1．已知二次函数y =x 2﹣2mx +m 2+3（m 是常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点？
2．如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过A （2，0），B （0，﹣1）和C （4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ，求点D 的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y =x +1，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
3．二次函数图象的顶点在原点O ，经过点A （1，
1
）；点F （0，1）在y 轴上．直线y =﹣1与y 轴交于点H ． 4
（1）求二次函数的解析式；（2）点P 是（1）中图象上的点，过点P 作x 轴的垂线与直线y =﹣1交于点M ，求证：FM 平分∠OFP ；（3）当△FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标．
4．如图，Rt △PMN 中，∠P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD 的长和宽分别为8cm 和2cm ，C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上，令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1cm 的速度移动（如图），直到C 点与N 点重合为止，设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为ycm 2，求y 与x 之间的函数关系式。
5．如图13，在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30︒，BC =8，D 在边BC 上，E 在线段DC 上，DE =4，△DEF 是等边三角形，边DF 交边AB 于点M ，边EF 交边AC 于点N . （1）求证：△BMD ∽△CNE ；（2）当BD 为何值时，以M 为圆心，以MF 为半径的圆与BC 相切？（3）设BD =x ，五边形ANEDM 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式（要求写出自变量x 的取值范围）；当x 为何值时，y 有最大值？并求y 的最大值.
6．如图，直线l 的解析式为y ＝－x ＋4，它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点，运动时间为t 秒（0＜t ≤4）．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重合部分的面积为S 2，①当2＜t ≤4时，试探究S 2与t 之间的函数关系式；②在直线m 的运动过
5
程中，当t 为何值时，S 2为△OAB 的面积的？
16
F A
N
B D E C
二次函数图象的顶点在原点O ，经过点A （1，（1）求二次函数的解析式；
1）；点F （0，1）在y 轴上．直线y =﹣1与y 轴交于点H ． 4
（2）点P 是（1）中图象上的点，过点P 作x 轴的垂线与直线y =﹣1交于点M ，求证：FM 平分∠OFP ； （3）当△FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标．
（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O ，∴设二次函数的解析式为y =ax 2，将点A （1，∴二次函数的解析式为y =
11）代入y =ax 2得：a =，44
12
x ； 4
111
（2）证明：∵点P 在抛物线y =x 2上，∴可设点P 的坐标为（x ，x 2），过点P 作PB ⊥y 轴于点B ，则BF =x 2﹣1，
444
PB =x ，∴Rt △BPF 中，PF =
=
121
x +1，∵PM ⊥直线y =﹣1，∴PM =x 2+1，∴PF =PM ， 44
∴∠PFM =∠PMF ，又∵PM ∥x 轴，∴∠MFH =∠PMF ，∴∠PFM =∠MFH ，∴FM 平分∠OFP ； （3）解：当△FPM 是等边三角形时，∠PMF =60°，∴∠FMH =30°，在Rt △MFH 中，MF =2FH =2×2=4， ∵PF =PM =FM ，∴3）．
例1 （2005年河南省）如图，Rt △PMN 中，∠P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD 的长和宽分别为8cm 和2cm ，
