基于条件与间接平差的简化计算
杨雪峰1 黄琼俭2
1（西南交通大学土木工程学院 成都 611756）
2（西南交通大学材料科学与工程学院 成都 611756）
摘要 在条件和间接平差中，每求一个协因数，都需要运用到条件和间接平差的模型及其定义，本文的特点在于从已知的解法中，提炼出一种便于理解记忆的方法，从经典的平差中找出规律，从而避免了去死记硬背那些复杂的结论，并且在结尾处对此方法进行了验证，在条件和间接平差中是通用得。
关键词 条件平差 间接平差 协因数阵 向量 简化公式
1． 引 言
ˆ，通过平差计算之后，它们在条件平差和间接平差中，基本向量为L 、W 、K 、V 、L
都可表达成随机向量L 的函数，下面将以条件平差为例推求它们各自的协因数阵以及两两向量间的互协因数阵。设
T ˆT ]Z T =[L T W T K V T L
则Z 的协因数阵为
Q ZZ ⎡Q LL ⎢Q ⎢WL =⎢Q KL ⎢⎢Q VL
⎢Q ˆ⎣L L Q LW Q WW Q KW Q VW Q L ˆW Q LK Q WK Q KK Q VK Q L ˆK Q LV Q WV Q KV Q VV Q L ˆV Q L L ˆ⎤⎥Q W L ˆ⎥Q K L ˆ⎥ ⎥Q V L ˆ⎥⎥Q L ˆL ˆ⎦
下面分别推导Qzz 中各协因数阵的计算式，已知Q LL =Q。上述各基本量的关系式已知为： L=L （１） W=AL+A （２）
-1-1-1Ｋ＝-N aa Ｗ＝-N aa ＡＬ-N aa Ａ０ （３）
-1-1V =QA T K =-QA T N aa AL -QA T N aa A 0 （４）
ˆ=L +V （５） L
按协因数传播律，可得L 、W 、K 、V 及相互间的协因数阵为
Q LL =Q
Q WW =AQA =N aa
Q KK =N aa Q WW N aa =N aa N aa N aa =N aa
Q VV =QA Q KK AQ =QA N aa AQ T T -1-1-1-1-1-1T
Q LW =QA T
-1Q LK =-QA T N aa ,
-1Q LV =-QA T N aa AQ
-1-1Q WK =-AQA T N aa =-N aa N aa =-I
Q WV =-Q WW N aa AQ =-N aa N aa AQ =-AQ ,
Q KV -1-1-1=N aa Q WW N aa AQ =N aa AQ . -1-1
ˆ的自协因数阵以及它和L 、W 、K 、V 间的互协因数阵，得 下面再计算L
Q L L ˆ=Q LL +Q LV =Q -QA N aa AQ ,
T Q W L ˆ=Q WL +Q WV =Q LW +Q WV =AQ -AQ =0,
-1-1Q K L =Q +Q =-N AQ +N ˆKL KV aa aa AQ =0, T -1
Q V L ˆ=Q VL +Q VV =0
. Q L ˆL ˆ=Q L L -Q VV =Q -QA N aa AQ
以上是经典平差中条件平差协因数阵的计算。
T -1 因为 Q L ˆL ˆ＝ Q LL +Q LV +Q VL + Q VV ，而Q LV ＝Q VL ＝－Q VV ，于是有
2． 拓 展
由上面的解答过程我们看到：Q L L ˆ＝ Q LL ＋Q LV ；Q V L ˆ＝Q VL ＋Q VV
ˆ－Ｖ 而：Q 和Q 的答案又可以写成这样的形式： 由式子（5）我们得出：L=L ˆˆL ˆL L L
T -1T -1Q L L ˆ＝Q -QA N aa AQ ＝Q -QA N aa AQ ＋０＝Q L ˆL ˆ－Q V L ˆ （７）
Q L ˆL ˆ＝ Q LL +Q LV +Q VL +Q VV ＝Q L L ˆ＋Q V L ˆ （８）
-1ˆ＋N -1ＡＶ-N -1Ａ０ （９） 由式子（２）、（３）、（５）可以推出：Ｋ＝-N aa ＡL aa aa
-1-1-1-1-1而求出的Q K L ˆ＝０＝-N aa ＡQ ＋N aa ＡQ ＝-N aa ＡQ ＋N aa ＡQ ＡN aa ＡQ ＝Ｔ
Ｔ-1-1-1-1Ａ（Q －Q ＡN aa ＡQ ）＝-N aa ＡQ L -N aa ˆL ˆ＋N aa ＡQ V L ˆ （１０）
ˆ－ＡＶ＋Ａ０ （１１） 由式子：（２）、（５）得出Ｗ＝ＡL
Ｔ-1Q W L ˆ＝０＝ＡQ －ＡQ ＝Ａ（Q －Q ＡN aa ＡQ ）＝ＡQ L ˆL ˆ
＝ＡQ L ˆL ˆ＋（－Ａ）Q V L ˆ （１２） 从上面的解答过程可以看到：
ˆ－Ｖ 可以把Q 写成：Q ＝Q －Q （１３） 由式子L=L ˆˆˆL ˆˆL L L L L V L
ˆ=Ｌ＋Ｖ 可以把Q 写成：Q ＝Q ＋Q （１４） 由式子L ˆL ˆˆL ˆˆˆL L L L K L
-1ˆ＋N -1ＡＶ-N -1Ａ０ 可以把Q 写成： 由式子Ｋ＝-N aa ＡL ˆaa aa K L
-1-1Q K L ˆ＝-N aa ＡQ L ˆL ˆ＋N aa ＡQ V L ˆ （１５）
ˆ－ＡＶ＋Ａ０ 由式子Ｗ＝ＡL
可以把Q W L ˆ写成：Q W L ˆ＝ＡQ L ˆL ˆ＋（－Ａ）Q V L ˆ （１６）
