60 中国科技论文在线 Sciencepaper Online
第4卷 第1期 2009年1月
一种方形及矩形同轴线截止波长的实用计算公式
楼建全，刘元安，黎淑兰
（北京邮电大学电子工程学院, 北京 100876）
摘 要：采用有限元数值算法计算出多种横截面尺寸下方形及矩形同轴线的截止波长，对所求数据分析表明，方形及矩形同轴线截止波长与其横截面周长存在一定线性比例关系，再通过Matlab 数据拟合，求出比例系数，最终得到截止波长的近似计算公式。经检验表明，方形及矩形同轴线截止波长计算公式的误差分别在1%和5%以下，适合一般工程应用。
关键词：方同轴线；矩同轴线；截止波长；有限元法；Matlab 数据拟合
中图分类号：TN813 文献标识码：A 文章编号：1673－7180(2009)01－0060－4
A practical formula to calculate the cutoff wavelength
of square and rectangular coaxial lines
LOU Jianquan，LIU Yuan’an，LI Shulan
(School of Electronic Engineering ,Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing 100876, China)
Abstract: With the help of Finite Element Method, cutoff wavelength of square and rectangular coaxial lines has been calculated in many cases, and it shows that the cutoff wavelength is related to the circumference of the section. Then, according to the data fitting of Matlab, the approximate formula of the cutoff wavelength is given. The error of this formula is less than 1% in square and 5% in rectangular respectively. So it’s helpful in practical applications. Key words: square coaxial line；rectangular coaxial line；cutoff wavelength；finite element method；Matlab data fitting
文献[5]表明相同周长的圆同轴线和方同轴线具有基本相同的截止波长。在文献[6]中，通过有限差分并采用双重高斯塞德尔迭代法得出了几种不同尺寸下方同轴线的截止波长的值。而后，文献[7]同样采用有限差分法并结合Matlab 计算出了在多种情况下方形及矩形同轴线的特性阻抗和截止波长。由此我们发现虽然可以通过数值方法得出方形及矩形同轴线的截止波长，但至今没有文献给出其精确或近似计算公式，这给工程实际应用带
0 引 言
方形及矩形同轴波导由于其独有的特性，在一些应用场合有其不可替代性，如通信卫星等空间大功率设备中的矩形同轴线定向耦合器，GTEM 小室中的矩形同轴接口及其锥形主体[1-2]等。对于方形及矩形同轴线的特性，不少文献给出了其分析结果。文献[3-4]通过保角变换给出了方形及矩形同轴线的特性阻抗近似计算公式，
基金项目：国家“863计划”(2008AA01Z211)；广东省教育部产学研结合示范基地项目(2007B090200012)
作者简介：楼建全(1985－ ) ，男，浙江东阳人，北京邮电大学研究生在读，从事射频基本理论，电磁兼容等方面的研究 通信联系人：楼建全，北京邮电大学171信箱。Email:[email protected]
第4卷 第1期 2009年1月
一种方形及矩形同轴线截止波长的实用计算公式
61来一定的不便性。本文主要通过有限元法计算出各种不同尺寸方形及矩形同轴线的截止波长，并通过数据拟合，得到截止波长的近似计算公式。经检验，方形同轴线截止波长计算公式的误差在1%以下，矩形同轴线截止波长计算公式的误差在5%以下，符合一般工程应用。
并建立单元特征式及系统有限元方程，求解方程并最终得到截止波长[8]。
2 方形同轴线
实际应用中，同轴线一般传输TEM 波，因此，最低阶模的截止波长是设计人员最为关心的，也决定了同轴线的工作频率上限。对于圆形同轴线，其最低阶模的截止波长与其截面内外圆周长之和呈线性关系[9]，而文献[5]表明，相同截面周长的圆同轴线和方同轴线具有基本相同的截止波长。因此假设方同轴线的截止波长也与其周长呈线性关系，即
