L,弯曲刚度为EI,密度为的弹性梁的一端,如图所示,试以有效质量的概念计算其固有频率。
wL3/(3EI)
2.16 求等截面U形管内液体振动的周期,阻力不计,假定液柱总长度为L。
解:假设U形管内液柱长l,截面积为A,密度为,取系统静平衡时势能为0,左边液面下降x时,有: E1T
2Alx
2
UAxgx
由d(ETU)0可知:Alx
2gAx0
即:n
(rad/s)
,T
s)
2.17 水箱l与2的水平截面面积分别A1、A2,底部用截面为A0的细管连接。液面上下振动的固有频率。
为求
解:设液体密度为,取系统静平衡时势能为0,当左边液面下降x1时,右边液面上升x2,液体在水箱l与2和细管中的速度分别为x1,x2,x3,则有:
ET
12
1[A1(hx1)]x
A1A3
2
2
12
3[A3L]x
A1A2
1)]x
2
2
2
12
2[A2(hx2)]x
2
2
[A1hA3L()A2h(
1A2x2A3x3;A1x1A2x2) (由于:hx1h;hx2h;A1x
UAx1g
x1x2
2
A1A2
)L(
A1A3
1g(1)]x
A1A2
)x10
由d(ETU)0可知:[h(1
即:n
(rad/s)
2.18 如图所示,一个重W、面积为A的薄板悬挂在弹簧上,使之在粘性液体中振动。设T1、T2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。试证明:
2WgAT1T2
T2T2
2
2
并指出的意义(式中液体阻尼力Fd=•2Av)。
2.19 试证明:对数衰减率也可用下式表示
1n
ln
x0xn
,(式中xn是经过n个循
环后的振幅)。并给出在阻尼比为0.0l、0.1、0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。
解:设系统阻尼自由振动的响应为x(t);
t0时刻的位移为x0;tnt0nT时刻的位移为xn;则: x0xn
XeXe
nt0
cos(dt0)
n(t0nTd)
cos[d(t0nTd)]
x0x1
e
nnTd
1n
x0xn
所以有:ln
x0xn
nnTdnnln
,即:
ln
当振幅衰减到50%时,xn
0.5x0,即:n1)当 0.01时,n11;要11个循环; 2)当 0.1时,n1.1;要2个循环; 3)当 0.3时,n0.34;要1个循环;
1
ln2ln2
2
2.20 某双轴汽车的前悬架质量为m1=1151kg,前悬架刚度为k1=1.02105N/m,若假定前、后悬架的振动是独立的,试计算前悬架垂直振动的偏频。如果要求前悬架的阻尼比0.25,那么应给前悬架设计多大阻尼系数(c)的悬架减振器?
2.21 重量为P的物体,挂在弹簧的下端,产生静伸长,在上下运动时所遇到的阻力与速度v成正比。要保证物体不发生振动,求阻尼系数c的最低值。若物体在静平衡位置以初速度v0开始运动,求此后的运动规律。
解:设系统上下运动为x坐标系,系统的静平衡位置为原点,得到系统的运动微分方程为:
Pg
cxx
P
x0
系统的阻尼比
:
系统不振动条件为:
1,即:c2P/
物体在平衡位置以初速度0开始运动,即初始条件为:x
00
x00
此时系统的响应为:(可参考教材P22) 1)当1时:
x(t)e
nt
(A1e
nA2e
n
A1,2其中:
n
nt
nt
2) 当1时: x(t)A1e
即:x(t)0tet
n
A2te
A10
,其中:A
2
3) 当1时: x(t)et(C1cosdtC2sindt)
n
C01
其中:C20/
nd
,即:x(t)et
n
0d
sindt
2.22 一个重5500N的炮管具有刚度为3.03105N/m的驻退弹簧。如果发射时炮管后座1.2m,试求:
①炮管初始后座速度;
②减振器临界阻尼系数(它是在反冲结束时参加工作的); ③炮管返回到离初始位置0.05m时所需要的时间。 2.23 设系统阻尼比0.1,试按比例画出在
n
=0.5、1.0、2.0三种情况下
微分方程的向量关系图。
2.24 试指出在简谐激励下系统复频率响应、放大因子和品质因子之间的关系,并计算当0.2、n=5rad/s时系统的品质因子和带宽。
2.25 已知单自由度系统振动时其阻力为cv(其中c是常数,v是运动速度),激励为FFsint,当n即共振时,测得振动的振幅为X,求激励的幅值F0。若测得共振时加速度的幅值为A,求此时的F0。
2.26 某单自由度系统在液体中振动,它所受到的激励为F50cost(N),系统在周期T=0.20s时共振,振幅为0.005cm,求阻尼系数。
