浅谈波函数的理解
吕晓卿 2006623161
（华中师范大学物理科学与技术学院2006级基地班，武汉）
[摘要]：本文主要论述微观粒子的运动状态，借助布朗运动理解微观粒子运动的不可预测性。由量子理论知道微观粒子的状态是用波函数描述的，浅谈我对波函数物理意义的理解。最后类比投硬币事件理解力学量的本征值和本征函数的意义，以及对各种测量结果的概率的计算。
[关键词]：微观粒子；波函数；概率分布；本征值；本征函数
由量子力学理论我们知道微观粒子具有波粒二象性，那应该怎样理解那既是波又是粒子的微观粒子呢？为什么量子力学量测不准呢？波函数用来描述微观粒子的状态，它的物理意义是什么？力学量算符的本征值、本征函数的理解怎样？
1. 微观粒子的运动与布朗运动
19世纪末，经典物理学遇到了重重困难：黑体辐射、光电效应、原子光谱的分立性等，正是在对这一系列困难的解决中提出并建立了量子理论。人类对光的本性的认识过程：从牛顿的“微粒说”到胡克的“波动说”，德布罗意类比这一过程提出任何速度的微观粒子都具有波粒二象性。
微观粒子的波粒二象性是指微观粒子在与物质作用时呈现出粒子的“原子性”，在传播过程中表现出波动性的本质“叠加性”。微观粒子到底是个什么东西？它在空间中到底怎么运动？
事实告诉我们微观粒子在空间中任何一点都有可能出现，但它出现在哪一点又是无法预测的。对于经典粒子，我们可以根据前一时刻的运动状态来预测其下一时刻的运动状态。但对于微观粒子我们不能做到这一点，我们只能知道下一时刻它可能出现在什么位置以及出现的概率是多少。
布朗运动图
当学习微观粒子那神秘诡异的运动时，我们不妨借助我们熟知的布朗运动来理解。这两幅图片分别是氢原子电子图和布朗运动图，我们可以从中看出他们一些相似的地方。
首先，二者的共同点是运动都是杂乱无章的，电子云图中的点的密集程度表示电子在此出现的概率的大小，布朗运动图中的折点是布朗粒子曾出现的位置，但折线并不是布朗粒子的运动轨迹。他们都不像宏观物体那样有其运动的轨道。其实我们知道布朗粒子的无规则运动其实质就是它所处环境中（像液体）分子的无规则运动。其次，这两种运动我们都无法预知其下一时刻的运动状态。这一时刻出现在这里，下一时刻可能出现在任何地方，谁都不
能规定它必须出现在某一确定位置。布朗粒子运动的不可预测性的根源也正是微观分子运动的不可预测性。这样我们可以类似理解微观粒子的运动状态。
但是我们也不能以此认为微观粒子就确实像布朗粒子那样运动，它们还是有区别的。电子云图中还可以表示电子再某一位置出现的概率，可是布朗运动连概率都不知道！因为布朗运动中环境的分子（像液体分子）的运动速度遵循玻耳兹曼分布，但布朗粒子的运动是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的运动，代表了一种随机涨落现象。更重要的是布朗粒子毕竟是宏观粒子，实验可以追踪观测它的运动，但对于微观粒子实验上却做不到这一点。
这既是量子理论区别于经典理论的一个最基本的经验事实——量子现象。经典物理中研究对象和观测手段能完全区分开来，被观测客体的属性不受观测手段的干扰。但在量子理论中，由于作用量子的存在，研究客体和观察手段之间的界线变得模糊起来，仪器对客体产生了不可控制的作用，且这种相互作用不可忽略也无法得到补偿，这就导致我们无法追踪微观粒子的每一时刻的运动状态。
所以布朗运动仅仅是在帮助我们理解微观粒子的运动时有一定的启发作用。而且应当指出：布朗粒子具有宏观粒子显著的粒子本性，其波动本性不易观察到。微观粒子的波粒二象性说明微观粒子的波动本性和粒子本性同等重要。
2. 波函数的理解
通过上面对微观粒子运动状态的初步理解，我们肯定会疑惑这样又是粒子又是波的微观粒子该怎样描述呢？类比经典意义上的波用波函数描述，微观粒子的运动状态我们也用波函数描述。
但并不是所有的波函数都可以用来描述微观粒子的运动状态的，只有那些物理上可容许的波函数才与可实现的物理状态相当，因此描述微观粒子的波函数必须满足单值、连续、有限的标准条件。
波函数本身不是可观测量，它的作用是对微观粒子的各种力学量的观测结果作出预
r 2言。波函数的物理意义是玻恩对它的统计诠释：波函数模的平方ϕ(r , t ) 表示微观粒子出现
