关于积分第二中值定理的探讨
范喜红 指导老师：朱福国
(河西学院数学与统计学院 甘肃张掖 734000)
摘 要 本文以实例的形式, 列举了积分第二中值定理在判别无界函数积分收敛, 解决与极限有关的问题, 证明积分的不等式和等式等方面的应用. 并讨论了减弱条件的积分第二中值定理“中间点”的渐近性态.
关键词 积分第二中值定理；应用；中间点；渐近性态 中图分类号 O 172.2
On the integral of the second mean value theorem
Fan Xihong Instructor Zhu Fuguo
(School of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000)
Abstract: In this paper, as an instance of, The second lists the integral mean value theorem in identifying the convergence points of unbounded functions, solve problems of the limit, Prove integral inequalities and equations in such applications.And discussed the weakened condition of the second integral mean value theorem "middle point" of the progressive state.
Keywords: The second integral mean value theorem;Application;Mid-point;Asymptotic behavior
1 引言
积分第二中值定理是数学分析的基本定理, 在判别无界函数积分收敛、证明定积分的不等式、解决与极限有关的问题等方面有广泛应用. 为加深积分第二中值定理的理解初步探讨了“中间点”的渐近性态.
2 积分第二中值定理
定理 1[] 如果f (x ), g (x )是[a , b ]上的可积函数, 且g (x )在[a , b ]单调, 则至
1
少存在一点ξ∈[a , b ]使得
⎰f (x )g (x )dx =g (a )⎰f (x )dx +g (b )⎰f (x )dx (1)
a
a
b
ξb
ξ
3 积分第二中值定理的应用
3.1 无界函数积分收敛的判别法.
2
例1 阿贝尔判别法[]：设f (x ) 在x =a 有奇点, ⎰f (x )dx 收敛, 其中
b
a
b >a , g (x )单调有界, 那么积分⎰f (x )g (x )dx 收敛.
a
b
证明 依假设, 利用第二积分中值定理, 在任何[A, A']⊆(a , b )上, 存在ξ使得⎰f (x )g (x )dx =g (A)⎰f (x )dx +g (A')⎰f (x )dx , 又因为⎰f (x )dx 收敛, 所
AA'
ξA'b
Aξa
以对任意的ε>0, 存在η满足0
⎰
ξ
A
f (x )dx
⎰ξf (x )dx
⎰
A'
A'
. 因为g (x )有界, 不妨设g (x )
A, A'∈(a , a +η)时,
A
f (x )g (x )dx
ξ
A'
A
≤g (A)⎰f (x )dx +g (A')⎰≤g (A)⋅≤2L ε.
b
ξ
f (x )dx
A'
⎰f (x )dx +g (A')⋅⎰ξf (x )dx
A
ξ
由柯西积分原理得, ⎰f (x )g (x )dx 收敛.
a
3.2 与极限有关的问题.
⎧1-x 2, 当x ≤1b sin λx ⎪
dx (b >0) . 例2 设f (x )=⎨, 试计算lim ⎰f (x )λ→∞00 , 当x >1x ⎪⎩
*
解 取b *=min {b ,1}, 则f (x )在⎡⎣0, b ⎤⎦上递减, 由积分第二中值定理有
sin λx
dx ⎰0
x b *sin λx
=f (0)⎰f (x )dx
0x ξsin λx
=f (0)⎰0x
λξsin t
(0
因此
b λξsin t sin λx πlim ⎰f (x )dx =⎰=.
0λ→∞02x t
3.3 证明积分不等式和等式.
