导数的概念及运算
1．函数y ＝f (x ) 从x 1到x 2的平均变化率
f (x 2)－f (x 1)
函数y ＝f (x ) 从x 1到x 2的平均变化率为Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2) －f (x 1) ，则平均变
x 2－x 1Δy
化率可表示为.
Δx
2．函数y ＝f (x ) 在x ＝x 0处的导数 (1)定义
称函数y ＝f (x ) 在x ＝x 0处的瞬时变化率lim →
Δx 0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δy
＝lim y ＝f (x ) 在x ＝x 0处Δx Δx →0Δx
Δx 0
的导数，记作f ′(x 0) 或y ′|x ＝x ，即f ′(x 0) ＝lim →(2)几何意义
f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δy
lim . Δx Δx →0Δx
函数f (x ) 在点x 0处的导数f ′(x 0) 的几何意义是在曲线y ＝f (x ) 应地，切线方程为3．函数f (x ) 的导函数 称函数f ′(x ) ＝lim →
Δx 0
f (x ＋Δx )－f (x )
为f (x ) 的导函数，导函数有时也记作y ′.
Δx
4．基本初等函数的导数公式
5. (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ) ； (2)[f (x )·g (x )]′＝； (3)⎡
f (x )⎤f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )
′＝ (g (x ) ≠0) ． ⎣g (x )⎦[g (x )]1．设函数y ＝f(x)＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A ．2.1 B ．1.1 C ．2 D ．0
Δs
2．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt时，物体的位移为Δs，那么Δt趋于0Δt( )
A ．从时间t 到t ＋Δt时物体的平均速度 B ．在t 时刻物体的瞬时速度 C ．当时间为Δt时物体的速度 D ．在时间t ＋Δt时物体的瞬时速度
3．一辆汽车在起步的前10秒内，按s ＝3t 2＋1做直线运动，则在2≤t ≤3这段时间内的平均速度是( )
A ．4 B ．13 C ．15
D ．28
4．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2) 的直线运动(s的单位为m ，t 的单位为s) ，那么其在1.2 s末的瞬时速度为( )
A ．－4.8 m/s
B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s
1
5．函数y ＝[1,3]上的平均变化率为________．
x
9
6．已知函数f(x)＝x 2－2x ＋3，且y ＝f(x)在[2，a]，则a ＝________.
4ππππ
0，. 分别求y ＝f(x)在⎡0及⎡上的平均变化率． 7．已知函数f(x)＝sin x，x ∈⎡⎣2⎣6⎣62
8．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s) ：
⎧3t 2＋2， t ≥3，⎪
s ＝⎨求： 2
⎪29＋3(t －3)， 0≤t ＜3. ⎩
(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度．
1. y =2x +1在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
2. 设函数y =f (x ) ，当自变量x 由x 0改变到x 0+∆x 时，函数的改变量∆y 为（ ）
A ．f (x 0+∆x ) B ．f (x 0) +∆x C ．f (x 0) ∆x D ．f (x 0+∆x ) -f (x 0) 3. 质点运动动规律s =t 2+3，则在时间(3,3+∆t ) 中，相应的平均速度为（ ）
9
A ．6+∆t B ．6+∆t +C ．3+∆t D ．9+∆t
∆t
1
4. 已知s =gt 2，从3s 到3.1s 的平均速度是________________________.
2
5. y =x 2-2x +3在x =2附近的平均变化率是______________________.
6. 已知函数y =f (x ) =2x 2-1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+∆x ，f (1+∆x ）），求
∆y
. ∆x
1
1．设函数f (x ) ＝ax 3＋bx (a ≠0) ，若f (3)＝3f ′(x 0) ，则x 0等于( )
3 A ．±1 2 C ．3 D ．2 例1 用定义法求函数f (x ) ＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数．
1Δy
(1)函数y ＝x ＋在[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率＝________；该函数在x ＝1处的导数是
x Δx ____________________________________． (2)已知f (x ) 1
，则f ′(1)＝________. x
(2)若函数f (x ) ＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1) 等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0
例3 已知函数f (x ) ＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x ) 在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2) 的曲线f (x ) 的切线方程．
b
(1)(2014·江苏) 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋(a ，b 为常数) 过点P (2，－5) ，且
x 该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．
A 组 专项基础训练
1．设f (x ) ＝x ln x ，若f ′(x 0) ＝2，则x 0的值为( ) ln 2
A ．e 2 B ．e D ．ln 2
2
2．已知函数f (x ) 的导函数为f ′(x ) ，且满足f (x ) ＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e
3．设函数f (x ) ＝g (x ) ＋x 2，曲线y ＝g (x ) 在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x ) 在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )
11 A ．4 B ．－ C ．2 D ．－
424．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )
A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0 5．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( ) 1111
A. B. C. D.
12632
6．已知函数f (x ) 的导函数为f ′(x ) ，且满足f (x ) ＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________. 7. 已知函数y ＝f (x ) 及其导函数y ＝f ′(x ) 的图象如图所示，则曲线y ＝f (x ) 在点P 处的切线方程是__________．
9．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限． (1)求P 0的坐标；
(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．
10．已知函数f (x ) ＝x 3＋x －16.