r r 3在空间不同位置的概率分布。即：在坐标表象里微观粒子在t 时刻，在r 处的体积元d r 中r 23r u r 23u r 类似的在动量表象里波函数(p , t ) d p 表示微观粒子在t 时出现的概率是ϕ(r , t ) d r 。
刻，在p 处的体积元d 3p 中出现的概率。注意我们一般是在坐标表象中讨论波函数。
因为波函数乘一个常数A 后表示同一个态，所以波函数的绝对值没有意义，它的相对值才有意义。这就像从2个人中挑出一个人获奖和从100个人中挑出50个人获奖一样，你获奖的概率是一样的，概率就是相对值，获奖个数就是绝对值，增加再多的获奖个数对你都是没有意义的！波函数的前面可以乘以一个模为1的复常数e i δ，所以任意两点的波函数的相对相位才有意义。波函数可以叠加是因为相互独立事件的概率的叠加原理，既是在波函数u r u r ϕ1下，微观粒子出现在空间某一位置的概率是P 1，在波函数ϕ2下，微观粒子出现在空间该位置的概率是P 2，则在波函数Φ=C 1ϕ1+C 2ϕ2下，微观粒子出现在该位置的概率是P 1P 2的
2**叠加，但又不是经典意义上的叠加，此时P =C 12P 1+C 2P 2+2Re(C 1ϕ1C 2ϕ2) ，最后一项
是干涉项。正因为最后一项的存在，量子理论中的叠加才区别与经典统计力学的叠加。
3. 本征值、本征函数与投硬币
前面已经讨论过在给定的状态里测量微观粒子的力学量通常的不到确定的值，只能得到一系列可能的值，而且知道这一系列可能值的概率分布。这一系列的值是该力学量的本征值。这就好比我们投硬币，结果可能是正面，可能是反面，正面和反面就是本征值，两者的概率都是2，这就是概率分布。在给定状态里测量力学量得不到确定值，就象你在投硬币前无法预知这次是正面还是反面一样。
如果在某一特殊的状态中，力学量F 只能取确定的值f ，这一特殊状态叫与本征值f 对应的本征函数。一般讨论的坐标表象里本征函数是r , t 的函数。那这里本征函数的模平方表示什么呢？我们先来看一个例子。
粒子在一维无限深势阱中运动，求能量的本征值和本征函数。r
⎧0,0n 2h 2
E =8ma 2 n =1, 2, L ，对应的本征函数是：
能量的本征值是：
ψn (x ) =n πx a 。
由上例可知能量的本征函数是x 的函数。假设n =1时，能量的本征函
数πx h 22ψ(x ) =该事件在(0, a )区间内的概率分布，既是能的(x ) 表示E =28ma a
h 2h 2
量为E =在不同x 位置的概率。由能量本征函数是正弦函数知道，即能量E =8ma 28ma 2该事件在(0, a )区间内的概率分布是正弦分布，x=a/2时概率最大。
假设另一波函数Φ(x , t ) 包含能量的所有本征函数，换句话说波函数Φ(x , t ) 是各种不同E 的本征函数ϕn (x ) 的叠加。可以表示为：Φ(x , t ) =
2∑c (t ) ϕ(x ) 。该式中ϕ(x ) 的n n n n 它决定了在状态Φ(x , t ) 中能系数的绝对值的平方c n (t ) 是在Φ(x , t ) 中包含ϕn (x ) 的份额，
h 2
量为E n 的概率。例如c 1(t ) 表示在波函数Φ(x , t ) 状态下能量为E 1=的概率。 28ma 2
我觉得对于初学者一定要花时间深刻理解这一点：能量一定时，对应本征函数的模的平方是取该能量时对坐标的概率分布，也就是取该能量时的状态下，x 取某一值的概率。而给定另一状态时，测量能量有各种可能的值，这些值叫做本征值，能量取这些值的概率是
c n (t ) 。我们应该仔细比较这两种概率分布的区别，进一步理解波函数的意义，理解微观世界的分布问题。
量子理论中算符的本征函数具有正交性和完备性，对于这一点的理解我们可以类似对称矩阵的主值和主轴。
[小结]：
通过对微观粒子运动状态的理解，领悟微观粒子的波粒二象性的深刻含义，当然这是一个长久的过程，可能我们一时无法理解，但我们一定要试图用各种方式理解。在此基础上理解波函数描述微观粒子的运动状态，态的叠加原理和几率分布的含义。形象化的理解本征值和本征函数的意义。
参考文献
[1]刘连寿. 《理论物理基础教程》 高等教育出版社 2003
[2]胡响明 浅谈量子概念的理解 高等函授学报 2004年4月第17卷第2期
[3] [美] D . S . Saxon 著 苏耀中 叶安祚 译《初等量子力学》高等教育出版社 2
