高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析
例1 若对任意的x ，y 有解：由格林公式将
∂Q ∂x
≡∂P ∂y
，设C 是有向闭曲线，则P d x +Q d y ．
C
C
P (x , y ) d x +Q (x , y ) d y =
⎰⎰
≡
D
(
∂Q ∂x
-
∂P ∂y
) d x d y
其中D 为C l 围成的平面区域，及条件
∂Q ∂x
∂P ∂y
知，应该填写：0
例2．-y d x +x d y =_______，其中l 是延圆周(x -1) 2+(y -1) 2=1正向一周．
l
解：因为圆周(x -1) 2+(y -1) 2=1所围圆面积D 为：12⋅π，由格林公式得：
-
l
y d x +x d y =
⎰⎰
D
(1+1) d x d y =2π，应该填写：2π
例3 若P (x , y ) 及Q (x , y ) 在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分⎰P d x +Q d y 与路径无关的充分必要条件是（ ）．
l
A ．在域D 内恒有
∂P ∂x
=
∂Q ∂y
B ．在域D 内恒有
∂Q ∂x
=
∂P ∂y
C ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分P d x +Q d y ≠0
l '
D ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分P d x +Q d y =0
l '
解：若P (x , y ), Q (x , y ) 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则
∂Q ∂x
∂P ∂y
P (x , y ) d x +Q (x , y ) d y 与路径无关⇔
l
=, (x , y ) ∈D 。
所以选择：B
例4 设C 是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的． A ．⎰3yx d x +x d y B ．⎰y d x -x d y
C
C
2
3
C ．⎰2xy d x -x d y D ．⎰3yx d x +y d y
C
C
223
解：因为选项A 中，
∂P ∂y
=
∂(3yx ) ∂y
2
=3x ,
3
∂Q ∂x
=
∂(x ) ∂x
3
=3x ，由曲线积分与路径无
2
关的充分必要条件知道，正确选择：A
例5 设积分路径l :⎨
⎧x =ϕ(t ) ⎩y =ψ(t )
，(α≤t ≤β) ，那么第二类曲线积分计算公式
． ⎰P (x , y ) d x +Q (x , y ) d y =（ ）
l
A ．⎰[P (ϕ(t ), ψ(t )) ϕ'(t ) +Q (ϕ(t ), ψ(t )) ψ'(t )]d t
α
β
B ．⎰[P (ϕ(t ), ψ(t )) +Q (ϕ(t ), ψ(t ))]ϕ'(t ) d t
α
β
C ．⎰[P (ϕ(t ), ψ(t )) +Q (ϕ(t ), ψ(t ))]ψ'(t ) d t
α
β
D ．⎰[P (ϕ(t ), ψ(t )) +Q (ϕ(t ), ψ(t ))]d t
α
β
解：因为积分曲线的路径由参数方程l :⎨
β
⎧x =ϕ(t ) ⎩y =ψ(t )
，(α≤t ≤β) 给出，把参数方程代
入曲线积分中，得：⎰[P (ϕ(t ), ψ(t )) ϕ'(t ) +Q (ϕ(t ), ψ(t )) ψ'(t )]d t
α
所以正确选择：A
例6 计算⎰(e sin y -3y +x ) d x +(e cos y -x ) d y ，其中l 为由点A (3, 0) 经椭圆
l
x
2
x
⎧x =cos t
的上半弧到点B (-3, 0) 再沿直线回到A 的路径． ⎨
⎩y =2sin t
解：由于l 为封闭曲线，故原式可写成
(e
l
x
2
x
sin y -3y +x ) d x +(e cos y -x ) d y
Q =e cos y -x ，由格林公式
2
x
x
2x
其中P =e sin y -3y +x ,
x
原式=(e sin y -3y +x ) d x +(e cos y -x ) d y =
l
x
x
⎰⎰[
D
∂Q ∂x
-
∂P ∂y
]d x d y
=⎰⎰[(e cos y -1) -(e cos y -3]d x d y
D
=⎰⎰2d x d y =2⋅
D
12
π⋅3⋅2=6π
例7．计算(e sin y -
l
x
y
2
2
) d x +(e cos y -
x
12
) d y ，其中l 是上半圆周x +y
22
=2x
(y >0) 和x 轴围成平面区域边界的正向．
解： P =e sin y -
x
y
2
2
, Q =e cos y -
x
12
，由格林公式得
(e sin y -
l
x
y
2
2
x
) d x +(e cos y -
x
x
12
) d y =
⎰⎰[
D
∂Q ∂x
-
∂P ∂y
]d x d y
=⎰⎰[e cos y -(e cos y -y )]d x d y =⎰⎰y d x d y
D
D
π
=⎰2sin θd θ
0⎰
2cos θ
r d r =
2
83
π
⎰
2
sin θcos θd θ
3
π
=
2
23
(-cos θ)
2
4
2
=
23
例8 计算xy d y -x y d x ，其中l :x 2+y 2=1逆时针方向．
l
解： P =-x 2y ,
Q =xy ，由格林公式得
2
2
2
l
xy d y -x y d x =
⎰⎰[
D
∂Q ∂x
2π
-
∂P ∂y
1
]d x d y
=
2
⎰⎰(x
2
2
+y ) d x d y =⎰
2
d θ⎰r d r
3
x +y ≤1
=2π⨯
14
=
π
2