1 有限元理论分析
在均匀各项同性的同轴波导结构中，电磁波的传播在定态下服从亥姆赫兹方程：
ΔΦ+(k 0n ) 2Φ=0 ， (1)
其中，Φ为电场强度矢量E 的分量或磁场强度矢量H 为自由空间的波传播常数；n =的分量；k 0=2π/λ0，
为介质的折射率。
当电磁场可以描述为在z 方向具有exp(-jβz) 的变化时，方程可以简化为
λc =k (a +b ) +δ ， (4)
其中，λc 为方形同轴线截止波长；k 为周长比例因子；δ为方形修正因子。
∂2Φ∂2Φ
++[(k 0n ) 2−β2]Φ=0 ． (2) ∂x ∂y
则Φ在导体边界处满足第 如果Φ代表H 的分量，
二类边界条件∂Φ∂n =0；如果Φ代表E 的分量，则Φ在导体边界处满足第一类边界条件Φ=0．
找到亥姆赫兹方程对应的泛函为
图1 方形同轴线截面 Fig. 1
Section of square coaxial lines
J (Φ) =
1∂Φ2∂Φ2
[() +(−μΦ2]d Ω ， (3) ∫2Ω∂x ∂y
图2 a =1, 3, 5, 10 cm时截止波长λc 随a +b 的变化趋势 Fig. 2 The trend of λc according to a +b when a =1, 3, 5, 10 cm
62 中国科技论文在线 Sciencepaper Online
第4卷 第1期 2009年1月根据有限元得到a 为不同值情况随b /a 的变化情况，λc 与a +b 的关系如图2所示。其中a =1 cm时的计算结果与文献[7]中的数据吻合的非常好。由图2可见，截止波长与周长基本呈线性关系，假设比较合理。但是在b /a ≤0.2与b /a ＞0.2两段上斜率有差别。因此，分段提取k 和δ。对于b /a ≤0.2的情况，通过Matlab 的数据拟合工具，得到表1所示的结果。
表1 b /a ≤0.2时k 和δ计算值 Tab. 1 k and δ at b /a ≤0.2
a /cm
k
[10]
(5)
将有限元方法计算得到的截止波长与式(5)计算所得结果进行比较发现两者的误差在1%以内，满足实际应用。
3 矩形同轴线
通过观察有限元法计算得到的数据得知，矩形同轴线截止波长与其截面周长之间的线性关系依然存在。因
δ/a
此假设
δ/cm
1 1.086 0.874 0.874 3 1.152 2.399 0.800 5 1.255 3.431 0.686 10 1.218 7.245 0.725
对所求结果取平均，
计算得到k =1.178，δ=0.771×a ．
对于b /a ＞0.2的情况，通过同样的方法，可得到表2所示的结果。
表2 b /a ＞0.2时ｋ和δ计算值 Tab. 2 k and δ at b /a ＞0.2
a /cm
k
图3 矩形同轴线截面
Fig. 3 Section of rectangular coaxial lines
λc =k (r )(a +b +c +d ) +δ(r ) ， (6)
其中，r =b /a =d /c ，即周长比例因子k 与矩形修正因子δ为r 的函数。k 和δ随r 的变化如图4所示。同样对
δ/a
图4中的k 和δ通过Matlab 拟合计算出k (r ) 和δ(r ) 的表达式为
(7) k (r ) =0.645r +1.641 ，
δ(r ) =−0.357r −0.003 ． (8)
将式(7)和(8)代入式(6)得到矩形同轴线截止波长近似计算公式为
δ/cm
1 2.321 -0.661 -0.661 3 2.364 -2.185 -0.728 5 2.386 -3.788 -0.758 10 2.366 -7.175 -0.718
此时k =2.359，δ=-0.716×a ．
因此，得到方形同轴线截止波长的近似计算公式为
λc =(0.645r +1.641)(a +b +c +d ) −0.357r −0.003 ．
(9)
图4 周长比例因子k 与矩形修正因子δ随着r 的变化趋势
Fig. 4 The trend of k and δ according to r
第4卷 第1期 2009年1月
一种方形及矩形同轴线截止波长的实用计算公式
63将有限元方法计算得到的截止波长与式(9)计算所得结果进行比较发现其误差在5%以内，满足一般工程应用。式(9)所得的数据与文献[7]中的相应数据比较也基本吻合。
4 结 论
方形及矩形同轴线截止波长的计算一直靠数值方法仿真得到，这给实际应用带来了不便。本文在有限元法算得截止波长数据的基础上，通过Matlab 数据拟合，找出其变化趋势，得到其实用计算公式，为工程应用提供了一定的帮助。
[参考文献](References)
[1] 蒋全兴, 吕仁清. 吉赫横电磁波室的结构设计[J]. 东南大学
学报, 1993:107-113.
