物流预选址问题 . ....................................................................................................................... 2 摘要 . ......................................................................................................... 错误！未定义书签。
一、问题重述 . ........................................................................................................................... 2
二、 问题的分析 . ..................................................................................................................... 3
2.1 问题一：分析确定合理的模型确定工厂选址和建造规模 . .................................... 3
2.2 问题二：建立合理的仓库选址和建造规模模型 . .................................................... 3
2.3 问题三：工厂向中心仓库供货的最佳方案问题 . .................................................... 3
2.4 问题四：根据一组数据对自己的模型进行评价 . .................................................... 4
三、模型假设与符号说明 . ....................................................................................................... 4
3.1条件假设 . ..................................................................................................................... 4
3．2模型的符号说明 . ...................................................................................................... 4
四、模型的建立与求解 . ........................................................................................................... 5
4.1 问题一：分析确定合理的模型为两个工厂合理选址并确定建造规模 . ................ 5
4.1.1模型的建立 . ...................................................................................................... 5
4.2 问题二：建立合理模型确定中心仓库的位置及建造规模 . .................................... 7
4.2.1 基于重心法选址模型 . ..................................................................................... 8
4.2.2 基于多元线性回归法确定中心仓库的建造规模 . ....................................... 10
4.3 问题三：工厂向中心仓库供货方案 . ...................................................................... 10
4.4 问题四：选用一组数据进行计算 . ...........................................................................11
五、模型评价 . ......................................................................................................................... 16
5.1模型的优缺点 . ........................................................................................................... 16
5.1.1 模型的优点 . ................................................................................................... 16
5.1.2 模型的缺点 . ................................................................................................... 16
六参考文献 . ............................................................................................................................. 16