高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析
例1 若对任意的x ，y 有解：由格林公式将
∂Q ∂x
≡∂P ∂y
，设C 是有向闭曲线，则P d x +Q d y ．
C
C
P (x , y ) d x +Q (x , y ) d y =
⎰⎰
≡
D
(
∂Q ∂x
-
∂P ∂y
) d x d y
其中D 为C l 围成的平面区域，及条件
∂Q ∂x
∂P ∂y
知，应该填写：0
例2．-y d x +x d y =_______，其中l 是延圆周(x -1) 2+(y -1) 2=1正向一周．
l
解：因为圆周(x -1) 2+(y -1) 2=1所围圆面积D 为：12⋅π，由格林公式得：
-
l
y d x +x d y =
⎰⎰
D
(1+1) d x d y =2π，应该填写：2π
例3 若P (x , y ) 及Q (x , y ) 在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分⎰P d x +Q d y 与路径无关的充分必要条件是（ ）．
l
A ．在域D 内恒有
∂P ∂x
=
∂Q ∂y
B ．在域D 内恒有
∂Q ∂x
=
∂P ∂y
C ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分P d x +Q d y ≠0
l '
D ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分P d x +Q d y =0
l '
解：若P (x , y ), Q (x , y ) 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则
∂Q ∂x
∂P ∂y
P (x , y ) d x +Q (x , y ) d y 与路径无关⇔
l
=, (x , y ) ∈D 。
所以选择：B
例4 设C 是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的． A ．⎰3yx d x +x d y B ．⎰y d x -x d y
C
C
2
3
C ．⎰2xy d x -x d y D ．⎰3yx d x +y d y
C
C
223
解：因为选项A 中，
∂P ∂y
=
∂(3yx ) ∂y
2
=3x ,
3
∂Q ∂x
=
∂(x ) ∂x
3
=3x ，由曲线积分与路径无
2
关的充分必要条件知道，正确选择：A
例5 设积分路径l :⎨
⎧x =ϕ(t ) ⎩y =ψ(t )
，(α≤t ≤β) ，那么第二类曲线积分计算公式
． ⎰P (x , y ) d x +Q (x , y ) d y =（ ）
l
A ．⎰[P (ϕ(t ), ψ(t )) ϕ'(t ) +Q (ϕ(t ), ψ(t )) ψ'(t )]d t
α
β
B ．⎰[P (ϕ(t ), ψ(t )) +Q (ϕ(t ), ψ(t ))]ϕ'(t ) d t
α
β
C ．⎰[P (ϕ(t ), ψ(t )) +Q (ϕ(t ), ψ(t ))]ψ'(t ) d t
α
β
D ．⎰[P (ϕ(t ), ψ(t )) +Q (ϕ(t ), ψ(t ))]d t
α
β
解：因为积分曲线的路径由参数方程l :⎨
β
⎧x =ϕ(t ) ⎩y =ψ(t )
，(α≤t ≤β) 给出，把参数方程代
入曲线积分中，得：⎰[P (ϕ(t ), ψ(t )) ϕ'(t ) +Q (ϕ(t ), ψ(t )) ψ'(t )]d t
α
所以正确选择：A
例6 计算⎰(e sin y -3y +x ) d x +(e cos y -x ) d y ，其中l 为由点A (3, 0) 经椭圆
l
x
2
x
⎧x =cos t
的上半弧到点B (-3, 0) 再沿直线回到A 的路径． ⎨
⎩y =2sin t
解：由于l 为封闭曲线，故原式可写成
(e
l
x
2
x
sin y -3y +x ) d x +(e cos y -x ) d y
Q =e cos y -x ，由格林公式
2
x
x
2x
其中P =e sin y -3y +x ,
x
原式=(e sin y -3y +x ) d x +(e cos y -x ) d y =
l
x
x
⎰⎰[
D
∂Q ∂x
-
∂P ∂y
]d x d y
=⎰⎰[(e cos y -1) -(e cos y -3]d x d y
D
=⎰⎰2d x d y =2⋅
D
12
π⋅3⋅2=6π
例7．计算(e sin y -
l
x
y
2
2
) d x +(e cos y -
x
12
) d y ，其中l 是上半圆周x +y
22
=2x
(y >0) 和x 轴围成平面区域边界的正向．
解： P =e sin y -
x
y
2
2
, Q =e cos y -
x
12
，由格林公式得
(e sin y -
l
x
y
2
2
x
) d x +(e cos y -
x
x
12
) d y =
⎰⎰[
D
∂Q ∂x
-
∂P ∂y
]d x d y
=⎰⎰[e cos y -(e cos y -y )]d x d y =⎰⎰y d x d y
D
D
π
=⎰2sin θd θ
0⎰
2cos θ
r d r =
2
83
π
⎰
2
sin θcos θd θ
3
π
=
2
23
(-cos θ)
2
4
2
=
23
例8 计算xy d y -x y d x ，其中l :x 2+y 2=1逆时针方向．
l
解： P =-x 2y ,
Q =xy ，由格林公式得
2
2
2
l
xy d y -x y d x =
⎰⎰[
D
∂Q ∂x
2π
-
∂P ∂y
1
]d x d y
=
2
⎰⎰(x
2
2
+y ) d x d y =⎰
2
d θ⎰r d r
3
x +y ≤1
=2π⨯
14
=
π
2