２０Ｉ２年６，Ｊ
名师导航
ＧＤ：ＧＥ：ＧＦ＝ｂｃ：ｃａ：ａｂ．
画心
｝◆、
文
性质３：设Ｇ为△ＡＢＣ的重心，＆ＡＢＣ三边长分别
为ｎ，ｂ，ｃ，且ＧＤ．ＧＥ，Ｇ玢别垂直于ＢＣ，Ｃ４，ＡＢ，则ＡＧ：ＢＧ：ＣＧ＝、压矿荔［彳：、／２ｃ≮ｊ孑二矿：
Ｘ／－－２ｄ＋２／１２＿ｃｊ．
证明：设ｍ。．ｍ。．ｍ，分别为边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢＥ的中线
窝
的长度，由中线公式：
‘，尊
ｒ、
⑧新疆石河子
ｍ产＼／！；１砑，ｍ。＝＼／：；１霹丁，ｍ，＝
故帕ＢＧ：ＣＧ＝；町了２嘶ｊ２
ｍ，＝
２
２．ｃ
＼／吉∽一手）
三角形的“四心”Ⅱ｜Ｊ再心、晕心、内心和外心．通过查阅文献发现，已有的关于－－：ｆ１１形“四心”的研究ｔ要包括“四心”的判定方法、“四心”的向壤形ｒ℃等方面．本文在已有研究的基础上，探讨二角形“四心”的其他性质｜ｊ｝｛丁篇幅，只就重心和内心作讨论，其余“两心”的４陀质可ｆ衣此探时．
、厄琢＾２：２Ｘ／２ｄ—＋２ｂ—２－ｃ２．
怔巧：‘＋一ｂ
＝、压ｉｊ；五２五２
三、关于内心的性质
性质ｌ：设，为ＡＡＢＣ的内心，△ＡＢＣ三边长分别为ａ．ｂ，ｃ，且
ｍ，厄，，盼别垂直于日ｃ，ＣＡ，ＡＢ，则：
ＩＤ：ＩＥ：，肚ｌ：Ｊ：１．此结论显然成立．
性质２：设，为ＡＡＢＣ的内心，△ＡＢＣ三边长分别为ａ，ｂ，ｃ，月．
一、“两心”的坐标表示
（１）设Ｇ为△，１片。的匝．Ｌ、＋其中４（ＴＩ．’１），Ｂ（Ｘ２，Ｙ２）．Ｃ（ｘ，，Ｙ））
则重心ｃ的坐＃】ｉ￡ｌ。Ｉ＋０¨１．㈠譬＋＿
Ｊ
ｊ
Ⅲ，厄，伊分别垂直于ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ，贝，ｌｌＡＩ：ＢＩ：ＣＩ＝、／６ｃ（ｂ＋ｃ一Ⅱ）：
该结论显然成正．尤颈正明．
（２）设，为△４口ｃ的内心．ｊ￡中１㈠．，．】，Ｂ（ｘ。’二）．Ｃ（ｘ３．”）
、／ｒ・ｎｒｃ丽：、／孤ｉ而ｊ）．
证明－
则重心肋々坐标为，】（Ｌｒｌ＋ｂ．。ｊ“’、‘，“１１¨？：＂ｊ’１．
证明．
如图３所爪，延长Ａ，，ＢＩ，ＣＩ．分别交ＢＣ，们，Ａ厅于点Ｐ．Ｑ．Ｒ，由梅涅劳斯定理得，Ｉ用Ａ．
如罔１，ｉ殳ＡＤ，／＿ｉＥ７ｊ『ｆｊ平分线，南角、ｒ分线定理知，ＢＤ：ＤＣ＝ｃ：ｂ，代人分点坐标公
’焉。扣结合角平分线定理．上式可
Ｃ
ｌ冬｜３
式得Ｄ点坐标为｛６７”。’．肌．：押＿ｌ，ｌｎ悔ｈ＋ｒ
｝Ｊ＋ｔ
变为ＭＰＩ．－｝’去＝ｌ，化简得．１ａ＝害熹，４Ｐ同理可得，倡＝
涅劳斯定理得．ＤＩ：，１－“：（＾＋ｒ）．再运用分点公式即得内心坐标，
，“１＋厶ｒ！＋（Ｘ。
ｆｔ斗ｂ斗ｔ
图１
ｒｎＩ＋厶ｈ＋（¨
ａ＋ｂ＋‘
堑画ｃ）匦一．ＢＱ：
Ｄ＋ｃ
Ⅱ＋６＋ｃ
“托ＢＱ，ＩＣ：』竺ＣＲ．再由角平分线公式得，ＡＰ＝
叶扫＋ｃ
Ｘ／‘ｃ。。。ａ。。’’（。。。ａ＋ｂ。＋‘ｃ。。。‘。）。。。（。。。ａ。＋ｃ－。。ｂ‘——）