解:由T0.20s时共振可知,系统固有频率为:n
当n时,已知响应振幅: X所以:c
F010
5
2T
10
F0c
,(参教材P30)
(Ns/m)
X
2.27 一个具有结构阻尼的单自由度系统,在一周振动内耗散的能量为它的最大势能的1.2%,试计算其结构阻尼系数。
2.28 要使每一循环消耗的能量与频率比无关,需要多大的阻尼系数。
2.29 若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比,即
Fdax2
2
Fdax
0x0x
求其等效阻尼系数和共振时的振幅。
解:实际上,这是一种低粘度流体阻尼。
设系统的运动为:x(t)Xcos(t)
c
0000
/w
/w
dxx
d(A|H(w)|w)(wt)x
2
2
[a|H(w)|w(wt)][|H(w)|wAsin(wt)]dx
3aXA
33
2
/w
wAsin(t)dt
3
3
333
/w
awX
2
sin(t)dt
2
3
3
Xw[2(0)
43
(0)]
3
d
ax ax
2
3
2
32
d
83
3
83
ax
8ax3
3
2
CX
2
Ce
2.29
xXcos(t)
xXsin(t)
Wc
/
xdx
2
2
2
2
2//
xdx
2
2
/
Xsin(t)(Xcos(t))dt
2
2
2
2
2/
/
Xsin(t)(Xcos(t))dt
3
2
8X3
WPWCCX
2
C
X
8aX
3
3F08aX
2
F0c
X
3F0
2
8axwn
1
22wn
3F02a
2.29
x
Fd2
x
2
x0
T/4
2
x0
e
F
d
dx4
xdx
44
T/4
xdx
Zcos(t)dt
23
3
3
3
T/4
3
8Z3
PCCZ
2
e
Z
8
3
Z
Z
3F08Z
2
F0C0
2.30 KGlⅡ电动机重P,装在弹性基础上,静下沉量为。当转速为nr/min时,由于转子失衡,沿竖向有正弦激励,电机产生振幅为A的强迫振动。试求激励的幅值,不计阻尼。
2.31 电动机重P,装在弹性梁上,使梁有静挠度。转子重Q,偏心距为e。试求当转速为时,电动机上下强迫振动的振幅A,不计梁重。
2.32 一飞机升降舵的调整片铰接于升降舵的O轴上(图T—2.32),并由一联动装置控制。该装置相当于一刚度为kT的扭转弹簧。调整片转动惯量为
I
,因而系统固有频率nKT/I,
但因kT不能精确计算,必须用试验测定n。为此固定升降舵,利用弹簧k2对调整片做简谐激励,并用弹簧k1来抑制。改变激励频率直至达到其共振频率图 T—2.32
T。试以T和试
验装置的参数来表示调整片的固有频率n。
解:设调整片的转角为,系统的微分方程为:
I[kT(k1k2
)L2]k2Lysint 系统的共振频率为:2
kT(k1k2)L
2
I
因此:k2TI0(k1k2)L2
调整片的固有频率为:2n
2.33 如图所示由悬架支承的车辆沿高低平的道路行进。试求W的振幅与行进速度关系,并确定最不利的行进速度。
解:由题目
2.33 T
V
不的
w
2VL
2T
2VL
yYcos
t
wXK(xy)
wXKYcos
2VL
t
2VL
wXKxKYcoswSX(s)KX(s)KYX(s)
KY
(s(
2
2VL
2VL2
t
2
(
2VL
22V2
)sL
Kw
))(wsK)
2
n
2
X
X
2nY
2n
2
a
2
sina
Y
2
2aY
na
22
sinnt
Y
2/n
1(a/)0
2n
1(a)
2
Y14
Vw2KL2
2
KLYKLTVw
2
2
2
2
V
2
k/w
2.33
2T
TvL
2vL
mXKXKy
XnXny X
XV
2
22
Yn
2
22
n
Yn
2
2
Yn
222v2L
n
2
n4
2
RL
2
4m
2
2.34 单摆悬点沿水平方向做简谐运动(图T—2.34),=asin。试求在微幅的t强迫振动中偏角的变化规律。已知摆长为L,摆锤质量为m。
2.35 一个重90N的飞机无线电要与发动机的频率1600~2200r/min范围的振动隔离,为了隔离85%,隔振器的静变形需要多少? 2.36 试从式(2.95)证明:
1. 无论阻尼比取何值,在频率比/n2. 在/n大而增大。
2时,恒有X=A。
2,X/A随增大而减小,而在/n
2,X/A随增
2.37 某位移传感器固有频率为4.75Hz,阻尼比=0.65。试估计所能测量的最低频率,设要求误差≤1%,≤2%。
2.38 一位移传感器的固有频为率2Hz,无阻尼,用以测量频率为8Hz的简谐振动,测得振幅为0.132cm。问实际振幅是多少?误差为多少?
