2.2 常见函数
一、 一次函数和常函数：
思维导图：
（一） 、一次函数 （二）、常函数 定义域：（- ∞，+ ∞） 定义域: （- ∞，+ ∞） 值 域：（- ∞，+ ∞） 正 k=0 反 值 域：{ b }
解析式：y = kx + b( k≠ 0 )
解析式：
y = b ( b为常数)
图 像：一条与x 轴、y 轴相交的直线 图 像：一条与x 轴平行或重合的直线 K > 0 k
单调性： k > 0 ,在（- ∞，+ ∞）↑ k
奇偶性：b =0⇔奇函数 b ≠0⇔非奇非偶
周期性: 非周期函数 反函数：在（- ∞，+ ∞）上有反函数 反函数仍是一次函数
例题：
b>0 b=0 b
二、二次函数
1、定义域：（- ∞，+ ∞）
2、值 a >0, y ∈[4ac -b , +∞)
4a
2
a
4a
2
3、解析式：y =ax +bx +c (a ≠0)
2
4、图 像:一条开口向上或向下的抛物线
正负：a >0，开口向上；a
绝对值：随着a 增大，开口缩小
>0, 与y 正半轴相交c
c c
对称轴：对称轴：x =-b ；顶点：(-b , 4ac -b 22a
2a
4a
)
∆=b 2-4ac →图像与x 轴交点个数：与x 轴交点的个数∆>0, 两个交点∆=0, 一个交点∆
5、单调性：a >0, (-∞, -b ]↓[-b a
, +∞) ↑
2a
2 a
, +∞) ↓
2a
26、奇偶性：b =0⇔偶函数 7、周期性：非周期函数
8、反函数：在（- ∞，+ ∞）上无反函数，
在(-∞, -b ]或[-b a
, +∞) 上及其子集上有反函数
2a
2例题:
。
三、反比例函数和重要的分式函数
（一）、反比例函数 （二）、分式函数y =定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 定义域：(-∞, -) (-
cx +d
ax +b
b a b
, +∞) a
c c a a cx +d b
(x ≠-) 解析式：f (x ) =k (k ≠0) 解析式：y =
ax +b a x
b c
图 像：以x 轴、y 轴为渐进线的双曲线 图 像：以x =-和y =为
a a
值 域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 值 域: (-∞, ) (, +∞)
渐近线的双曲线
单调性： k>0,（- ∞，0）↓, （0，+ ∞）↓ 单调性:在(-∞, -) 和(- k
, +∞) 上 a
奇偶性：奇函数 对称性：关于原点对称 周期性：非周期函数 反函数：在定义域上有反函数， 反函数是其本身。 （三）、f (x ) =x +k
x (k >0) 定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 值 域：
(-∞, -2k ) (2k , +∞)
图 像： (-∞, -k ) ↑, (-k , 0) ↓
单调性：
(0, k ) ↓, (k , +∞) ↑
奇偶性：奇函数 对称性：关于原点对称
奇偶性：非奇非偶 对称性：关于点(-
b a , c
a
) 成中心对称 周期性：非周期函数 反函数：在定义域有反函数， 反函数是y =
-bx +d ax -c (x ≠c
a
)
（四）、f (x ) =x -k x
(k >0) 定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 值 域:（- ∞，+ ∞）
图 像：
单调性：（- ∞，0）↑（0，+ ∞）↑
奇偶性：奇函数 对称性：关于原点对称
四、指数函数、对数函数和幂函数 （一）、指数和对数运算及性质：
1、根式
a n a n a n n -n
又因为() 可看作a ·b ，所以（）＝n 可以归入性质(3).
b b b
现在我们来研究如何用幂表示底数。
（1）、n 次方根的定义：若x n ＝a （n ＞1且n N *），则x 叫a 的n 次方根. 问题：x 如何用a 表示呢?
【平方根】偶次方根有下列性质：
在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根； 【立方根】奇次方根有下列性质：
在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数. （2）、n 次方根的性质：
⎧⎪a , n =2k +1x =⎨(k ∈N *) ，其中a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数.