JIANG Quanxing, LU Renqing. The structure design of GTEM cell [J]. Journal of Southeast University, 1993:107-113. (in Chinese)
[2] 周忠元, 汤仕平, 蒋全兴, 等. 宽频带GTEM 传输室接头的
优化设计[J]. 电波科学学报,2005, 20(2):143-146.
ZHOU Zhongyuan, TANG Shiping, JIANG Quanxing, et al.
Optimum design of connector for wide band GTEM cell [J]. Chinese Journal of Radio Science, 2005, 20(2):143-146. (in Chinese)
[3]
林为干. 微波理论与技术[M].北京:科学出版社,1979.
LIN Weigan. Microwave theory and technique [M]. Beijing: Science Press,1979. (in Chinese)
[4]
曹桂明, 王积勤. 方同轴线的特性分析[J].上海航天, 2003(2): 27-29.
CAO Guiming, WANG Jiqin. Study on characteristics of square coaxial lines [J]. Aerospace Shanghai, 2003(2): 27-29. (in Chinese) [5]
Gruner L. Higher order modes in square coaxial lines [J], IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques,1983, 31:770 - 771.
[6]
王伟, 卢万铮, 赵炯, 等. 一种方同轴波导中高次模截止波长的求解[J].现代电子技术, 2003(22): 96-98.
W ANG Wei, LU Wanzheng, ZHAO Jiong, etc. A new method of calculating cutoff wavelength of high-order modes in square coaxial transmission wave-guides [J]. Modern Electronic Technique, 2003 (22): 96-98. (in Chinese)
[7]
金静, 逯迈, 陈小强. Matlab求解方同轴波导的截止波长和特性阻抗[J].现代电子技术,2008(03): 100-102.
JIN Jing, LU Mai, CHEN Xiaoqiang. Analysis of transmission character in square coaxial waveguide with matlab [J]. Modern Electronic Technique, 2008(03):100-102. (in Chinese)
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第4卷 第1期 2009年1月
一种方形及矩形同轴线截止波长的实用计算公式
楼建全，刘元安，黎淑兰
（北京邮电大学电子工程学院, 北京 100876）
摘 要：采用有限元数值算法计算出多种横截面尺寸下方形及矩形同轴线的截止波长，对所求数据分析表明，方形及矩形同轴线截止波长与其横截面周长存在一定线性比例关系，再通过Matlab 数据拟合，求出比例系数，最终得到截止波长的近似计算公式。经检验表明，方形及矩形同轴线截止波长计算公式的误差分别在1%和5%以下，适合一般工程应用。
关键词：方同轴线；矩同轴线；截止波长；有限元法；Matlab 数据拟合
中图分类号：TN813 文献标识码：A 文章编号：1673－7180(2009)01－0060－4
A practical formula to calculate the cutoff wavelength
of square and rectangular coaxial lines
LOU Jianquan，LIU Yuan’an，LI Shulan
(School of Electronic Engineering ,Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing 100876, China)
