现代投资组合理论与投资分析

现代投资组合理论与投资分析

---------------I09660112 09数学与应用数学一班 冯晨

本学期，我们跟着骆桦老师学习投资组合，收获良多。让我们知道什么是投资组合，如何利用投资组合来使我们的投资风险降到最低。还有很多知识，如有效投资、投资组合分析、资本资产定价模型、套利定价模型、公司两阶段增长模型、期权定价理论等等，很多很多。

下面是本学期期末任务，分四个部分：

1、对资本资产定价模型的认识

课本上使用简单方法和严格方法推导，我们可以得到资本资产定价模型相同的结果如下：

RiRFi(RMRF)



其中Ri是资产i的预期回报率，

RF

是无风险回报率，i是贝塔系数，即资

产i 的系统性风险， RM 是市场m的预期市场回报率，RMRF 是市场风险溢价（market risk premium），即预期市场回报率与无风险回报率之差。

这个关系式是金融领域最重要的发现之一。这个方程也称为证券市场线，描述了经济中所有资产与投资组合的期望收益率的关系。任何资产或投资组合的收益率，无论是否是有效率的收益率，都可以由这一关系确定。这里，RM和

RF

并

不是我们所要考察的资产的函数，所以任意两个资产的期望收益率的关系可以简单的归因于它们具有不同的贝塔值，并且贝塔值越高则均衡收益率也越高。这里的贝塔值是系统风险的度量指标，这是由于非系统风险总可以通过分散投资还消除的。

资本资产定价模型的应用。资本资产定价模型主要应用于资产估值和资源配置等方面。

1资产估值是指应用资本资产定价模型可以估计一个证券的均衡状态的价格，将这个价格与现行的实际市场价格相比就可以知道这个证券是否偏离均衡价格，如果偏离，那么后续必定会回归到均衡价，利用这一点，我们便可获得超额收益。

2资源配置的应用就是根据对市场走势的预测来选择具有不同贝塔系数的证券或组合以获得较高收益或规避市场风险。证券市场线表明，贝塔系数反映证券或组合对市场变化的敏感性，因此，当有很大把握预测牛市到来时，应选择那些高贝塔系数的证券或组合。这些高贝塔系数的证券将成倍地放大市场收益率，带来较高的收益。相反，在熊市到来之际，应选择那些低贝塔系数的证券或组合，以减少因市场下跌而造成的损失。

2、对套利定价模型的认识

在事先给定收益产生的条件下推导均衡，这样我们就可以得到套利定价模型。这一定价模型要求任何股票的收益都与下式中的一组指数线性相关：

Riaibi1I1bi2I2bijIjei

ai

表示所有指数都为0时股票i的期望收益水平；

bij

Ij

表示影响股票i收益的第j

ei

个指数的值；表示股票i收益对第j个指数的敏感度；表示均值为0方差为

ei

2

的随机误差项。

套利定价模型的应用主要是对消极管理以及积极管理的重要作用。

1消极管理。多指数模型对优化消极管理有重要作用，可用于追踪一个指数或者设置一个适合特定客户的消极组合。主要操作方法是按照其指数比例来持有相同比例的股票，这样构建一个指数基金。

2积极管理。套利定价模型的一个应用就是确定被高估或者低估价值的股票。在这一程序中，分析师给出股票收益的预测值。然后套利定价模型与股票对因素的敏感度的估计值一起使用，以计算（使用如RiRF1bi12bi23bi3这样的方程）出所要求的股票收益。给定股票敏感度和的情况下，如果估计收益高于计算出的要求回报率，股票应被买入。

3、两阶段增长模型

我们用课本上的原题来更好地理解该模型。

原题如下：在某个时期，xyz公司股票的每股出售价格是65美元，每股盈利是3.99美元，支付的股利为2.00美元。与此同时，一家大型经纪公司对xyz公司的长期增长率的估计值为12%，公司股利支付率为50%。如果我们假定13%是xyz公司的一个合适的贴现率。请计算一下该公司股票的一个理论价格。

