常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
【典型例题】
[例1] a n +1=ka n +b 型。
（1）k =1时，a n +1-a n =b ⇒{a n }是等差数列，a n =b ⋅n +(a 1-b ) （2）k ≠1时，设a n +1+m =k (a n +m ) ∴ a n +1=ka n +km -m
比较系数：km -m =b ∴
m =
b k -1
∴
{a n +
b b a 1+k -1是等比数列，公比为k ，首项为k -1
∴
a n +
b b b b
=(a 1+) ⋅k n -1a n =(a 1+) ⋅k n -1-k -1k -1k -1k -1 ∴
[例2] a n +1=ka n +f (n ) 型。
（1）k =1时，a n +1-a n =f (n ) ，若f (n ) 可求和，则可用累加消项的方法。
例：已知{a n }满足a 1=1，解：
a n +1-a n =
1
n (n +1) 求{a n }的通项公式。
∵
a n +1-a n =
111
=-
n (n +1) n n +1
1111-a n -1-a n -2=-n -1n n -2n -1
∴
a n -a n -1=
a n -2-a n -3=a 3-a 2=
11
-
n -3n -2……
111-a 2-a 1=1-23 2
a n -a 1=1-
11
a n =2-
n ∴ n
对这（n -1）个式子求和得：
（2）k ≠1时，当f (n ) =an +b 则可设a n +1+A (n +1) +B =k (a n +An +B ) ∴ a n +1=ka n +(k -1) An +(k -1) B -A
⎧(k -1) A =a b a a B =+⎨A =(k -1) B -A =b k -1(k -1) 2 k -1，∴ ⎩ 解得：
∴ {a n +An +B }是以a 1+A +B 为首项，k 为公比的等比数列 ∴ a n +An +B =(a 1+A +B ) ⋅k
n -1
n -1a =(a +A +B ) ⋅k -An -B 将A 、B 代入即可 n 1∴
n
（3）f (n ) =q （q ≠0，1）
a n +1k a n 1
=⋅n +n +1n +1
q q q 等式两边同时除以q 得q C n =
a n k 1
C =C +
q n 则n +1q n q ∴ {C n }可归为a n +1=ka n +b 型
令
[例3] a n +1=f (n ) ⋅a n 型。
（1）若f (n ) 是常数时，可归为等比数列。
（2）若f (n ) 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。
例：已知：
a 1=
12n -1
a n =a n -1
3，2n +1（n ≥2）求数列{a n }的通项。
a n a n -1a n -2a 3a 22n -12n -32n -5533⋅⋅ ⋅=⋅⋅ ⋅=
a 2a 12n +12n -12n -3752n +1 解：a n -1a n -2a n -3
a n =a 1⋅
31=
2n +12n +1
∴
[例4]
a n =k ⋅
m ⋅a n -1
m +a n -1型。
11111k =k (+) =k ⋅+
a n -1m ∴ a n a n -1m 考虑函数倒数关系有a n
C n =
1
a n 则{C n }可归为a n +1=ka n +b 型。
令
练习：
1. 已知{a n }满足a 1=3，a n +1=2a n +1求通项公式。 解：
设a n +1+m =2(a n +m ) a n +1=2a n +m ∴ m =1 ∴ {a n +1+1}是以4为首项，2为公比为等比数列 ∴ a n +1=4⋅2
n -1
∴ a n =2
n +1
-1
*
2. 已知{a n }的首项a 1=1，a n +1=a n +2n （n ∈N ）求通项公式。
解：
a n -a n -1=2(n -1) a n -1-a n -2=2(n -2) a n -2-a n -3=2(n -3) …… a 3-a 2=2⨯2
+a 2-a 1=2⨯1
a n -a 1=2[1+2+ +(n -1)]=n 2-n
2
a =n -n -1 n ∴
3. 已知{a n }中，解：
a n +1=
n
a n
n +2且a 1=2求数列通项公式。
a n a n -1a n -2a 3a 2n -1n -2n -3n -4212⋅⋅ ⋅=⋅⋅⋅ ⋅=
a n -1a n -2a n -3a 2a 1n +1n n -1n -243n (n +1)
a n 24=a n =n (n +1) ∴ n (n +1) ∴ a 1
4. 数列{a n }中，解：
a n +1
2n +1⋅a n
=n +1
2+a n ，a 1=2，求{a n }的通项。