浅谈波函数的理解
吕晓卿 2006623161
（华中师范大学物理科学与技术学院2006级基地班，武汉）
[摘要]：本文主要论述微观粒子的运动状态，借助布朗运动理解微观粒子运动的不可预测性。由量子理论知道微观粒子的状态是用波函数描述的，浅谈我对波函数物理意义的理解。最后类比投硬币事件理解力学量的本征值和本征函数的意义，以及对各种测量结果的概率的计算。
[关键词]：微观粒子；波函数；概率分布；本征值；本征函数
由量子力学理论我们知道微观粒子具有波粒二象性，那应该怎样理解那既是波又是粒子的微观粒子呢？为什么量子力学量测不准呢？波函数用来描述微观粒子的状态，它的物理意义是什么？力学量算符的本征值、本征函数的理解怎样？
1. 微观粒子的运动与布朗运动
19世纪末，经典物理学遇到了重重困难：黑体辐射、光电效应、原子光谱的分立性等，正是在对这一系列困难的解决中提出并建立了量子理论。人类对光的本性的认识过程：从牛顿的“微粒说”到胡克的“波动说”，德布罗意类比这一过程提出任何速度的微观粒子都具有波粒二象性。
微观粒子的波粒二象性是指微观粒子在与物质作用时呈现出粒子的“原子性”，在传播过程中表现出波动性的本质“叠加性”。微观粒子到底是个什么东西？它在空间中到底怎么运动？
事实告诉我们微观粒子在空间中任何一点都有可能出现，但它出现在哪一点又是无法预测的。对于经典粒子，我们可以根据前一时刻的运动状态来预测其下一时刻的运动状态。但对于微观粒子我们不能做到这一点，我们只能知道下一时刻它可能出现在什么位置以及出现的概率是多少。
布朗运动图
当学习微观粒子那神秘诡异的运动时，我们不妨借助我们熟知的布朗运动来理解。这两幅图片分别是氢原子电子图和布朗运动图，我们可以从中看出他们一些相似的地方。
首先，二者的共同点是运动都是杂乱无章的，电子云图中的点的密集程度表示电子在此出现的概率的大小，布朗运动图中的折点是布朗粒子曾出现的位置，但折线并不是布朗粒子的运动轨迹。他们都不像宏观物体那样有其运动的轨道。其实我们知道布朗粒子的无规则运动其实质就是它所处环境中（像液体）分子的无规则运动。其次，这两种运动我们都无法预知其下一时刻的运动状态。这一时刻出现在这里，下一时刻可能出现在任何地方，谁都不
能规定它必须出现在某一确定位置。布朗粒子运动的不可预测性的根源也正是微观分子运动的不可预测性。这样我们可以类似理解微观粒子的运动状态。
但是我们也不能以此认为微观粒子就确实像布朗粒子那样运动，它们还是有区别的。电子云图中还可以表示电子再某一位置出现的概率，可是布朗运动连概率都不知道！因为布朗运动中环境的分子（像液体分子）的运动速度遵循玻耳兹曼分布，但布朗粒子的运动是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的运动，代表了一种随机涨落现象。更重要的是布朗粒子毕竟是宏观粒子，实验可以追踪观测它的运动，但对于微观粒子实验上却做不到这一点。
这既是量子理论区别于经典理论的一个最基本的经验事实——量子现象。经典物理中研究对象和观测手段能完全区分开来，被观测客体的属性不受观测手段的干扰。但在量子理论中，由于作用量子的存在，研究客体和观察手段之间的界线变得模糊起来，仪器对客体产生了不可控制的作用，且这种相互作用不可忽略也无法得到补偿，这就导致我们无法追踪微观粒子的每一时刻的运动状态。
所以布朗运动仅仅是在帮助我们理解微观粒子的运动时有一定的启发作用。而且应当指出：布朗粒子具有宏观粒子显著的粒子本性，其波动本性不易观察到。微观粒子的波粒二象性说明微观粒子的波动本性和粒子本性同等重要。
2. 波函数的理解
通过上面对微观粒子运动状态的初步理解，我们肯定会疑惑这样又是粒子又是波的微观粒子该怎样描述呢？类比经典意义上的波用波函数描述，微观粒子的运动状态我们也用波函数描述。
但并不是所有的波函数都可以用来描述微观粒子的运动状态的，只有那些物理上可容许的波函数才与可实现的物理状态相当，因此描述微观粒子的波函数必须满足单值、连续、有限的标准条件。
波函数本身不是可观测量，它的作用是对微观粒子的各种力学量的观测结果作出预
r 2言。波函数的物理意义是玻恩对它的统计诠释：波函数模的平方ϕ(r , t ) 表示微观粒子出现
