工程建设与设计 2000年第1期 总第159期
运用等效系统法原理计算变刚度梁
杨建伟1 孟 晓2
(1. 邳州市建筑设计院, 江苏 邳州 221300;2. 盐城工学院建筑工程系, 江苏 盐城 224003)
[提 要]等效系统法是将变刚度梁用等刚度梁代替, 线。若由已知的变刚度梁得到了一个等效系统, [关键词]等效系统法; 变刚度梁; 计算
[中图分类号]T U323. 3 [文献标识码]A ]-0012-03
一、E 1I 1的梁来代替, 挠曲线。若由一已知的变刚度梁得到了一个等效系统, 就可用等效系统对原结构进行计算。
弹性曲线的一般微分方程为
M 2=-E x I x d x
2
即 M e =M x /f (x ) (6)
上式说明, 一个变刚度E x I x 的梁总是存在一个等刚度
E 1I 1的等效系统, 它的边界条件与长度是和变刚度梁相同,
而在任意截面上的弯矩等于式(6) , 所以等刚度E 1I 1的等效系统的弯矩图可由式(6) 确定。
假设M (x ) 和f (x ) 可以算出, 则可由式(6) 算出M e 。等效系统的剪力Q e 和作用荷载可由下列二式确定:
(1)
积分二次得
y =∫(-d x ) d x +C 1∫d x +C 2
E x I x
(2)
() ()
(7) M e =
d x d x f (x ) 2(Q e ) =-() (8) q e =
d x d x 2f (x )
由于参考刚度值是可以任意选择的, 所以一个已知的变Q e =
式中, C 1和C 2是积分常数, 可根据变刚度梁的边界条件来确定。
构件的变刚度E x I x 可以表达如下:
E x I x =E 1I 1f (x )
刚度梁可以得到任意数目的等效系统。若f (x ) =1, 则E x I x
=E 1I 1, 即等效系统的刚度等于原结构的刚度。
(3)
二、利用等效系统法原理计算变刚度静定
式中:E 1I 1是刚度E x I x 的一个任意参考值;f (x ) 是x 的函数, 代表E x I x 对参考值E 1I 1的变化规律。
把式(3) 代入式(2) 得
(4) ∫[-() d x ]dx +C ′d x +C 21∫E 1I 1f x
关于等刚度E 1I 1的梁, 其长度和轴的参考系数等于式
梁的位移
1. 变刚度静定梁的支座反力、内力, 与它的材料性质、
截面大小无关, 其值可由静力平衡条件求出。
2. 变刚度静定梁的位移, 是指工程结构上经常遇到的材
y =
料相同、截面惯矩变化的静定梁的位移。其值可利用等效系统法原理计算出。
用实例加以说明, 见例一。
3. 等效系统近似法的计算步骤和过程
(4) 代表的梁, 它的弹性曲线y e 是
y e =
E 1I 1
∫(-∫M e d x ) d x +C ′d x +C ′1∫2(5)
式中:M e 为等刚度E 1I 1的梁在x 处的弯矩; C ′C ′1、2为积分常数。
式(4) 和式(5) 代表的弹性曲线是相同的, 且二构件的长度及边界条件也是相同的, 所以
C 1=C ′1, C 2=C ′2, 则有
M ∫[-() d x ]dx =∫(-∫M e d x ) d x
f x
必须指出, 上面讨论的用等效系统法求变刚度梁的位移是指刚度的变化与荷载的变化都可表示为x 的函数时才能进行。但是, 有时虽然刚度的变化与荷载的变化都可以表示为x 的函数, 但计算相当复杂; 或者刚度的变化、荷载的变化都不能表示为x 的函数, 这时可根据M e 的形状近似地用直
) , 这样就使计算得到了线段长度ΔS n 来逼近(n =1,2,3, …
简化。现以图1a 所示结构来说明等效系统近似法的计算步
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工程建设与设计 2000年第1期 总第159期
图
2
图
1
骤和过程。
(1) 选择一个刚度参考值E 1I 1沿构件长度上有足够数量的横截面计算f (x ) =
的值, 刚度函数图示于图1b 。E 1I 1