2n +1+a n 1111
=+n +1=n +1
a n +12a n ∴ a n +1a n 2
b n =
111
b n +1=b n +n +1b n =b n -1+n
a n ∴ 2 ∴ 2
1
2n 12n -1 12n -2……
设
∴
b n -b n -1=
b n -1-b n -2=b n -2-b n -3=b 3-b 2=
123
+b 2-b 1=
12
11n -1
[1-() ]211==-n
111122b n -b 1=2+3+ +n 1-2222 1112n -12n
b n =-n +=a n =n
n
22222-1 ∴ ∴
5. 已知：a 1=1，n ≥2时，解：
a n =
1
a n -1+2n -12，求{a n }的通项公式。
1
a n +An +B =[a n -1+A (n -1) +B ]
2设
a n =
1111a n -1-An -A -B 2222
⎧1
-A =2⎪⎪2⎨⎧A =-4⎪-1A -1B =-1⎨⎪22⎩∴ 解得：⎩B =6 ∴ a 1-4+6=3 1
∴ {a n -4n +6}是以3为首项，2为公比的等比数列 13
a n -4n +6=3⋅() n -1a n =n -1+4n -6
22∴ ∴
【模拟试题】
1. 已知{a n }中，a 1=3，a n +1=a n +2，求a n 。 2. 已知{a n }中，a 1=1，a n =3a n -1+2（n ≥2）求a n 。
n
{a }a =2a +2a =1n n n -13. 已知中，1，（n ≥2）求a n 。
n
4. 已知{a n }中，a 1=4，
a n =4-
4
a n -1（n ≥2）求a n 。
2
2S n
a n =
S {a }a 2S n -1（n ≥2） 5. 已知n 中，a 1=1，其前n 项和n 与n 满足
1
}
（1）求证：S n 为等差数列 （2）求{a n }的通项公式
{
6. 已知在正整数数列{a n }中，前n 项和S n 满足
S n =
1
(a n +2) 28
（1）求证：{a n }是等差数列 （2）若b n 值
=
1
a n -302，求{b n }的前n 项和的最小
【试题答案】
1. 解：
由a n +1=a n +2，得a n =a n -1+2
n -1
a -a =2n -1∴ n
n
n -1
a n -1-a n -2=2n -2……
+a 2-a 1=2
2(1-2n -1) a n -a 1==2n -2n n
a =2-2+a =2+1 1-2n 1∴ ∴
2. 解：
由a n =3a n -1+2得：a n +1=3(a n -1+1)
a n +1
=3
∴ a n -1+1 即{a n +1}是等比数列
a n +1=(a 1+1) ⋅3n -1 ∴ a n =(a 1+1) ⋅3n -1-1=2⋅3n -1-1
3. 解：
a n a n -1
-n -1=1n a =2a +2n n -122由得
n
a n a n 1
=+(n -1) n n -1n n
2∴ 2成等差数列，2 ∴ a n =n ⋅2-2
{
4. 解：
a n +1-2=2-
1
∴ a n +1-2
a n 42(a n -2) 111
===+a n a n
∴ a n +1-22(a n -2) 2a n -2（n ≥1）
111
=b n =a n -22（n ≥1）设a n -2 1
(n ≥1) 2
-
即
b n +1-b n =
111n 2=+(n -1) ⋅=a n =+2
22 n ∴ {b n }是等差数列 ∴ a n -2a 1-2
5. 解：
2
2S n =
2S n -1 ∴ S n -1-S n =2S n S n -1
（1）
S n -S n -1
111-=2{S n S n -1
∴ S n 是首项为1，公差为2的等差数列 1
=2n -1S ∴ n
12
)
-22n -1=a n =(n ≥2)
114n 2-8n +32⋅-1S n =
2n -12n -1（2） ∴
2(
⎧1
⎪a n =⎨-2
⎪⎩4n 2-8n +3又 ∵ a 1=1 ∴
6. 解：
n =1(n ≥2)
1
a 1=S 1=(a 1+2) 2
8（1） ∴ a 1=2
11
a n =S n -S n -1=(a n +2) 2-(a n -1+2) 2
n ≥2时，88
整理得：(a n +a n -1)(a n -a n -1-4) =0
∵ {a n }是正整数数列 ∴ a n +a n -1≠0 ∴ a n -a n -1=4 ∴ {a n }是首项为2，公差为4的等差数列 ∴ a n =4n -2
（2）
b n =
1
(4n -2) -30=2n -312
2
{b }S =n -30n n n ∴ 为等差数列 ∴
2
∴ 当n =15时，S n 的最小值为15-30⨯15=-225