Abstract: With the help of Finite Element Method, cutoff wavelength of square and rectangular coaxial lines has been calculated in many cases, and it shows that the cutoff wavelength is related to the circumference of the section. Then, according to the data fitting of Matlab, the approximate formula of the cutoff wavelength is given. The error of this formula is less than 1% in square and 5% in rectangular respectively. So it’s helpful in practical applications. Key words: square coaxial line；rectangular coaxial line；cutoff wavelength；finite element method；Matlab data fitting
文献[5]表明相同周长的圆同轴线和方同轴线具有基本相同的截止波长。在文献[6]中，通过有限差分并采用双重高斯塞德尔迭代法得出了几种不同尺寸下方同轴线的截止波长的值。而后，文献[7]同样采用有限差分法并结合Matlab 计算出了在多种情况下方形及矩形同轴线的特性阻抗和截止波长。由此我们发现虽然可以通过数值方法得出方形及矩形同轴线的截止波长，但至今没有文献给出其精确或近似计算公式，这给工程实际应用带
0 引 言
方形及矩形同轴波导由于其独有的特性，在一些应用场合有其不可替代性，如通信卫星等空间大功率设备中的矩形同轴线定向耦合器，GTEM 小室中的矩形同轴接口及其锥形主体[1-2]等。对于方形及矩形同轴线的特性，不少文献给出了其分析结果。文献[3-4]通过保角变换给出了方形及矩形同轴线的特性阻抗近似计算公式，
基金项目：国家“863计划”(2008AA01Z211)；广东省教育部产学研结合示范基地项目(2007B090200012)
作者简介：楼建全(1985－ ) ，男，浙江东阳人，北京邮电大学研究生在读，从事射频基本理论，电磁兼容等方面的研究 通信联系人：楼建全，北京邮电大学171信箱。Email:[email protected]
第4卷 第1期 2009年1月
一种方形及矩形同轴线截止波长的实用计算公式
61来一定的不便性。本文主要通过有限元法计算出各种不同尺寸方形及矩形同轴线的截止波长，并通过数据拟合，得到截止波长的近似计算公式。经检验，方形同轴线截止波长计算公式的误差在1%以下，矩形同轴线截止波长计算公式的误差在5%以下，符合一般工程应用。
并建立单元特征式及系统有限元方程，求解方程并最终得到截止波长[8]。
2 方形同轴线
实际应用中，同轴线一般传输TEM 波，因此，最低阶模的截止波长是设计人员最为关心的，也决定了同轴线的工作频率上限。对于圆形同轴线，其最低阶模的截止波长与其截面内外圆周长之和呈线性关系[9]，而文献[5]表明，相同截面周长的圆同轴线和方同轴线具有基本相同的截止波长。因此假设方同轴线的截止波长也与其周长呈线性关系，即
1 有限元理论分析
在均匀各项同性的同轴波导结构中，电磁波的传播在定态下服从亥姆赫兹方程：
ΔΦ+(k 0n ) 2Φ=0 ， (1)
其中，Φ为电场强度矢量E 的分量或磁场强度矢量H 为自由空间的波传播常数；n =的分量；k 0=2π/λ0，
为介质的折射率。
当电磁场可以描述为在z 方向具有exp(-jβz) 的变化时，方程可以简化为
λc =k (a +b ) +δ ， (4)
其中，λc 为方形同轴线截止波长；k 为周长比例因子；δ为方形修正因子。
∂2Φ∂2Φ
++[(k 0n ) 2−β2]Φ=0 ． (2) ∂x ∂y
则Φ在导体边界处满足第 如果Φ代表H 的分量，
二类边界条件∂Φ∂n =0；如果Φ代表E 的分量，则Φ在导体边界处满足第一类边界条件Φ=0．
找到亥姆赫兹方程对应的泛函为
图1 方形同轴线截面 Fig. 1
Section of square coaxial lines
J (Φ) =
1∂Φ2∂Φ2
[() +(−μΦ2]d Ω ， (3) ∫2Ω∂x ∂y
图2 a =1, 3, 5, 10 cm时截止波长λc 随a +b 的变化趋势 Fig. 2 The trend of λc according to a +b when a =1, 3, 5, 10 cm
62 中国科技论文在线 Sciencepaper Online
第4卷 第1期 2009年1月根据有限元得到a 为不同值情况随b /a 的变化情况，λc 与a +b 的关系如图2所示。其中a =1 cm时的计算结果与文献[7]中的数据吻合的非常好。由图2可见，截止波长与周长基本呈线性关系，假设比较合理。但是在b /a ≤0.2与b /a ＞0.2两段上斜率有差别。因此，分段提取k 和δ。对于b /a ≤0.2的情况，通过Matlab 的数据拟合工具，得到表1所示的结果。
表1 b /a ≤0.2时k 和δ计算值 Tab. 1 k and δ at b /a ≤0.2
a /cm
k
[10]
(5)
将有限元方法计算得到的截止波长与式(5)计算所得结果进行比较发现两者的误差在1%以内，满足实际应用。
3 矩形同轴线
通过观察有限元法计算得到的数据得知，矩形同轴线截止波长与其截面周长之间的线性关系依然存在。因
δ/a
此假设
δ/cm