b
f (x )
例
3 设f (x )在[a , b ]上连续，且单调增加，证明：
⎰
b
a
xf (x )dx ≥
a +b b
f (x )dx . ⎰a 2
证明 因为
⎰
=
b
a
a +b b
xf (x )dx -f (x )dx
2⎰a
b
a +b ⎫⎛x -⎪f (x )dx ⎰a 2⎭⎝
ξ
b ⎛a +b ⎫a +b ⎫⎛
=f (a )⎰ x -dx f b x -+()⎪⎪dx (a ≤ξ≤b ) ⎰a ξ 22⎝⎭⎝⎭b ⎛b ⎛a +b ⎫a +b ⎫ =f (a )⎰ x -dx +f b -f a x -⎡⎤()()⎦⎰ξ ⎪⎪dx ⎣a 2⎭2⎭⎝⎝
⎡b 2-ξ2a +b ⎤ =⎡f b -f a -b -ξ⎤()()()⎥ ⎣⎦⎢22⎣⎦
b -ξ
f b -f a ⎤ =⎡()()⎣⎦2(ξ-a )≥0
所以
b a +b b xf x dx ≥f (x )dx . ()⎰a ⎰a 2
例4 设b >a >0, θ>0, 证明：∃ξ
b
a
e -θx sin x 2ξ
=. x a
e -θx
证明 令f (x )=, g (x )=sin x , 则g (x )在[a , b ]上连续, 又
x f '(x )=-
1+θx -θx
e
分第二中值定理知, ∃η∈[a , b ], 使得
⎰
b
a
ηe -θx sin x e -θx
dx =f (a )⎰g (x )dx =(cos α-cos η), a a x
b
即
⎰
a
e -θx sin x 2
dx
-θx
b e a b e -θx sin x sin x 2ξ
dx , 则有
a 2a x x a
4 积分第二中值定理中间点的渐近性态
定理2[] 设函数f (x ) 在[a , b ]上连续且不变号, f (a ) ≠0, g (x )在[a , b ]上单
3
调且连续, g (n ) (a ) 存在, 且g '(a ) =g ''(a ) =„=g (n -1) (a ) =0,g (n ) (a ) ≠0(n ≥1) , 则对
于(1)中的ξ有
lim 或
n
b →a b -a n +1
定理2的条件还是稍强了一些, 实际上这个定理的条件还可以减弱. 下面给出定理2条件减弱的“中值点”的渐进性定理:
b -ξ1
=
b →a b -a n +1
lim
ξ-a
=
定理3[4] 设函数f (x ) 在[a , b ]上连续且不变号, 且f (a ) ≠0, g (x )在[a , b ]
(n ) (n )
上单调, g +(a ) ≠0, 则对于式(1)中的(a ) 存在, g '(a ) =g ''(a ) =„=g (n -1) (a ) =0,g +
ξ有
lim +
b →a
b -ξ1
= b -a n +1
证明 由题设可得
⎰
b
a
f (x ) dx ≠0. 由f (x ) 在[a , b ]上连续, 则有
⎰
b
a
(n )
f (x ) d =x η(f ) -(b , ηa ∈[a , b ]. 由g +(a ) 存在, g '(a ) =g ''(a ) =„=g (n -1) (a ) =0，
(n ) g +(a ) ≠0, 容易证明
(n )
(a ) g (b ) -g (a ) g +
lim （2） =n
b →a +(b -a ) n !
b →a
lim +
⎰
b
a
f (x ) g (x ) dx -g (a ) ⎰f (x ) dx
⎡f (x ) dx ⎤
⎢⎰a ⎥⎣⎦
n
b
b
a
n +1
=lim +
b →a
f (b ) g (b ) -f (a ) g (a ) (n +1) ⎡⎰f (x ) dx ⎤f (b )
⎢⎥⎣a ⎦
b
=lim +
b →a
g (b ) -g (a ) (n +1) [f (η) ](b -a )
(n )
g +(a )
n
n
n
=
(n +1)! [f (a ) ]
（3）
另一方面由积分第二中值定理、积分第一中值定理及式（2）, 我们有
b →a
lim +
⎰
b
a
f (x ) g (x ) dx -g (a ) ⎰f (x ) dx
⎡f (x ) dx ⎤⎢⎰a ⎥⎣⎦
ξa
b
a
n +1
b
=lim +
b →a
g (a ) ⎰f (x ) dx +g (b ) ⎰f (x ) dx -g (a ) ⎰f (x ) dx
ξ
a
b b
⎡f (x ) dx ⎤
⎢⎥⎣⎰a ⎦
b
n +1
=lim +
b →a
[g (b ) -g (a ) ]⎰f (x ) dx
ξ
b
⎡f (x ) dx ⎤
⎢⎰a ⎥⎣⎦
b
n +1
=lim +
b →a
f (η1) b -ξg (b ) -g (a )
⋅⋅
(b -a ) n [f (η2) ]n +1b -a
n
=
(n ) g +(a )
n ! [f (a ) ]
⋅lim +
b →a
b -ξ
（4） b -a
其中η1∈[ξ, b ], η2∈[a , b ]. 由式（3）和式（4）即得
b -ξ1
=.
b →a b -a n +1
比较定理2和定理3可以看出, 定理3的条件比定理2的弱，但得到的结果相同.
致谢 衷心感谢朱福国老师的悉心指导!
参 考 文 献
lim +
[1] 华东师范大学数学系. 数学分析(上册)[M ].北京:高等教育出版社,2001.223-224.
[2] 朱碧, 王磊. 积分第二中值定理的一些推广及其应[J ].数学教学与研究,2008,30:49-50. [3] 吴志友, 夏雪. 积分第二中值定理“中值点”的渐近性[J ].数学的实践与认识,2004,34（3）：170-176.
[4] 陈新一, 唐文玲. 关于积分第二中值定理“中值点”的一个注记[J ].甘肃联合大学学
报,2005,19（3）：3-5.