⎪⎩±a , n =2k
（3）、根式的运算性质
⎧a , n 为奇数
①（(a ) n =a ）② a n =⎨
⎩|a |,n 为偶数
(1)(-8) 3 （2）(-10) 2 (3)(3-π) 4
（4）(a -b ) 2（a ＞b ）
解：(1) (-8) 3＝－8 (2) (-10) 2＝｜－10｜
(3) (3-π) 4＝｜3－π｜＝π－3 (4) (a -b ) 2＝｜a －b ｜＝a －b （a ＞b ） 例2、求值：
(1) 5+26+7-43-6-42; (2) 23⨯. 5⨯
分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质； 解：
(1) 5+26+7-43-6-42
=() 2+2∙2+(2) 2+22-2⨯23+(3) 2-22-2⨯22+(2) 2=((3+2)) 2+(2-) 2-(2-2) 2=|3+2|+|2-3-|-|2-2|=3+2+2--(2-2) =22
注意：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值符号。(2) 23⨯. 5⨯＝2⨯⨯3
32
⨯2⋅32
23
＝2⨯⨯2⨯22⋅3223
＝2⨯3⋅2⋅22⋅3
2
＝2⨯3=6
3
2、分数指数幂
（1）. 正数的正分数指数幂的意义
a =a m
-m n
m n
(a >0, m 、n ∈N *,n >1) 1
m n
（2）. 规定： (1) a
=(a >0, m 、n ∈N *,n >1)
a
(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义.
规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数. 当
a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用. 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.
即对于任意实数r,s, 均有下面的运算性质. 3. 幂的运算性质 (1) a m ⋅a n =a m +n (2) (a m ) n =a m ⋅n
(a >0, m 、n ∈R ) (a >0, m 、n ∈R )
(a >0, b >0, m ∈R )
23
(3) (a ⋅b ) m =a m ⋅b m
例：求下列各式的值：
(1)25
3
36
（3）（）2
49
32
（2）27
3-25
（4）（）2
4
（5）81⨯9
32
2
32
23
（6）23×3. 5×
解：(1)=(5) ＝53＝125 (2)27=(3) =3
23
3
23
3⨯32
＝32＝9
36362362⨯[1**********]
(3)() =) ]=() =() =3=
497777343
333
-2⨯25-35552282-33
(4)() 2=[() ]2=() 2=() =() =3=
422255125
(5)81⨯9=3⨯[(3) ]=3⨯3
2
3
42
2312
4
212⨯32
=3⨯3=(3⨯3)
4
2
3
4
2314
=(3) ⨯(3) =3⨯3=3
11111
31236332
(6)23×. 5×＝2×3×（）×（3×2）＝2×3×3×2×36×
2
4
14231416
12
2＝（2×2
13
-
13
×2）×（3×3×3）＝2
[1**********]-+33
×3
111++236
＝2×3＝6
3、对数运算及运算性质：
引例：假设1995年我国的国民生产总值为 a 亿元，如每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是1995年的2倍？
设：经过x 年国民生产总值是1995年的2倍 则有 a （1＋8%）x ＝2a 1.08x ＝2 用计算器或计算机作出函数图像，计算出x 值
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式 a b ＝N 中，已知a 和N 求b 的问题。（这里 a ＞0且a ≠1） （1）．定义：
一般地，如果 a （a ＞0且a ≠1）的b 次幂等于N, 就是 a b ＝N ，那么数 b 叫做 a 为底 N 的对数，记作 log a N ＝b ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）、指数式和对数式的互换：
a b ＝N
+ - log a N ＝b
例如：42＝16 log416＝2 ； 102＝100 log10100＝2
1
4＝2 log42＝ ； 10－2＝0.01 log100.01＝－2
2（3）、对数的性质
①、负数与零没有对数 ← 在指数式中 N > 0 ②、log a 1=0, log a a =1(a >0, a ≠1)
∵对任意 a＞0且a ≠1， 都有 a0＝1 ∴log a 1＝0 同样易知： log a a ＝1
③、对数恒等式：a log a N =N (a >0, a ≠112
如果把 ab ＝N 中的 b写成 log a N, 则有 alog a N ＝N
④、指数恒等式：log a a b =b (a >0, a ≠1) ⑤、常用对数
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便, N 的常用对数log 10N , 简记为lg N
例如：log 105简记作lg 5 log103.5简记作lg3.5. ⑥、自然对数
在科学技术中常常使用以无理数e ＝2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数log e N , 简记为ln N 。 例如：log e 3简记作ln3 loge 10简记作ln10 （4）. 运算性质：若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则
(1) log a M ⋅N =log a M +log a N ; (2) log a
M
=log a M -log a N ; N
(3) log a M n =n log a M
(n ∈R )
【现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用】.