2.39 一振动记录仪的固有频率为fn=3.0Hz,阻尼比=0.50。用其测量某物体的振动,物体的运动方程已知为
x=2.05sin4t+1.0sin8t (cm)
证明:振动记录仪的振动z将为
z=1.03sin(4t-500)+1.15sin(8t-1200)(cm)
2.40 求单自由度无阻尼系统对图所示激励的响应,设初始条件为零。
解:
a
nt
h(t)
1md
e
sindt
sin[d(t)]
h(t)
md
e
n(t)
h(t)
md
sindt
1md
h(t2)X(t)
sin[d(t)]
F1R
t
dcosn(t)
t01mn
(cosnt)
F1
sinn(t)d(t)
X(t)
t
F1(t)h(t)d
t
t1
F2(t)h(t)d
F1R
[cosn(tt1)]
F2R
[1cosn(tt1)]
X(t)
b
t1
F1(t)h(t)d
t
t1
F2(t)h(t)d
F2R
t
t2
0*h(t2)
F1R
[cosn(tt1)cosnt][cosn(tt2)cosn(tt1)]
F()X(t)
X(t)
C
F0t1t
t F(t)F(t)h(t)[
tt1
sinnt
F0t1
(t) [
tF0t1
1n
(t)dcosnt
F0R
nt1
]
t1
F1()h(t)d
t
t1
0*h(t)d
F1R
[cosn(tt1)]
sinn(tt1)sinnt
nt
]
F()X(t)
F0t1
t F(t)
F0t1
(t)
[1cosn(ttt)
1
t
F(t)h(t)d
F1R
nt1
sinnt]
X(t)
t1
F1()h(t)d
t
t1
0*h(t)d
F1R
[cosnt
sinn(tt1)sinnt
nt
]
2.41 求图T—2.41所示系统的传递函数,这里激励是x3(t)。
2.42 一弹簧质量系统从一倾斜角为300光滑斜面下滑,如图所示。求弹簧与墙壁始接触到脱离接触的时间。
解:弹簧接触墙壁时,m的速度为:
0
的开
以接触时m的位置为原点,斜下方为正,则m的微分方程为:
kxmgsin30 mx
x00
考虑到系统的初始条件:x
0x(t)
0x
sinnt
mgsin30
k
(1cosnt)
其中:n
n
当m与墙壁脱离时应有x(t1)0 故由:x(t1)
nt1
mg2k
(1cosnt1)0
n
可得到:t1(
也就是弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间。
2.43 一个高F0、宽t0的矩形脉冲力加到单自由度无阻尼系统上,把这个矩形脉冲力看做两个阶跃脉冲力之和,如图所示。用叠加原理求t>t0后的响应。
2.44 如图T—2.44所示,系统支承受凸轮作用,运动波形为图中所示的锯齿波,求系统的稳态响应。
2.45 证明式(2.136),即卷积积分满足交换律
h(t)F(t)F(t)h(t)
3.1 如图所示扭转系统。设I12I2;kt1kt2
1.写出系统的刚度矩阵和质量矩阵;
2.写出系统的频率方程并求出固有频率和振型,画出振型图。
解:1)以静平衡位置为原点,设I1,I2的转角1,2为广义坐标,画出I1,I2隔离体,根据牛顿第二定律得到运动微分方程:
I11kt11kt2(12)0I11(kt1kt2)1kt220
,即:
I22kt2(21)0I22kt21kt220
所以:M1
0
I
0kt1kt2
,KI2kt2kt2
kt2
11
系统运动微分方程可写为:MK0 ………… (a)
22
或者采用能量法:系统的动能和势能分别为
122
I11I22 2211112222
Ukt11kt2(12)(kt1kt2)1kt22kt112
2222ET
1
求偏导也可以得到M,K
由于I12I2;kt1kt2,所以MI2,Kkt1
011
2
0
2
1
1
1u1
2)设系统固有振动的解为: cost,代入(a)可得:
2u2
(K
2
u1M)0 ………… (b)
u2
2
得到频率方程:()
2kt12I2
kt1
2
kt1kt1I2
2
0
即:(2)2I2244kt1I22kt120
解得:1,2
2
4I2
(2
2
kt1
I2
所以:1
………… (c)
将(c)代入(b)可得:
(2kt12k2I2t1
2I2
kt1
u10
(2kt1u2kt1I2
2I2
kt1
解得:
u11u21
2
;
u12u22
2
令u21,得到系统的振型为:
1
0.707
-0.707
3.2 求图所示系统的固有频率和振型。设m13m2;k33k23k1。并画出振型图。
解:1)以静平衡位置为原点,设m1,m2的位移x1,x2为广义坐标,画出m1,m2隔离体,根据牛顿第二定律得到运动微分方程:
x1k1x1k2(x1x2)0m1
mxk(xx)kx02213222
所以:M1
0
m
0k1k2
,Km2k2k2
k2k3
xx
系统运动微分方程可写为:M1K10 ………… (a)
x2x2
或者采用能量法:系统的动能和势能分别为
ETU
12121m1x
2
2
12
2m2x
2
2
k1x1
12
k2(x1x2)
12
k3x2
2
求偏导也可以得到M,K
3
由于m13m2;k33k23k1,所以Mm2
0
02,Kk211
1
4
2)设系统固有振动的解为:
x1u1
cost,代入(a)可得: x2u2
u1
(KM)0 ………… (b)
u2
2
2
得到频率方程:()
2k23m2
k2
2
k2
4k2m2
2
0
即:(2)3m22414k2m227k220 解得:1,2
2
6m2
(7k2
3
m2
所以:1
2
………… (c)
将(c)代入(b)可得:
(7k22k3m22
3m2
k2
k2
u10
u2
4k2m2
3m2
解得:
u11u21
5
3
;
u12u22
53
令u21,得到系统的振型为 :
0.09
-3.430
3.3 如图所示弹簧质量系统,写出系统的频率方程并求出固有频率和振型,画出振型图。
解:以静平衡位置为原点,设m1,m2的位移x1,x2为广义坐标,
系统的动能和势能分别为
ETU12121mx22122mx2 2kx112k(x1x2)mg(x1x2) 求得:Mm,Kk011
系统运动微分方程可写为:M1021 1x1x1K0 ………… (a) x2x2
设系统固有振动的解为: x1u1cost,代入(a)可得:
x2u2
u1(KM)0 ………… (b)
u22
2
得到频率方程:()2kmk2kkm20 即:(2)m243km2k20 解得:1,222m
所以:1
2 ………… (c) 将(c)代入(b)可得:
2km2m
ku10
u2(3kkm2mk
解得:u11
u21
12;u12u2212
令u21,得到系统的振型为:
1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。
1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去,在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下,画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图,并指出在这种化简情况下,汽车振动有几个自由度?