关于积分第二中值定理的探讨
范喜红 指导老师：朱福国
(河西学院数学与统计学院 甘肃张掖 734000)
摘 要 本文以实例的形式, 列举了积分第二中值定理在判别无界函数积分收敛, 解决与极限有关的问题, 证明积分的不等式和等式等方面的应用. 并讨论了减弱条件的积分第二中值定理“中间点”的渐近性态.
关键词 积分第二中值定理；应用；中间点；渐近性态 中图分类号 O 172.2
On the integral of the second mean value theorem
Fan Xihong Instructor Zhu Fuguo
(School of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000)
Abstract: In this paper, as an instance of, The second lists the integral mean value theorem in identifying the convergence points of unbounded functions, solve problems of the limit, Prove integral inequalities and equations in such applications.And discussed the weakened condition of the second integral mean value theorem "middle point" of the progressive state.
Keywords: The second integral mean value theorem;Application;Mid-point;Asymptotic behavior
1 引言
积分第二中值定理是数学分析的基本定理, 在判别无界函数积分收敛、证明定积分的不等式、解决与极限有关的问题等方面有广泛应用. 为加深积分第二中值定理的理解初步探讨了“中间点”的渐近性态.
2 积分第二中值定理
定理 1[] 如果f (x ), g (x )是[a , b ]上的可积函数, 且g (x )在[a , b ]单调, 则至
1
少存在一点ξ∈[a , b ]使得
⎰f (x )g (x )dx =g (a )⎰f (x )dx +g (b )⎰f (x )dx (1)
a
a
b
ξb
ξ
3 积分第二中值定理的应用
3.1 无界函数积分收敛的判别法.
2
例1 阿贝尔判别法[]：设f (x ) 在x =a 有奇点, ⎰f (x )dx 收敛, 其中
b
a
b >a , g (x )单调有界, 那么积分⎰f (x )g (x )dx 收敛.
a
b
证明 依假设, 利用第二积分中值定理, 在任何[A, A']⊆(a , b )上, 存在ξ使得⎰f (x )g (x )dx =g (A)⎰f (x )dx +g (A')⎰f (x )dx , 又因为⎰f (x )dx 收敛, 所
AA'
ξA'b
Aξa
以对任意的ε>0, 存在η满足0
⎰
ξ
A
f (x )dx
⎰ξf (x )dx
⎰
A'
A'
. 因为g (x )有界, 不妨设g (x )
A, A'∈(a , a +η)时,
A
f (x )g (x )dx
ξ
A'
A
≤g (A)⎰f (x )dx +g (A')⎰≤g (A)⋅≤2L ε.
b
ξ
f (x )dx
A'
⎰f (x )dx +g (A')⋅⎰ξf (x )dx
A
ξ
由柯西积分原理得, ⎰f (x )g (x )dx 收敛.
a
3.2 与极限有关的问题.
⎧1-x 2, 当x ≤1b sin λx ⎪
dx (b >0) . 例2 设f (x )=⎨, 试计算lim ⎰f (x )λ→∞00 , 当x >1x ⎪⎩
*
解 取b *=min {b ,1}, 则f (x )在⎡⎣0, b ⎤⎦上递减, 由积分第二中值定理有
sin λx
dx ⎰0
x b *sin λx
=f (0)⎰f (x )dx
0x ξsin λx
=f (0)⎰0x
λξsin t
(0
因此
b λξsin t sin λx πlim ⎰f (x )dx =⎰=.
0λ→∞02x t
3.3 证明积分不等式和等式.