证明：(1)设log a M ＝p ，log a N ＝q
由对数的定义得：M ＝a p ，N ＝a q ∴MN ＝a p ·a q ＝a p+q 再由对数定义得log a MN ＝p ＋q ，即证得log a MN ＝log a M ＋log a N (2)设log a M ＝p ，log a N ＝q 由对数的定义可以得 a p
M ＝a p ，N ＝a q ， ∴ ＝q ＝a p －q ，
N a 再由对数的定义得 log a ＝p －q
N 即证得log a ＝log a M －log a N
N (3)设log a M ＝p 由对数定义得M ＝a p ∴M n ＝（a p ）n ＝a np 再由对数定义得
M
M
M
log a M n ＝np 即证得log a M n ＝nlog a M
例：计算：
（1）lg14－7lg 27 ＋lg8－10 3＋lg 7－lg18 （2）lg243
lg9 （3）lg1.2
【解析】(1)、解法一：lg14－2lg 7
3
＋lg 7－lg18＝lg(2×7) －2(lg7－lg3) ＋lg7－lg(32×2)
＝lg2＋
lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0
解法二：lg14－2lg 73 ＋lg7－lg18＝lg14－lg （7
3
）2＋lg7－lg18
＝lg
14×7
＝lg1＝ （73
）20
×18（2）lg243lg9 lg35lg3 ＝5lg352lg3 ＝2
1
1lg 27 ＋lg8－3lg 10 lg 3
2
3
2
（3）lg1.2＝（3）＋lg2－3lg （10）3×2
lg 10
3
（lg3＋2lg2－1）＝2lg3＋2lg2－1 ＝32
（5）. 对数换底公式：
log a N =
log m N
log (a >0且a ≠1, m >0且m ≠1, N >0)
m a
证明：设log a N ＝x , 则 a x ＝N
两边取以m 为底的对数：log m a x ＝log m N ⇒x log m a ＝log m N 从而得：x ＝log N log N
log ∴ log a N ＝log
m a m a −−→两个常用的推论:
① log a b ⋅log b a =1 ② log a m b n
=
n
m
log a b (a 、b >0且均不为1） 证：①log lg b lg a
a b ·log b a ＝lg a lg ＝1
b n
②log
n
lg b nlg b a m
b ＝lg a ＝
mlg ＝n
a b a m
例：设 x 、y 、z （0，＋∞）且3x ＝4y ＝6z
1︒ 求证 11x ＋2y ＝1
z
； 2︒ 比较3x ，4y ，6z 的大小
证明1︒：设3x ＝4y ＝6z ＝k ∵x 、y 、z （0，＋∞） ∴k ＞1 取对数得：x ＝
lg k lg k lg k
， y ＝ ， z ＝lg 3lg4lg 6
11lg 3lg 42lg 3＋lg42lg 3＋2lg2lg 61
∴ ＋ ＝＋ ＝＝ ＝＝x 2y lg k 2lg k 2lg k 2lg k lg k z 64
lg k ·lg
8134lg64－lg81
2︒ 3x －4y ＝（－ ）lg k ＝ lgk ＝ ＜0
lg 3lg 4lg 3lg4lg 3lg4 ∴3x ＜4y
9
1646lg36－lg64
又4y －6z ＝（ －）lgk ＝＝＜0
lg 4lg 6lg 2lg6lg 2lg6
lgk ·lg
∴4y ＜6z ∴3x ＜4y ＜6z
（二）、指数函数、对数函数和幂函数
已知a =N ，我们从函数的角度分别研究这三者之间的关系：
关系一：N 如何随着b 的变化而变化→以指数为自变量、以幂为因变量的函数→指数函数； 关系二：N 如何随着a 的变化而变化→以底数为自变量、以幂为因变量的函数→幂函数； 关系三：a 如何随着b 的变化而变化→a =
→指数函数；
—
关系四：b 如何随着N 的变化而变化→b =log a N （以真数为自变量、以对数为因变量） →对数函数；
关系五：a 如何随着N 的变化而变化→a =N =N （以底数为自变量、幂为因变量） →指数函数
关系六：b 如何随着a 的变化而变化→b =log a N ； 定义：函数y =a
x
1
b
b
N =N (指数为自变量、幂为因变量)
1b
(a >0, a ≠1) 叫做指数函数，其中x 是自变量。
函数y =log a x (a >0, a ≠1) 叫做对数函数。 函数y =x α
叫做幂函数，其中x 是自变量。 (α为常数）
1、指数函数 2、对数函数
定义域：（- ∞，+ ∞） 定义域:（0，+ ∞） 值 域：（0，+ ∞） 值 域：（- ∞，+ ∞） 解析式：f (x ) =a
x
(a >0且a ≠1) 解析式：f (x ) =log a x (a >0且a ≠1)
图 像：位于x 轴上方，向x 轴无限接近 图 像：位于y 轴右侧，向y