1.3 设有两个刚度分别为k1,k2的线性弹簧如图T—1.3所示,试证明: 1)它们并联时的总刚度keq为:keqk1k2 2)它们串联时的总刚度keq满足:
1k11
eq
k1
k2
解:1)对系统施加力P,则两个弹簧的变形相同为x,但受力不同,分
别为:
P1k1x
P2k2
x 由力的平衡有:PP1P2(k1k2)x 故等效刚度为:kPeq
x
k1k2
2)对系统施加力P,则两个弹簧的变形为:
Px
1k
1
,弹簧的总变形为:xxx1112P(k) x1k2
2Pk2 故等效刚度为:1Pk2k
eq
x
k1k2k
1
11
k1
k
2
1.4 求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为kt1,kt2。
解:对系统施加扭矩T,则两轴的转角为:
T
1k
t1
T
2kt2系统的总转角为: 12T(
1k1),
1
(
1
1t1
kt2
keqT
kt1
k)t2
故等效刚度为:
11
k
1
eq
kt1
kt2
1.5 两只减振器的粘性阻尼系数分别为c1,c2,试计算总粘性阻尼系数ceq 1)在两只减振器并联时, 2)在两只减振器串联时。
,受力分别为: 解:1)对系统施加力P,则两个减振器的速度同为x
P1c1x
Pcx22
由力的平衡有:PP1P2(c1c2)x
故等效刚度为:ceq
Px
c1c2
2)对系统施加力P,则两个减振器的速度为:
P
1xc111
xxxP() ,系统的总速度为:12
Pc1c2
x2c2
故等效刚度为:ceq
Px
1c1
1c2
1.6 一简谐运动,振幅为0.5cm,周期为0.15s,求最大速度和加速度。
223
解:简谐运动的n(rad/s),振幅为510m;
T0.15
23
x510cos(t)(m)0.15
22
5103tsin(t)(m/s)即:x
0.150.15
22322
x510(t)cos(t)(m/s)
0.150.15
2
max5103x(m/s)0.15
所以:
2322xmax510()(m/s)
0.15
1.7 一加速度计指示出结构振动频率为82Hz,并具有最大加速度50g,求振动的振幅。
xmaxAn可知: 解:由
2
A
xmax
n
2
xmax(2f)
2
509.8m/s
2
22
(225)1/s
9.850
2
m
1.8 证明:两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动,即:AcostBcos(t)Ccos(t),并讨论0,/2,三种特例。
证明:
AcostBcos(t)
AcostBcostcosBsintsin(ABcos)costBsinsint
t)t)
Ccos(t)
Bsin
arctg()ABcos其中: C1)当0时:0;CAB; 2)当
时:arctg(B/A);C
2
3)当时:0;CAB;
1.9 把复数4+5i表示为指数形式。
解:4+5i=Aei
,其中:A
5,arctg()
4
1.10 证明:一个复向量用i相乘,等于把它旋转/2。
证明:AeiAee
i
i
i
2
Ae
i
2
1.11 证明:梯度算子是线性微分算子,即
[af(x,y,z)bg(x,y,z)]af(x,y,z)bg(x,y,z)
这里,a,b是与x、y、z无关的常数。
1.12 求函数g(t)AcosptBcosqt的均方值。考虑p与q之间的如下三种关系:
① qnp,这里n为正整数; ② q/p为有理数; ③ q/p为无理数。
1.13 汽车悬架减振器机械式常规性能试验台,其结构形式之一如图T—1.13所示。其激振器为曲柄滑块机构,在导轨下面垂向连接被试减振器。试分析减振器试验力学的基本规律(位移、速度、加速度、阻尼力)。
图 T—1.13
1.14 汽车悬架减振器机械式常规性能试验台的另一种结构形式如图T—1.14所示。其激振器采用曲柄滑块连杆机构,曲柄被驱动后,通过连杆垂向带动与滑块连接的被试减振器。试分析在这种试验台上的减振器试验力学的基本规律,并与前题比较。
图 T—1.14
2.1 弹簧下悬挂一物体,弹簧静伸长为。设将物体向下拉,使弹簧有静伸长3,然后无初速度地释放,求此后的运动方程。
解:设物体质量为m,弹簧刚度为k,则:
mg
k,即:n
取系统静平衡位置为原点x0,系统运动方程为:
mxkx0
x02x00
(参考教材P14)
解得:x(t)2cosnt
2.2 弹簧不受力时长度为65cm,下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放,试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解:由题可知:弹簧的静伸长0.850.650.2(m)
所以:n
7(rad/s)
取系统的平衡位置为原点,得到:
2
xnx0 系统的运动微分方程为:
x(0)0.2
其中,初始条件: (参考教材P14)
x(0)0
所以系统的响应为:x(t)0.2cosnt(m) 弹簧力为:Fkkx(t)
mg
x(t)cosnt(N) 27
(s)、弹簧力最大值为1N。
因此:振幅为0.2m、周期为