C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上，令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1cm 的速度移动（如图），直到C 点与N 点重合为止，设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为ycm ，求y 与x 之间的函数关系式。
2
12
x +1=4，解得：x =±24
，∴
121x =×12=3，∴满足条件的点P 的坐标为（244
，3）或（﹣2，
解：在Rt ∆PMN 中，∵PM=PN，∠P=90°
∴∠PMN =∠PNM =45︒
延长AD 分别交PM 、PN 于点G 、H ，过G 作GF ⊥MN 于F ，过H 作HT ⊥MN 于T 。 ∵DC=2cm，∴MF=GF=2cm，TN=HT=2cm ∴MN=8cm，∴MT=6cm
因此，矩形ABCD 以每秒1cm 的速度由开始向右移动到停止，和Rt △PMN 重叠部分的形状可分为下列三种情况：
图1-1 图1-2
（1）当C 点由M 点运动到F 点的过程中（0≤x ≤2）如图1-1所示，设CD 与PM 交于点E ，则重叠部分图形是Rt ∆MCE ，且MC =EC =x ∴y =
11MC ⋅EC =x 222
(0≤x ≤2) （2）当C 点由F 点运动到T 点的过程中
∴FC =DG =x -2，且（2
DC=2∴y =
1
(MC +GD ) DC =2x -2，，如图1-3(2
所示，设CD 与PN 交于点Q ，则重叠部分图形是五边形MCQHG 。
图1-3
MC =x
∴CN =CQ =8-x 且DC =2
11
∴y =(MN +GH ) ⨯DC -CN ⨯CQ
22
1
=-(x -8) 2+12，(6
2
（09湖南邵阳）如图，直线l 的解析式为y ＝－x ＋4，它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点，运动时间为t 秒（0＜t ≤4）．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1；
（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重合部分的面积为S 2，①当2＜t ≤4时，试探究S 2与t 之间
5
的函数关系式；②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，S 2为△OAB 的面积的？
16
4．解：（1）当x ＝0时，y ＝4；当y ＝0时，x ＝4．
∴A (4，0) ，B (0，4) ； ···································· 2分
OM OA
（2）∵MN ∥AB ，∴＝＝1．
ON OB
∴OM ＝ON ＝t ．
112
∴S 1＝OM ·ON ＝t ； ································ 4分
22
（3）①当2＜t ≤4时，易知点P 在△OAB 的外面，且点P 的坐标为(t ，t ) ．
设PN 、PM 与直线l 分别相交于E 、F 两点，如图2．
⎧x ＝ t
F 点的坐标满足 即F (t ，4－t ) ． 则⎨
y ＝ －t +4⎩
同理可得E (4－t ，t ) ，则PF ＝PE ＝|t －(4－t ) |＝2t －4． ······································· 6分
∴S 2＝S △PNM －S △PEF ＝S △MON －S △PEF 121121322＝t －PE ·PF ＝t －(2t －4) ＝－t ＋8t －8； 22222 8分 1
②S △OAB ＝×4×4＝8
2
12当＜t ≤2时，S 2＝t ．
2
1255
由题意，得t ＝×8＝．
2162
解得t 1＝－5＜0，t 1＝5＞2，均不合题意，舍去； ·········································· 10分
325
当2＜t ≤4时，S 2＝－t ＋8t －8＝．
22
7
解得t 3＝，t 4＝3．
3
75
综上所述，当t ＝或t ＝3时，S 2为△OAB 的面积的． ···································· 12分
316
1．（2012湖南娄底 10分）如图13，在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30︒，BC =8，D 在边BC 上，E 在线段DC 上，DE =4，△DEF 是等边三角形，边DF 交边AB 于点M ，边EF 交边AC 于点N . （1）求证：△BMD ∽△CNE ；
（2）当BD 为何值时，以M 为圆心，以MF 为半径的圆与BC 相切？
（3）设BD =x ，五边形ANEDM 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式（要求写出自变量x 的取值范围）；当x 为何值时，y 有最大值？并求y 的最大值.