轴无限接近
a >1 0
a
y =a x >1⇔a >1010
或 y =log a x >0⇔或 x >0x 101010
或 y =log a x >0 或 x 01
y =a x
【底数的大小】 y 【底数的大小】
x x
b x 单调性：a >1, 在（-∞，+∞）↑ 单调性：a >1, 在（0，+∞）↑ 0
反函数：y =log a x (a >0, a ≠1) 反函数： y =a (a >0, a ≠1) 3、幂函数y =x
α
x
(α为常数）
问题1：我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化．把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性．利用计算机画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点？ （1）y ＝x ；（2）y ＝x ；（3）y ＝x ；（4）y ＝x ．
思路：先将各式化为根式形式，函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x 的集合；奇偶性直接利用定义进行判断．（1）定义域为［0，＋∞），（2）（3）（4）定义域都是
1
2
13
23
43
R ；其中（1）既不是奇函数也不是偶函数，（2）是奇函数，（3）（4）是偶函数．它们的图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增．
问题2：仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？ （1）y ＝x ；（2）y ＝x ；（3）y ＝x
－1
－2
12
；（4）y ＝x
13
．
思路：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x 的集合；（1）（2）（4）的定义域都是{x |x ≠0}，（3）的定义域是（0，＋∞）；（1）（4）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线．
总结：研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x 的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断．问题1和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比． 【五个重要的幂函数】：
12
（1）y =x ；（2）y =x ；（3）y =x 2；（4）y =x -1；（5）y =x 3．
【幂函数性质】．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0, +∞) 上是增函数．特别地，当
α>1时，幂函数的图象下凸；当0
（3）α
［例1］讨论函数y ＝x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图． 25
2 思路：函数y ＝x 5
是幂函数．
2 （1）要使y ＝x 5
＝5x 2
有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ． （2）∵x ∈R ，∴x 2
≥0．∴ y ≥0．
（3）f （－x ）＝5（－x ）2
＝5
2x 2
＝f （x ）， ∴函数y ＝x 5
是偶函数；
2
（4）∵n ＝2
5＞0， ∴幂函数y ＝x 5在［0，＋∞］上单调递增．
2 由于幂函数y ＝x 5
是偶函数，
2 ∴幂函数y ＝x 5
在（－∞，0）上单调递减． （5）其图象如右图所示．
［例2］比较下列各组中两个数的大小：
33 （1）1.55
，1.75
；（2）0.71.5
，0.61.5
；（3）（－1.2）
-
23
，（－1.25）
-
23
．3 解析：（1）考查幂函数y ＝x 5
的单调性，在第一象限内函数单调递增， 33 ∵1.5＜1.7 ∴1.55＜1.75
3 （2）考查幂函数y ＝x 2
的单调性，同理0.71.5
＞0.61.5
．
（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， 22 ∵（－1.2）-3＝1.2
-
23
，（－1.25）
-
23
＝1.25
-
3
，又1.2
-
23
＞1.25
-
23
-
2 ∴（－1.2）
3
＞（－1.25）-23
点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．
21 ［例3］求函数y ＝x 5＋2x 5
＋4（x ≥－32）值域．
1 解析：设t ＝x 5
，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2