图3
δ式中:θ′′——采用等效系统的基本结构中, 由荷载A 、A —
产生的转角和挠度
θδ″″——采用等效系统的基本结构中, 由多余未知量A 、A —
R A 产生的转角和挠角
(2) 计算实际弯矩M 2, 并绘成M 图示于图1c 。(3) 将M e 值除以f (x ) 的相应值, 得等效系统的弯矩M e =M x /f (x ) , 如图1d 所示的实线部分。
(4) 根据M e 的形式可近似地用直线段长度ΔS n 来逼近(n =1,2,3, …) , 如图1d 所示的虚线部分。ΔS n 不一定要等
θδ ——采用等效系统的基本结构中, 由多余未知A 、A —
量M A 产生的转角和挠度
解方程(9) , 即可求出多余未知量M A 、R A 。从而可由静力平衡条件求出任一截面的内力和支座反力。
2. 用实例加以说明, 见例三。
[例一] 求图3a 所示的固端悬臂梁任意点的挠度和转
长, 最佳的近似段数目是依赖于M e 图的形式。通常合理地选择3～5段已足够了。
(5) 应用共轭梁法求出位移。
角。A 截面的惯矩是I 1, B 截面的惯矩为I b , 惯矩的变化规律近似地表达为
2
I b /I 1(x ) =1+(n -1) (1-x /l )
用实例加以说明, 见例二。
三、利用等效系统法原理计算变刚度超静
I 1(x ) =I b f (x ) 式中 n =I b /I 1
定梁的内力
1. 计算过程与步骤
以图2a 所示超静定梁加以说明。
刚度变化f (x ) =E x I x /E 1I 2, 如图2b 所示, 基本结构如图
2c 所示。
f (x ) =1/[1+(n -1) (1-x/l ) 2]
变刚度梁任意点x 的弯矩M x =-Px , 等刚度EI b 的等效系统弯矩(图3b )
2
M e =M x /f (x ) =-P x[1+(n -1) (1-x /l ) ]等效系统的
共轭梁如图3c 所示。
任意点挠度
f a =∫0
ξl
变刚度梁任意x 的弯矩为M 2, 则等刚度E 1I 1梁的等效系统弯矩为M e =M x /f (x ) 。式中, M x 为基本结构由荷载和多余未知量M A 、R A 共同产生的弯矩。M e =(M p +M A +
R A x ) /f (x )
d x EI b
==
ξl 2
) 2]dx ∫0x [1+(n -1) (1-EI b l 为此, 采用等效系统法原理, 根据A 点的变形条件求多余未知量M A 、R A 。
θ′″ A =θA +θA +θA =0
变形条件:
δ′″ A =δA +δA +δA =0
(9)
3345
) ][10ξ+(n -1) (10ξ-15ξ+6ξ
30EI b
ξ=a /l (0≤ξ≤式中 1) , A 点的挠度(ξ=1)
f a =[10+(n -1) (10×1-15×1+6×1) ]
30EI b
3
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工程建设与设计 2000年第1期 总第159期
3(1+) =
3n EI 110
x =150cm M e3=-2025/(4EI 1) =-506N ・cm/EI 1
任意点转角
ξl θa =∫0
用共轭梁法求A 点位移。共轭梁示于图4e 。
2
2234
) ]d x [6ξ+(n -1) (6ξ-8ξ+3ξ
EI b 12EI b
2
f A =[0.5×30×50. 5×2/3+50. 5×50×50×(30+
50/2) +0. 5×171. 5×50×(30+100×2/3) +222×70×(80+70/2) +0. 5×70×284×(80+70×2/3) ]=3. 48×106/EI 1
A 点转角(ξ=1)
θ[6+(n -1) (6×1-8×1+3×
1) ]a =12EI b
θ30×50. 5+0. 5(50+222) ×50+0. 5×(222+A =[0.5×
506) ×70]=3. 297×104/EI 1