物流预选址问题
摘要
在物流网络中，工厂对中心仓库和城市进行供货，起到生产者的作用，而中心仓库连接着工厂和城市，是两者之间的桥梁，在物流系统中有着举足轻重的作用，因此搞好工厂和中心仓库的选址将对物流系统作用的发挥乃至物流经济效益的提高产生重要的影响。
本论文在综述工厂和中心仓库选址问题研究现状的基础上，对二者选址的模型和算法进行了研究。对于问题一二，通过合理的分析，我们采用了重心法选址模型找到了工厂和中心仓库的大致位置并给出了确定工厂和中心仓库建造规模的参数和公式，通过用数据进行实例化分析，我们确定了工厂和中心仓库位置和建造规模。对于问题三我们运用LINGO 软件简单的解决了工厂对中心仓库的供货情况。问题四我们选用了一组数据通过求解多元线性规划对问题进行了实例化分析。为中心仓库的选址问题做了合理说明。最后我们对模型进行了评价和分析。
关键词： 物流网络 重心法选址模型 多元线性规划
一、问题重述
某公司是生产某种商品的省内知名厂家。该公司根据需要, 计划在本省建设两个生产工厂和若干个中心仓库向全省所有城市供货。根据市场调研, 全省有m 个城市，每个城市单位时间需要该公司的物资量是已知的，有关运费的信息也是确定的，工厂和中心仓库的单位面积的建设费用和运营费用已知，请你建立数学模型，回答以下问题:
1、如何为两个生产工厂选址? （建多大规模？）
2、建多少个中心仓库? 分别建在什么地方? （分别建多大规模？）
3、生产工厂如何向中心仓库供货?
4、请你自己选用一组数据进行计算（可以根据假设、地图和铁路、公路、水路等
信息选择有关数据），并对你的模型和结果作出评价。
二、 问题的分析
物流配送中心，是为了在供应到消费过程中实现调节跟踪服务的主体机构，是满足订货、储存、包装、加工、配送、运输、结算和信息处理等需要的手段和设施。而配送中心布局和选址，对其功能发挥和综合效益影响极大，应进行定性与定量因素综合分析。
在物流系统的运作中，配送中心的选址决策发挥着重要的影响。配送中心是连接工厂与客户的中间桥梁，其选址方式往往决定着物流的配送距离和配送模式，进而影响着物流系统的运作效率，因此，研究物流配送中心的选址具有重要的理论和现实应用意义。
工厂是生产商品的源头，商品的需求量往往决定了工厂的建造规模，而运输费用则是衡量工厂选址的标准，对公司的收入有着及其密切的联系。
本文旨在通过对城市布局和对商品需求量的分析，通过模型的建立解决三个有关工厂和仓库选址及建造规模的问题，并通过数据对所建模型进行评价。
2.1 问题一：分析确定合理的模型确定工厂选址和建造规模
考虑到工厂生产的商品直接运往中心仓库，所以工厂的建立由中心仓库的位置决定。本题中公司计划在本省建设两个生产工厂和若干个中心仓库，所以允许我们先行确定中心仓库的位置，再由中心仓库的位置确定工厂的位置，而工厂的建造规模可以由城市对商品的需求量决定。
在确定效益函数中各指标值权重时，考虑到层次分析法是一种能有效解决比 较、判断、评价和决策问题的实用方法，因此选用层次分析法确定各个指标在效 益函数中权重。将值带入效益函数，再参照优劣等级表，即可对模型进行评价。
2.2 问题二：建立合理的仓库选址和建造规模模型
问题二要求建立合理的仓库选址和建造规模模型，考虑到考虑到工厂生产的商品直接运往中心仓库，所以工厂的建立由中心仓库的位置决定。本题中公司计划在本省建设两个生产工厂和若干个中心仓库，所以允许我们先行确定中心仓库的位置，再由问题2确定的中心仓库位置确定工厂的位置，而工厂的建造规模可以由城市对商品的需求量决定。
2.3 问题三：工厂向中心仓库供货的最佳方案问题
我们将问题实例化，假设两个工厂向四个中心仓库供货，工厂的生产量和中心仓库的容纳量均已知，利用优化指派模型对问题进行分析得到供货的最佳方案。
2.4 问题四：根据一组数据对自己的模型进行评价
我们通过对某公司的一组数据进行分析利用自己建立的模型计算解决以三个问题，并以此初步评价本模型的优劣。
三、模型假设与符号说明
3.1条件假设
（1）工厂和仓库的选址是任意的，不受政治、地理、环境等因素的影响；
（2）各地交通条件相同，运输过程中不受交通条件的影响；
（3）工厂运输费率是一定的；
3．2模型的符号说明
四、模型的建立与求解
4.1 问题一：分析确定合理的模型为两个工厂合理选址并确定建造规模
问题一要求确定合理的模型确定工厂选址和建造规模。
考虑到工厂生产的商品直接运往中心仓库，所以工厂的建立由中心仓库的位置决定。本题中公司计划在本省建设两个生产工厂和若干个中心仓库，所以允许我们先行确定中心仓库的位置，再由问题2确定的中心仓库位置确定工厂的位置，而工厂的建造规模可以由城市对商品的需求量决定。
4.1.1模型的建立
重心法是将物流系统中的需求点和资源点看成是分布在某一平面范围内的物流系统，各点的需求量和资源量分别看成是物体的重量，物体系统的重心作为物流网点的最佳设置点，利用求物体系统重心的方法来确定物流网点的位置。
假设中心仓库的个数和位置已确定，将K 个中心仓库按照地理位置及物质需求量合理均匀的划分为两个区域。每个区域建一个工厂位置由重心法确定。
假设某个区域内有b 个城市，其坐标分别为（X i, Y i ）, （i=1，2，„„b ）；在该区域建一个工厂，坐标是（X 0 ,Y 0），设运输费用为E g ；总费用为C g (x),则有
E g =∑a ωd （4.1.1） gi g i g i
i =1n
其中a gi 表示单位物资从工厂到中心仓库i 运输单位距离的费用；ωgi 表示工厂到中心仓库i 的运输量（即第i 个中心仓库的需求量）；dg i 表示从工厂到中心仓库i 的距离；
C g (x ) =βg 1E g +βg 2V gi +βg 3P g （4.1.2）
其中βg 1、βg 2、βg 3表示权重系数，可以根据决策者的需求来定，且βg 1+βg 2+βg 3=1； V g i 表示工厂总的运营费用；P g 表示工厂的建设费用。