r r 3在空间不同位置的概率分布。即：在坐标表象里微观粒子在t 时刻，在r 处的体积元d r 中r 23r u r 23u r 类似的在动量表象里波函数(p , t ) d p 表示微观粒子在t 时出现的概率是ϕ(r , t ) d r 。
刻，在p 处的体积元d 3p 中出现的概率。注意我们一般是在坐标表象中讨论波函数。
因为波函数乘一个常数A 后表示同一个态，所以波函数的绝对值没有意义，它的相对值才有意义。这就像从2个人中挑出一个人获奖和从100个人中挑出50个人获奖一样，你获奖的概率是一样的，概率就是相对值，获奖个数就是绝对值，增加再多的获奖个数对你都是没有意义的！波函数的前面可以乘以一个模为1的复常数e i δ，所以任意两点的波函数的相对相位才有意义。波函数可以叠加是因为相互独立事件的概率的叠加原理，既是在波函数u r u r ϕ1下，微观粒子出现在空间某一位置的概率是P 1，在波函数ϕ2下，微观粒子出现在空间该位置的概率是P 2，则在波函数Φ=C 1ϕ1+C 2ϕ2下，微观粒子出现在该位置的概率是P 1P 2的
2**叠加，但又不是经典意义上的叠加，此时P =C 12P 1+C 2P 2+2Re(C 1ϕ1C 2ϕ2) ，最后一项
是干涉项。正因为最后一项的存在，量子理论中的叠加才区别与经典统计力学的叠加。
3. 本征值、本征函数与投硬币
前面已经讨论过在给定的状态里测量微观粒子的力学量通常的不到确定的值，只能得到一系列可能的值，而且知道这一系列可能值的概率分布。这一系列的值是该力学量的本征值。这就好比我们投硬币，结果可能是正面，可能是反面，正面和反面就是本征值，两者的概率都是2，这就是概率分布。在给定状态里测量力学量得不到确定值，就象你在投硬币前无法预知这次是正面还是反面一样。
如果在某一特殊的状态中，力学量F 只能取确定的值f ，这一特殊状态叫与本征值f 对应的本征函数。一般讨论的坐标表象里本征函数是r , t 的函数。那这里本征函数的模平方表示什么呢？我们先来看一个例子。
粒子在一维无限深势阱中运动，求能量的本征值和本征函数。r
⎧0,0n 2h 2
E =8ma 2 n =1, 2, L ，对应的本征函数是：
能量的本征值是：
ψn (x ) =n πx a 。
由上例可知能量的本征函数是x 的函数。假设n =1时，能量的本征函
数πx h 22ψ(x ) =该事件在(0, a )区间内的概率分布，既是能的(x ) 表示E =28ma a
h 2h 2
量为E =在不同x 位置的概率。由能量本征函数是正弦函数知道，即能量E =8ma 28ma 2该事件在(0, a )区间内的概率分布是正弦分布，x=a/2时概率最大。
假设另一波函数Φ(x , t ) 包含能量的所有本征函数，换句话说波函数Φ(x , t ) 是各种不同E 的本征函数ϕn (x ) 的叠加。可以表示为：Φ(x , t ) =
2∑c (t ) ϕ(x ) 。该式中ϕ(x ) 的n n n n 它决定了在状态Φ(x , t ) 中能系数的绝对值的平方c n (t ) 是在Φ(x , t ) 中包含ϕn (x ) 的份额，
h 2
量为E n 的概率。例如c 1(t ) 表示在波函数Φ(x , t ) 状态下能量为E 1=的概率。 28ma 2
我觉得对于初学者一定要花时间深刻理解这一点：能量一定时，对应本征函数的模的平方是取该能量时对坐标的概率分布，也就是取该能量时的状态下，x 取某一值的概率。而给定另一状态时，测量能量有各种可能的值，这些值叫做本征值，能量取这些值的概率是
c n (t ) 。我们应该仔细比较这两种概率分布的区别，进一步理解波函数的意义，理解微观世界的分布问题。
量子理论中算符的本征函数具有正交性和完备性，对于这一点的理解我们可以类似对称矩阵的主值和主轴。
[小结]：
通过对微观粒子运动状态的理解，领悟微观粒子的波粒二象性的深刻含义，当然这是一个长久的过程，可能我们一时无法理解，但我们一定要试图用各种方式理解。在此基础上理解波函数描述微观粒子的运动状态，态的叠加原理和几率分布的含义。形象化的理解本征值和本征函数的意义。
参考文献
[1]刘连寿. 《理论物理基础教程》 高等教育出版社 2003
[2]胡响明 浅谈量子概念的理解 高等函授学报 2004年4月第17卷第2期
[3] [美] D . S . Saxon 著 苏耀中 叶安祚 译《初等量子力学》高等教育出版社 2