[例三] 作图5a 所示变截面连续梁的弯矩图。截面为
=
(1+) 2n EI 16
2
[例二]试用等效系统近似求出图4a 所示的固端悬臂梁
矩形。
解:刚度变化图示于图5b , 基本结构示于图5c , 分离的实际弯矩图示于图5d , M e =M x /f (x ) 示于图5e 。A 点的变形条件为δ′″A =δA +δA =0
δ式中 ——由多余未知力R A 在等效系统的基本结′A —
构中产生的挠度
δ——由荷载在等效系统的基本结构中产生的″A —挠度。
δ采用等效系统, 应用共轭梁法求δ′″A 、A 。共轭梁示于图5f 。
2
δ′R A ×l /EI 1A =(71. 4958/256) ・3δ″A =0. 545ql /16EI 1
自由端的挠度和转角。刚度变化如图4b 所示。
根据A 点的变形条件求多余未知力。
71. 4958/256・R A ×l 2/EI 1+0. 545ql 3/16EI 1=0
图4
解:作弯矩图(见图4c ) M x =-0. 5qx 2
x =30cm M 1=0. 5×0. 18×30=-81N ・cm x =80cm M 2=0. 5×0. 18×80=-576N ・cm x =150cm M 3=0. 5×0. 18×80=-2025N ・cm
222
) R A =-0. 12ql (↓
求出支座反力R A 后, 可按静力平衡条件求弯矩。弯矩图示于5g 。
[参考文献]
[1]孙训方等. 材料力学(上册) M. 第二版. 北京:高等教育出版社, 1987. 291～302
[收稿日期]1999-10-24
作M e 图(图4d )
x =30cm M e1=-81(1. 6EI 1) =-50. 5N ・cm/EI 1x =80cm M e2=-576/(2. 6EI 1) =-222N ・cm/EI 1
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工程建设与设计 2000年第1期 总第159期
运用等效系统法原理计算变刚度梁
杨建伟1 孟 晓2
(1. 邳州市建筑设计院, 江苏 邳州 221300;2. 盐城工学院建筑工程系, 江苏 盐城 224003)
[提 要]等效系统法是将变刚度梁用等刚度梁代替, 线。若由已知的变刚度梁得到了一个等效系统, [关键词]等效系统法; 变刚度梁; 计算
[中图分类号]T U323. 3 [文献标识码]A ]-0012-03
一、E 1I 1的梁来代替, 挠曲线。若由一已知的变刚度梁得到了一个等效系统, 就可用等效系统对原结构进行计算。
弹性曲线的一般微分方程为
M 2=-E x I x d x
2
即 M e =M x /f (x ) (6)
上式说明, 一个变刚度E x I x 的梁总是存在一个等刚度
E 1I 1的等效系统, 它的边界条件与长度是和变刚度梁相同,
而在任意截面上的弯矩等于式(6) , 所以等刚度E 1I 1的等效系统的弯矩图可由式(6) 确定。
假设M (x ) 和f (x ) 可以算出, 则可由式(6) 算出M e 。等效系统的剪力Q e 和作用荷载可由下列二式确定:
(1)
积分二次得
y =∫(-d x ) d x +C 1∫d x +C 2
E x I x
(2)
() ()
(7) M e =
d x d x f (x ) 2(Q e ) =-() (8) q e =
d x d x 2f (x )
由于参考刚度值是可以任意选择的, 所以一个已知的变Q e =
式中, C 1和C 2是积分常数, 可根据变刚度梁的边界条件来确定。
构件的变刚度E x I x 可以表达如下:
E x I x =E 1I 1f (x )
刚度梁可以得到任意数目的等效系统。若f (x ) =1, 则E x I x
=E 1I 1, 即等效系统的刚度等于原结构的刚度。
(3)
二、利用等效系统法原理计算变刚度静定