F
C C B E E D H D B
【答案】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C ∵△DEF 是等边三角形，∴∠FDE=∠FED ，而∠FDE=∠B+∠DMB ，∠FED=∠C+∠ENC ∴∠DMB=∠ENC ∴△BMD ∽△CNE （2）设BD=x，则DM=x，
作MH ⊥DE 于点H ，得
MH=
x ，MF=4－x ，又由题设知MH=MF
得x =4-
x ，解得x =16-22
∴当
BD=16-M 为圆心，以MF 为半径的圆与BC 相切 （3）由BD=x，DE=4，BC=8得EC=4－x ，则EN=EC=4－x ∴y=S△ABC －S △BDM －S △ECN
22x -
x ) 2=x + 由M 、N 分别在线段AB 、AC 上得，BM
有最大值，最大值为 ⎨
333-x )
33．（2014•广东梅州, 第23题11分）如图，已知抛物线y =x 2﹣x ﹣3与x 轴的交点为A 、D （A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C ．（1）直接写出A 、D 、C 三点的坐标；（2）若点M 在抛物线上，使得△MAD 的面积与△CAD 的面积相等，求点M 的坐标；（3）设点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
1．已知二次函数y =x 2﹣2mx +m 2+3（m 是常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点？
2．如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过A （2，0），B （0，﹣1）和C （4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ，求点D 的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y =x +1，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
3．二次函数图象的顶点在原点O ，经过点A （1，
1
）；点F （0，1）在y 轴上．直线y =﹣1与y 轴交于点H ． 4
（1）求二次函数的解析式；（2）点P 是（1）中图象上的点，过点P 作x 轴的垂线与直线y =﹣1交于点M ，求证：FM 平分∠OFP ；（3）当△FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标．
4．如图，Rt △PMN 中，∠P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD 的长和宽分别为8cm 和2cm ，C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上，令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1cm 的速度移动（如图），直到C 点与N 点重合为止，设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为ycm 2，求y 与x 之间的函数关系式。
5．如图13，在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30︒，BC =8，D 在边BC 上，E 在线段DC 上，DE =4，△DEF 是等边三角形，边DF 交边AB 于点M ，边EF 交边AC 于点N . （1）求证：△BMD ∽△CNE ；（2）当BD 为何值时，以M 为圆心，以MF 为半径的圆与BC 相切？（3）设BD =x ，五边形ANEDM 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式（要求写出自变量x 的取值范围）；当x 为何值时，y 有最大值？并求y 的最大值.
6．如图，直线l 的解析式为y ＝－x ＋4，它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点，运动时间为t 秒（0＜t ≤4）．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重合部分的面积为S 2，①当2＜t ≤4时，试探究S 2与t 之间的函数关系式；②在直线m 的运动过
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程中，当t 为何值时，S 2为△OAB 的面积的？
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F A
N
B D E C
二次函数图象的顶点在原点O ，经过点A （1，（1）求二次函数的解析式；
1）；点F （0，1）在y 轴上．直线y =﹣1与y 轴交于点H ． 4
（2）点P 是（1）中图象上的点，过点P 作x 轴的垂线与直线y =﹣1交于点M ，求证：FM 平分∠OFP ； （3）当△FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标．
（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O ，∴设二次函数的解析式为y =ax 2，将点A （1，∴二次函数的解析式为y =
11）代入y =ax 2得：a =，44
12
x ； 4
111
（2）证明：∵点P 在抛物线y =x 2上，∴可设点P 的坐标为（x ，x 2），过点P 作PB ⊥y 轴于点B ，则BF =x 2﹣1，
444
PB =x ，∴Rt △BPF 中，PF =
=
121
x +1，∵PM ⊥直线y =﹣1，∴PM =x 2+1，∴PF =PM ， 44
∴∠PFM =∠PMF ，又∵PM ∥x 轴，∴∠MFH =∠PMF ，∴∠PFM =∠MFH ，∴FM 平分∠OFP ； （3）解：当△FPM 是等边三角形时，∠PMF =60°，∴∠FMH =30°，在Rt △MFH 中，MF =2FH =2×2=4， ∵PF =PM =FM ，∴3）．
例1 （2005年河南省）如图，Rt △PMN 中，∠P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD 的长和宽分别为8cm 和2cm ，
