不等式
模块框架
高考要求
知识内容
版块一．不等式的性质
1．用不等号(，，≤，≥，)表示不等关系的式子叫做不等式．
2．对于任意两个实数a和b，在ab,ab,ab三种关系中，有且仅有一种关系成立．
3．两个实数的大小比较：
对于任意两个实数a,b，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大．
作差比较法：ab0ab；ab0ab；ab0ab．
其中符号表示它的左边与右边能够互相推出．
4．不等式的性质： 性质1：（对称性）如果ab，那么ba；如果ba，那么ab． 性质2：（传递性）如果ab，且bc，则ac． 性质3：如果ab，则acbc． 推论1：（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等
式的一边移到另一边．
推论2：如果ab,cd，则acbd．
我们把ab和cd（或ab和cd）这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式．
推论2说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向． 推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向． 性质4：如果ab，c0，则acbc；如果ab，c0，则acbc．
aa
实数大小的作商比较法：当b0时，若1，且b0，则ab；若1，且b0，
bb
则ab．
推论1：如果ab0,cd0，则acbd．
推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．
推论2：如果ab0，则anbn(nN,n1)． 推论3：如果ab
0nN,n1)
1． 对于任意两个实数a,b，有ab0ab；ab0ab；
ab0ab，这几个等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序．由此知：比较两个实数的大小，可以归结为判断它们的差的符号．这是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式和解不等式的主要依据．
在学习了不等式的性质后，比较两个实数的大小还可以用作商法，与1比较，但这时要注意分母的正负情况．
2．比较两个代数式的大小关系，实际上是比较它们的值的大小，又归结为判断
它们的差的符号，要引导学生意识到比较法是不等式证明的基本方法．它有两个基本步骤：先作差，再变形判断正负号，难点是后者．这里的代数式的字母是有范围的，省略不写时就表示取值范围是实数集，它的主要变形方法有两种，一是因式分解法，二是配方法，变形时要尽量避免讨论，让依据尽量简便．
3．可以介绍异向不等式，并提醒学生注意什么样的不等式可以相加相减．对于不等式的性质与推论，可以根据学生的情况适当进行推导（比如性质４的推论３可以用反证法证明），让学生知道这些定理的来龙去脉，在不等式的证明中减少想当然，对数学证明的严格化有一定的认识．
版块二．均值不等式
ab
，当且仅当ab时，有2
等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．
ab
2．对于任意两个实数a,b，叫做a,b
a,b的几何平均值．
2
均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．
1．均值定理：如果a,bR（R表示正实数）
，那么
3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点：
⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可
以先进行
转化，再运用均值不等式；
⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否
则不能由
均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值． 运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． 2．均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．
⑴对于任意正实数a,b，作线段ABab，使ADa,DBb； ⑵以AB为直径作半圆O，并过D点作CDAB于D， 且交半圆于点C； AOD
ab
⑶连结AC,BC,OC，则OC，
2
∵ACBC,CDAB
∴CD 当ab时，在RtCOD中，
ab
有OCCD
2
当且仅当ab时，O,D
两点重合，有OC3．已知：a、bR（其中R表示正实数），
ab2
≥112
ab
2
B
ab
CD 2
ab称为算术平均数，
2
2
称为调和平均数．
11ab证明：ab212
ab≥0
242
ab≥ 222
∴ab
∵a、bR，
，当且仅当“ab”时等号成立．
2ab1
2≥0
24
ab≥∴，当且仅当“ab”时等号成立． 2
22
2
12
≥0
∵4
∴，当且仅当“ab”时等号成立．
2
2ab
2ab
ab
0
，当且仅当“ab”时等号成立． 11ab
了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．
2
板块三．解不等式
1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以a0为例）：
注：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过
根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与
方程的思想求解．
2． 解不等式
⑴解一元二次不等式通常先将不等式化为axbxc0或axbxc0 (a0)的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；
⑵分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 2
2
⑶高次不等式主要利用“序轴标根法”解．
不等式