式中:E 1I 1是刚度E x I x 的一个任意参考值;f (x ) 是x 的函数, 代表E x I x 对参考值E 1I 1的变化规律。
把式(3) 代入式(2) 得
(4) ∫[-() d x ]dx +C ′d x +C 21∫E 1I 1f x
关于等刚度E 1I 1的梁, 其长度和轴的参考系数等于式
梁的位移
1. 变刚度静定梁的支座反力、内力, 与它的材料性质、
截面大小无关, 其值可由静力平衡条件求出。
2. 变刚度静定梁的位移, 是指工程结构上经常遇到的材
y =
料相同、截面惯矩变化的静定梁的位移。其值可利用等效系统法原理计算出。
用实例加以说明, 见例一。
3. 等效系统近似法的计算步骤和过程
(4) 代表的梁, 它的弹性曲线y e 是
y e =
E 1I 1
∫(-∫M e d x ) d x +C ′d x +C ′1∫2(5)
式中:M e 为等刚度E 1I 1的梁在x 处的弯矩; C ′C ′1、2为积分常数。
式(4) 和式(5) 代表的弹性曲线是相同的, 且二构件的长度及边界条件也是相同的, 所以
C 1=C ′1, C 2=C ′2, 则有
M ∫[-() d x ]dx =∫(-∫M e d x ) d x
f x
必须指出, 上面讨论的用等效系统法求变刚度梁的位移是指刚度的变化与荷载的变化都可表示为x 的函数时才能进行。但是, 有时虽然刚度的变化与荷载的变化都可以表示为x 的函数, 但计算相当复杂; 或者刚度的变化、荷载的变化都不能表示为x 的函数, 这时可根据M e 的形状近似地用直
) , 这样就使计算得到了线段长度ΔS n 来逼近(n =1,2,3, …
简化。现以图1a 所示结构来说明等效系统近似法的计算步
12
工程建设与设计 2000年第1期 总第159期
图
2
图
1
骤和过程。
(1) 选择一个刚度参考值E 1I 1沿构件长度上有足够数量的横截面计算f (x ) =
的值, 刚度函数图示于图1b 。E 1I 1
图3
δ式中:θ′′——采用等效系统的基本结构中, 由荷载A 、A —
产生的转角和挠度
θδ″″——采用等效系统的基本结构中, 由多余未知量A 、A —
R A 产生的转角和挠角
(2) 计算实际弯矩M 2, 并绘成M 图示于图1c 。(3) 将M e 值除以f (x ) 的相应值, 得等效系统的弯矩M e =M x /f (x ) , 如图1d 所示的实线部分。
(4) 根据M e 的形式可近似地用直线段长度ΔS n 来逼近(n =1,2,3, …) , 如图1d 所示的虚线部分。ΔS n 不一定要等
θδ ——采用等效系统的基本结构中, 由多余未知A 、A —
量M A 产生的转角和挠度
解方程(9) , 即可求出多余未知量M A 、R A 。从而可由静力平衡条件求出任一截面的内力和支座反力。
2. 用实例加以说明, 见例三。
[例一] 求图3a 所示的固端悬臂梁任意点的挠度和转
长, 最佳的近似段数目是依赖于M e 图的形式。通常合理地选择3～5段已足够了。
(5) 应用共轭梁法求出位移。
角。A 截面的惯矩是I 1, B 截面的惯矩为I b , 惯矩的变化规律近似地表达为
2
I b /I 1(x ) =1+(n -1) (1-x /l )
用实例加以说明, 见例二。
三、利用等效系统法原理计算变刚度超静
I 1(x ) =I b f (x ) 式中 n =I b /I 1
定梁的内力
1. 计算过程与步骤
以图2a 所示超静定梁加以说明。
刚度变化f (x ) =E x I x /E 1I 2, 如图2b 所示, 基本结构如图
2c 所示。
f (x ) =1/[1+(n -1) (1-x/l ) 2]
变刚度梁任意点x 的弯矩M x =-Px , 等刚度EI b 的等效系统弯矩(图3b )
2
M e =M x /f (x ) =-P x[1+(n -1) (1-x /l ) ]等效系统的
共轭梁如图3c 所示。
任意点挠度
f a =∫0
ξl