2.3 重物m1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置,另一重物m2从高度为
h处自由落到m1上而无弹跳,如图所示,求其后的运动。
解:取系统的上下运动x为坐标,向上为正,静平衡位置为原点x0,则当m有x位移时,系统有:
ETU
1212
(m1m2)x
2
2
kx
kx0 由d(ETU)0可知:(m1m2)x
即:n
xm2g
0系统的初始条件为:0x12
(能量守恒得:m2gh
12
0(m1m2)x
2
)
因此系统的响应为:x(t)A0cosntA1sinnt
Axm2g
00其中
:0xA1
n
m2gk
(cosnt
即:x(t)
nt)
2.4 一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动,圆心受到一弹簧k约束,如图所示,求系统的固有频率。 解:取圆柱体的转角为坐标,逆时针为正,静平衡位置时0,则当m有转角时,系统有:
ETU
12
112222
Im(r)(Imr) 222k(r)
2
1
kr20 由d(ETU)0可知:(Imr2)
即:n
(rad/s)
2.5 均质杆长L、重G,用两根长h的铅垂线挂成水平位置,如图所示,试求微幅振动的周期。
此杆相对铅垂轴OO
2.6 求如图所示系统的周期,三个弹簧都成铅垂,且k22k1,k3k1。
解:取m的上下运动x为坐标,向上为正,静平衡位置为原点x0,则当m有x位移时,系统有: E1T2mx
2 U
152
k22kx2
12
k1x
2
6
k1x
(其中:k
k1k)
1k2
由d(E5TU)0可知:mx
3
k1x0
即:nrad/s)
,T2
(s)
2.7 如图所示,半径为r的均质圆柱可在半径为R的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O为平衡位置左右微摆,试导出柱体的摆动方程,求其固有频率。
解:设物体重量W,摆角坐标如图所示,逆时针为正,当系统有摆角时,则:
UW(Rr)(1cos)W(Rr)
2
2
为圆柱体转角速度,质心的瞬时速度: 设
,即:c(Rr)r
(Rr)
r
记圆柱体绕瞬时接触点A的转动惯量为IA,则:
IAIC
Wgr
2
1W2g
r
2
Wg
r
2
ET
12
IA
2
13W2Rr23W22
(r)()(Rr) 22gr4g
12
1W2g
22
(Rr),转动和平动的动能)
(或者理解为:ET
Ic
2
由d(ETU)0可知:
即:n
3W2g
2(Rr)W(Rr)0
rad/s)
2.8 横截面面积为A,质量为m的圆柱形浮静止在比重为的液体中。设从平衡位置压
距离x(见图),然后无初速度地释放,若不计尼,求浮子其后的运动。
解:建立如图所示坐标系,系统平衡时x0,由牛顿第二定律得:
(Ax)g0,即:nmx
子低阻
有初始条件为:
x0x
00x
所以浮子的响应为:x(t)xsin(2
)
2.9 求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O1,O2转动,它们相互啮合,不能相对滑动,在图示位置(半径O1A与O2B在同一水平线上),弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘,质量分别为m1,m2。
解:两轮的质量分别为m1,m2,因此轮的半径比为:
r1r2
由于两轮无相对滑动,因此其转角比为:
12
r2r1
1
2
取系统静平衡时10,则有:
[1**********](m1r1)1(m2r2)2(m1m2)r11 [1**********]
Uk1(r11)k2(r22)(k1k2)(r11)
222
12(kk)r20 由d(ETU)0可知:(m1m2)r12112112ET
即:n
(rad/s)
,T2
(s)
2.10 如图所示,轮子可绕水平轴转动,对转轴的动惯量为I,轮缘绕有软绳,下端挂有重量为P的体,绳与轮缘之间无滑动。在图示位置,由水平簧维持平衡。半径R与a均已知,求微振动的周
解:取轮的转角为坐标,顺时针为正,系统平衡0,则当轮子有转角时,系统有: ET
1
2I2
1P2g(R)21P222(IgR) U
12
k(a)
2
由d(E
PR2
TU)0可知:(I)
2
2
g
ka0
即:n
(rad/s),故
T
2
2
n
转
物弹期。 时
s)
(
2.11 弹簧悬挂一质量为m的物体,自由振动的周期为T,如果在m上附加一个质量m1,则弹簧的静伸长增加l,求当地的重力加速度。
解:
T2
2
k
4mT
m1gklg
klm1
4mlT
m1
2
2.12 用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重P,(b)与(c)中每个弹簧的弹性系数为k/2。(1)杆重不计;(2)若杆质量均匀,计入杆重。
解:取系统的摆角为坐标,静平衡时0 (a)若不计杆重,系统作微振动,则有:
ET
1P22(L) 2g
UPgL(1cos)
12
PgLPg
2
由d(ETU)0可知:即:n
2LPL0
rad/s)
如果考虑杆重,系统作微振动,则有:
1P22111Pm2222
(L)(mLL)(L)L 2g232g3
L2