b
f (x )
例
3 设f (x )在[a , b ]上连续，且单调增加，证明：
⎰
b
a
xf (x )dx ≥
a +b b
f (x )dx . ⎰a 2
证明 因为
⎰
=
b
a
a +b b
xf (x )dx -f (x )dx
2⎰a
b
a +b ⎫⎛x -⎪f (x )dx ⎰a 2⎭⎝
ξ
b ⎛a +b ⎫a +b ⎫⎛
=f (a )⎰ x -dx f b x -+()⎪⎪dx (a ≤ξ≤b ) ⎰a ξ 22⎝⎭⎝⎭b ⎛b ⎛a +b ⎫a +b ⎫ =f (a )⎰ x -dx +f b -f a x -⎡⎤()()⎦⎰ξ ⎪⎪dx ⎣a 2⎭2⎭⎝⎝
⎡b 2-ξ2a +b ⎤ =⎡f b -f a -b -ξ⎤()()()⎥ ⎣⎦⎢22⎣⎦
b -ξ
f b -f a ⎤ =⎡()()⎣⎦2(ξ-a )≥0
所以
b a +b b xf x dx ≥f (x )dx . ()⎰a ⎰a 2
例4 设b >a >0, θ>0, 证明：∃ξ
b
a
e -θx sin x 2ξ
=. x a
e -θx
证明 令f (x )=, g (x )=sin x , 则g (x )在[a , b ]上连续, 又
x f '(x )=-
1+θx -θx
e
分第二中值定理知, ∃η∈[a , b ], 使得
⎰
b
a
ηe -θx sin x e -θx
dx =f (a )⎰g (x )dx =(cos α-cos η), a a x
b
即
⎰
a
e -θx sin x 2
dx
-θx
b e a b e -θx sin x sin x 2ξ
dx , 则有
a 2a x x a
4 积分第二中值定理中间点的渐近性态
定理2[] 设函数f (x ) 在[a , b ]上连续且不变号, f (a ) ≠0, g (x )在[a , b ]上单
3
调且连续, g (n ) (a ) 存在, 且g '(a ) =g ''(a ) =„=g (n -1) (a ) =0,g (n ) (a ) ≠0(n ≥1) , 则对
于(1)中的ξ有
lim 或
n
b →a b -a n +1
定理2的条件还是稍强了一些, 实际上这个定理的条件还可以减弱. 下面给出定理2条件减弱的“中值点”的渐进性定理:
b -ξ1
=
b →a b -a n +1
lim
ξ-a
=
定理3[4] 设函数f (x ) 在[a , b ]上连续且不变号, 且f (a ) ≠0, g (x )在[a , b ]
(n ) (n )
上单调, g +(a ) ≠0, 则对于式(1)中的(a ) 存在, g '(a ) =g ''(a ) =„=g (n -1) (a ) =0,g +
ξ有
lim +
b →a
b -ξ1
= b -a n +1
证明 由题设可得
⎰
b
a
f (x ) dx ≠0. 由f (x ) 在[a , b ]上连续, 则有
⎰
b
a
(n )
f (x ) d =x η(f ) -(b , ηa ∈[a , b ]. 由g +(a ) 存在, g '(a ) =g ''(a ) =„=g (n -1) (a ) =0，
(n ) g +(a ) ≠0, 容易证明
(n )
(a ) g (b ) -g (a ) g +
lim （2） =n
b →a +(b -a ) n !
b →a
lim +
⎰
b
a
f (x ) g (x ) dx -g (a ) ⎰f (x ) dx
⎡f (x ) dx ⎤
⎢⎰a ⎥⎣⎦
n
b
b
a
n +1
=lim +
b →a
f (b ) g (b ) -f (a ) g (a ) (n +1) ⎡⎰f (x ) dx ⎤f (b )
⎢⎥⎣a ⎦
b
=lim +
b →a
g (b ) -g (a ) (n +1) [f (η) ](b -a )
(n )
g +(a )
n
n
n
=
(n +1)! [f (a ) ]
（3）
另一方面由积分第二中值定理、积分第一中值定理及式（2）, 我们有
b →a
lim +
⎰
b
a
f (x ) g (x ) dx -g (a ) ⎰f (x ) dx
⎡f (x ) dx ⎤⎢⎰a ⎥⎣⎦
ξa
b
a
n +1
b
=lim +
b →a
g (a ) ⎰f (x ) dx +g (b ) ⎰f (x ) dx -g (a ) ⎰f (x ) dx
ξ
a
b b
⎡f (x ) dx ⎤
⎢⎥⎣⎰a ⎦
b
n +1
=lim +
b →a
[g (b ) -g (a ) ]⎰f (x ) dx
ξ
b
⎡f (x ) dx ⎤
⎢⎰a ⎥⎣⎦
b
n +1
=lim +
b →a
f (η1) b -ξg (b ) -g (a )
⋅⋅
(b -a ) n [f (η2) ]n +1b -a
n
=
(n ) g +(a )
n ! [f (a ) ]
⋅lim +
b →a
b -ξ
（4） b -a
其中η1∈[ξ, b ], η2∈[a , b ]. 由式（3）和式（4）即得
b -ξ1
=.
b →a b -a n +1
比较定理2和定理3可以看出, 定理3的条件比定理2的弱，但得到的结果相同.
致谢 衷心感谢朱福国老师的悉心指导!
参 考 文 献
lim +
[1] 华东师范大学数学系. 数学分析(上册)[M ].北京:高等教育出版社,2001.223-224.
[2] 朱碧, 王磊. 积分第二中值定理的一些推广及其应[J ].数学教学与研究,2008,30:49-50. [3] 吴志友, 夏雪. 积分第二中值定理“中值点”的渐近性[J ].数学的实践与认识,2004,34（3）：170-176.
[4] 陈新一, 唐文玲. 关于积分第二中值定理“中值点”的一个注记[J ].甘肃联合大学学
报,2005,19（3）：3-5.