变刚度梁任意x 的弯矩为M 2, 则等刚度E 1I 1梁的等效系统弯矩为M e =M x /f (x ) 。式中, M x 为基本结构由荷载和多余未知量M A 、R A 共同产生的弯矩。M e =(M p +M A +
R A x ) /f (x )
d x EI b
==
ξl 2
) 2]dx ∫0x [1+(n -1) (1-EI b l 为此, 采用等效系统法原理, 根据A 点的变形条件求多余未知量M A 、R A 。
θ′″ A =θA +θA +θA =0
变形条件:
δ′″ A =δA +δA +δA =0
(9)
3345
) ][10ξ+(n -1) (10ξ-15ξ+6ξ
30EI b
ξ=a /l (0≤ξ≤式中 1) , A 点的挠度(ξ=1)
f a =[10+(n -1) (10×1-15×1+6×1) ]
30EI b
3
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工程建设与设计 2000年第1期 总第159期
3(1+) =
3n EI 110
x =150cm M e3=-2025/(4EI 1) =-506N ・cm/EI 1
任意点转角
ξl θa =∫0
用共轭梁法求A 点位移。共轭梁示于图4e 。
2
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) ]d x [6ξ+(n -1) (6ξ-8ξ+3ξ
EI b 12EI b
2
f A =[0.5×30×50. 5×2/3+50. 5×50×50×(30+
50/2) +0. 5×171. 5×50×(30+100×2/3) +222×70×(80+70/2) +0. 5×70×284×(80+70×2/3) ]=3. 48×106/EI 1
A 点转角(ξ=1)
θ[6+(n -1) (6×1-8×1+3×
1) ]a =12EI b
θ30×50. 5+0. 5(50+222) ×50+0. 5×(222+A =[0.5×
506) ×70]=3. 297×104/EI 1
[例三] 作图5a 所示变截面连续梁的弯矩图。截面为
=
(1+) 2n EI 16
2
[例二]试用等效系统近似求出图4a 所示的固端悬臂梁
矩形。
解:刚度变化图示于图5b , 基本结构示于图5c , 分离的实际弯矩图示于图5d , M e =M x /f (x ) 示于图5e 。A 点的变形条件为δ′″A =δA +δA =0
δ式中 ——由多余未知力R A 在等效系统的基本结′A —
构中产生的挠度
δ——由荷载在等效系统的基本结构中产生的″A —挠度。
δ采用等效系统, 应用共轭梁法求δ′″A 、A 。共轭梁示于图5f 。
2
δ′R A ×l /EI 1A =(71. 4958/256) ・3δ″A =0. 545ql /16EI 1
自由端的挠度和转角。刚度变化如图4b 所示。
根据A 点的变形条件求多余未知力。
71. 4958/256・R A ×l 2/EI 1+0. 545ql 3/16EI 1=0
图4
解:作弯矩图(见图4c ) M x =-0. 5qx 2
x =30cm M 1=0. 5×0. 18×30=-81N ・cm x =80cm M 2=0. 5×0. 18×80=-576N ・cm x =150cm M 3=0. 5×0. 18×80=-2025N ・cm
222
) R A =-0. 12ql (↓
求出支座反力R A 后, 可按静力平衡条件求弯矩。弯矩图示于5g 。
[参考文献]
[1]孙训方等. 材料力学(上册) M. 第二版. 北京:高等教育出版社, 1987. 291～302
[收稿日期]1999-10-24
作M e 图(图4d )
x =30cm M e1=-81(1. 6EI 1) =-50. 5N ・cm/EI 1x =80cm M e2=-576/(2. 6EI 1) =-222N ・cm/EI 1
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