第三节 复合函数的求导法则
设函数x 处可导，
是由在对应点
及
复合而成的函数，函数
在点
处也可导，现在来研究如何求它的导数. ，就不能简单地由
而得到
，
例如，对于复合函数事实上，
所以有必要建立复合函数的求导法则. 由于的，而易求得： 前面已求得
和
是由
和
复合而成
是基本初等函数或基本初等函数的四则运算式，它们的导数很容
，
，容易看出它与
.
相等，这就揭示
了复合函数求导的一般法则:
法则4（复合函数的求导法则） 两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，即
上式也可以写成量）. 式中
或
（其中
表示函数y 对中间变量
的导数，而
是中间变表示中
表示函数y 对x 的导数，
间变量对自变量x 的导数. 例1 求下列函数的导数: (1) (3) 解 (1) 设 (2) 设
,
,则
; (2) . ,
, 则
;
(3) 设
，
, 则
从上面的例子可以看出，求复合函数的导数的关键在于把复合函数正确地分解成基本初等函数或基本初等函数的和、差、积、商，然后运用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算，最后把引进的中间变量代换成原来的自变量.
如果我们对复合函数的分解比较熟练后，就不必再把中间变量写出来，只要记在心中，按照复合函数的求导法则，由外向里，逐层求导即可. 例2 求函数 解
的导数.
=
复合函数的求导法则可以推广到两个以上中间变量的情形.
例3 求函数的导数.
解
有时，计算函数的导数需要同时运用函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则.
例4 求函数 解
的导数.
例5 求函数的导数.
解
在求函数的导数时，为计算简便起见，有时还需要先把函数变形为易于求导的形式，然后再进行求导.
例6 求下列函数的导数.
(1) ; (2) .
解 （1）因为
所以
（2）因为所以
.
例7 求函数解 由对数性质, 有
的导数
则
=
习题2-3
1. 求下列函数的导数:
(1) (3)
(2)
(4)
;
;
(5) ; (6) ;
(7) ; (8);
(9); (10) .
2. 求下列函数的导数在给定点处的导数: （1）
，
；
（2），；
（3）（4）
，，
；
3. 求下列函数的导数：
(1) ; (2)
.
（3）； （4）
4．求证函数
满足关系式：.
第三节 复合函数的求导法则
设函数x 处可导，
是由在对应点
及
复合而成的函数，函数
在点
处也可导，现在来研究如何求它的导数. ，就不能简单地由
而得到
，
例如，对于复合函数事实上，
所以有必要建立复合函数的求导法则. 由于的，而易求得： 前面已求得
和
是由
和
复合而成
是基本初等函数或基本初等函数的四则运算式，它们的导数很容
，
，容易看出它与
.
相等，这就揭示
了复合函数求导的一般法则:
法则4（复合函数的求导法则） 两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，即
上式也可以写成量）. 式中
或
（其中
表示函数y 对中间变量
的导数，而
是中间变表示中
表示函数y 对x 的导数，
间变量对自变量x 的导数. 例1 求下列函数的导数: (1) (3) 解 (1) 设 (2) 设
,
,则
; (2) . ,
, 则
;
(3) 设
，
, 则
从上面的例子可以看出，求复合函数的导数的关键在于把复合函数正确地分解成基本初等函数或基本初等函数的和、差、积、商，然后运用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算，最后把引进的中间变量代换成原来的自变量.
如果我们对复合函数的分解比较熟练后，就不必再把中间变量写出来，只要记在心中，按照复合函数的求导法则，由外向里，逐层求导即可. 例2 求函数 解
的导数.
=
复合函数的求导法则可以推广到两个以上中间变量的情形.
例3 求函数的导数.
解
有时，计算函数的导数需要同时运用函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则.
例4 求函数 解
的导数.
例5 求函数的导数.
解
在求函数的导数时，为计算简便起见，有时还需要先把函数变形为易于求导的形式，然后再进行求导.
例6 求下列函数的导数.
(1) ; (2) .
解 （1）因为
所以
（2）因为所以
.
例7 求函数解 由对数性质, 有
的导数
则
=
习题2-3
1. 求下列函数的导数:
(1) (3)
(2)
(4)
;
;
(5) ; (6) ;
(7) ; (8);
(9); (10) .
2. 求下列函数的导数在给定点处的导数: （1）
，
；
（2），；
（3）（4）
，，
；
3. 求下列函数的导数：
(1) ; (2)
.
（3）； （4）
4．求证函数
满足关系式：.