两阶段增长模型的意思是说假定一个异常增长阶段将持续N年，这个阶段的增长率假定为

g1

，这之后增长将变为一个稳定的水平并持续到无限期，记

M

g

PN

为

第N年末的价格。记表达式如下：

为市盈率，经过一系列推导即可得到两阶段增长模型的

N1

MgE1g1

1

N

1k





回归到例题上，我们假定分析师预期xyz公司12%的增长率可以持续15年，之后分析师预期该公司将成为一个平均公司。此外，假定16年后，预期的时长

1kN1gN

1

P0N

kg11k

D1

市盈率是9.5（市盈率计算公式：

1.13151.1215

P015

0.130.121.13

2.00

S

P

E，其中P为当前股价，E为每股年净收

益）。那么xyz公司股票的理论价值应当是：

14

9.53.991.12

1

15

1.13



54.59

相比单阶段模型计算理论股价，两阶段所计算出的股价更有实际意义，但是即使是这样，这个只是一种计算模型，并且必须对这个两个阶段做出的假设，所以这个计算结果依然是粗略的。

4、对期权定价模型的认识及原题解析

期权是一种合约，它赋予持有者在未来某个时间或一段时间内以特定价格买进或卖出指定证券的权利。

假定一个股票的连续复合收益率服从正态分布，就可以得到布莱克—斯科尔斯期权定价公式如下：

ECSN(d)N(d2)01rt

e

2

d1



2ln(S/E)(r/2)t

d2



S0

其中r表示连续复合无风险利率；C表示期权当前价值；表示股票当前价格；

E表示期权的执行价格；e表示常数2.7183；t表示距离到期日的时间，以年为单位；表示连续复合年收益率的标准差；N(d)表示自变量取d时的标准正态分布的分布函数值。

期权定价公式的应用。在知道股票的现行价格、期权的执行价格、距离到期日的时间、正态分布函数表、无风险利率水平以及股票连续复合年收益率的标准差。标准差是最难得到的，我们可以假定股票收益率在整个期限里是同分布的，那么可以使用股票收益率的历史数据来计算这个标准差。然后运用期权定价公式就可以得到看涨期权的理论价值，如果这个期权的的市场价格低于理论值，那么说明这个期权的价值在市场上就被低估了，这时投资者可以直接买入看涨期权来获利。

课本P410原题如下： 利用布莱克—斯科尔斯公式模型计算以下看涨期权的价值。股票当前价格为95美元，股票s收益率的及时标准差为0.6，看涨期权的执行价格为105美元，8个月后到期，连续复合风险利率为8%。

解：已知S0=95，E=105，r=0.08，t=8/12=2/3，=0.6，

1

lnS0/Er

2

2

d1



t

t

2



12

ln95/1050.08*0.6

2

0.6*

2/3

2

*3

0.14952068

d2

1

lnS0/Er-

2

t

t



122

ln95/1050.08-*0.6*

23

0.6*

2/3

-0.340377267

则查标准正态分布表得Nd10.5596，Nd20.3669，

所以得

CS0Nd1-Ee

rt

Nd295*0.5596-

1052.7183

0.08*2/3

*0.366916.64（美元）

结束语：

国内外投资界对定量技术的接受速度远远超出了我们最初的想象。应用现代

投资组合技术分析股票与债券、股利贴现模型、消极投资组合管理的概念、投资组合中融入国际资产、应用期货和期权管理风险，这些已经非常普遍。投资世界依然在继续变化。我们刚开始相信资本资产定价模型（CAPM）对现实有描述力，套利定价模型（APT）就出现了；我们刚开始使自己相信市场是有效的，市场非理性就成为热点话题；我们刚开始说证券分析不会得到回报，我们就证明了在价格揭示不完全的世界里分析成本的合理性；市场时机刚开始被怀疑，现在它又以策略资产配置的名义重现。

