平行四边形证明专项

例1：已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M

作ME⊥CD于点E,且CE=DE,∠1=∠2. (1)若ED=2，求BC的长；(2)求证:AM=DF+ME。

例2：如图，在□ ABCD中，对角线BD⊥AB，G为BD延长线上一点且△CBG为等边三角形，∠BCD、∠ABD的角平分线相交于点E，连接CE交BD于点F，连接GE．（1）若CG的长为8，求□ ABCD的面积；（2）求证：CE=BE+GE． G

例3：.如图(1)，在中，∠ACB=90°，AC=BC.延长AB至点D，连接CD，以CD为直

=90°，连接BE.

角边作等腰直角三角形CDE，其中(1)求证：AD=BE.

(2)在图（1）中以AD为直角边作等腰直角三角形ADF，如图（2）所示，其中连接CF，若BE=

，AC＝3，求CF的长.

，

图(1) 图(2)

例4：如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，且点C、H、G、F和点

B、G、E分别在同一直线上.连接AC.

(1)求证：△AHC∽△GHB；（2）求CF:BE的值.

例5：如图，在□ABCD中，延长CD至点E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G. （1）求证：AF＝DF；

（2）若BC＝2AB，DE＝1，∠ABC＝60°，求FG的长.

例6：在平行四边形ABCD 中，∠BAD的平分线分别交BC和DC的延长线于点E和F,M是△

EFC

的三条中垂线的交点，连接BD 、BM、DM. (1)若CD=3，求BE的长度？ (2)证明：MB =MD.

例7：在正方形ABCD 中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于

点G，连接CE.

（1）若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长；（2）求证：EF+EG=2CE.

第24题图

例8：已知：如图，在菱形ABCD中，点F为BC中点，

DF与对角线AC交于点M，在CD上截取CECF，连结ME。

（1）求证：MEMF

AMDFME。（2）当BCD60时，求证：

例9：在直角梯形ABCD中，AD//BC,B90,BCD60,ADCD。（1）如图1，连接AC，求证：AC是BCD的角平分线；

（2）线段BC上一点E，将ABE沿AE翻折，点B落到点F处，射线EF与线段CD交于点M。

①如图2，当点M与点D

重合时，求证：FM

AB； 3

AB。 3

②如图3，当点M不与点D

重合时，求证：FMDM

例10：如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，连接DF，过点D作DEDF

交BC处长线于E，连接EF,M是EF的中点，连接MB,MC,MD。

例11：如图，在△ABC中，E是AB边上的点，DE⊥BC于D，连接AD，EC相交于点F，且AD=AC，B=ECB． (1)求证：ABCFCD (2)若AC=2，求FD的长

例12：如图，在ABC中，ABC45,CDAB,BEAC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，ABECBE。（1）线段BH与AC相等吗？请说明理由；（2）求证：BGGEEA。

例13：如图，BD为正方形ABCD的对角线．点G是CB延长线上一点，连接AG，点E是AG的中点，过点E作EF⊥AG交BD于点F，连接GF． (1)若EB=3，BG=2，求DB的长度； (2)证明：∠EFB=∠EBA+∠AGF．

例14：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD =120°，连接AC，BD交于点E．⑴若BC=CD=2，M为线段AC上一点，且AM：CM=1:2，连接BM，求点C到BM的距离．⑵证明：BC+CD=AC．

例15：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。

（1）求证：OE=OF （2）若BC=2

3，求AB的长。

例16：如图，已知AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE交BD、BC于点

E、F，AC、BD相交于点O。求证：OF＝

CE。 2

例17：如图，点E是矩形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F,G是AF的中点，再连接DG、DE，且DEDG。（1）求证DEA2AEB；

（2）若BC2AB，求AED的度数。

例18：如图，口ABCD中，E在AD边上，AE = DC，F为口ABCD 外一点，连接AF、BF，连接EF交AB于G，且∠EFB = ∠C = 60°． (1)若AB = 6，BC =8，求口ABCD的面积；

(2)求证：EF= AF+ BF．

例19：如图，已知正方形ABCD，G为对角线CA延长线上一点，GF⊥GD。（1）求证：GF＝GD；

（2）延长FG交BA的延长线于E点，EM平分∠BEF，交GD于H点，BF于M点。求证：AE－CM＝2GH。

例20：如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，连接BM，BM的垂直平分线交

BC的延长线于F，连接MF交CD于N. 求证：（1） BM=EF；（2） 2CN=DN.

例21：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连结CE．点F

是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO=CG．

（1）若OF=4，求FG的长；（2）求证：BF=OG+CF．

24题图

BCF

例22：如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BEDP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AFAE交DP于点F，连接BF。（1）若AE2，求EF的长；（2）求证：PFEPEB

例23：如图，E为正方形ABCD的CD边上一点，连接BE，过点A作AF∥BE，交CD的延长线于点F， ABE 的平分线分别交AF、AD于点G、H．（1）若CBE30，AG

（2）证明：BEAHDF．

，求DH的长度；

例24：已知：如图，正方形ABCD中，点E是BA延长线上一点，连接DE，点F在DE上

且DF=DC，DG⊥CF于G. DH平分∠ADE交CF于点H，连接BH. （1）若DG=2，求DH的长；（2）求证：BH+DH=2CH.

例25：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD),∠D=90°,BC=CD=12, ∠ABE=45°。若AE=10，求CE的长

例26：如图,在四边形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AD=CD,∠C=60°，DH⊥BC于点H,点E是BC上一点，连接AE,将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，射线EF交CD所在直线于点M，（1）若点M在CD边上时求证：FM-DM=CH

例27：已知AB=AC,∠BAC=90°，将一,45线AQ,过点C作AC的垂线交AQ于N;过点B作AB（1）如图1当射线AP和射线AQ在∠BAC（2）如图2当射线AP和射线AQ在AB两侧时（1（3）如图3当射线AP和射线AQ在∠BAC外部时（1）由。

（图2）

例28：如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且tanFAB

例29：如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DFDE，与BC延长线交于点F．连接

EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．（1）若BFBD求BE的长；（2）若ADE2BFE，求证：FHHEHD．

，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF． 2

A