运用命题的等价性巧解题
众所周知，互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题或逆否命题。在这四个命题中，逆命题与否命题等价，原命题与逆否命题等价，对于有些问题，若能根据问题的题设特点，灵活运用其等价性，往往能将问题巧妙解决。
一、判断命题的真假
例1（边城高级中学2012届高三月考试题）命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ）
A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
分析：常规思路是先根据已知命题写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题，进而判断其真假，求解过程较繁锁，由于逆否命题与原命题互为等价命题，逆命题与否命题互为等价命题，故可以直接判断原命题的真假和逆命题的真假。
解：“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”为真，逆命题为假，故逆否命题为真，否命题为假，故选B 。
点评：有关命题的真假的判断是一类常见题型，解决此类问题应根据问题的题设特点灵活运用相应的策略。
二、用于判断逻辑条件
例2 已知m ，n ∈R ，则“m≠0或n≠0”是“mn≠0”的（ ）
（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
分析：直接运用逻辑条件的概念不容易作出判断，而其逆否命题容易作出判断，故考虑其逆否命题。
解：记p ：m≠0或n≠0，q ：nm≠0，则⌝p ：m=0且n=0，⌝q ：mn=0.易知⌝p ⇒⌝q ，但⌝q 推不出⌝p ，根据互为逆否命题同真假，得q ⇒p ，但p 推不出q ，故p 是q 的必要不充分条件，选（A ）。
点评：转化思想在常用逻辑用语中的应用非常广泛。转化思想的运用大大降低了思维的难度。
三、用于解决实际问题
例3 根据已有证据，可以得到如下3个判断：
⑴若A 无罪，则B 与C 都有罪；
⑵在B 与C 中必有一人无罪；
⑶要么A 无罪，要么B 有罪。
试判断：A ，B ，C 究竟谁有罪？
分析：用p ，q ，r 分别表示“A 有罪”、“B 有罪”、“C 有罪”三个命题，将三个判断作出，根据其逆否命题求解。
解：三个判断依次为：
①非p ⇒q 且r ；
②非q 或非r 为真；
③非p 或q 为真。
又因为①的逆否命题是：非q 或非r ⇒p ，结合②知p 为真。由此，结合③知q 为真。再结合②知非r 为真，即r 假。故A ，B 有罪，C 无罪。
点评：本题将①中的命题转化为其逆否命题，结合②，③从而简捷、准确求解。这里主要利用了原命题与其逆否命题是等价命题。
运用命题的等价性巧解题
众所周知，互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题或逆否命题。在这四个命题中，逆命题与否命题等价，原命题与逆否命题等价，对于有些问题，若能根据问题的题设特点，灵活运用其等价性，往往能将问题巧妙解决。
一、判断命题的真假
例1（边城高级中学2012届高三月考试题）命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ）
A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
分析：常规思路是先根据已知命题写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题，进而判断其真假，求解过程较繁锁，由于逆否命题与原命题互为等价命题，逆命题与否命题互为等价命题，故可以直接判断原命题的真假和逆命题的真假。
解：“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”为真，逆命题为假，故逆否命题为真，否命题为假，故选B 。
点评：有关命题的真假的判断是一类常见题型，解决此类问题应根据问题的题设特点灵活运用相应的策略。
二、用于判断逻辑条件
例2 已知m ，n ∈R ，则“m≠0或n≠0”是“mn≠0”的（ ）
（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
分析：直接运用逻辑条件的概念不容易作出判断，而其逆否命题容易作出判断，故考虑其逆否命题。
解：记p ：m≠0或n≠0，q ：nm≠0，则⌝p ：m=0且n=0，⌝q ：mn=0.易知⌝p ⇒⌝q ，但⌝q 推不出⌝p ，根据互为逆否命题同真假，得q ⇒p ，但p 推不出q ，故p 是q 的必要不充分条件，选（A ）。
点评：转化思想在常用逻辑用语中的应用非常广泛。转化思想的运用大大降低了思维的难度。
三、用于解决实际问题
例3 根据已有证据，可以得到如下3个判断：
⑴若A 无罪，则B 与C 都有罪；
⑵在B 与C 中必有一人无罪；
⑶要么A 无罪，要么B 有罪。
试判断：A ，B ，C 究竟谁有罪？
分析：用p ，q ，r 分别表示“A 有罪”、“B 有罪”、“C 有罪”三个命题，将三个判断作出，根据其逆否命题求解。
解：三个判断依次为：
①非p ⇒q 且r ；
②非q 或非r 为真；
③非p 或q 为真。
又因为①的逆否命题是：非q 或非r ⇒p ，结合②知p 为真。由此，结合③知q 为真。再结合②知非r 为真，即r 假。故A ，B 有罪，C 无罪。
点评：本题将①中的命题转化为其逆否命题，结合②，③从而简捷、准确求解。这里主要利用了原命题与其逆否命题是等价命题。