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
【典型例题】
[例1] a n +1=ka n +b 型。
（1）k =1时，a n +1-a n =b ⇒{a n }是等差数列，a n =b ⋅n +(a 1-b ) （2）k ≠1时，设a n +1+m =k (a n +m ) ∴ a n +1=ka n +km -m
比较系数：km -m =b ∴
m =
b k -1
∴
{a n +
b b a 1+k -1是等比数列，公比为k ，首项为k -1
∴
a n +
b b b b
=(a 1+) ⋅k n -1a n =(a 1+) ⋅k n -1-k -1k -1k -1k -1 ∴
[例2] a n +1=ka n +f (n ) 型。
（1）k =1时，a n +1-a n =f (n ) ，若f (n ) 可求和，则可用累加消项的方法。
例：已知{a n }满足a 1=1，解：
a n +1-a n =
1
n (n +1) 求{a n }的通项公式。
∵
a n +1-a n =
111
=-
n (n +1) n n +1
1111-a n -1-a n -2=-n -1n n -2n -1
∴
a n -a n -1=
a n -2-a n -3=a 3-a 2=
11
-
n -3n -2……
111-a 2-a 1=1-23 2
a n -a 1=1-
11
a n =2-
n ∴ n
对这（n -1）个式子求和得：
（2）k ≠1时，当f (n ) =an +b 则可设a n +1+A (n +1) +B =k (a n +An +B ) ∴ a n +1=ka n +(k -1) An +(k -1) B -A
⎧(k -1) A =a b a a B =+⎨A =(k -1) B -A =b k -1(k -1) 2 k -1，∴ ⎩ 解得：
∴ {a n +An +B }是以a 1+A +B 为首项，k 为公比的等比数列 ∴ a n +An +B =(a 1+A +B ) ⋅k
n -1
n -1a =(a +A +B ) ⋅k -An -B 将A 、B 代入即可 n 1∴
n
（3）f (n ) =q （q ≠0，1）
a n +1k a n 1
=⋅n +n +1n +1
q q q 等式两边同时除以q 得q C n =
a n k 1
C =C +
q n 则n +1q n q ∴ {C n }可归为a n +1=ka n +b 型
令
[例3] a n +1=f (n ) ⋅a n 型。
（1）若f (n ) 是常数时，可归为等比数列。
（2）若f (n ) 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。
例：已知：
a 1=
12n -1
a n =a n -1
3，2n +1（n ≥2）求数列{a n }的通项。
a n a n -1a n -2a 3a 22n -12n -32n -5533⋅⋅ ⋅=⋅⋅ ⋅=
a 2a 12n +12n -12n -3752n +1 解：a n -1a n -2a n -3
a n =a 1⋅
31=
2n +12n +1
∴
[例4]
a n =k ⋅
m ⋅a n -1
m +a n -1型。
11111k =k (+) =k ⋅+
a n -1m ∴ a n a n -1m 考虑函数倒数关系有a n
C n =
1
a n 则{C n }可归为a n +1=ka n +b 型。
令
练习：
1. 已知{a n }满足a 1=3，a n +1=2a n +1求通项公式。 解：
设a n +1+m =2(a n +m ) a n +1=2a n +m ∴ m =1 ∴ {a n +1+1}是以4为首项，2为公比为等比数列 ∴ a n +1=4⋅2
n -1
∴ a n =2
n +1
-1
*
2. 已知{a n }的首项a 1=1，a n +1=a n +2n （n ∈N ）求通项公式。
解：
a n -a n -1=2(n -1) a n -1-a n -2=2(n -2) a n -2-a n -3=2(n -3) …… a 3-a 2=2⨯2
+a 2-a 1=2⨯1
a n -a 1=2[1+2+ +(n -1)]=n 2-n
2
a =n -n -1 n ∴
3. 已知{a n }中，解：
a n +1=
n
a n
n +2且a 1=2求数列通项公式。
a n a n -1a n -2a 3a 2n -1n -2n -3n -4212⋅⋅ ⋅=⋅⋅⋅ ⋅=
a n -1a n -2a n -3a 2a 1n +1n n -1n -243n (n +1)
a n 24=a n =n (n +1) ∴ n (n +1) ∴ a 1
4. 数列{a n }中，解：
a n +1
2n +1⋅a n
=n +1
2+a n ，a 1=2，求{a n }的通项。