现代投资组合理论与投资分析

---------------I09660112 09数学与应用数学一班 冯晨

本学期，我们跟着骆桦老师学习投资组合，收获良多。让我们知道什么是投资组合，如何利用投资组合来使我们的投资风险降到最低。还有很多知识，如有效投资、投资组合分析、资本资产定价模型、套利定价模型、公司两阶段增长模型、期权定价理论等等，很多很多。

下面是本学期期末任务，分四个部分：

1、对资本资产定价模型的认识

课本上使用简单方法和严格方法推导，我们可以得到资本资产定价模型相同的结果如下：

RiRFi(RMRF)



其中Ri是资产i的预期回报率，

RF

是无风险回报率，i是贝塔系数，即资

产i 的系统性风险， RM 是市场m的预期市场回报率，RMRF 是市场风险溢价（market risk premium），即预期市场回报率与无风险回报率之差。

这个关系式是金融领域最重要的发现之一。这个方程也称为证券市场线，描述了经济中所有资产与投资组合的期望收益率的关系。任何资产或投资组合的收益率，无论是否是有效率的收益率，都可以由这一关系确定。这里，RM和

RF

并

不是我们所要考察的资产的函数，所以任意两个资产的期望收益率的关系可以简单的归因于它们具有不同的贝塔值，并且贝塔值越高则均衡收益率也越高。这里的贝塔值是系统风险的度量指标，这是由于非系统风险总可以通过分散投资还消除的。

资本资产定价模型的应用。资本资产定价模型主要应用于资产估值和资源配置等方面。

1资产估值是指应用资本资产定价模型可以估计一个证券的均衡状态的价格，将这个价格与现行的实际市场价格相比就可以知道这个证券是否偏离均衡价格，如果偏离，那么后续必定会回归到均衡价，利用这一点，我们便可获得超额收益。

2资源配置的应用就是根据对市场走势的预测来选择具有不同贝塔系数的证券或组合以获得较高收益或规避市场风险。证券市场线表明，贝塔系数反映证券或组合对市场变化的敏感性，因此，当有很大把握预测牛市到来时，应选择那些高贝塔系数的证券或组合。这些高贝塔系数的证券将成倍地放大市场收益率，带来较高的收益。相反，在熊市到来之际，应选择那些低贝塔系数的证券或组合，以减少因市场下跌而造成的损失。

2、对套利定价模型的认识

在事先给定收益产生的条件下推导均衡，这样我们就可以得到套利定价模型。这一定价模型要求任何股票的收益都与下式中的一组指数线性相关：

Riaibi1I1bi2I2bijIjei

ai

表示所有指数都为0时股票i的期望收益水平；

bij

Ij

表示影响股票i收益的第j

ei

个指数的值；表示股票i收益对第j个指数的敏感度；表示均值为0方差为

ei

2

的随机误差项。

套利定价模型的应用主要是对消极管理以及积极管理的重要作用。

1消极管理。多指数模型对优化消极管理有重要作用，可用于追踪一个指数或者设置一个适合特定客户的消极组合。主要操作方法是按照其指数比例来持有相同比例的股票，这样构建一个指数基金。

2积极管理。套利定价模型的一个应用就是确定被高估或者低估价值的股票。在这一程序中，分析师给出股票收益的预测值。然后套利定价模型与股票对因素的敏感度的估计值一起使用，以计算（使用如RiRF1bi12bi23bi3这样的方程）出所要求的股票收益。给定股票敏感度和的情况下，如果估计收益高于计算出的要求回报率，股票应被买入。

3、两阶段增长模型

我们用课本上的原题来更好地理解该模型。

原题如下：在某个时期，xyz公司股票的每股出售价格是65美元，每股盈利是3.99美元，支付的股利为2.00美元。与此同时，一家大型经纪公司对xyz公司的长期增长率的估计值为12%，公司股利支付率为50%。如果我们假定13%是xyz公司的一个合适的贴现率。请计算一下该公司股票的一个理论价格。