C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上，令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1cm 的速度移动（如图），直到C 点与N 点重合为止，设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为ycm ，求y 与x 之间的函数关系式。
2
12
x +1=4，解得：x =±24
，∴
121x =×12=3，∴满足条件的点P 的坐标为（244
，3）或（﹣2，
解：在Rt ∆PMN 中，∵PM=PN，∠P=90°
∴∠PMN =∠PNM =45︒
延长AD 分别交PM 、PN 于点G 、H ，过G 作GF ⊥MN 于F ，过H 作HT ⊥MN 于T 。 ∵DC=2cm，∴MF=GF=2cm，TN=HT=2cm ∴MN=8cm，∴MT=6cm
因此，矩形ABCD 以每秒1cm 的速度由开始向右移动到停止，和Rt △PMN 重叠部分的形状可分为下列三种情况：
图1-1 图1-2
（1）当C 点由M 点运动到F 点的过程中（0≤x ≤2）如图1-1所示，设CD 与PM 交于点E ，则重叠部分图形是Rt ∆MCE ，且MC =EC =x ∴y =
11MC ⋅EC =x 222
(0≤x ≤2) （2）当C 点由F 点运动到T 点的过程中
∴FC =DG =x -2，且（2
DC=2∴y =
1
(MC +GD ) DC =2x -2，，如图1-3(2
所示，设CD 与PN 交于点Q ，则重叠部分图形是五边形MCQHG 。
图1-3
MC =x
∴CN =CQ =8-x 且DC =2
11
∴y =(MN +GH ) ⨯DC -CN ⨯CQ
22
1
=-(x -8) 2+12，(6
2
（09湖南邵阳）如图，直线l 的解析式为y ＝－x ＋4，它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点，运动时间为t 秒（0＜t ≤4）．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1；
（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重合部分的面积为S 2，①当2＜t ≤4时，试探究S 2与t 之间
5
的函数关系式；②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，S 2为△OAB 的面积的？
16
4．解：（1）当x ＝0时，y ＝4；当y ＝0时，x ＝4．
∴A (4，0) ，B (0，4) ； ···································· 2分
OM OA
（2）∵MN ∥AB ，∴＝＝1．
ON OB
∴OM ＝ON ＝t ．
112
∴S 1＝OM ·ON ＝t ； ································ 4分
22
（3）①当2＜t ≤4时，易知点P 在△OAB 的外面，且点P 的坐标为(t ，t ) ．
设PN 、PM 与直线l 分别相交于E 、F 两点，如图2．
⎧x ＝ t
F 点的坐标满足 即F (t ，4－t ) ． 则⎨
y ＝ －t +4⎩
同理可得E (4－t ，t ) ，则PF ＝PE ＝|t －(4－t ) |＝2t －4． ······································· 6分
∴S 2＝S △PNM －S △PEF ＝S △MON －S △PEF 121121322＝t －PE ·PF ＝t －(2t －4) ＝－t ＋8t －8； 22222 8分 1
②S △OAB ＝×4×4＝8
2
12当＜t ≤2时，S 2＝t ．
2
1255
由题意，得t ＝×8＝．
2162
解得t 1＝－5＜0，t 1＝5＞2，均不合题意，舍去； ·········································· 10分
325
当2＜t ≤4时，S 2＝－t ＋8t －8＝．
22
7
解得t 3＝，t 4＝3．
3
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综上所述，当t ＝或t ＝3时，S 2为△OAB 的面积的． ···································· 12分
316
1．（2012湖南娄底 10分）如图13，在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30︒，BC =8，D 在边BC 上，E 在线段DC 上，DE =4，△DEF 是等边三角形，边DF 交边AB 于点M ，边EF 交边AC 于点N . （1）求证：△BMD ∽△CNE ；
（2）当BD 为何值时，以M 为圆心，以MF 为半径的圆与BC 相切？
（3）设BD =x ，五边形ANEDM 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式（要求写出自变量x 的取值范围）；当x 为何值时，y 有最大值？并求y 的最大值.
F
C C B E E D H D B
【答案】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C ∵△DEF 是等边三角形，∴∠FDE=∠FED ，而∠FDE=∠B+∠DMB ，∠FED=∠C+∠ENC ∴∠DMB=∠ENC ∴△BMD ∽△CNE （2）设BD=x，则DM=x，
作MH ⊥DE 于点H ，得
MH=
x ，MF=4－x ，又由题设知MH=MF
得x =4-
x ，解得x =16-22
∴当
BD=16-M 为圆心，以MF 为半径的圆与BC 相切 （3）由BD=x，DE=4，BC=8得EC=4－x ，则EN=EC=4－x ∴y=S△ABC －S △BDM －S △ECN
22x -
x ) 2=x + 由M 、N 分别在线段AB 、AC 上得，BM
有最大值，最大值为 ⎨
333-x )
33．（2014•广东梅州, 第23题11分）如图，已知抛物线y =x 2﹣x ﹣3与x 轴的交点为A 、D （A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C ．（1）直接写出A 、D 、C 三点的坐标；（2）若点M 在抛物线上，使得△MAD 的面积与△CAD 的面积相等，求点M 的坐标；（3）设点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．