专题四椭圆离心率的求法
1. 如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）
A. B. C. D.
[答案] D
[解析] 设
所以
所以，，因为点，即，即在椭圆，又四边形， 上， 为矩形，
解方程组
设双曲线得的实轴长为
， ，焦距为，，则， ，
所以双曲线的离心率为
.
2.三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形，已知点
如果以是椭圆的一个短轴端点，为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率取值范围是（ ）
A．
[答案
] B B． C． D．
[解析] 设椭圆C的方程为：，设直线、，由题意可得直线与直线与椭圆相交所得的弦长相等，联立直线与椭圆C的方程得，所截得的弦长为，用代替k可得直线与椭圆C的方程得，所截得的弦长为，两个弦长相等得，欲使以为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，只需使方程
有三个不同的正实根即可，令，则，又因为，所以只需使即可，整理得离心率的范围，又因为椭圆的离心率小于1，所以.
，椭圆3. 在同一坐标系中，离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点
与双曲线的一个交点与两焦点的连线互相垂直，则 ( )
(A) 2 （B）3 （C） （D）
[答案] A
[解析] 依题意，设焦距为
由椭圆的定义知
由双曲线的定义知
又
由①，②得，椭圆长轴长，① ，② ， ， ，双曲线实轴长，令点在上去先的右支上，
，即
，故.
4. 已知椭圆
范围为（ ）
A.
B.
C.
D. 与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值
[答案] A
[解析]椭圆：
，解得
椭圆的离心率
故椭圆的离心率的取值范围是. 与双曲线， ，又， 有相同的焦点，，
5. 椭圆+=1(a>b>0) 的右焦点为F, 其右准线与x轴的交点为A. 在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F, 则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. [-1, 1) D.
[答案] D
[解析]依题意, |PF|=|FA|, 而|FA|=-c, |PF|≤a+c,
∴-c≤a+c, ∴a2≤ac+2c2.
又e=, ∴2e2+e≥1, ∴2e2+e-1≥0,
即(2e-1) (e+1) ≥0, 又0
∴≤e
6.过椭圆+=1(a>b>0) 的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P, F2为右焦点, 若∠F1PF2=60°, 则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] ∵|PF1|+|PF2|=2a, 又∠F1PF2=60°, ∴|PF1|=|PF2|,
∴|PF2|=2a⇒|PF2|=a, |PF1|=a,
在Rt△PF1F2中, |PF1|2+|F1F2|2=
∴+(2c) 2=⇒e==, , 故选B.
·=0的点M总在椭圆内部, 则椭圆离心率的取7.已知F1、F2是椭圆的两个焦点, 满足
值范围是( )
A. (0, 1) B. C. D.
[答案] C
[解析]设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c,
∵·=0, ∴M点的轨迹是以原点O为圆心, 半焦距c为半径的圆. 又M点总在椭圆内部,
∴该圆内含于椭圆, 即c∴e2=
8. 设F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0) 的左、右焦点, 若在其右准线上存在点P, 使线段PF1的中垂线过点F2, 则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案] D
[解析]若设P为右准线与x轴的交点, 可知-c=2c,
即e2=, 又P在准线上可知-c≤2c, 所以离心率的取值范围是
9.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1, F2. 若曲线Γ上存在点P满足
|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2, 则曲线Γ的离心率等于( )
A. 或 B. 或2 C. 或2 D. 或
[答案] A
. 故选D.
[解析] 显然该曲线不可能是抛物线, 不妨从Γ是椭圆和双曲线两方面着手分析, 若Γ是椭圆, ∵|PF1|+|PF2|=2a, |F1F2|=2c, 从而e====;同理可求得当Γ是双曲线时, e=, 故选A.
10.已知椭圆E上存在点P,在P与椭圆E的两个焦点F1、F2构成的△F1PF2
中,sin∠PF1F2∶sin∠F1PF2∶sin∠PF2F1=7∶10∶11,则椭圆E的离心率等于( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析]由正弦定理得|PF2|∶|F1F2|∶|PF1|=7∶10∶11.
∴椭圆的离心率e==
==. 故选A.
