特殊的三角形培优练习

《特殊的三角形》培优讲义

班级姓名

一、典型例题

★★例1．如图，在⊿ABC 中，∠BAC ，∠ABC 的外角平分线分别交对边CB,AC 的延长线于D ，E ，且AD=AB=BE，求∠BAC 的度数。【思路:利用方程是解几何计算题的常用方法】

★★例2. ．如图, ⊿ABC 中，AB=AC，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，且BD=CE，DE 交BC 于G 。

试说明DG=EG的理由。【思路：通过作平行线在△GDB 内构造与△GEC 全等的三角形。】

★★例３．如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且AF ＝EF ，延长BE 交AC 于F ，试说明BE=AC的理由。【思路：中线加倍法】

★★★例4．如图，在△ABC 中，AB=AC=CB，AE=CD， AD 、BE 相交于P ，BQ ⊥AD 于Q 。试说明BP=2PQ的理由。

★★★例5．如图，在△ABC 中，BF ⊥AC ，CG ⊥AB ，垂足分别是F 、G ，D 是BC 的中点，DE ⊥FG ，垂足是E 。试说明GE=EF的理由。【思路：利用直角三角形斜边上中线性质和等腰三角形三线合一性质解题】

★★★例6．如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，DA ⊥AC ，试说明CD=2AB的理由【思路:只要说明AB 与斜边CD 上的中线相等. 】

★★★例7．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=100°, 作∠B 的平分线与AC 边交于E ，试说明BC=AE＋BE 的理由。【思路：截长补短法】

★★★★例8．如图，设P 是等边△ABC 内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，

求∠APB 的度数

【思路：由已知条件联想，须通过图形旋转，将PA,PB,PC 集中为一个三角形的三边】

★★★★例８．如图, P为等边△ABC 内任一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F 。求证：PD ＋PE ＋PF 是定值。【思路：利用面积法解题】

★★★★如图９．在Rt △ABC 中，∠A=90°，D 为斜边BC 中点，DE ⊥DF ，试说明EF 2=BE 2+CF 2的理由

【思路：由所求联想，须通过图形变换，将EF,BE,CF 集中为一个直角三角形的三边】

★★★★★例11．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G ，试说明CF=GB 的理由。

【思路:构造全等三角形，证明CG =FB 即可】

★★★★★例12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 的中点，CE ⊥AD 于F ，交AB 于点E ，

⑴ 试说明∠CDA=∠BDE

⑵ 若AB=AC=1，求△BDE 的面积。【思路:构造全等三角形】

二、强化练习

1、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为．

2、如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF ＝AC ，则∠ABC 的大小是．

、

3、如图，△ABC 中，AB=AC，∠B=36°，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE=∠AED= 2∠BAD ，则图中等腰三角形共有 4、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：

①AC ⊥BD ；②BC=DE；③∠DBC=

∠DAB ；④△ABE 是等边三角形．请写出正确

结论的序号．(把你认为正确结论的序号都填上)

5、已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点D 是BC 中点，两边DE 、DF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EDF 是等腰直角三角形，③S 四边形

AEPF

S ABC ；④EF=AD．当∠EDF 在△ABC 内绕顶点D 旋转时(点E

不与A 、B 重合) ，上述结论中始终正确的是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个

7、如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是( ) A ．AC>2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC

8、等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( ) A ．30° B ．30°或150°C ． 120°或150° D ．30°或120°或150°