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版块一．不等式的性质
1．用不等号(，，≤，≥，)表示不等关系的式子叫做不等式．
2．对于任意两个实数a和b，在ab,ab,ab三种关系中，有且仅有一种关系成立．
3．两个实数的大小比较：
对于任意两个实数a,b，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大．
作差比较法：ab0ab；ab0ab；ab0ab．
其中符号表示它的左边与右边能够互相推出．
4．不等式的性质： 性质1：（对称性）如果ab，那么ba；如果ba，那么ab． 性质2：（传递性）如果ab，且bc，则ac． 性质3：如果ab，则acbc． 推论1：（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等
式的一边移到另一边．
推论2：如果ab,cd，则acbd．
我们把ab和cd（或ab和cd）这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式．
推论2说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向． 推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向． 性质4：如果ab，c0，则acbc；如果ab，c0，则acbc．
aa
实数大小的作商比较法：当b0时，若1，且b0，则ab；若1，且b0，
bb
则ab．
推论1：如果ab0,cd0，则acbd．
推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．
推论2：如果ab0，则anbn(nN,n1)． 推论3：如果ab
0nN,n1)
1． 对于任意两个实数a,b，有ab0ab；ab0ab；
ab0ab，这几个等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序．由此知：比较两个实数的大小，可以归结为判断它们的差的符号．这是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式和解不等式的主要依据．
在学习了不等式的性质后，比较两个实数的大小还可以用作商法，与1比较，但这时要注意分母的正负情况．
2．比较两个代数式的大小关系，实际上是比较它们的值的大小，又归结为判断
它们的差的符号，要引导学生意识到比较法是不等式证明的基本方法．它有两个基本步骤：先作差，再变形判断正负号，难点是后者．这里的代数式的字母是有范围的，省略不写时就表示取值范围是实数集，它的主要变形方法有两种，一是因式分解法，二是配方法，变形时要尽量避免讨论，让依据尽量简便．
3．可以介绍异向不等式，并提醒学生注意什么样的不等式可以相加相减．对于不等式的性质与推论，可以根据学生的情况适当进行推导（比如性质４的推论３可以用反证法证明），让学生知道这些定理的来龙去脉，在不等式的证明中减少想当然，对数学证明的严格化有一定的认识．
版块二．均值不等式
ab
，当且仅当ab时，有2
等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．
ab
2．对于任意两个实数a,b，叫做a,b
a,b的几何平均值．
2
均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．
1．均值定理：如果a,bR（R表示正实数）
，那么
3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点：
⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可
以先进行
转化，再运用均值不等式；
⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否
则不能由
均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值． 运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． 2．均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．
⑴对于任意正实数a,b，作线段ABab，使ADa,DBb； ⑵以AB为直径作半圆O，并过D点作CDAB于D， 且交半圆于点C； AOD
ab
⑶连结AC,BC,OC，则OC，
2
∵ACBC,CDAB
∴CD 当ab时，在RtCOD中，
ab
有OCCD
2
当且仅当ab时，O,D
两点重合，有OC3．已知：a、bR（其中R表示正实数），
ab2
≥112
ab
2
B
ab
CD 2
ab称为算术平均数，
2
2
称为调和平均数．
11ab证明：ab212
ab≥0
242
ab≥ 222
∴ab
∵a、bR，
，当且仅当“ab”时等号成立．
2ab1
2≥0
24
ab≥∴，当且仅当“ab”时等号成立． 2
22
2
12
≥0
∵4
∴，当且仅当“ab”时等号成立．
2
2ab
2ab
ab
0
，当且仅当“ab”时等号成立． 11ab
了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．
2
板块三．解不等式
1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以a0为例）：
注：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过
根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与
方程的思想求解．
2． 解不等式
⑴解一元二次不等式通常先将不等式化为axbxc0或axbxc0 (a0)的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；
⑵分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 2
2
⑶高次不等式主要利用“序轴标根法”解．