Pg
mL2
ET
UPgL(1cos)mLg
(1cos)(gL
2
2
由d(ETU)0可知:(
Pg
mL
Pm2
)L(L)gL0 3g2
即:n
(rad/s)
(b)如果考虑杆重,系统作微振动,则有:
ET
1P22111Pm2222
(L)(mLL)(L)L 2g232g3Pg
mL2
U()gL
2
2
1kL2
()()2222
即:n
(rad/s)
(c)如果考虑杆重,系统作微振动,则有:
ET
1P22111Pm2222(L)(mLL)(L)L 2g232g3Pg
mL2
U(gL
2
2
1kL2
()()2222
即:n
(rad/s)
2.13 求如图所示系统的等效刚度,并把它写成与x的关系式。
2
2
答案:系统的运动微分方程mx
aba
2kx0
2.14 一台电机重470N,转速为1430r/min,固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点,如图所示。每根槽钢长1.2m,重65.28N,弯曲刚度EI=1.66105N·m2。
(a)不考虑槽钢质量,求系统的固有频率;
(b)设槽钢质量均布,考虑分布质量的影响,求系统的固有频率; (c)计算说明如何避开电机和系统的共振区。
2.15 一质量m固定于长L,弯曲刚度为EI,密度为的弹性梁的一端,如图所示,试以有效质量的概念计算其固有频率。
wL3/(3EI)
2.16 求等截面U形管内液体振动的周期,阻力不计,假定液柱总长度为L。
解:假设U形管内液柱长l,截面积为A,密度为,取系统静平衡时势能为0,左边液面下降x时,有: E1T
2Alx
2
UAxgx
由d(ETU)0可知:Alx
2gAx0
即:n
(rad/s)
,T
s)
2.17 水箱l与2的水平截面面积分别A1、A2,底部用截面为A0的细管连接。液面上下振动的固有频率。
为求
解:设液体密度为,取系统静平衡时势能为0,当左边液面下降x1时,右边液面上升x2,液体在水箱l与2和细管中的速度分别为x1,x2,x3,则有:
ET
12
1[A1(hx1)]x
A1A3
2
2
12
3[A3L]x
A1A2
1)]x
2
2
2
12
2[A2(hx2)]x
2
2
[A1hA3L()A2h(
1A2x2A3x3;A1x1A2x2) (由于:hx1h;hx2h;A1x
UAx1g
x1x2
2
A1A2
)L(
A1A3
1g(1)]x
A1A2
)x10
由d(ETU)0可知:[h(1
即:n
(rad/s)
2.18 如图所示,一个重W、面积为A的薄板悬挂在弹簧上,使之在粘性液体中振动。设T1、T2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。试证明:
2WgAT1T2
T2T2
2
2
并指出的意义(式中液体阻尼力Fd=•2Av)。
2.19 试证明:对数衰减率也可用下式表示
1n
ln
x0xn
,(式中xn是经过n个循
环后的振幅)。并给出在阻尼比为0.0l、0.1、0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。
解:设系统阻尼自由振动的响应为x(t);
t0时刻的位移为x0;tnt0nT时刻的位移为xn;则: x0xn
XeXe
nt0
cos(dt0)
n(t0nTd)
cos[d(t0nTd)]
x0x1
e
nnTd
1n
x0xn
所以有:ln
x0xn
nnTdnnln
,即:
ln
当振幅衰减到50%时,xn
0.5x0,即:n1)当 0.01时,n11;要11个循环; 2)当 0.1时,n1.1;要2个循环; 3)当 0.3时,n0.34;要1个循环;
1
ln2ln2
2
2.20 某双轴汽车的前悬架质量为m1=1151kg,前悬架刚度为k1=1.02105N/m,若假定前、后悬架的振动是独立的,试计算前悬架垂直振动的偏频。如果要求前悬架的阻尼比0.25,那么应给前悬架设计多大阻尼系数(c)的悬架减振器?
2.21 重量为P的物体,挂在弹簧的下端,产生静伸长,在上下运动时所遇到的阻力与速度v成正比。要保证物体不发生振动,求阻尼系数c的最低值。若物体在静平衡位置以初速度v0开始运动,求此后的运动规律。
解:设系统上下运动为x坐标系,系统的静平衡位置为原点,得到系统的运动微分方程为:
Pg
cxx
P
x0
系统的阻尼比
:
系统不振动条件为:
1,即:c2P/
物体在平衡位置以初速度0开始运动,即初始条件为:x
00
x00
此时系统的响应为:(可参考教材P22) 1)当1时:
x(t)e
nt
(A1e
nA2e
n
A1,2其中:
n
nt
nt
2) 当1时: x(t)A1e
即:x(t)0tet
n
A2te
A10
,其中:A
2
3) 当1时: x(t)et(C1cosdtC2sindt)
n
C01
其中:C20/
nd
,即:x(t)et
n
0d
sindt
2.22 一个重5500N的炮管具有刚度为3.03105N/m的驻退弹簧。如果发射时炮管后座1.2m,试求:
①炮管初始后座速度;
②减振器临界阻尼系数(它是在反冲结束时参加工作的); ③炮管返回到离初始位置0.05m时所需要的时间。 2.23 设系统阻尼比0.1,试按比例画出在