＋2t ＋4＝（t ＋1）2
＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．
21 ∴函数y ＝x 5
＋2x 5
＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．
点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．
2.2 常见函数
一、 一次函数和常函数：
思维导图：
（一） 、一次函数 （二）、常函数 定义域：（- ∞，+ ∞） 定义域: （- ∞，+ ∞） 值 域：（- ∞，+ ∞） 正 k=0 反 值 域：{ b }
解析式：y = kx + b( k≠ 0 )
解析式：
y = b ( b为常数)
图 像：一条与x 轴、y 轴相交的直线 图 像：一条与x 轴平行或重合的直线 K > 0 k
单调性： k > 0 ,在（- ∞，+ ∞）↑ k
奇偶性：b =0⇔奇函数 b ≠0⇔非奇非偶
周期性: 非周期函数 反函数：在（- ∞，+ ∞）上有反函数 反函数仍是一次函数
例题：
b>0 b=0 b
二、二次函数
1、定义域：（- ∞，+ ∞）
2、值 a >0, y ∈[4ac -b , +∞)
4a
2
a
4a
2
3、解析式：y =ax +bx +c (a ≠0)
2
4、图 像:一条开口向上或向下的抛物线
正负：a >0，开口向上；a
绝对值：随着a 增大，开口缩小
>0, 与y 正半轴相交c
c c
对称轴：对称轴：x =-b ；顶点：(-b , 4ac -b 22a
2a
4a
)
∆=b 2-4ac →图像与x 轴交点个数：与x 轴交点的个数∆>0, 两个交点∆=0, 一个交点∆
5、单调性：a >0, (-∞, -b ]↓[-b a
, +∞) ↑
2a
2 a
, +∞) ↓
2a
26、奇偶性：b =0⇔偶函数 7、周期性：非周期函数
8、反函数：在（- ∞，+ ∞）上无反函数，
在(-∞, -b ]或[-b a
, +∞) 上及其子集上有反函数
2a
2例题:
。
三、反比例函数和重要的分式函数
（一）、反比例函数 （二）、分式函数y =定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 定义域：(-∞, -) (-
cx +d
ax +b
b a b
, +∞) a
c c a a cx +d b
(x ≠-) 解析式：f (x ) =k (k ≠0) 解析式：y =
ax +b a x
b c
图 像：以x 轴、y 轴为渐进线的双曲线 图 像：以x =-和y =为
a a
值 域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 值 域: (-∞, ) (, +∞)
渐近线的双曲线
单调性： k>0,（- ∞，0）↓, （0，+ ∞）↓ 单调性:在(-∞, -) 和(- k
, +∞) 上 a
奇偶性：奇函数 对称性：关于原点对称 周期性：非周期函数 反函数：在定义域上有反函数， 反函数是其本身。 （三）、f (x ) =x +k
x (k >0) 定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 值 域：
(-∞, -2k ) (2k , +∞)
图 像： (-∞, -k ) ↑, (-k , 0) ↓
单调性：
(0, k ) ↓, (k , +∞) ↑
奇偶性：奇函数 对称性：关于原点对称
奇偶性：非奇非偶 对称性：关于点(-
b a , c
a
) 成中心对称 周期性：非周期函数 反函数：在定义域有反函数， 反函数是y =
-bx +d ax -c (x ≠c
a
)
（四）、f (x ) =x -k x
(k >0) 定义域：（- ∞，0）∪（0，+ ∞） 值 域:（- ∞，+ ∞）
图 像：
单调性：（- ∞，0）↑（0，+ ∞）↑
奇偶性：奇函数 对称性：关于原点对称
四、指数函数、对数函数和幂函数 （一）、指数和对数运算及性质：
1、根式
a n a n a n n -n
又因为() 可看作a ·b ，所以（）＝n 可以归入性质(3).
b b b
现在我们来研究如何用幂表示底数。
（1）、n 次方根的定义：若x n ＝a （n ＞1且n N *），则x 叫a 的n 次方根. 问题：x 如何用a 表示呢?
【平方根】偶次方根有下列性质：
在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根； 【立方根】奇次方根有下列性质：
在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数. （2）、n 次方根的性质：
⎧⎪a , n =2k +1x =⎨(k ∈N *) ，其中a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数.