(1)求曲线y ＝f (x ) 在点(2，－6) 处的切线的方程；
(2)直线l 为曲线y ＝f (x ) 的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．
导数的概念及运算
1．函数y ＝f (x ) 从x 1到x 2的平均变化率
f (x 2)－f (x 1)
函数y ＝f (x ) 从x 1到x 2的平均变化率为Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2) －f (x 1) ，则平均变
x 2－x 1Δy
化率可表示为.
Δx
2．函数y ＝f (x ) 在x ＝x 0处的导数 (1)定义
称函数y ＝f (x ) 在x ＝x 0处的瞬时变化率lim →
Δx 0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δy
＝lim y ＝f (x ) 在x ＝x 0处Δx Δx →0Δx
Δx 0
的导数，记作f ′(x 0) 或y ′|x ＝x ，即f ′(x 0) ＝lim →(2)几何意义
f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δy
lim . Δx Δx →0Δx
函数f (x ) 在点x 0处的导数f ′(x 0) 的几何意义是在曲线y ＝f (x ) 应地，切线方程为3．函数f (x ) 的导函数 称函数f ′(x ) ＝lim →
Δx 0
f (x ＋Δx )－f (x )
为f (x ) 的导函数，导函数有时也记作y ′.
Δx
4．基本初等函数的导数公式
5. (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ) ； (2)[f (x )·g (x )]′＝； (3)⎡
f (x )⎤f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )
′＝ (g (x ) ≠0) ． ⎣g (x )⎦[g (x )]1．设函数y ＝f(x)＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A ．2.1 B ．1.1 C ．2 D ．0
Δs
2．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt时，物体的位移为Δs，那么Δt趋于0Δt( )
A ．从时间t 到t ＋Δt时物体的平均速度 B ．在t 时刻物体的瞬时速度 C ．当时间为Δt时物体的速度 D ．在时间t ＋Δt时物体的瞬时速度
3．一辆汽车在起步的前10秒内，按s ＝3t 2＋1做直线运动，则在2≤t ≤3这段时间内的平均速度是( )
A ．4 B ．13 C ．15
D ．28
4．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2) 的直线运动(s的单位为m ，t 的单位为s) ，那么其在1.2 s末的瞬时速度为( )
A ．－4.8 m/s
B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s
1
5．函数y ＝[1,3]上的平均变化率为________．
x
9
6．已知函数f(x)＝x 2－2x ＋3，且y ＝f(x)在[2，a]，则a ＝________.
4ππππ
0，. 分别求y ＝f(x)在⎡0及⎡上的平均变化率． 7．已知函数f(x)＝sin x，x ∈⎡⎣2⎣6⎣62
8．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s) ：
⎧3t 2＋2， t ≥3，⎪
s ＝⎨求： 2
⎪29＋3(t －3)， 0≤t ＜3. ⎩
(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度．
1. y =2x +1在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
2. 设函数y =f (x ) ，当自变量x 由x 0改变到x 0+∆x 时，函数的改变量∆y 为（ ）
A ．f (x 0+∆x ) B ．f (x 0) +∆x C ．f (x 0) ∆x D ．f (x 0+∆x ) -f (x 0) 3. 质点运动动规律s =t 2+3，则在时间(3,3+∆t ) 中，相应的平均速度为（ ）
9
A ．6+∆t B ．6+∆t +C ．3+∆t D ．9+∆t
∆t
1
4. 已知s =gt 2，从3s 到3.1s 的平均速度是________________________.
2
5. y =x 2-2x +3在x =2附近的平均变化率是______________________.
6. 已知函数y =f (x ) =2x 2-1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+∆x ，f (1+∆x ）），求
∆y
. ∆x
1
1．设函数f (x ) ＝ax 3＋bx (a ≠0) ，若f (3)＝3f ′(x 0) ，则x 0等于( )
3 A ．±1 2 C ．3 D ．2 例1 用定义法求函数f (x ) ＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数．
1Δy
(1)函数y ＝x ＋在[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率＝________；该函数在x ＝1处的导数是
x Δx ____________________________________． (2)已知f (x ) 1
，则f ′(1)＝________. x
(2)若函数f (x ) ＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1) 等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0
例3 已知函数f (x ) ＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x ) 在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2) 的曲线f (x ) 的切线方程．
b
(1)(2014·江苏) 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋(a ，b 为常数) 过点P (2，－5) ，且
x 该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．
A 组 专项基础训练
1．设f (x ) ＝x ln x ，若f ′(x 0) ＝2，则x 0的值为( ) ln 2
A ．e 2 B ．e D ．ln 2
2
2．已知函数f (x ) 的导函数为f ′(x ) ，且满足f (x ) ＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e
3．设函数f (x ) ＝g (x ) ＋x 2，曲线y ＝g (x ) 在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x ) 在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )
11 A ．4 B ．－ C ．2 D ．－
424．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )
A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0 5．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( ) 1111
A. B. C. D.
12632
6．已知函数f (x ) 的导函数为f ′(x ) ，且满足f (x ) ＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________. 7. 已知函数y ＝f (x ) 及其导函数y ＝f ′(x ) 的图象如图所示，则曲线y ＝f (x ) 在点P 处的切线方程是__________．
9．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限． (1)求P 0的坐标；
(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．
10．已知函数f (x ) ＝x 3＋x －16.
(1)求曲线y ＝f (x ) 在点(2，－6) 处的切线的方程；
(2)直线l 为曲线y ＝f (x ) 的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．