n
=0.5、1.0、2.0三种情况下
微分方程的向量关系图。
2.24 试指出在简谐激励下系统复频率响应、放大因子和品质因子之间的关系,并计算当0.2、n=5rad/s时系统的品质因子和带宽。
2.25 已知单自由度系统振动时其阻力为cv(其中c是常数,v是运动速度),激励为FFsint,当n即共振时,测得振动的振幅为X,求激励的幅值F0。若测得共振时加速度的幅值为A,求此时的F0。
2.26 某单自由度系统在液体中振动,它所受到的激励为F50cost(N),系统在周期T=0.20s时共振,振幅为0.005cm,求阻尼系数。
解:由T0.20s时共振可知,系统固有频率为:n
当n时,已知响应振幅: X所以:c
F010
5
2T
10
F0c
,(参教材P30)
(Ns/m)
X
2.27 一个具有结构阻尼的单自由度系统,在一周振动内耗散的能量为它的最大势能的1.2%,试计算其结构阻尼系数。
2.28 要使每一循环消耗的能量与频率比无关,需要多大的阻尼系数。
2.29 若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比,即
Fdax2
2
Fdax
0x0x
求其等效阻尼系数和共振时的振幅。
解:实际上,这是一种低粘度流体阻尼。
设系统的运动为:x(t)Xcos(t)
c
0000
/w
/w
dxx
d(A|H(w)|w)(wt)x
2
2
[a|H(w)|w(wt)][|H(w)|wAsin(wt)]dx
3aXA
33
2
/w
wAsin(t)dt
3
3
333
/w
awX
2
sin(t)dt
2
3
3
Xw[2(0)
43
(0)]
3
d
ax ax
2
3
2
32
d
83
3
83
ax
8ax3
3
2
CX
2
Ce
2.29
xXcos(t)
xXsin(t)
Wc
/
xdx
2
2
2
2
2//
xdx
2
2
/
Xsin(t)(Xcos(t))dt
2
2
2
2
2/
/
Xsin(t)(Xcos(t))dt
3
2
8X3
WPWCCX
2
C
X
8aX
3
3F08aX
2
F0c
X
3F0
2
8axwn
1
22wn
3F02a
2.29
x
Fd2
x
2
x0
T/4
2
x0
e
F
d
dx4
xdx
44
T/4
xdx
Zcos(t)dt
23
3
3
3
T/4
3
8Z3
PCCZ
2
e
Z
8
3
Z
Z
3F08Z
2
F0C0
2.30 KGlⅡ电动机重P,装在弹性基础上,静下沉量为。当转速为nr/min时,由于转子失衡,沿竖向有正弦激励,电机产生振幅为A的强迫振动。试求激励的幅值,不计阻尼。
2.31 电动机重P,装在弹性梁上,使梁有静挠度。转子重Q,偏心距为e。试求当转速为时,电动机上下强迫振动的振幅A,不计梁重。
2.32 一飞机升降舵的调整片铰接于升降舵的O轴上(图T—2.32),并由一联动装置控制。该装置相当于一刚度为kT的扭转弹簧。调整片转动惯量为
I
,因而系统固有频率nKT/I,
但因kT不能精确计算,必须用试验测定n。为此固定升降舵,利用弹簧k2对调整片做简谐激励,并用弹簧k1来抑制。改变激励频率直至达到其共振频率图 T—2.32
T。试以T和试
验装置的参数来表示调整片的固有频率n。
解:设调整片的转角为,系统的微分方程为:
I[kT(k1k2
)L2]k2Lysint 系统的共振频率为:2
kT(k1k2)L
2
I
因此:k2TI0(k1k2)L2
调整片的固有频率为:2n
2.33 如图所示由悬架支承的车辆沿高低平的道路行进。试求W的振幅与行进速度关系,并确定最不利的行进速度。
解:由题目
2.33 T
V
不的
w
2VL
2T
2VL
yYcos
t
wXK(xy)
wXKYcos
2VL
t
2VL
wXKxKYcoswSX(s)KX(s)KYX(s)
KY
(s(
2
2VL
2VL2
t
2
(
2VL
22V2
)sL
Kw
))(wsK)
2
n
2
X
X
2nY
2n
2
a
2
sina
Y
2
2aY
na
22
sinnt
Y
2/n
1(a/)0
2n
1(a)
2
Y14
Vw2KL2
2
KLYKLTVw
2
2
2
2
V
2
k/w
2.33
2T
TvL
2vL
mXKXKy
XnXny X
XV
2
22
Yn
2
22
n
Yn
2
2
Yn
222v2L
n
2
n4
2
RL
2
4m
2
2.34 单摆悬点沿水平方向做简谐运动(图T—2.34),=asin。试求在微幅的t强迫振动中偏角的变化规律。已知摆长为L,摆锤质量为m。
2.35 一个重90N的飞机无线电要与发动机的频率1600~2200r/min范围的振动隔离,为了隔离85%,隔振器的静变形需要多少? 2.36 试从式(2.95)证明:
1. 无论阻尼比取何值,在频率比/n2. 在/n大而增大。
2时,恒有X=A。
2,X/A随增大而减小,而在/n
2,X/A随增
2.37 某位移传感器固有频率为4.75Hz,阻尼比=0.65。试估计所能测量的最低频率,设要求误差≤1%,≤2%。
2.38 一位移传感器的固有频为率2Hz,无阻尼,用以测量频率为8Hz的简谐振动,测得振幅为0.132cm。问实际振幅是多少?误差为多少?