专题四椭圆离心率的求法
1. 如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）
A. B. C. D.
[答案] D
[解析] 设
所以
所以，，因为点，即，即在椭圆，又四边形， 上， 为矩形，
解方程组
设双曲线得的实轴长为
， ，焦距为，，则， ，
所以双曲线的离心率为
.
2.三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形，已知点
如果以是椭圆的一个短轴端点，为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率取值范围是（ ）
A．
[答案
] B B． C． D．
[解析] 设椭圆C的方程为：，设直线、，由题意可得直线与直线与椭圆相交所得的弦长相等，联立直线与椭圆C的方程得，所截得的弦长为，用代替k可得直线与椭圆C的方程得，所截得的弦长为，两个弦长相等得，欲使以为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，只需使方程
有三个不同的正实根即可，令，则，又因为，所以只需使即可，整理得离心率的范围，又因为椭圆的离心率小于1，所以.
，椭圆3. 在同一坐标系中，离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点
与双曲线的一个交点与两焦点的连线互相垂直，则 ( )
(A) 2 （B）3 （C） （D）
[答案] A
[解析] 依题意，设焦距为
由椭圆的定义知
由双曲线的定义知
又
由①，②得，椭圆长轴长，① ，② ， ， ，双曲线实轴长，令点在上去先的右支上，
，即
，故.
4. 已知椭圆
范围为（ ）
A.
B.
C.
D. 与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值
[答案] A
[解析]椭圆：
，解得
椭圆的离心率
故椭圆的离心率的取值范围是. 与双曲线， ，又， 有相同的焦点，，
5. 椭圆+=1(a>b>0) 的右焦点为F, 其右准线与x轴的交点为A. 在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F, 则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. [-1, 1) D.
[答案] D
[解析]依题意, |PF|=|FA|, 而|FA|=-c, |PF|≤a+c,
∴-c≤a+c, ∴a2≤ac+2c2.
又e=, ∴2e2+e≥1, ∴2e2+e-1≥0,
即(2e-1) (e+1) ≥0, 又0
∴≤e
6.过椭圆+=1(a>b>0) 的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P, F2为右焦点, 若∠F1PF2=60°, 则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] ∵|PF1|+|PF2|=2a, 又∠F1PF2=60°, ∴|PF1|=|PF2|,
∴|PF2|=2a⇒|PF2|=a, |PF1|=a,
在Rt△PF1F2中, |PF1|2+|F1F2|2=
∴+(2c) 2=⇒e==, , 故选B.
·=0的点M总在椭圆内部, 则椭圆离心率的取7.已知F1、F2是椭圆的两个焦点, 满足
值范围是( )
A. (0, 1) B. C. D.
[答案] C
[解析]设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c,
∵·=0, ∴M点的轨迹是以原点O为圆心, 半焦距c为半径的圆. 又M点总在椭圆内部,
∴该圆内含于椭圆, 即c∴e2=
8. 设F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0) 的左、右焦点, 若在其右准线上存在点P, 使线段PF1的中垂线过点F2, 则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案] D
[解析]若设P为右准线与x轴的交点, 可知-c=2c,
即e2=, 又P在准线上可知-c≤2c, 所以离心率的取值范围是
9.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1, F2. 若曲线Γ上存在点P满足
|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2, 则曲线Γ的离心率等于( )
A. 或 B. 或2 C. 或2 D. 或
[答案] A
. 故选D.
[解析] 显然该曲线不可能是抛物线, 不妨从Γ是椭圆和双曲线两方面着手分析, 若Γ是椭圆, ∵|PF1|+|PF2|=2a, |F1F2|=2c, 从而e====;同理可求得当Γ是双曲线时, e=, 故选A.
10.已知椭圆E上存在点P,在P与椭圆E的两个焦点F1、F2构成的△F1PF2
中,sin∠PF1F2∶sin∠F1PF2∶sin∠PF2F1=7∶10∶11,则椭圆E的离心率等于( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析]由正弦定理得|PF2|∶|F1F2|∶|PF1|=7∶10∶11.
∴椭圆的离心率e==
==. 故选A.