⎪⎩±a , n =2k
（3）、根式的运算性质
⎧a , n 为奇数
①（(a ) n =a ）② a n =⎨
⎩|a |,n 为偶数
(1)(-8) 3 （2）(-10) 2 (3)(3-π) 4
（4）(a -b ) 2（a ＞b ）
解：(1) (-8) 3＝－8 (2) (-10) 2＝｜－10｜
(3) (3-π) 4＝｜3－π｜＝π－3 (4) (a -b ) 2＝｜a －b ｜＝a －b （a ＞b ） 例2、求值：
(1) 5+26+7-43-6-42; (2) 23⨯. 5⨯
分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质； 解：
(1) 5+26+7-43-6-42
=() 2+2∙2+(2) 2+22-2⨯23+(3) 2-22-2⨯22+(2) 2=((3+2)) 2+(2-) 2-(2-2) 2=|3+2|+|2-3-|-|2-2|=3+2+2--(2-2) =22
注意：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值符号。(2) 23⨯. 5⨯＝2⨯⨯3
32
⨯2⋅32
23
＝2⨯⨯2⨯22⋅3223
＝2⨯3⋅2⋅22⋅3
2
＝2⨯3=6
3
2、分数指数幂
（1）. 正数的正分数指数幂的意义
a =a m
-m n
m n
(a >0, m 、n ∈N *,n >1) 1
m n
（2）. 规定： (1) a
=(a >0, m 、n ∈N *,n >1)
a
(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义.
规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数. 当
a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用. 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.
即对于任意实数r,s, 均有下面的运算性质. 3. 幂的运算性质 (1) a m ⋅a n =a m +n (2) (a m ) n =a m ⋅n
(a >0, m 、n ∈R ) (a >0, m 、n ∈R )
(a >0, b >0, m ∈R )
23
(3) (a ⋅b ) m =a m ⋅b m
例：求下列各式的值：
(1)25
3
36
（3）（）2
49
32
（2）27
3-25
（4）（）2
4
（5）81⨯9
32
2
32
23
（6）23×3. 5×
解：(1)=(5) ＝53＝125 (2)27=(3) =3
23
3
23
3⨯32
＝32＝9
36362362⨯[1**********]
(3)() =) ]=() =() =3=
497777343
333
-2⨯25-35552282-33
(4)() 2=[() ]2=() 2=() =() =3=
422255125
(5)81⨯9=3⨯[(3) ]=3⨯3
2
3
42
2312
4
212⨯32
=3⨯3=(3⨯3)
4
2
3
4
2314
=(3) ⨯(3) =3⨯3=3
11111
31236332
(6)23×. 5×＝2×3×（）×（3×2）＝2×3×3×2×36×
2
4
14231416
12
2＝（2×2
13
-
13
×2）×（3×3×3）＝2
[1**********]-+33
×3
111++236
＝2×3＝6
3、对数运算及运算性质：
引例：假设1995年我国的国民生产总值为 a 亿元，如每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是1995年的2倍？
设：经过x 年国民生产总值是1995年的2倍 则有 a （1＋8%）x ＝2a 1.08x ＝2 用计算器或计算机作出函数图像，计算出x 值
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式 a b ＝N 中，已知a 和N 求b 的问题。（这里 a ＞0且a ≠1） （1）．定义：
一般地，如果 a （a ＞0且a ≠1）的b 次幂等于N, 就是 a b ＝N ，那么数 b 叫做 a 为底 N 的对数，记作 log a N ＝b ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）、指数式和对数式的互换：
a b ＝N
+ - log a N ＝b
例如：42＝16 log416＝2 ； 102＝100 log10100＝2
1
4＝2 log42＝ ； 10－2＝0.01 log100.01＝－2
2（3）、对数的性质
①、负数与零没有对数 ← 在指数式中 N > 0 ②、log a 1=0, log a a =1(a >0, a ≠1)
∵对任意 a＞0且a ≠1， 都有 a0＝1 ∴log a 1＝0 同样易知： log a a ＝1
③、对数恒等式：a log a N =N (a >0, a ≠112
如果把 ab ＝N 中的 b写成 log a N, 则有 alog a N ＝N
④、指数恒等式：log a a b =b (a >0, a ≠1) ⑤、常用对数
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便, N 的常用对数log 10N , 简记为lg N
例如：log 105简记作lg 5 log103.5简记作lg3.5. ⑥、自然对数
在科学技术中常常使用以无理数e ＝2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数log e N , 简记为ln N 。 例如：log e 3简记作ln3 loge 10简记作ln10 （4）. 运算性质：若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则
(1) log a M ⋅N =log a M +log a N ; (2) log a
M
=log a M -log a N ; N
(3) log a M n =n log a M
(n ∈R )
【现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用】.