1 1.086 0.874 0.874 3 1.152 2.399 0.800 5 1.255 3.431 0.686 10 1.218 7.245 0.725
对所求结果取平均，
计算得到k =1.178，δ=0.771×a ．
对于b /a ＞0.2的情况，通过同样的方法，可得到表2所示的结果。
表2 b /a ＞0.2时ｋ和δ计算值 Tab. 2 k and δ at b /a ＞0.2
a /cm
k
图3 矩形同轴线截面
Fig. 3 Section of rectangular coaxial lines
λc =k (r )(a +b +c +d ) +δ(r ) ， (6)
其中，r =b /a =d /c ，即周长比例因子k 与矩形修正因子δ为r 的函数。k 和δ随r 的变化如图4所示。同样对
δ/a
图4中的k 和δ通过Matlab 拟合计算出k (r ) 和δ(r ) 的表达式为
(7) k (r ) =0.645r +1.641 ，
δ(r ) =−0.357r −0.003 ． (8)
将式(7)和(8)代入式(6)得到矩形同轴线截止波长近似计算公式为
δ/cm
1 2.321 -0.661 -0.661 3 2.364 -2.185 -0.728 5 2.386 -3.788 -0.758 10 2.366 -7.175 -0.718
此时k =2.359，δ=-0.716×a ．
因此，得到方形同轴线截止波长的近似计算公式为
λc =(0.645r +1.641)(a +b +c +d ) −0.357r −0.003 ．
(9)
图4 周长比例因子k 与矩形修正因子δ随着r 的变化趋势
Fig. 4 The trend of k and δ according to r
第4卷 第1期 2009年1月
一种方形及矩形同轴线截止波长的实用计算公式
63将有限元方法计算得到的截止波长与式(9)计算所得结果进行比较发现其误差在5%以内，满足一般工程应用。式(9)所得的数据与文献[7]中的相应数据比较也基本吻合。
4 结 论
方形及矩形同轴线截止波长的计算一直靠数值方法仿真得到，这给实际应用带来了不便。本文在有限元法算得截止波长数据的基础上，通过Matlab 数据拟合，找出其变化趋势，得到其实用计算公式，为工程应用提供了一定的帮助。
[参考文献](References)
[1] 蒋全兴, 吕仁清. 吉赫横电磁波室的结构设计[J]. 东南大学
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[2] 周忠元, 汤仕平, 蒋全兴, 等. 宽频带GTEM 传输室接头的
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ZHOU Zhongyuan, TANG Shiping, JIANG Quanxing, et al.
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[3]
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LIN Weigan. Microwave theory and technique [M]. Beijing: Science Press,1979. (in Chinese)
[4]
曹桂明, 王积勤. 方同轴线的特性分析[J].上海航天, 2003(2): 27-29.
CAO Guiming, WANG Jiqin. Study on characteristics of square coaxial lines [J]. Aerospace Shanghai, 2003(2): 27-29. (in Chinese) [5]
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[6]
王伟, 卢万铮, 赵炯, 等. 一种方同轴波导中高次模截止波长的求解[J].现代电子技术, 2003(22): 96-98.
W ANG Wei, LU Wanzheng, ZHAO Jiong, etc. A new method of calculating cutoff wavelength of high-order modes in square coaxial transmission wave-guides [J]. Modern Electronic Technique, 2003 (22): 96-98. (in Chinese)
[7]
金静, 逯迈, 陈小强. Matlab求解方同轴波导的截止波长和特性阻抗[J].现代电子技术,2008(03): 100-102.
JIN Jing, LU Mai, CHEN Xiaoqiang. Analysis of transmission character in square coaxial waveguide with matlab [J]. Modern Electronic Technique, 2008(03):100-102. (in Chinese)