张老师工作室--建系法解决问题

建系法解决高考数学难题策略简析

引入：1.在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB

1，EF，

CDADBC15，则ACBD的值为

2.如图，在四边形ABCD中AD与CD垂直，AB与CB垂直，且AB=5，AD=4，则ACBD的值为 ▲ ．

综述：1.何为建系法？

2.建系法有什么步骤和注意点？

一、直接建系，表示坐标

1．如图在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝1，AC＝2，D为BC边上 

一点DC＝2BD，则AD·BC＝

2．如图，在矩形ABCD

中，ABBC2，点E为BC的中点，点F在边CD

上，若

ABAFAEBF的值是

．

3．如下图，在△ABC中，∠BAC= 90°．AB =6．D在斜边BC上，CD=2DB，则

AB

AD的值为

4.如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，若BP3PA，|OA|4，

|OB|2，且OA与OB的夹角为60°，则OPAB＝

5. 在平面直角坐标系xoy中，点A,B是圆心在原点的

单位圆与x轴的两个交点，点C是y轴上的任意一点，则ABAC 。 4

二、建系后表示为函数，再转化

1.如图，

ABC是边长为P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则APBP ▲

变形：已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，（Ⅰ）判断BPCQAPCB的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由；（Ⅱ）求BPCQ的最大值．

2.. 在□ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠DAB＝60°，点M为AB的中点，点P在BC

与CD上运动（包括端点），则APDM的取值范围是 ▲ .

A M B

（第12题图） 3．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝1，点M，N分别是AB，BC的中点，点P是△ABC（包括边界）内任一点．则ANMP的取值范围为．

（第13题）

4. 如图，在等腰三角形ABC中，已知ABAC1,A120,E,F分别是边AB,AC上的点，且AEmAB,AFnAC,其中m,n(0,1),若EF,BC的中点分别为M,N,且m

4n1,的最小值是

第14题图

6.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量ACDEAP，则的最小值为

三、利用建系表示出整体关系，进而求解问题 1．若

，则SABC的最大值 ▲ ．

2.在ABC中，若AB2,ACBC8，则ABC面积的最大值为．

3.在ABC中，AB3,AC1,D为BC的中点，则ADBC ▲ .

4.已知ABC中，B45，AC4，则ABC面积的最大值为

5.如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若

ABAEACAF2，则EF与BC的夹角等于

6．设e1、e2是夹角为60的两个单位向量，已知OMe1， ONe2，

OPxOMyON(x,y为实数) ．若△PMN是以M为直角顶点的直角三角形，则

xy取值的集合为．

→→

7．在△ABC中，若a＝2，b－c＝1，△ABC的面积为3，则AB·AC＝ ▲ ．

．

9. 在周长为16的PMN中，MN6，则PMPN的取值范围是

10. 如图，在ΔABC



中，ADA，BBCBD，AD1，则

AC

A=____________ D

11.已知平面向量a，b，c满足abc0，且a与b的夹角余弦为，b与c的夹角余弦

为1， b1，则ac的值为．

12. 如图，已知Rt△BCD的一条直角边BC与等腰Rt△ABC的斜边BC重合，若

AB2，CBD30，ADmABnAC，则mn ＝ .

四．建系法与大题

1.在△ABC中，A，BC，点D在BC边上．



（1）若AD为A的平分线，且BD1，求△ABC的面积；

（2）若AD为△ABC的中线，且

AD，求证：△ABC为等边三角形．

2．给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120. （1）求|OA+OB|；

（2）如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若 OCxOAyOB,其中

x,yR,求xy的最大值？

变形：给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA和OB，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OCxOAyOB，其中x、yR，则(x1)2y2的最大值为

3. 已知△ABC的内角A的大小为120

（1）若

AB，求△ABC的另外两条边长；

uuuruuur

（2）设O为△ABC

的外心，当BCAOBC的值．

近几年南京高考中出现的建系法问题

2011年一模13题：

13. 在△ABC中，已知BC=2，ABAC1,则△ABC面积的最大值是

2011年三模14题：

14.如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O 的直线MN分别交正方形的边AB，CD于点M，N，则当

取最小值时，CN= ▲ . BN

2012年二模13题：

13.在面积为2的ABC中，E,F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则

的最小值是_____________.

2012年高考9题：

9.如图，在矩形ABCD

中，ABBC2，点E是BC的中点，点

F在边CD

上，若ABAFAEBF的值是

2013年一模11题：

11. 如图, 在等腰三角形ABC中, 底边BC2, ADDC,

B E

AE

1EB2, 若

BDAC

2, 则CEAB .

2013年二模11题：

11．在ABC中，已知AB=2，BC=3，ABC60，BDAC，D为垂足，则BDBC的值为____．

2014年一模11题：

11.在ABC中，BC2，A

2014年二模13题：

13．在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为 ▲ ．

2

，则ABAC的最小值为3