证明：(1)设log a M ＝p ，log a N ＝q
由对数的定义得：M ＝a p ，N ＝a q ∴MN ＝a p ·a q ＝a p+q 再由对数定义得log a MN ＝p ＋q ，即证得log a MN ＝log a M ＋log a N (2)设log a M ＝p ，log a N ＝q 由对数的定义可以得 a p
M ＝a p ，N ＝a q ， ∴ ＝q ＝a p －q ，
N a 再由对数的定义得 log a ＝p －q
N 即证得log a ＝log a M －log a N
N (3)设log a M ＝p 由对数定义得M ＝a p ∴M n ＝（a p ）n ＝a np 再由对数定义得
M
M
M
log a M n ＝np 即证得log a M n ＝nlog a M
例：计算：
（1）lg14－7lg 27 ＋lg8－10 3＋lg 7－lg18 （2）lg243
lg9 （3）lg1.2
【解析】(1)、解法一：lg14－2lg 7
3
＋lg 7－lg18＝lg(2×7) －2(lg7－lg3) ＋lg7－lg(32×2)
＝lg2＋
lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0
解法二：lg14－2lg 73 ＋lg7－lg18＝lg14－lg （7
3
）2＋lg7－lg18
＝lg
14×7
＝lg1＝ （73
）20
×18（2）lg243lg9 lg35lg3 ＝5lg352lg3 ＝2
1
1lg 27 ＋lg8－3lg 10 lg 3
2
3
2
（3）lg1.2＝（3）＋lg2－3lg （10）3×2
lg 10
3
（lg3＋2lg2－1）＝2lg3＋2lg2－1 ＝32
（5）. 对数换底公式：
log a N =
log m N
log (a >0且a ≠1, m >0且m ≠1, N >0)
m a
证明：设log a N ＝x , 则 a x ＝N
两边取以m 为底的对数：log m a x ＝log m N ⇒x log m a ＝log m N 从而得：x ＝log N log N
log ∴ log a N ＝log
m a m a −−→两个常用的推论:
① log a b ⋅log b a =1 ② log a m b n
=
n
m
log a b (a 、b >0且均不为1） 证：①log lg b lg a
a b ·log b a ＝lg a lg ＝1
b n
②log
n
lg b nlg b a m
b ＝lg a ＝
mlg ＝n
a b a m
例：设 x 、y 、z （0，＋∞）且3x ＝4y ＝6z
1︒ 求证 11x ＋2y ＝1
z
； 2︒ 比较3x ，4y ，6z 的大小
证明1︒：设3x ＝4y ＝6z ＝k ∵x 、y 、z （0，＋∞） ∴k ＞1 取对数得：x ＝
lg k lg k lg k
， y ＝ ， z ＝lg 3lg4lg 6
11lg 3lg 42lg 3＋lg42lg 3＋2lg2lg 61
∴ ＋ ＝＋ ＝＝ ＝＝x 2y lg k 2lg k 2lg k 2lg k lg k z 64
lg k ·lg
8134lg64－lg81
2︒ 3x －4y ＝（－ ）lg k ＝ lgk ＝ ＜0
lg 3lg 4lg 3lg4lg 3lg4 ∴3x ＜4y
9
1646lg36－lg64
又4y －6z ＝（ －）lgk ＝＝＜0
lg 4lg 6lg 2lg6lg 2lg6
lgk ·lg
∴4y ＜6z ∴3x ＜4y ＜6z
（二）、指数函数、对数函数和幂函数
已知a =N ，我们从函数的角度分别研究这三者之间的关系：
关系一：N 如何随着b 的变化而变化→以指数为自变量、以幂为因变量的函数→指数函数； 关系二：N 如何随着a 的变化而变化→以底数为自变量、以幂为因变量的函数→幂函数； 关系三：a 如何随着b 的变化而变化→a =
→指数函数；
—
关系四：b 如何随着N 的变化而变化→b =log a N （以真数为自变量、以对数为因变量） →对数函数；
关系五：a 如何随着N 的变化而变化→a =N =N （以底数为自变量、幂为因变量） →指数函数
关系六：b 如何随着a 的变化而变化→b =log a N ； 定义：函数y =a
x
1
b
b
N =N (指数为自变量、幂为因变量)
1b
(a >0, a ≠1) 叫做指数函数，其中x 是自变量。
函数y =log a x (a >0, a ≠1) 叫做对数函数。 函数y =x α
叫做幂函数，其中x 是自变量。 (α为常数）
1、指数函数 2、对数函数
定义域：（- ∞，+ ∞） 定义域:（0，+ ∞） 值 域：（0，+ ∞） 值 域：（- ∞，+ ∞） 解析式：f (x ) =a
x
(a >0且a ≠1) 解析式：f (x ) =log a x (a >0且a ≠1)
图 像：位于x 轴上方，向x 轴无限接近 图 像：位于y 轴右侧，向y
轴无限接近
a >1 0
a
y =a x >1⇔a >1010
或 y =log a x >0⇔或 x >0x 101010
或 y =log a x >0 或 x 01
y =a x