式1.1中
22+（y 0-y i ） （4.1.3） d gi =x 0-x i ）
将式1.3代入式1.1中并对等号两边同时求偏导即
∂E
∂x 0b =∑i =1a g i ωg i (x 0-x i ) d g i （4.1.4）
∂E
∂y 0b =∑i =1a g i ωg i (x 0-x i ) d g i (4.1.5)
由2.4解得
b
∑
x 0=i =1
b a gi ωgi x i d gi a gi ωgi
d gi ， b ∑y 0=i =1b a gi ωgi y gi d gi a gi ωgi d gi （4.1.6） ∑i =1∑i =1
考虑到两个方程右边均含有x 0，y 0而消去x 0，y 0较为麻烦，因此我们采用迭代法进行计算，其计算的方法如下：
（1）以所有城市的重心坐标作为中心仓库的初始位置坐标(x 0, y ) ； 000
（2）利用方程式（5.1.1）和（5.1.3）计算与(x 0, y ) 相应的总的运输费用E 0； 000
(3）把(x 0,
(x 0, 10y 00) 分别代入方程式（5.1.3）和（5.1.6）中，计算中心仓库的改善地点y 10) ；这样反复计算下去，直到计算出所有重心点。
（4）利用方程式（5.1.1）和（5.1.3）计算各个地点相对应的总的运输费用E ； 由此可确定该区域工厂的坐标（x 0，y 0），同理运用此法也可确定另一个工厂的坐标。b 个中心仓库的位置布局及工厂选址如下草图：
考虑到各个城市所需商品量不同，以物资量及运输费用来确定工厂规模。我们认为工厂的建造规模与城市所需物资量及运输费用呈线性相关，则有
S= α1E +α2C +α3V (4.1.7)
其中S 表示工厂的建造规模，E 表示总的运输费用，C 表示建设费用V 表示经营费用，α1，α2，α3分别表示对应的权系数，且α1+α2+α3=1。
ˆ1，αˆ2，αˆ3分别作为α1，α2，α3的估计量，得到样本回归方程为： 设α
ˆ1x i 1+αˆ2x i 2+αˆ3x i 3（i=1，2，3„n ） （4.1.8） ˆ=αy
ˆ1，αˆ2，αˆ3的估计值。 用Excel 辅助计算可得到3个待估参数α
4.2 问题二：建立合理模型确定中心仓库的位置及建造规模
问题二要求建立合理的模型确定中心仓库的位置及建造规模。查阅资料，我们决定用重心法选址模型对中心仓库进行合理选址。考虑到重心法是一种布置单个设施的方法，而本问题中中心仓库有多个，我们先对其中一个仓库选址，再根据城市对商品的需求量确定仓库的个数及规模。
这种方法要考虑现有设施之间的距离和要运输的货物量，不考虑在不满载的情况下增加的特殊运输费用。
4.2.1 基于重心法选址模型
将本省n 个城市按照地理位置及物质需求量合理的划分为K 个区域，现设某个区域有m 个城市，坐标为（X i, Y i ）, （i=1，2，„„m ）；在该区域建一个中心仓库，坐标是（X 0 ,Y 0），设运输费用为E ；总费用为C, 则有
E=∑a ωd μi i i
i =1n i （4.2.1）
其中a i 表示单位物资从中心仓库到城市i 运输单位距离的费用；ωi 表示中心仓库到城市i 的运输量（即第i 个城市的需求量）；d i 表示从中心仓库到城市i 的距离；μi 表示由重心法得到的中心仓库的备选状态（μi =1表示被选中，μi =0表示不被选中）。
C (x ) =β1E μi +β2V μi +β3C μi （4.2.2）
其中β1、β2、β3表示权重系数，可以根据决策者的需求来定，且β1+β2+β3=1；E μi 表示备选中心仓库μi 总的运输费用；C μi 表V μi 表示各个被选中心仓库μi 总的运营费用；示各个备选中心仓库μi 的建设费用。
式2.1中
22d i =x 0-x i ）+（y 0-y i ） （4.2.3）
将式2.3代入式2.1中并对等号两边同时求偏导即
∂E
∂x 0
∂E
∂y 0n =∑i =1n a i ωi (x 0-x i ) d i a i ωi (x 0-x i ) d i （4.2.4） (4.2.5) =∑i =1
由2.4解得
n
∑
x 0=i =1
n a i ωi x i d i a i ωi
d i ， n ∑y 0=i =1n a i ωi y i d i a i ωi d i （4.2.6） ∑i =1∑i =1
考虑到两个方程右边均含有x 0，y 0而消去x 0，y 0较为麻烦，因此我们采用迭代法进行计算，其计算的方法如下：
（1）以所有城市的重心坐标作为中心仓库的初始位置坐标(x 0, y ) ； 000
（2）利用方程式（5.2.1）和（5.2.3）计算与(x 0, y ) 相应的总的运输费用E 0； 000
(3）把(x 0,
(x 0, 10y 00) 分别代入方程式（5.2.3）和（5.2.6）中，计算中心仓库的改善地点y 10) ；这样反复计算下去，直到计算出所有重心点。
（4）利用方程式（5.2.1）和（5.2.3）计算各个地点相对应的总的运输费用E ； 由此可确定该区域中心仓库的坐标（x 0，y 0），同理运用此法也可确定其他中心仓库的坐标。K 个城市的位置布局及中心仓库选址如下：
4.2.2 基于多元线性回归法确定中心仓库的建造规模
在式4.2.2中
C (x ) =β1E μi +β2V μi +β3C μi
令 y=C(x)，x i1=E μi ，x i 2=V μi ，x i3=C μi
对于一个实际问题，如果我们获得n 组观测数据（x i1，x i2，x i3）（i=1，2，3„„n ）
⎧y 1=β1x 11+
⎪y 2=β1x 21+⎪⎪⎨
⎪
⎪
⎪y n =β1x n 1+⎩β2x 12+β3x 13β2x 22+β3x 23⋅⋅⋅ （4.2.6） β2x n 2+β3x n 3
设βˆ1，βˆ2，βˆ3分别作为β1，β2，β3的估计量，得到样本回归方程为：
