分段线性插值 2

1.4分段插值一. 分段线性插值

在每个区间 i i + 1 上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x):

for x ∈[x i , x i +1]

即用折线代替曲线。设f （x ）连续一f (x ) P 1h (x ) →记 h = max | x i + 1 - x i | 易证：当 h →0 致优点：计算简单，适用于光滑性要求不高的插值问题。

缺点：分段插值函数只能保证连续性，失去了原函数的光滑性。二. 分段三次（Hermite ）插值

不少实际插值问题不仅要求函数值相等，而且还要求导数值也相等。这就导致下面的Hermite 插值。

', ... , y n ', x 0, ... , x n ; y 0, ... , y n ; y 0

给定

[x i , x i +1]

在上利用两端点的 y 及 y' 构造3次Hermite 函数。 [x , x ]

S 3(x 并满足： ) =y i αi (x ) +y i +1αi +1(x ) +y i βi (x ) +y i +1βi +1(x ) S 3(x i ) =y i , S 3(x i +1) =y i +1, 从而 ' ' '

S 3(x i ) =y ' i , S 3(x i +1) =y i +1.

αi (x i ) =1, αi +1(x i ) =0, βi (x i ) =0, βi +1(x i ) =0, αi (x i +1) =0, αi +1(x i +1) =1, βi (x i +1) =0, βi +1(x i +1) =0,

' ' ' α' i (x i ) =0, αi +1(x i ) =0, βi (x i ) =1, βi +1(x i ) =0,

' ' '

α' i (x i +1) =0, αi +1(x i +1) =0, βi (x i +1) =0, βi +1(x i +1) =1.

2由此条件可得： x -x i ⎫2⎛x -x i +1⎫⎛

αi (x ) = ⎪ 1+2⎪, i +1⎭i +1i ⎭⎝i ⎝

2 ⎛x -x i +1⎫

βi (x ) = ⎪(x -x i ). i +1⎭⎝i

类似可得的表达式。

下面是matlab 函数pieceline （x ，y ，u ）实现分段线性插值多项式的计算。

function v=pline(x,y,u) delta=diff(y)./diff(x); n=length(x); k=ones(size(u)); for j=2:n-1

k(x(j)

s=u-x(k);

v=y(k)+s.*delta(k);

程序中，pline 是分段线性插值函数；

输入参数x ——给定的数据点的横坐标所组成的向量 Y ——给定的数据点的纵坐标所组成的向量 U ——需要计算的点所组成的向量

输出参数v ——u 所对应的分段线性插值多项式的值，即v （i ）=s1（u （i ）），其中s1是未来满足分段线性插值多项式

Detla 是计算差商的最后计算s 、v