【底数的大小】 y 【底数的大小】
x x
b x 单调性：a >1, 在（-∞，+∞）↑ 单调性：a >1, 在（0，+∞）↑ 0
反函数：y =log a x (a >0, a ≠1) 反函数： y =a (a >0, a ≠1) 3、幂函数y =x
α
x
(α为常数）
问题1：我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化．把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性．利用计算机画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点？ （1）y ＝x ；（2）y ＝x ；（3）y ＝x ；（4）y ＝x ．
思路：先将各式化为根式形式，函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x 的集合；奇偶性直接利用定义进行判断．（1）定义域为［0，＋∞），（2）（3）（4）定义域都是
1
2
13
23
43
R ；其中（1）既不是奇函数也不是偶函数，（2）是奇函数，（3）（4）是偶函数．它们的图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增．
问题2：仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？ （1）y ＝x ；（2）y ＝x ；（3）y ＝x
－1
－2
12
；（4）y ＝x
13
．
思路：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x 的集合；（1）（2）（4）的定义域都是{x |x ≠0}，（3）的定义域是（0，＋∞）；（1）（4）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线．
总结：研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x 的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断．问题1和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比． 【五个重要的幂函数】：
12
（1）y =x ；（2）y =x ；（3）y =x 2；（4）y =x -1；（5）y =x 3．
【幂函数性质】．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0, +∞) 上是增函数．特别地，当
α>1时，幂函数的图象下凸；当0
（3）α
［例1］讨论函数y ＝x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图． 25
2 思路：函数y ＝x 5
是幂函数．
2 （1）要使y ＝x 5
＝5x 2
有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ． （2）∵x ∈R ，∴x 2
≥0．∴ y ≥0．
（3）f （－x ）＝5（－x ）2
＝5
2x 2
＝f （x ）， ∴函数y ＝x 5
是偶函数；
2
（4）∵n ＝2
5＞0， ∴幂函数y ＝x 5在［0，＋∞］上单调递增．
2 由于幂函数y ＝x 5
是偶函数，
2 ∴幂函数y ＝x 5
在（－∞，0）上单调递减． （5）其图象如右图所示．
［例2］比较下列各组中两个数的大小：
33 （1）1.55
，1.75
；（2）0.71.5
，0.61.5
；（3）（－1.2）
-
23
，（－1.25）
-
23
．3 解析：（1）考查幂函数y ＝x 5
的单调性，在第一象限内函数单调递增， 33 ∵1.5＜1.7 ∴1.55＜1.75
3 （2）考查幂函数y ＝x 2
的单调性，同理0.71.5
＞0.61.5
．
（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， 22 ∵（－1.2）-3＝1.2
-
23
，（－1.25）
-
23
＝1.25
-
3
，又1.2
-
23
＞1.25
-
23
-
2 ∴（－1.2）
3
＞（－1.25）-23
点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．
21 ［例3］求函数y ＝x 5＋2x 5
＋4（x ≥－32）值域．
1 解析：设t ＝x 5
，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2
＋2t ＋4＝（t ＋1）2
＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．
21 ∴函数y ＝x 5
＋2x 5
＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．
点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．