ˆ1x i 1+βˆ2x i 2+βˆ3x i 3（i=1，2，3„n ） ˆ=βy （4.2.7）
用Excel 辅助计算可得到3个待估参数βˆ1，βˆ2，βˆ3的估计值。
4.3 问题三：工厂向中心仓库供货方案
我们根据工厂和中心仓库的位置及规模来确定最佳供货方案，考虑到两个工厂，多个中心仓库，每个工厂需对多个中心仓库供货，为了方便我们采用模型实例化方案来解决这个问题。
设两个工厂为A 1,A 2, K 个中心仓库分别为B 1，B 2，„„B k ，其中每个工厂的产量为a 1，a 2，每个中心仓库对城市的供货量为b 1，b 2，„„b k ，从工厂A i 到中心仓库B j 的单位运费为C ij （i=1，2，j=1，2，„„k ）。建立目标函数如下，
2k
ij min ∑∑C
i =1j =1
2d ij （4.3.1）
s.t. ∑x
i =1ij ≤b j （j=1，2，„„k ）
k
∑
j =1
y ij ≥a i （i=1，2）
x ij ≥0 ，y ij ≥0 （i=1，2，j=1，2，„„k ）
其中d ij 为第i 个工厂到第j 个中心仓库的距离，x ij 表示第j 个中心仓库的最大容货量， y ij 表示第i 个工厂的最小生产量，第j 个中心仓库对城市最大供货量，a i 为第i 个工厂最小生产量。
4.3.1模型实例化
具提问题如下：设有两个工厂，四个中心仓库，其中工厂生产量、中心仓库运输量及单位运费如下表4.3.1所示
由LINGO 软件求解，得到
******
x =20，x 12=x 13=0，x 14=22，x 21=x 24=0，x 22=25，x 23=30，即工厂A 1 运往
*11
*
中心仓库B 1 的运量为20，运往中心仓库B 2 、B 3 均为0，运往B 4 的运量为22，剩余8个单位，工厂A 2运往中心仓库B 2 的运量为25，运往中心仓库B 3 的运量为30，运往B 1 、B 4 的运量为0，剩余5个单位。由此我们便得到了两个工厂向四个中心仓库具体的运货方案。
4.4 问题四：选用一组数据进行计算
我们根据某公司在河南省内的物流运输数据选用省内十二个市进行分析。运输费用及个市坐标如下表5.4.1所示：
表4.4.1
根据该公司提供的数据计算出建设费用及运营费用如表4.4.2所示：
表4.4..2 单位：万元
根据河南省地图将以上所选城市按地理位置及需求量划分为四个区域如下：
采用迭代法，求出各个重心以及中心点的运输成本，计算结果如下表：
采用多元线性回归对总成本目标函数的系数进行求解 用spss 辅助计算结果如下：
由上图的输出结果，可以得到本例中的回归系数为βˆ1=0.038, βˆ2=0.770,
ˆ= -0.424。故所求回归方程为 β3
C (x ) =0. 038E μi +0. 770V μi -0. 424C μi ( 5.4.1)
根据以上求解结果将μ0 ，μ1，μ2„„μ
11分别代入式5.4.1中，计算出总运费的结果
如下：C （μ0）=2093.45，C （μ1）=2093.80，C （μ2）=2050.46，C （μ3）=2092.95，C （μ4）=2076.53，C （μ5）=2085.24，C （μ6）=2075.62，C （μ7）=2049.57，C （μ8）=2025.37，
C （μ9）=2005.24，C （μ10）=195809，C （μ算结果与实际数据符合的很好，较为理想。
11）=1973.48
。由此我们可以看出本模型计
四个区域内的中心仓库的最佳建造坐标分别为：（113.49，34.48），（113.75，33.20），（111.88，33.15），（112.58，34.86）。
五、模型评价
5.1模型的优缺点 5.1.1 模型的优点
（1）问题一，二，我们选取了重心法对模型进行了合理的构建，方法简单易懂。 （2）问题三我们对模型进行了实例化，用数据进行了精确的计算，并用LINGO 对模型进行了求解，给出了工厂对中心仓库的确切的供货方案。
（3）模型四我们选用了一组数据进行了计算，用计算数据充分的说明了我们所见模型的合理性。
5.1.2 模型的缺点
（1）各模型的数据使用前基本上都需要进行标准化处理。
（2）我们只对中心仓库进行了实例化分析，工厂的建立与中心仓库雷同。
六参考文献
[1] J.Korpela, M.Tuominen,1996. “A Decision Aid in Warehouse Site Selection ”.
International Journal of Production Economics,45,P169—180.
[2] 龚延成，郭晓汾，蔡团结，李卫江，物流配送点选址模型及其算法研究[J]，中国
公路学报，2003年，第16卷第2期123－126
[3] 鲁晓春, 詹荷生. 关于配送中心重心法选址的研究[J].北方交通大学学
报,2000,24(6):108—110
[4] 姜大立，杜文，易腐物品物流配送中心选址的遗传算法[J].西南交通大学学报，
2003，(2):62-67
[5] 王战权，杨东援，配送中心选址的遗传算法研究[M].实用物流技术，2001.3:11-14 [6] 蒋忠中，汪定伟.BZC 电子商务中配送中心选址优化的模型与算法[J].控制与决策，
2005，(1).
[7] 戴更新，于龙振，陈常菊. 基于混合遗传算法的多配送中心选址问题研究[J].
物流技术，2006:6 40-42
[8] 吴兵, 罗荣桂, 彭伟华. 基于遗传算法的物流配送中心选址研究[J].武汉理工大学学
报: 信息与管理工程版, 2006, 25(2): 89- 91.
[9] 程继红，马颖亮，李高鹏. 基于混合整数规划模型的物流中心选址方法[J].海军航
空工程学院学报.2007，22(2):292- 294.
[10] 张方，刘丙午. 基于混合整数规划模型的物流配送中心选址优化[J].北京物资学
院，2007，(8).
部分程序代码如下：
model :
! A 2 Warehouse,4 Customer
Transportation Problem;
sets :
Warehouse/1..2/:a; Customer/1..4/:b;
Routes(Warehouse,Customer):c,x;
endsets
! The objective;
[OBJ] min =@ sum(Routes:c*x);
!The demand constraints; @ for(Customer(j):[DEM]
@ sum(Warehouse(i):x(i,j))>=b(j));
!The supply constraints;
@ for(Warehouse(i):[SUP]
@ sum(Customer(j):x(i,j))
! Here are the parameters; data : a=50,60; b=20,25,30,22; c=110,130,236,145,
142,125,186,169;
ENDDATA end
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一、问题重述 . ........................................................................................................................... 2
二、 问题的分析 . ..................................................................................................................... 3
2.1 问题一：分析确定合理的模型确定工厂选址和建造规模 . .................................... 3
2.2 问题二：建立合理的仓库选址和建造规模模型 . .................................................... 3
2.3 问题三：工厂向中心仓库供货的最佳方案问题 . .................................................... 3
2.4 问题四：根据一组数据对自己的模型进行评价 . .................................................... 4
三、模型假设与符号说明 . ....................................................................................................... 4
3.1条件假设 . ..................................................................................................................... 4
3．2模型的符号说明 . ...................................................................................................... 4
四、模型的建立与求解 . ........................................................................................................... 5
4.1 问题一：分析确定合理的模型为两个工厂合理选址并确定建造规模 . ................ 5
4.1.1模型的建立 . ...................................................................................................... 5
4.2 问题二：建立合理模型确定中心仓库的位置及建造规模 . .................................... 7
4.2.1 基于重心法选址模型 . ..................................................................................... 8
4.2.2 基于多元线性回归法确定中心仓库的建造规模 . ....................................... 10
4.3 问题三：工厂向中心仓库供货方案 . ...................................................................... 10
4.4 问题四：选用一组数据进行计算 . ...........................................................................11
五、模型评价 . ......................................................................................................................... 16
5.1模型的优缺点 . ........................................................................................................... 16
5.1.1 模型的优点 . ................................................................................................... 16
5.1.2 模型的缺点 . ................................................................................................... 16
六参考文献 . ............................................................................................................................. 16
物流预选址问题
摘要
在物流网络中，工厂对中心仓库和城市进行供货，起到生产者的作用，而中心仓库连接着工厂和城市，是两者之间的桥梁，在物流系统中有着举足轻重的作用，因此搞好工厂和中心仓库的选址将对物流系统作用的发挥乃至物流经济效益的提高产生重要的影响。
本论文在综述工厂和中心仓库选址问题研究现状的基础上，对二者选址的模型和算法进行了研究。对于问题一二，通过合理的分析，我们采用了重心法选址模型找到了工厂和中心仓库的大致位置并给出了确定工厂和中心仓库建造规模的参数和公式，通过用数据进行实例化分析，我们确定了工厂和中心仓库位置和建造规模。对于问题三我们运用LINGO 软件简单的解决了工厂对中心仓库的供货情况。问题四我们选用了一组数据通过求解多元线性规划对问题进行了实例化分析。为中心仓库的选址问题做了合理说明。最后我们对模型进行了评价和分析。
关键词： 物流网络 重心法选址模型 多元线性规划
一、问题重述
某公司是生产某种商品的省内知名厂家。该公司根据需要, 计划在本省建设两个生产工厂和若干个中心仓库向全省所有城市供货。根据市场调研, 全省有m 个城市，每个城市单位时间需要该公司的物资量是已知的，有关运费的信息也是确定的，工厂和中心仓库的单位面积的建设费用和运营费用已知，请你建立数学模型，回答以下问题:
1、如何为两个生产工厂选址? （建多大规模？）
2、建多少个中心仓库? 分别建在什么地方? （分别建多大规模？）
3、生产工厂如何向中心仓库供货?
4、请你自己选用一组数据进行计算（可以根据假设、地图和铁路、公路、水路等
信息选择有关数据），并对你的模型和结果作出评价。
二、 问题的分析
物流配送中心，是为了在供应到消费过程中实现调节跟踪服务的主体机构，是满足订货、储存、包装、加工、配送、运输、结算和信息处理等需要的手段和设施。而配送中心布局和选址，对其功能发挥和综合效益影响极大，应进行定性与定量因素综合分析。
在物流系统的运作中，配送中心的选址决策发挥着重要的影响。配送中心是连接工厂与客户的中间桥梁，其选址方式往往决定着物流的配送距离和配送模式，进而影响着物流系统的运作效率，因此，研究物流配送中心的选址具有重要的理论和现实应用意义。
工厂是生产商品的源头，商品的需求量往往决定了工厂的建造规模，而运输费用则是衡量工厂选址的标准，对公司的收入有着及其密切的联系。
本文旨在通过对城市布局和对商品需求量的分析，通过模型的建立解决三个有关工厂和仓库选址及建造规模的问题，并通过数据对所建模型进行评价。
2.1 问题一：分析确定合理的模型确定工厂选址和建造规模
考虑到工厂生产的商品直接运往中心仓库，所以工厂的建立由中心仓库的位置决定。本题中公司计划在本省建设两个生产工厂和若干个中心仓库，所以允许我们先行确定中心仓库的位置，再由中心仓库的位置确定工厂的位置，而工厂的建造规模可以由城市对商品的需求量决定。
在确定效益函数中各指标值权重时，考虑到层次分析法是一种能有效解决比 较、判断、评价和决策问题的实用方法，因此选用层次分析法确定各个指标在效 益函数中权重。将值带入效益函数，再参照优劣等级表，即可对模型进行评价。
2.2 问题二：建立合理的仓库选址和建造规模模型
问题二要求建立合理的仓库选址和建造规模模型，考虑到考虑到工厂生产的商品直接运往中心仓库，所以工厂的建立由中心仓库的位置决定。本题中公司计划在本省建设两个生产工厂和若干个中心仓库，所以允许我们先行确定中心仓库的位置，再由问题2确定的中心仓库位置确定工厂的位置，而工厂的建造规模可以由城市对商品的需求量决定。
2.3 问题三：工厂向中心仓库供货的最佳方案问题
我们将问题实例化，假设两个工厂向四个中心仓库供货，工厂的生产量和中心仓库的容纳量均已知，利用优化指派模型对问题进行分析得到供货的最佳方案。
2.4 问题四：根据一组数据对自己的模型进行评价
我们通过对某公司的一组数据进行分析利用自己建立的模型计算解决以三个问题，并以此初步评价本模型的优劣。
三、模型假设与符号说明
3.1条件假设
（1）工厂和仓库的选址是任意的，不受政治、地理、环境等因素的影响；
（2）各地交通条件相同，运输过程中不受交通条件的影响；
（3）工厂运输费率是一定的；
3．2模型的符号说明
四、模型的建立与求解
4.1 问题一：分析确定合理的模型为两个工厂合理选址并确定建造规模
问题一要求确定合理的模型确定工厂选址和建造规模。
考虑到工厂生产的商品直接运往中心仓库，所以工厂的建立由中心仓库的位置决定。本题中公司计划在本省建设两个生产工厂和若干个中心仓库，所以允许我们先行确定中心仓库的位置，再由问题2确定的中心仓库位置确定工厂的位置，而工厂的建造规模可以由城市对商品的需求量决定。
4.1.1模型的建立
重心法是将物流系统中的需求点和资源点看成是分布在某一平面范围内的物流系统，各点的需求量和资源量分别看成是物体的重量，物体系统的重心作为物流网点的最佳设置点，利用求物体系统重心的方法来确定物流网点的位置。
假设中心仓库的个数和位置已确定，将K 个中心仓库按照地理位置及物质需求量合理均匀的划分为两个区域。每个区域建一个工厂位置由重心法确定。
假设某个区域内有b 个城市，其坐标分别为（X i, Y i ）, （i=1，2，„„b ）；在该区域建一个工厂，坐标是（X 0 ,Y 0），设运输费用为E g ；总费用为C g (x),则有
E g =∑a ωd （4.1.1） gi g i g i
i =1n
其中a gi 表示单位物资从工厂到中心仓库i 运输单位距离的费用；ωgi 表示工厂到中心仓库i 的运输量（即第i 个中心仓库的需求量）；dg i 表示从工厂到中心仓库i 的距离；
C g (x ) =βg 1E g +βg 2V gi +βg 3P g （4.1.2）
其中βg 1、βg 2、βg 3表示权重系数，可以根据决策者的需求来定，且βg 1+βg 2+βg 3=1； V g i 表示工厂总的运营费用；P g 表示工厂的建设费用。
式1.1中
22+（y 0-y i ） （4.1.3） d gi =x 0-x i ）
将式1.3代入式1.1中并对等号两边同时求偏导即
∂E
∂x 0b =∑i =1a g i ωg i (x 0-x i ) d g i （4.1.4）
∂E
∂y 0b =∑i =1a g i ωg i (x 0-x i ) d g i (4.1.5)
由2.4解得
b
∑
x 0=i =1
b a gi ωgi x i d gi a gi ωgi
d gi ， b ∑y 0=i =1b a gi ωgi y gi d gi a gi ωgi d gi （4.1.6） ∑i =1∑i =1
考虑到两个方程右边均含有x 0，y 0而消去x 0，y 0较为麻烦，因此我们采用迭代法进行计算，其计算的方法如下：
（1）以所有城市的重心坐标作为中心仓库的初始位置坐标(x 0, y ) ； 000
（2）利用方程式（5.1.1）和（5.1.3）计算与(x 0, y ) 相应的总的运输费用E 0； 000
(3）把(x 0,
(x 0, 10y 00) 分别代入方程式（5.1.3）和（5.1.6）中，计算中心仓库的改善地点y 10) ；这样反复计算下去，直到计算出所有重心点。
（4）利用方程式（5.1.1）和（5.1.3）计算各个地点相对应的总的运输费用E ； 由此可确定该区域工厂的坐标（x 0，y 0），同理运用此法也可确定另一个工厂的坐标。b 个中心仓库的位置布局及工厂选址如下草图：
考虑到各个城市所需商品量不同，以物资量及运输费用来确定工厂规模。我们认为工厂的建造规模与城市所需物资量及运输费用呈线性相关，则有
S= α1E +α2C +α3V (4.1.7)
其中S 表示工厂的建造规模，E 表示总的运输费用，C 表示建设费用V 表示经营费用，α1，α2，α3分别表示对应的权系数，且α1+α2+α3=1。
ˆ1，αˆ2，αˆ3分别作为α1，α2，α3的估计量，得到样本回归方程为： 设α
ˆ1x i 1+αˆ2x i 2+αˆ3x i 3（i=1，2，3„n ） （4.1.8） ˆ=αy
ˆ1，αˆ2，αˆ3的估计值。 用Excel 辅助计算可得到3个待估参数α
4.2 问题二：建立合理模型确定中心仓库的位置及建造规模
问题二要求建立合理的模型确定中心仓库的位置及建造规模。查阅资料，我们决定用重心法选址模型对中心仓库进行合理选址。考虑到重心法是一种布置单个设施的方法，而本问题中中心仓库有多个，我们先对其中一个仓库选址，再根据城市对商品的需求量确定仓库的个数及规模。
这种方法要考虑现有设施之间的距离和要运输的货物量，不考虑在不满载的情况下增加的特殊运输费用。
4.2.1 基于重心法选址模型
将本省n 个城市按照地理位置及物质需求量合理的划分为K 个区域，现设某个区域有m 个城市，坐标为（X i, Y i ）, （i=1，2，„„m ）；在该区域建一个中心仓库，坐标是（X 0 ,Y 0），设运输费用为E ；总费用为C, 则有
E=∑a ωd μi i i
i =1n i （4.2.1）
其中a i 表示单位物资从中心仓库到城市i 运输单位距离的费用；ωi 表示中心仓库到城市i 的运输量（即第i 个城市的需求量）；d i 表示从中心仓库到城市i 的距离；μi 表示由重心法得到的中心仓库的备选状态（μi =1表示被选中，μi =0表示不被选中）。
C (x ) =β1E μi +β2V μi +β3C μi （4.2.2）
其中β1、β2、β3表示权重系数，可以根据决策者的需求来定，且β1+β2+β3=1；E μi 表示备选中心仓库μi 总的运输费用；C μi 表V μi 表示各个被选中心仓库μi 总的运营费用；示各个备选中心仓库μi 的建设费用。
式2.1中
22d i =x 0-x i ）+（y 0-y i ） （4.2.3）
将式2.3代入式2.1中并对等号两边同时求偏导即
∂E
∂x 0
∂E
∂y 0n =∑i =1n a i ωi (x 0-x i ) d i a i ωi (x 0-x i ) d i （4.2.4） (4.2.5) =∑i =1
由2.4解得
n
∑
x 0=i =1
n a i ωi x i d i a i ωi
d i ， n ∑y 0=i =1n a i ωi y i d i a i ωi d i （4.2.6） ∑i =1∑i =1
考虑到两个方程右边均含有x 0，y 0而消去x 0，y 0较为麻烦，因此我们采用迭代法进行计算，其计算的方法如下：
（1）以所有城市的重心坐标作为中心仓库的初始位置坐标(x 0, y ) ； 000
（2）利用方程式（5.2.1）和（5.2.3）计算与(x 0, y ) 相应的总的运输费用E 0； 000
(3）把(x 0,
(x 0, 10y 00) 分别代入方程式（5.2.3）和（5.2.6）中，计算中心仓库的改善地点y 10) ；这样反复计算下去，直到计算出所有重心点。
（4）利用方程式（5.2.1）和（5.2.3）计算各个地点相对应的总的运输费用E ； 由此可确定该区域中心仓库的坐标（x 0，y 0），同理运用此法也可确定其他中心仓库的坐标。K 个城市的位置布局及中心仓库选址如下：
4.2.2 基于多元线性回归法确定中心仓库的建造规模
在式4.2.2中
C (x ) =β1E μi +β2V μi +β3C μi
令 y=C(x)，x i1=E μi ，x i 2=V μi ，x i3=C μi
对于一个实际问题，如果我们获得n 组观测数据（x i1，x i2，x i3）（i=1，2，3„„n ）
⎧y 1=β1x 11+
⎪y 2=β1x 21+⎪⎪⎨
⎪
⎪
⎪y n =β1x n 1+⎩β2x 12+β3x 13β2x 22+β3x 23⋅⋅⋅ （4.2.6） β2x n 2+β3x n 3
设βˆ1，βˆ2，βˆ3分别作为β1，β2，β3的估计量，得到样本回归方程为：
ˆ1x i 1+βˆ2x i 2+βˆ3x i 3（i=1，2，3„n ） ˆ=βy （4.2.7）
用Excel 辅助计算可得到3个待估参数βˆ1，βˆ2，βˆ3的估计值。
4.3 问题三：工厂向中心仓库供货方案
我们根据工厂和中心仓库的位置及规模来确定最佳供货方案，考虑到两个工厂，多个中心仓库，每个工厂需对多个中心仓库供货，为了方便我们采用模型实例化方案来解决这个问题。
设两个工厂为A 1,A 2, K 个中心仓库分别为B 1，B 2，„„B k ，其中每个工厂的产量为a 1，a 2，每个中心仓库对城市的供货量为b 1，b 2，„„b k ，从工厂A i 到中心仓库B j 的单位运费为C ij （i=1，2，j=1，2，„„k ）。建立目标函数如下，
2k
ij min ∑∑C
i =1j =1
2d ij （4.3.1）
s.t. ∑x
i =1ij ≤b j （j=1，2，„„k ）
k
∑
j =1
y ij ≥a i （i=1，2）
x ij ≥0 ，y ij ≥0 （i=1，2，j=1，2，„„k ）
其中d ij 为第i 个工厂到第j 个中心仓库的距离，x ij 表示第j 个中心仓库的最大容货量， y ij 表示第i 个工厂的最小生产量，第j 个中心仓库对城市最大供货量，a i 为第i 个工厂最小生产量。
4.3.1模型实例化
具提问题如下：设有两个工厂，四个中心仓库，其中工厂生产量、中心仓库运输量及单位运费如下表4.3.1所示
由LINGO 软件求解，得到
******
x =20，x 12=x 13=0，x 14=22，x 21=x 24=0，x 22=25，x 23=30，即工厂A 1 运往
*11
*
中心仓库B 1 的运量为20，运往中心仓库B 2 、B 3 均为0，运往B 4 的运量为22，剩余8个单位，工厂A 2运往中心仓库B 2 的运量为25，运往中心仓库B 3 的运量为30，运往B 1 、B 4 的运量为0，剩余5个单位。由此我们便得到了两个工厂向四个中心仓库具体的运货方案。
4.4 问题四：选用一组数据进行计算
我们根据某公司在河南省内的物流运输数据选用省内十二个市进行分析。运输费用及个市坐标如下表5.4.1所示：
表4.4.1
根据该公司提供的数据计算出建设费用及运营费用如表4.4.2所示：
表4.4..2 单位：万元
根据河南省地图将以上所选城市按地理位置及需求量划分为四个区域如下：
采用迭代法，求出各个重心以及中心点的运输成本，计算结果如下表：
采用多元线性回归对总成本目标函数的系数进行求解 用spss 辅助计算结果如下：
由上图的输出结果，可以得到本例中的回归系数为βˆ1=0.038, βˆ2=0.770,
ˆ= -0.424。故所求回归方程为 β3
C (x ) =0. 038E μi +0. 770V μi -0. 424C μi ( 5.4.1)
根据以上求解结果将μ0 ，μ1，μ2„„μ
11分别代入式5.4.1中，计算出总运费的结果
如下：C （μ0）=2093.45，C （μ1）=2093.80，C （μ2）=2050.46，C （μ3）=2092.95，C （μ4）=2076.53，C （μ5）=2085.24，C （μ6）=2075.62，C （μ7）=2049.57，C （μ8）=2025.37，
C （μ9）=2005.24，C （μ10）=195809，C （μ算结果与实际数据符合的很好，较为理想。
11）=1973.48
。由此我们可以看出本模型计
四个区域内的中心仓库的最佳建造坐标分别为：（113.49，34.48），（113.75，33.20），（111.88，33.15），（112.58，34.86）。
五、模型评价
5.1模型的优缺点 5.1.1 模型的优点
（1）问题一，二，我们选取了重心法对模型进行了合理的构建，方法简单易懂。 （2）问题三我们对模型进行了实例化，用数据进行了精确的计算，并用LINGO 对模型进行了求解，给出了工厂对中心仓库的确切的供货方案。
（3）模型四我们选用了一组数据进行了计算，用计算数据充分的说明了我们所见模型的合理性。
5.1.2 模型的缺点
（1）各模型的数据使用前基本上都需要进行标准化处理。
（2）我们只对中心仓库进行了实例化分析，工厂的建立与中心仓库雷同。
六参考文献
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International Journal of Production Economics,45,P169—180.
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公路学报，2003年，第16卷第2期123－126
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报,2000,24(6):108—110
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2003，(2):62-67
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[10] 张方，刘丙午. 基于混合整数规划模型的物流配送中心选址优化[J].北京物资学
院，2007，(8).
部分程序代码如下：
model :
! A 2 Warehouse,4 Customer
Transportation Problem;
sets :
Warehouse/1..2/:a; Customer/1..4/:b;
Routes(Warehouse,Customer):c,x;
endsets
! The objective;
[OBJ] min =@ sum(Routes:c*x);
!The demand constraints; @ for(Customer(j):[DEM]
@ sum(Warehouse(i):x(i,j))>=b(j));
!The supply constraints;
@ for(Warehouse(i):[SUP]
@ sum(Customer(j):x(i,j))
! Here are the parameters; data : a=50,60; b=20,25,30,22; c=110,130,236,145,
142,125,186,169;
ENDDATA end