两阶段增长模型的意思是说假定一个异常增长阶段将持续N年，这个阶段的增长率假定为

g1

，这之后增长将变为一个稳定的水平并持续到无限期，记

M

g

PN

为

第N年末的价格。记表达式如下：

为市盈率，经过一系列推导即可得到两阶段增长模型的

N1

MgE1g1

1

N

1k





回归到例题上，我们假定分析师预期xyz公司12%的增长率可以持续15年，之后分析师预期该公司将成为一个平均公司。此外，假定16年后，预期的时长

1kN1gN

1

P0N

kg11k

D1

市盈率是9.5（市盈率计算公式：

1.13151.1215

P015

0.130.121.13

2.00

S

P

E，其中P为当前股价，E为每股年净收

益）。那么xyz公司股票的理论价值应当是：

14

9.53.991.12

1

15

1.13



54.59

相比单阶段模型计算理论股价，两阶段所计算出的股价更有实际意义，但是即使是这样，这个只是一种计算模型，并且必须对这个两个阶段做出的假设，所以这个计算结果依然是粗略的。

4、对期权定价模型的认识及原题解析

期权是一种合约，它赋予持有者在未来某个时间或一段时间内以特定价格买进或卖出指定证券的权利。

假定一个股票的连续复合收益率服从正态分布，就可以得到布莱克—斯科尔斯期权定价公式如下：

ECSN(d)N(d2)01rt

e

2

d1



2ln(S/E)(r/2)t

d2



S0

其中r表示连续复合无风险利率；C表示期权当前价值；表示股票当前价格；

E表示期权的执行价格；e表示常数2.7183；t表示距离到期日的时间，以年为单位；表示连续复合年收益率的标准差；N(d)表示自变量取d时的标准正态分布的分布函数值。

期权定价公式的应用。在知道股票的现行价格、期权的执行价格、距离到期日的时间、正态分布函数表、无风险利率水平以及股票连续复合年收益率的标准差。标准差是最难得到的，我们可以假定股票收益率在整个期限里是同分布的，那么可以使用股票收益率的历史数据来计算这个标准差。然后运用期权定价公式就可以得到看涨期权的理论价值，如果这个期权的的市场价格低于理论值，那么说明这个期权的价值在市场上就被低估了，这时投资者可以直接买入看涨期权来获利。

课本P410原题如下： 利用布莱克—斯科尔斯公式模型计算以下看涨期权的价值。股票当前价格为95美元，股票s收益率的及时标准差为0.6，看涨期权的执行价格为105美元，8个月后到期，连续复合风险利率为8%。

解：已知S0=95，E=105，r=0.08，t=8/12=2/3，=0.6，

1

lnS0/Er

2

2

d1



t

t

2



12

ln95/1050.08*0.6

2

0.6*

2/3

2

*3

0.14952068

d2

1

lnS0/Er-

2

t

t



122

ln95/1050.08-*0.6*

23

0.6*

2/3

-0.340377267

则查标准正态分布表得Nd10.5596，Nd20.3669，

所以得

CS0Nd1-Ee

rt

Nd295*0.5596-

1052.7183

0.08*2/3

*0.366916.64（美元）

结束语：

国内外投资界对定量技术的接受速度远远超出了我们最初的想象。应用现代

投资组合技术分析股票与债券、股利贴现模型、消极投资组合管理的概念、投资组合中融入国际资产、应用期货和期权管理风险，这些已经非常普遍。投资世界依然在继续变化。我们刚开始相信资本资产定价模型（CAPM）对现实有描述力，套利定价模型（APT）就出现了；我们刚开始使自己相信市场是有效的，市场非理性就成为热点话题；我们刚开始说证券分析不会得到回报，我们就证明了在价格揭示不完全的世界里分析成本的合理性；市场时机刚开始被怀疑，现在它又以策略资产配置的名义重现。