叶ｆ
．Ｃ尺＝
二、关于重心的性质
性质１：设ｃ为Ａ４ＢＣ的重，ｈ△ｄ曰ｃｉ边长分别为Ⅱ，６而则Ｓ，～赫ｓ＿ｇＪ÷ｓ二ｍｔＦｌ㈠１
Ｉ．
些（翅夏巫至丑
将其代入伪。ｍ，，ｃ三式并化简得
Ａ，：ＢＩ：ＣＩ＝、／５ｃ（再ｃ二万：、／五百ｉｉ二耵：、／赢石；再万．
性质３：设，为△Ａ口ｃ的内心，△ＡＢｃ三边长分别为ｎ，ｂ，ｃ，则Ｓ“Ｎ：Ｓ△ｗ：Ｓ∞，＝ｃ：ａ：ｂ．结论显然成立．
此结论显然成市．证明略．
性质２：设Ｇ为△ＡＢｃ的重心．△ＡＢＣ＜边长分别为Ⅱ，ｂ，ｃ，１１ＧＤ，ＧＥ．ＧＦ分别垂直十ＢＣ．ＣＡ．．４占，ｌＪ！ｌ】
ＣＤ：ＧＥ：Ｇ，！ｂｃ：ｆ“：“６．
证明：
参考文献１
如图２所示，因为Ｓｉ．，，＝．，．，。＝＿，。。敞
１．蔡明．用向量观点看三角形的“四心”问题［Ｊ］．数学教学研
Ｃ
罔２
』Ⅱ．ＧＤ：１＾．ＧＥ一１（一ＧＦ，小难证得
究，２００７，２．一
万方数据
初中版十’？擞・？蠢薷醒酒
２０Ｉ２年６，Ｊ
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画心
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性质３：设Ｇ为△ＡＢＣ的重心，＆ＡＢＣ三边长分别
为ｎ，ｂ，ｃ，且ＧＤ．ＧＥ，Ｇ玢别垂直于ＢＣ，Ｃ４，ＡＢ，则ＡＧ：ＢＧ：ＣＧ＝、压矿荔［彳：、／２ｃ≮ｊ孑二矿：
Ｘ／－－２ｄ＋２／１２＿ｃｊ．
证明：设ｍ。．ｍ。．ｍ，分别为边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢＥ的中线
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三角形的“四心”Ⅱ｜Ｊ再心、晕心、内心和外心．通过查阅文献发现，已有的关于－－：ｆ１１形“四心”的研究ｔ要包括“四心”的判定方法、“四心”的向壤形ｒ℃等方面．本文在已有研究的基础上，探讨二角形“四心”的其他性质｜ｊ｝｛丁篇幅，只就重心和内心作讨论，其余“两心”的４陀质可ｆ衣此探时．
、厄琢＾２：２Ｘ／２ｄ—＋２ｂ—２－ｃ２．
怔巧：‘＋一ｂ
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三、关于内心的性质
性质ｌ：设，为ＡＡＢＣ的内心，△ＡＢＣ三边长分别为ａ．ｂ，ｃ，且
ｍ，厄，，盼别垂直于日ｃ，ＣＡ，ＡＢ，则：
ＩＤ：ＩＥ：，肚ｌ：Ｊ：１．此结论显然成立．
性质２：设，为ＡＡＢＣ的内心，△ＡＢＣ三边长分别为ａ，ｂ，ｃ，月．
一、“两心”的坐标表示
（１）设Ｇ为△，１片。的匝．Ｌ、＋其中４（ＴＩ．’１），Ｂ（Ｘ２，Ｙ２）．Ｃ（ｘ，，Ｙ））
则重心ｃ的坐＃】ｉ￡ｌ。Ｉ＋０¨１．㈠譬＋＿
Ｊ