2.39 一振动记录仪的固有频率为fn=3.0Hz,阻尼比=0.50。用其测量某物体的振动,物体的运动方程已知为
x=2.05sin4t+1.0sin8t (cm)
证明:振动记录仪的振动z将为
z=1.03sin(4t-500)+1.15sin(8t-1200)(cm)
2.40 求单自由度无阻尼系统对图所示激励的响应,设初始条件为零。
解:
a
nt
h(t)
1md
e
sindt
sin[d(t)]
h(t)
md
e
n(t)
h(t)
md
sindt
1md
h(t2)X(t)
sin[d(t)]
F1R
t
dcosn(t)
t01mn
(cosnt)
F1
sinn(t)d(t)
X(t)
t
F1(t)h(t)d
t
t1
F2(t)h(t)d
F1R
[cosn(tt1)]
F2R
[1cosn(tt1)]
X(t)
b
t1
F1(t)h(t)d
t
t1
F2(t)h(t)d
F2R
t
t2
0*h(t2)
F1R
[cosn(tt1)cosnt][cosn(tt2)cosn(tt1)]
F()X(t)
X(t)
C
F0t1t
t F(t)F(t)h(t)[
tt1
sinnt
F0t1
(t) [
tF0t1
1n
(t)dcosnt
F0R
nt1
]
t1
F1()h(t)d
t
t1
0*h(t)d
F1R
[cosn(tt1)]
sinn(tt1)sinnt
nt
]
F()X(t)
F0t1
t F(t)
F0t1
(t)
[1cosn(ttt)
1
t
F(t)h(t)d
F1R
nt1
sinnt]
X(t)
t1
F1()h(t)d
t
t1
0*h(t)d
F1R
[cosnt
sinn(tt1)sinnt
nt
]
2.41 求图T—2.41所示系统的传递函数,这里激励是x3(t)。
2.42 一弹簧质量系统从一倾斜角为300光滑斜面下滑,如图所示。求弹簧与墙壁始接触到脱离接触的时间。
解:弹簧接触墙壁时,m的速度为:
0
的开
以接触时m的位置为原点,斜下方为正,则m的微分方程为:
kxmgsin30 mx
x00
考虑到系统的初始条件:x
0x(t)
0x
sinnt
mgsin30
k
(1cosnt)
其中:n
n
当m与墙壁脱离时应有x(t1)0 故由:x(t1)
nt1
mg2k
(1cosnt1)0
n
可得到:t1(
也就是弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间。
2.43 一个高F0、宽t0的矩形脉冲力加到单自由度无阻尼系统上,把这个矩形脉冲力看做两个阶跃脉冲力之和,如图所示。用叠加原理求t>t0后的响应。
2.44 如图T—2.44所示,系统支承受凸轮作用,运动波形为图中所示的锯齿波,求系统的稳态响应。
2.45 证明式(2.136),即卷积积分满足交换律
h(t)F(t)F(t)h(t)
3.1 如图所示扭转系统。设I12I2;kt1kt2
1.写出系统的刚度矩阵和质量矩阵;
2.写出系统的频率方程并求出固有频率和振型,画出振型图。
解:1)以静平衡位置为原点,设I1,I2的转角1,2为广义坐标,画出I1,I2隔离体,根据牛顿第二定律得到运动微分方程:
I11kt11kt2(12)0I11(kt1kt2)1kt220
,即:
I22kt2(21)0I22kt21kt220
所以:M1
0
I
0kt1kt2
,KI2kt2kt2
kt2
11
系统运动微分方程可写为:MK0 ………… (a)
22
或者采用能量法:系统的动能和势能分别为
122
I11I22 2211112222
Ukt11kt2(12)(kt1kt2)1kt22kt112
2222ET
1
求偏导也可以得到M,K
由于I12I2;kt1kt2,所以MI2,Kkt1
011
2
0
2
1
1
1u1
2)设系统固有振动的解为: cost,代入(a)可得:
2u2
(K
2
u1M)0 ………… (b)
u2
2
得到频率方程:()
2kt12I2
kt1
2
kt1kt1I2
2
0
即:(2)2I2244kt1I22kt120
解得:1,2
2
4I2
(2
2
kt1
I2
所以:1
………… (c)
将(c)代入(b)可得:
(2kt12k2I2t1
2I2
kt1
u10
(2kt1u2kt1I2
2I2
kt1
解得:
u11u21
2
;
u12u22
2
令u21,得到系统的振型为:
1
0.707
-0.707
3.2 求图所示系统的固有频率和振型。设m13m2;k33k23k1。并画出振型图。
解:1)以静平衡位置为原点,设m1,m2的位移x1,x2为广义坐标,画出m1,m2隔离体,根据牛顿第二定律得到运动微分方程:
x1k1x1k2(x1x2)0m1
mxk(xx)kx02213222
所以:M1
0
m
0k1k2
,Km2k2k2
k2k3
xx
系统运动微分方程可写为:M1K10 ………… (a)
x2x2
或者采用能量法:系统的动能和势能分别为
ETU
12121m1x
2
2
12
2m2x
2
2
k1x1
12
k2(x1x2)
12
k3x2
2
求偏导也可以得到M,K
3
由于m13m2;k33k23k1,所以Mm2
0
02,Kk211
1
4
2)设系统固有振动的解为:
x1u1
cost,代入(a)可得: x2u2
u1
(KM)0 ………… (b)
u2
2
2
得到频率方程:()
2k23m2
k2
2
k2
4k2m2
2
0
即:(2)3m22414k2m227k220 解得:1,2
2
6m2
(7k2
3
m2
所以:1
2
………… (c)
将(c)代入(b)可得:
(7k22k3m22
3m2
k2
k2
u10
u2
4k2m2
3m2
解得:
u11u21
5
3
;
u12u22
53
令u21,得到系统的振型为 :
0.09
-3.430
3.3 如图所示弹簧质量系统,写出系统的频率方程并求出固有频率和振型,画出振型图。
解:以静平衡位置为原点,设m1,m2的位移x1,x2为广义坐标,
系统的动能和势能分别为
ETU12121mx22122mx2 2kx112k(x1x2)mg(x1x2) 求得:Mm,Kk011
系统运动微分方程可写为:M1021 1x1x1K0 ………… (a) x2x2
设系统固有振动的解为: x1u1cost,代入(a)可得:
x2u2
u1(KM)0 ………… (b)
u22
2
得到频率方程:()2kmk2kkm20 即:(2)m243km2k20 解得:1,222m
所以:1
2 ………… (c) 将(c)代入(b)可得:
2km2m
ku10
u2(3kkm2mk
解得:u11
u21
12;u12u2212
令u21,得到系统的振型为: