２００８
ｇ－ｇ５期齐齐哈尔师范高等专科学校学报
ＪｏｕｍａｌｏｆＱｉｑｉｈａｒＪｕｎｉｏｒＴｅａｃｈｅｒｓ’Ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｎｏ・５，２００８Ｇｅｎｅｒａｌ・Ｎ。・１０５
（总第１０５期）
复合函数的极限存在性
陈志惠
（辽东学院师范学院．辽宁丹东１１８００３）
摘要：通过五个定理，针对在什么条件下，两个函数的极限存在，则复合函教的极限存在且等于外层函数的极限。
关键词：复合函数；极限。
中图分类号：０１７４文献标识码：Ａ文章编号：１００９－３９５８（２００８）０５－，０１３９－０２
Ｘ
．基
ｌ—Ｘ
ｌ
如果函数ｙ＝厂＠）的定义域包含函数“＝ｇ（ｚ）
的值域，则在函数ｇＯ）的定义域ｘ上就确定了一个函数
／ｋ（砷】＝
ｋ
肼瓦
１
Ｘ＝一ｋｎ＂
＠＝±１，±２，人）
Ｙ＝厂ｋ（ｘ）】，这个函数称为ｇ与ｆ的复合函数．如果两
个函数ｇ与ｆ都存在极限，不妨设
ＩｉＩＩＩ
ｇ（工）：Ⅳ。，
如果取％２瓦１，儿２磊１再，有
｝受几（以）１＝ｌ，。ｌｉ．ｒａ。ｆ［ｇ（ｙｔ）】＝０
ｌｉｍ
ｍ）：彳，则复合函数ｙ＝厂ｋ（工）】在ｘ。是否也存
甜＿‰
在极限？如果复合函数ｙ＝厂ｋ（ｘ）】的极限存在．那么是
否还等于Ａ？为此，我们举Ｉ出－Ｆ面的反例说明，即使两个函数极限都存在，而复合函数的极限也可能不存在，印使存在
也不一定等于外层函数的极限Ａ・
．概Ｈｅｉｎｅ定理，复台函致厂ｋ（ｘ）】在ｘ＝ｏ不存在
极限，因此不能在ｚ＝０收敛子０．
例２设八“，＝｛呈：二三，“＝ｇｃ曲＝。。
ｘＥ
例ｔ设／＠，＝｛乏：三三，
“：ｇ（工）＝工ｓｉＩｌ一１，
Ｒ，有ｌ岫ｇ（ｘ）＝０，ｌｉｍ厂（“）＝８・
ｘ－－’Ｏ
ｉｉ，－’ｕ
由复合函数定义．显然有厂ｋ（力】＝ｏ，Ｘ∈Ｒ．
显然ｌｉ罂厂ｋ（ｘ）Ｊ＝０≠８
工—．ｕ
有躲烈功＝，ｌｉ．ｍｘｓｉｎ专＝ｏ，
！ｉｍｆ（ｕ）＝０由复合函数定义，显然有
Ｈ—’Ｕ
上面两例说明，并不能由ｌｉｍ
Ｊ’知ｇ（石），ｌｉｍ／以）存
Ⅳ．＋唧
在性推出ｌｉｒａ厂【ｇ（ｘ）】的存在性，于是就产生一个十分Ｊ＿＂ｇＯ
收稿日期：２００７Ｌ１猢
作者简介：陈志惠（１９７２一）。女，辽宁省丹东市，辽东学院师范学院高等数学教研部讲师。主要研究方向：高数研究。
—－１３争一
重要的问题，就是在什么条件Ｆ，两个函效的极限存在，则复合函数的极限存在且等予外层函数的极限呢？下面我们就来讨论这个问题。我们的结论包含在下面的四个定理中，
定理也厩豆－
２、如果把ｏｏ换为±００，定理依然成立．
，
定理３。设ｌｉｍｇ（ｘ）＝Ｕｏ，ｌｉｍｆ（ｕ）＝Ａ，且膏＿＋∞
Ｈ＿ⅣＯ
在给出这些定理之前，我们约定，所讨论的两个函数厂＠）、
Ｕ；ｇ（ｘ）是满足两个函数复合成一个函数的条件的前提
下才讨论它们的复合成的函数极限存在性，否则就失去了讨
论的意义．
材≠“。，则娥厂ｋ（ｘ）】＝彳．
证明：．．‘ｌｉｍ
［／－－＋Ｕ０
ｆ（ｕ）＝Ａ。根据极限定义，任给
ｇ＞０，存在矽＞０，当０＜陋一“ｏｌ＜ｒ／时，有
Ｉ厂＠）一Ａｌ＜ｓ．又．．．１ｉｍｇ（ｘ）＝Ｕｏ，根据极限定义，・
’
’
定理１：设ｌｉｍｇ（ｘ）＝Ｕｏ，ｌｉｍ厂似）＝Ａ，且
工—＇∞
“ＣＵｏ，Ｊ￥ｌ，１．ｉｍ‰ｆｉｇ（ｘ）】＝彳・
证明：．．．１ｉｍ厂＠）＝Ａ，由极限定义知，任给
对上述，７＞０，存在Ｍ＞０，当Ｈ＞Ｍ时，有０＜ｌｇ（ｘ）－ｕｏＩ＜ｒｌ或Ｏ＜ｋ一材。ｌ＜ｒ／ｐ甜≠Ｕ０）．
占＞０，存在ｒｌ＞０，当０＜ｌＵ一“ｏＩ＜，７时，有
从而有Ｉ厂ｋ（ｘ）】一ＡＩ＜ｇ．＆ｌｉｍ厂ｋ（功】－Ａ．
Ｊｆ－＇ｌ∞
ｇ（ｘ）一“ｏ，ｇｕ≠ｕｏ，再Ｉｆ（ｕ）－Ａｌ＜０．又．．．１ｉｍＪ＿．ｋ１
’
附注：１、如果把Ｘ－－ｙｏｏ换为Ｘ－－ｙ＋ｏｏ，定理也成
立．
根据极限定义，对上述的ｒｌ＞０，存在盯＞０，当
２、如果定理中去掉条件“≠Ｕｏ，定理不一定成立・
０＜ｌＸ－－Ｘｏｌ＜盯时，有ｏ＜ｌＵ－－ＺＬｏｌ＜；７，从而有
定理４：设ｌｉｍｇ（ｘ）＝００．１ｉｍｆ（ｕ）＝Ａ，则
Ｉｆ（ｕ）－ＡＩ＝Ｉ厂ｋ（ｘ）】一彳ｆ＜占．
故ｌｉｍ厂ｋ（ｘ）】＝Ａ
ｔｌｉ律－：如果把Ｘ—ｘｏ换为Ｘ寸ｘｊ，ｘ哼巧，
定理也成立．
，ｌｉ—ｍｆｉｇ（ｘ）】：彳．
证明：．．．１ｉｍｆ（ｕ）＝Ａ，根据极限定义，对于
ｇ＞０，
存在Ｍ＞０，
当川＞Ｍ时，
有
定理２：设ｌｉｍｇ（ｘ）＝∞，ｌｉｍｆ（ｕ）＝Ａ，则
Ｉ／＠）一彳Ｉ＜ｇ．Ｘ＇．ｖｌｉｍｇ（ｘ）＝００，根据无穷大量定
’
Ｊ－４ｔ，ｃ０
…ｌｉｍ／ｋ洲＝彳・
“—’∞
义，对上述的Ｍ＞０，对于Ⅳ＞０，当Ｈ＞Ⅳ时，有
．
…—‘．
证明一…ｌｉｒａｍ）＝彳，根据极限定义，任给ｇ（ｘ）ｌ＞Ｍ或Ｉ甜Ｉ＞Ｍ，从而有Ｉｆ（ｕ）－ＡＩ＜ｇ或
１，—且
１，
．一—ｌ
占＞０。
存ＩＩ．Ｍ＞０，
当Ｈ＞Ｍ时，
有
Ｉｓｉｓ（ｘ）卜ＡＩ＜“ｉ啦，ｌｉ—ｍｆｉｇ（ｘ）】－彳．
附注ｌ如果把Ｘ＿ｏｏ，Ｕ－－ｙｏｏ分别换为
ｘ－－－＞±∞，Ｕ－－－＞±∞定理同样成立．
Ｉ／（甜）一ＡＩ＜占．又．．．１ｉｍｇ（力＝００，再根据无穷大量
。
’
Ｘ・÷ｘｎ
定义，对上述的Ｍ＞０，存在盯＞０，当
０＜卜一‰Ｉ＜仃时，：ｎｌｇ（ｘ）ｌ＞Ｍ或Ｍ＞Ｍ，从而
参考文献：
有Ｉ厂【ｇ（ｘ）卜ＡＩ＜钆一ｌｉｍ
●
ｆ［ｇ（ｘ）】＝彳・
【１】华中师范大学．数学通讯【Ｍ】．武汉：华中师范大学
印酗ｒ。１９８８．
【２】华东师范大学数学系．敷学分析咖．上海：高等教
育出Ｊ跹社，２００１．
附注：１、如果把ｘ寸而换为ｘ一菇，ｘ＿Ｘｏ，
—－１４ｍ—
口编辑，兰虹
２
复合函数的极限存在性
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
陈志惠
辽东学院师范学院,辽宁,丹东,118003
齐齐哈尔师范高等专科学校学报
JOURNAL OF QIQIHAR JUNIOR TEACHERS' COLLEGE2008，""(5)0次
参考文献(2条)
1. 华中师范大学 数学通讯 19882. 华东师范大学数学系 数学分析 2001
相似文献(10条)
1.期刊论文 吴果林. 黄国安 极限与求导运算的复合函数教学法 -考试周刊2007,""(14)
本文探讨了极限与求导运算的复合函数教学方法,指出对于初等函数的极限与求导,利用复合函数的运算法则,使学生能准确、熟练、灵活地解题,促进了思维的发展.
2.期刊论文 聂铭. NIE Ming 复合函数求极限的一个条件 -六盘水师范高等专科学校学报2008,20(3)
在对求复合函数的极限的定理的学习中,针对条件"当x≠x0时,g(x)≠0"提出的疑问,给出详细而全面的解释.
3.期刊论文 汪维红 剖析复合函数的极限运算 -皖西学院学报2004,20(2)
探讨了复合函数中的极限符号与函数符号能否交换次序的问题,阐述了limf[ψ(x)]x→x0、f[lim ψ(x)]x→x0及limf(u)u→u0三者的差异.
4.期刊论文 郭明普 复合函数极限的存在性 -南都学坛（自然科学版）2001,21(6)
讨论了如果两个函数y=f(u)与u=ψ(x)的极限都存在,不妨设limψ(x)x→x0=u0,limf(u)=Au→u0,则复合函数f[ψ(x)]在x0点是否存在极限?如果复合函数f[ψ(x)]的极限存在,那么是否还等于A?通过论证得到,并不能由limψx→x0(x),lim.f(u)u→u0的存在性推出lim f[ψ(x)]x→x0的存在性.
5.期刊论文 郁闯 复合函数的几个问题 -南通航运职业技术学院学报2003,2(4)
复合函数是高等数学的重点和难点之一,是学习导数的基础.文章结合该部分知识的特点,对复合函数的分解、运算、定义域的确定、复合函数的极限求解等进行了探讨.
6.期刊论文 陈俊 关于对复合函数求导法则定理证明的探讨 -中国科技成果2005,""(24)
本文对复合函数求导法则定理的证明作了一些讨论,提出对该定理证明中所引入无穷小量的更加灵活的处理方法,深化了我们对复合函数求导法则的理解和应用.
7.期刊论文 刘建文 一元复合函数求导法则的一种证法 -聊城师院学报（自然科学版）2002,15(3)
在证明由函数y=f(u)与u=ψ(x)构成的复合函数y=f[ψ(x)]的求导公式dy/dx=dy/du·du/dx时,在数学分析教材的证明中都用到当△u趋于零时的无穷小量a,并需要补充义当△u=0时,a=0,这对初学者来说是不容易理解的.本文给出的证法避免了补充定义a这一做法.本证明的特点是按△u是否为零分为三种情况,其中第二种情况的证明是本证法的关键.
8.期刊论文 许新斋. 马军英 关于复合函数的极限运算法则 -山东师范大学学报(自然科学版)2002,17(2)
复合函数的极限有许多情形,但当前所见教材中往往只涉及很少几种情形,这是很不完美的.本文尝试用一种简明的方式来论述复合函数的极限运算法则,用两个定理来概括复合函数极限的144种情形,能使学生对复合函数的极限运算法则有一个完整和清晰的认识.
9.期刊论文 马德堂. 张凤银. 王建平 借助函数图形加深对定理的理解 -高等数学研究2003,6(3)
利用函数图形解释复合函数的极限运算法则及其证明思路、由参数方程所确定的函数的导数以及复合函数求导法则、柯西中值定理的证明思路.
10.期刊论文 龚冬保 "函数、极限与连续"教学中的两个问题 -高等数学研究2004,7(5)
对于多值函数和复合函数极限的一些说法发表了看法 .
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_ksszxb-shkxb200805062.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：61a9624f-decf-485f-be75-9dcb01481c04
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２００８
ｇ－ｇ５期齐齐哈尔师范高等专科学校学报
ＪｏｕｍａｌｏｆＱｉｑｉｈａｒＪｕｎｉｏｒＴｅａｃｈｅｒｓ’Ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｎｏ・５，２００８Ｇｅｎｅｒａｌ・Ｎ。・１０５
（总第１０５期）
复合函数的极限存在性
陈志惠
（辽东学院师范学院．辽宁丹东１１８００３）
摘要：通过五个定理，针对在什么条件下，两个函数的极限存在，则复合函教的极限存在且等于外层函数的极限。
关键词：复合函数；极限。
中图分类号：０１７４文献标识码：Ａ文章编号：１００９－３９５８（２００８）０５－，０１３９－０２
Ｘ
．基
ｌ—Ｘ
ｌ
如果函数ｙ＝厂＠）的定义域包含函数“＝ｇ（ｚ）
的值域，则在函数ｇＯ）的定义域ｘ上就确定了一个函数
／ｋ（砷】＝
ｋ
肼瓦
１
Ｘ＝一ｋｎ＂
＠＝±１，±２，人）
Ｙ＝厂ｋ（ｘ）】，这个函数称为ｇ与ｆ的复合函数．如果两
个函数ｇ与ｆ都存在极限，不妨设
ＩｉＩＩＩ
ｇ（工）：Ⅳ。，
如果取％２瓦１，儿２磊１再，有
｝受几（以）１＝ｌ，。ｌｉ．ｒａ。ｆ［ｇ（ｙｔ）】＝０
ｌｉｍ
ｍ）：彳，则复合函数ｙ＝厂ｋ（工）】在ｘ。是否也存
甜＿‰
在极限？如果复合函数ｙ＝厂ｋ（ｘ）】的极限存在．那么是
否还等于Ａ？为此，我们举Ｉ出－Ｆ面的反例说明，即使两个函数极限都存在，而复合函数的极限也可能不存在，印使存在
也不一定等于外层函数的极限Ａ・
．概Ｈｅｉｎｅ定理，复台函致厂ｋ（ｘ）】在ｘ＝ｏ不存在
极限，因此不能在ｚ＝０收敛子０．
例２设八“，＝｛呈：二三，“＝ｇｃ曲＝。。
ｘＥ
例ｔ设／＠，＝｛乏：三三，
“：ｇ（工）＝工ｓｉＩｌ一１，
Ｒ，有ｌ岫ｇ（ｘ）＝０，ｌｉｍ厂（“）＝８・
ｘ－－’Ｏ
ｉｉ，－’ｕ
由复合函数定义．显然有厂ｋ（力】＝ｏ，Ｘ∈Ｒ．
显然ｌｉ罂厂ｋ（ｘ）Ｊ＝０≠８
工—．ｕ
有躲烈功＝，ｌｉ．ｍｘｓｉｎ专＝ｏ，
！ｉｍｆ（ｕ）＝０由复合函数定义，显然有
Ｈ—’Ｕ
上面两例说明，并不能由ｌｉｍ
Ｊ’知ｇ（石），ｌｉｍ／以）存
Ⅳ．＋唧
在性推出ｌｉｒａ厂【ｇ（ｘ）】的存在性，于是就产生一个十分Ｊ＿＂ｇＯ
收稿日期：２００７Ｌ１猢
作者简介：陈志惠（１９７２一）。女，辽宁省丹东市，辽东学院师范学院高等数学教研部讲师。主要研究方向：高数研究。
—－１３争一
重要的问题，就是在什么条件Ｆ，两个函效的极限存在，则复合函数的极限存在且等予外层函数的极限呢？下面我们就来讨论这个问题。我们的结论包含在下面的四个定理中，
定理也厩豆－
２、如果把ｏｏ换为±００，定理依然成立．
，
定理３。设ｌｉｍｇ（ｘ）＝Ｕｏ，ｌｉｍｆ（ｕ）＝Ａ，且膏＿＋∞
Ｈ＿ⅣＯ
在给出这些定理之前，我们约定，所讨论的两个函数厂＠）、
Ｕ；ｇ（ｘ）是满足两个函数复合成一个函数的条件的前提
下才讨论它们的复合成的函数极限存在性，否则就失去了讨
论的意义．
材≠“。，则娥厂ｋ（ｘ）】＝彳．
证明：．．‘ｌｉｍ
［／－－＋Ｕ０
ｆ（ｕ）＝Ａ。根据极限定义，任给
ｇ＞０，存在矽＞０，当０＜陋一“ｏｌ＜ｒ／时，有
Ｉ厂＠）一Ａｌ＜ｓ．又．．．１ｉｍｇ（ｘ）＝Ｕｏ，根据极限定义，・
’
’
定理１：设ｌｉｍｇ（ｘ）＝Ｕｏ，ｌｉｍ厂似）＝Ａ，且
工—＇∞
“ＣＵｏ，Ｊ￥ｌ，１．ｉｍ‰ｆｉｇ（ｘ）】＝彳・
证明：．．．１ｉｍ厂＠）＝Ａ，由极限定义知，任给
对上述，７＞０，存在Ｍ＞０，当Ｈ＞Ｍ时，有０＜ｌｇ（ｘ）－ｕｏＩ＜ｒｌ或Ｏ＜ｋ一材。ｌ＜ｒ／ｐ甜≠Ｕ０）．
占＞０，存在ｒｌ＞０，当０＜ｌＵ一“ｏＩ＜，７时，有
从而有Ｉ厂ｋ（ｘ）】一ＡＩ＜ｇ．＆ｌｉｍ厂ｋ（功】－Ａ．
Ｊｆ－＇ｌ∞
ｇ（ｘ）一“ｏ，ｇｕ≠ｕｏ，再Ｉｆ（ｕ）－Ａｌ＜０．又．．．１ｉｍＪ＿．ｋ１
’
附注：１、如果把Ｘ－－ｙｏｏ换为Ｘ－－ｙ＋ｏｏ，定理也成
立．
根据极限定义，对上述的ｒｌ＞０，存在盯＞０，当
２、如果定理中去掉条件“≠Ｕｏ，定理不一定成立・
０＜ｌＸ－－Ｘｏｌ＜盯时，有ｏ＜ｌＵ－－ＺＬｏｌ＜；７，从而有
定理４：设ｌｉｍｇ（ｘ）＝００．１ｉｍｆ（ｕ）＝Ａ，则
Ｉｆ（ｕ）－ＡＩ＝Ｉ厂ｋ（ｘ）】一彳ｆ＜占．
故ｌｉｍ厂ｋ（ｘ）】＝Ａ
ｔｌｉ律－：如果把Ｘ—ｘｏ换为Ｘ寸ｘｊ，ｘ哼巧，
定理也成立．
，ｌｉ—ｍｆｉｇ（ｘ）】：彳．
证明：．．．１ｉｍｆ（ｕ）＝Ａ，根据极限定义，对于
ｇ＞０，
存在Ｍ＞０，
当川＞Ｍ时，
有
定理２：设ｌｉｍｇ（ｘ）＝∞，ｌｉｍｆ（ｕ）＝Ａ，则
Ｉ／＠）一彳Ｉ＜ｇ．Ｘ＇．ｖｌｉｍｇ（ｘ）＝００，根据无穷大量定
’
Ｊ－４ｔ，ｃ０
…ｌｉｍ／ｋ洲＝彳・
“—’∞
义，对上述的Ｍ＞０，对于Ⅳ＞０，当Ｈ＞Ⅳ时，有
．
…—‘．
证明一…ｌｉｒａｍ）＝彳，根据极限定义，任给ｇ（ｘ）ｌ＞Ｍ或Ｉ甜Ｉ＞Ｍ，从而有Ｉｆ（ｕ）－ＡＩ＜ｇ或
１，—且
１，
．一—ｌ
占＞０。
存ＩＩ．Ｍ＞０，
当Ｈ＞Ｍ时，
有
Ｉｓｉｓ（ｘ）卜ＡＩ＜“ｉ啦，ｌｉ—ｍｆｉｇ（ｘ）】－彳．
附注ｌ如果把Ｘ＿ｏｏ，Ｕ－－ｙｏｏ分别换为
ｘ－－－＞±∞，Ｕ－－－＞±∞定理同样成立．
Ｉ／（甜）一ＡＩ＜占．又．．．１ｉｍｇ（力＝００，再根据无穷大量
。
’
Ｘ・÷ｘｎ
定义，对上述的Ｍ＞０，存在盯＞０，当
０＜卜一‰Ｉ＜仃时，：ｎｌｇ（ｘ）ｌ＞Ｍ或Ｍ＞Ｍ，从而
参考文献：
有Ｉ厂【ｇ（ｘ）卜ＡＩ＜钆一ｌｉｍ
●
ｆ［ｇ（ｘ）】＝彳・
【１】华中师范大学．数学通讯【Ｍ】．武汉：华中师范大学
印酗ｒ。１９８８．
【２】华东师范大学数学系．敷学分析咖．上海：高等教
育出Ｊ跹社，２００１．
附注：１、如果把ｘ寸而换为ｘ一菇，ｘ＿Ｘｏ，
—－１４ｍ—
口编辑，兰虹
２
复合函数的极限存在性
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
陈志惠
辽东学院师范学院,辽宁,丹东,118003
齐齐哈尔师范高等专科学校学报
JOURNAL OF QIQIHAR JUNIOR TEACHERS' COLLEGE2008，""(5)0次
参考文献(2条)
1. 华中师范大学 数学通讯 19882. 华东师范大学数学系 数学分析 2001
相似文献(10条)
1.期刊论文 吴果林. 黄国安 极限与求导运算的复合函数教学法 -考试周刊2007,""(14)
本文探讨了极限与求导运算的复合函数教学方法,指出对于初等函数的极限与求导,利用复合函数的运算法则,使学生能准确、熟练、灵活地解题,促进了思维的发展.
2.期刊论文 聂铭. NIE Ming 复合函数求极限的一个条件 -六盘水师范高等专科学校学报2008,20(3)
在对求复合函数的极限的定理的学习中,针对条件"当x≠x0时,g(x)≠0"提出的疑问,给出详细而全面的解释.
3.期刊论文 汪维红 剖析复合函数的极限运算 -皖西学院学报2004,20(2)
探讨了复合函数中的极限符号与函数符号能否交换次序的问题,阐述了limf[ψ(x)]x→x0、f[lim ψ(x)]x→x0及limf(u)u→u0三者的差异.
4.期刊论文 郭明普 复合函数极限的存在性 -南都学坛（自然科学版）2001,21(6)
讨论了如果两个函数y=f(u)与u=ψ(x)的极限都存在,不妨设limψ(x)x→x0=u0,limf(u)=Au→u0,则复合函数f[ψ(x)]在x0点是否存在极限?如果复合函数f[ψ(x)]的极限存在,那么是否还等于A?通过论证得到,并不能由limψx→x0(x),lim.f(u)u→u0的存在性推出lim f[ψ(x)]x→x0的存在性.
5.期刊论文 郁闯 复合函数的几个问题 -南通航运职业技术学院学报2003,2(4)
复合函数是高等数学的重点和难点之一,是学习导数的基础.文章结合该部分知识的特点,对复合函数的分解、运算、定义域的确定、复合函数的极限求解等进行了探讨.
6.期刊论文 陈俊 关于对复合函数求导法则定理证明的探讨 -中国科技成果2005,""(24)
本文对复合函数求导法则定理的证明作了一些讨论,提出对该定理证明中所引入无穷小量的更加灵活的处理方法,深化了我们对复合函数求导法则的理解和应用.
7.期刊论文 刘建文 一元复合函数求导法则的一种证法 -聊城师院学报（自然科学版）2002,15(3)
在证明由函数y=f(u)与u=ψ(x)构成的复合函数y=f[ψ(x)]的求导公式dy/dx=dy/du·du/dx时,在数学分析教材的证明中都用到当△u趋于零时的无穷小量a,并需要补充义当△u=0时,a=0,这对初学者来说是不容易理解的.本文给出的证法避免了补充定义a这一做法.本证明的特点是按△u是否为零分为三种情况,其中第二种情况的证明是本证法的关键.
8.期刊论文 许新斋. 马军英 关于复合函数的极限运算法则 -山东师范大学学报(自然科学版)2002,17(2)
复合函数的极限有许多情形,但当前所见教材中往往只涉及很少几种情形,这是很不完美的.本文尝试用一种简明的方式来论述复合函数的极限运算法则,用两个定理来概括复合函数极限的144种情形,能使学生对复合函数的极限运算法则有一个完整和清晰的认识.
9.期刊论文 马德堂. 张凤银. 王建平 借助函数图形加深对定理的理解 -高等数学研究2003,6(3)
利用函数图形解释复合函数的极限运算法则及其证明思路、由参数方程所确定的函数的导数以及复合函数求导法则、柯西中值定理的证明思路.
10.期刊论文 龚冬保 "函数、极限与连续"教学中的两个问题 -高等数学研究2004,7(5)
对于多值函数和复合函数极限的一些说法发表了看法 .
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_ksszxb-shkxb200805062.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：61a9624f-decf-485f-be75-9dcb01481c04
下载时间：2010年8月7日