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Ⅲ，厄，伊分别垂直于ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ，贝，ｌｌＡＩ：ＢＩ：ＣＩ＝、／６ｃ（ｂ＋ｃ一Ⅱ）：
该结论显然成正．尤颈正明．
（２）设，为△４口ｃ的内心．ｊ￡中１㈠．，．】，Ｂ（ｘ。’二）．Ｃ（ｘ３．”）
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证明－
则重心肋々坐标为，】（Ｌｒｌ＋ｂ．。ｊ“’、‘，“１１¨？：＂ｊ’１．
证明．
如图３所爪，延长Ａ，，ＢＩ，ＣＩ．分别交ＢＣ，们，Ａ厅于点Ｐ．Ｑ．Ｒ，由梅涅劳斯定理得，Ｉ用Ａ．
如罔１，ｉ殳ＡＤ，／＿ｉＥ７ｊ『ｆｊ平分线，南角、ｒ分线定理知，ＢＤ：ＤＣ＝ｃ：ｂ，代人分点坐标公
’焉。扣结合角平分线定理．上式可
Ｃ
ｌ冬｜３
式得Ｄ点坐标为｛６７”。’．肌．：押＿ｌ，ｌｎ悔ｈ＋ｒ
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变为ＭＰＩ．－｝’去＝ｌ，化简得．１ａ＝害熹，４Ｐ同理可得，倡＝
涅劳斯定理得．ＤＩ：，１－“：（＾＋ｒ）．再运用分点公式即得内心坐标，
，“１＋厶ｒ！＋（Ｘ。
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图１
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堑画ｃ）匦一．ＢＱ：
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Ⅱ＋６＋ｃ
“托ＢＱ，ＩＣ：』竺ＣＲ．再由角平分线公式得，ＡＰ＝
叶扫＋ｃ
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二、关于重心的性质
性质１：设ｃ为Ａ４ＢＣ的重，ｈ△ｄ曰ｃｉ边长分别为Ⅱ，６而则Ｓ，～赫ｓ＿ｇＪ÷ｓ二ｍｔＦｌ㈠１
Ｉ．
些（翅夏巫至丑
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Ａ，：ＢＩ：ＣＩ＝、／５ｃ（再ｃ二万：、／五百ｉｉ二耵：、／赢石；再万．
性质３：设，为△Ａ口ｃ的内心，△ＡＢｃ三边长分别为ｎ，ｂ，ｃ，则Ｓ“Ｎ：Ｓ△ｗ：Ｓ∞，＝ｃ：ａ：ｂ．结论显然成立．
此结论显然成市．证明略．
性质２：设Ｇ为△ＡＢｃ的重心．△ＡＢＣ＜边长分别为Ⅱ，ｂ，ｃ，１１ＧＤ，ＧＥ．ＧＦ分别垂直十ＢＣ．ＣＡ．．４占，ｌＪ！ｌ】
ＣＤ：ＧＥ：Ｇ，！ｂｃ：ｆ“：“６．
证明：
参考文献１
如图２所示，因为Ｓｉ．，，＝．，．，。＝＿，。。敞
１．蔡明．用向量观点看三角形的“四心”问题［Ｊ］．数学教学研
Ｃ
罔２
』Ⅱ．ＧＤ：１＾．ＧＥ一１（一ＧＦ，小难证得
究，２００７，２．一
万方数据
初中版十’？擞・？蠢薷醒酒