抛物线知识点归纳总结(1)

抛物线知识点总结

1. 直线与抛物线的位置关系

直线，抛物线，，消y得：（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k≠0时，

Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0，直线l与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线l：ykxb 抛物线，(p0)

① 联立方程法： ykxb

k2x22(kbp)xb20 2

y2px

设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有0,以及x1x2,x1x2，

还可进一步求出y1y2kx1bkx2bk(x1x2)2b，y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

a. 相交弦AB的弦长

ABk2x1x2k2(x1x2)24x1x2k2或 AB

 a

1122

yy(yy)4yyk12121222

kka

xxyy2

b. 中点M(x0,y0), x012， y01

② 点差法：

设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得

y12px1 y22px2 将两式相减，可得

(y1y2)(y1y2)2p(x1x2) ,

y1y22p



x1x2y1y2

a. 在涉及斜率问题时，kAB

y1y2

py1y22p2pp

，即kAB， 

y0x1x2y1y22y0y0

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，

同理，对于抛物线x22py(p0)，若直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(x0,y0)是弦AB的中点，则

2xxxx

有kAB1200

2p2pp

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）