2n +1+a n 1111
=+n +1=n +1
a n +12a n ∴ a n +1a n 2
b n =
111
b n +1=b n +n +1b n =b n -1+n
a n ∴ 2 ∴ 2
1
2n 12n -1 12n -2……
设
∴
b n -b n -1=
b n -1-b n -2=b n -2-b n -3=b 3-b 2=
123
+b 2-b 1=
12
11n -1
[1-() ]211==-n
111122b n -b 1=2+3+ +n 1-2222 1112n -12n
b n =-n +=a n =n
n
22222-1 ∴ ∴
5. 已知：a 1=1，n ≥2时，解：
a n =
1
a n -1+2n -12，求{a n }的通项公式。
1
a n +An +B =[a n -1+A (n -1) +B ]
2设
a n =
1111a n -1-An -A -B 2222
⎧1
-A =2⎪⎪2⎨⎧A =-4⎪-1A -1B =-1⎨⎪22⎩∴ 解得：⎩B =6 ∴ a 1-4+6=3 1
∴ {a n -4n +6}是以3为首项，2为公比的等比数列 13
a n -4n +6=3⋅() n -1a n =n -1+4n -6
22∴ ∴
【模拟试题】
1. 已知{a n }中，a 1=3，a n +1=a n +2，求a n 。 2. 已知{a n }中，a 1=1，a n =3a n -1+2（n ≥2）求a n 。
n
{a }a =2a +2a =1n n n -13. 已知中，1，（n ≥2）求a n 。
n
4. 已知{a n }中，a 1=4，
a n =4-
4
a n -1（n ≥2）求a n 。
2
2S n
a n =
S {a }a 2S n -1（n ≥2） 5. 已知n 中，a 1=1，其前n 项和n 与n 满足
1
}
（1）求证：S n 为等差数列 （2）求{a n }的通项公式
{
6. 已知在正整数数列{a n }中，前n 项和S n 满足
S n =
1
(a n +2) 28
（1）求证：{a n }是等差数列 （2）若b n 值
=
1
a n -302，求{b n }的前n 项和的最小
【试题答案】
1. 解：
由a n +1=a n +2，得a n =a n -1+2
n -1
a -a =2n -1∴ n
n
n -1
a n -1-a n -2=2n -2……
+a 2-a 1=2
2(1-2n -1) a n -a 1==2n -2n n
a =2-2+a =2+1 1-2n 1∴ ∴
2. 解：
由a n =3a n -1+2得：a n +1=3(a n -1+1)
a n +1
=3
∴ a n -1+1 即{a n +1}是等比数列
a n +1=(a 1+1) ⋅3n -1 ∴ a n =(a 1+1) ⋅3n -1-1=2⋅3n -1-1
3. 解：
a n a n -1
-n -1=1n a =2a +2n n -122由得
n
a n a n 1
=+(n -1) n n -1n n
2∴ 2成等差数列，2 ∴ a n =n ⋅2-2
{
4. 解：
a n +1-2=2-
1
∴ a n +1-2
a n 42(a n -2) 111
===+a n a n
∴ a n +1-22(a n -2) 2a n -2（n ≥1）
111
=b n =a n -22（n ≥1）设a n -2 1
(n ≥1) 2
-
即
b n +1-b n =
111n 2=+(n -1) ⋅=a n =+2
22 n ∴ {b n }是等差数列 ∴ a n -2a 1-2
5. 解：
2
2S n =
2S n -1 ∴ S n -1-S n =2S n S n -1
（1）
S n -S n -1
111-=2{S n S n -1
∴ S n 是首项为1，公差为2的等差数列 1
=2n -1S ∴ n
12
)
-22n -1=a n =(n ≥2)
114n 2-8n +32⋅-1S n =
2n -12n -1（2） ∴
2(
⎧1
⎪a n =⎨-2
⎪⎩4n 2-8n +3又 ∵ a 1=1 ∴
6. 解：
n =1(n ≥2)
1
a 1=S 1=(a 1+2) 2
8（1） ∴ a 1=2
11
a n =S n -S n -1=(a n +2) 2-(a n -1+2) 2
n ≥2时，88
整理得：(a n +a n -1)(a n -a n -1-4) =0
∵ {a n }是正整数数列 ∴ a n +a n -1≠0 ∴ a n -a n -1=4 ∴ {a n }是首项为2，公差为4的等差数列 ∴ a n =4n -2
（2）
b n =
1
(4n -2) -30=2n -312
2
{b }S =n -30n n n ∴ 为等差数列 ∴
2
∴ 当n =15时，S n 的最小值为15-30⨯15=-225