由（１３）、（１４）、（１５）、（１６）可以看到：假设在条件平差中基本向量为：X 、Y 、Z ，他们都是观测值向量的函数，若Z=AXB+CYD+E（其中A 、B 、C 、D 、E 为常数），求Q ZZ 那么就可以把运算写成：Q ZZ =AQ XZ B T +CQ YZ D T （１７），同理，可以写出：Q ZX =AQ XX B Ｔ＋C Q YX D T （１８）；Q ZY =AQ XY B T +CQ YY D T （１９）……
3． 验 证
我们利用此类简化公式来解求上面的协因数阵，验证这样的运算是否正确，举例求解： Q VW 、Q VL 、Q KK （由于篇幅有限，所以仅举了三例）
T -1求解Q VW ：由（４）、（５）式推出：V =-QA N aa Ｗ
由上述公式（１８）或者（１９）可得：Q VW ＝-QA N aa Q WW ＝-QA N aa N aa ＝-QA 求解Q VL ：由（４）式推出：V =-QA N aa AL -QA N aa A 0
-1-1由上述公式（１８）或者（１９）可得：Q VL ＝-QA T N aa A Q LL ＝-QA T N aa A Q T -1T -1T -1T -1T
-1求解Q KK ：由（３）式推出：Ｋ＝-N aa Ｗ
-1-1由上述公式（１７）可得：Q KK ＝-N aa Q WK ＝N aa
经验证条件和间接平差中所有的协因数都可以用这种方法来计算。
4． 结 论
间接平差与条件平差虽采用了不同的函数模型，但它们是在相同的最小二乘原理下进行的，所以两种方法的平差结果总是相同的，所以上述的公式同样在间接平差中实用，在条件平差和间接平差中，只要满足这样的运算的，都可以运用这种方法来计算，现列出一般通用公式即设基本向量为：X 1、Y 2……Z n （n ≥2），他们都是观测值向量的函数，若
Z n ＝A X1B+CY2D+……+E（其中A 、B 、C 、D 、E ……为常数），求Q ZnZ n 那么就可以把运算写成： Q Z n n ＝Z A Q X 1Zn B T +CQ Y 2Z n D T +……
同理可得出：Q Z n X 1＝A Q X 1X 1B T +CQ Y 2X 1D T +……
Q Z n Y 2＝A Q X 1Y 2B T +CQ Y 2Y 2D T +……
上述三个公式即为条件平差和间接平差中计算的三个简化公式。
参考文献：
1 武汉大学测绘学院，测量平差学科组编著《误差理论与测量平差基础》，武汉大学出版社，2005.1（3）：84~86，117~119
2 葛永慧编《测量平差》，中国矿业大学出版社，2005.2（1）：54~55
基于条件与间接平差的简化计算
杨雪峰1 黄琼俭2
1（西南交通大学土木工程学院 成都 611756）
2（西南交通大学材料科学与工程学院 成都 611756）
摘要 在条件和间接平差中，每求一个协因数，都需要运用到条件和间接平差的模型及其定义，本文的特点在于从已知的解法中，提炼出一种便于理解记忆的方法，从经典的平差中找出规律，从而避免了去死记硬背那些复杂的结论，并且在结尾处对此方法进行了验证，在条件和间接平差中是通用得。
关键词 条件平差 间接平差 协因数阵 向量 简化公式
1． 引 言
ˆ，通过平差计算之后，它们在条件平差和间接平差中，基本向量为L 、W 、K 、V 、L
都可表达成随机向量L 的函数，下面将以条件平差为例推求它们各自的协因数阵以及两两向量间的互协因数阵。设
T ˆT ]Z T =[L T W T K V T L
则Z 的协因数阵为
Q ZZ ⎡Q LL ⎢Q ⎢WL =⎢Q KL ⎢⎢Q VL
⎢Q ˆ⎣L L Q LW Q WW Q KW Q VW Q L ˆW Q LK Q WK Q KK Q VK Q L ˆK Q LV Q WV Q KV Q VV Q L ˆV Q L L ˆ⎤⎥Q W L ˆ⎥Q K L ˆ⎥ ⎥Q V L ˆ⎥⎥Q L ˆL ˆ⎦
下面分别推导Qzz 中各协因数阵的计算式，已知Q LL =Q。上述各基本量的关系式已知为： L=L （１） W=AL+A （２）
-1-1-1Ｋ＝-N aa Ｗ＝-N aa ＡＬ-N aa Ａ０ （３）
-1-1V =QA T K =-QA T N aa AL -QA T N aa A 0 （４）
ˆ=L +V （５） L
按协因数传播律，可得L 、W 、K 、V 及相互间的协因数阵为
Q LL =Q
Q WW =AQA =N aa
Q KK =N aa Q WW N aa =N aa N aa N aa =N aa
Q VV =QA Q KK AQ =QA N aa AQ T T -1-1-1-1-1-1T
Q LW =QA T
-1Q LK =-QA T N aa ,
-1Q LV =-QA T N aa AQ
-1-1Q WK =-AQA T N aa =-N aa N aa =-I
Q WV =-Q WW N aa AQ =-N aa N aa AQ =-AQ ,
Q KV -1-1-1=N aa Q WW N aa AQ =N aa AQ . -1-1
ˆ的自协因数阵以及它和L 、W 、K 、V 间的互协因数阵，得 下面再计算L
Q L L ˆ=Q LL +Q LV =Q -QA N aa AQ ,
T Q W L ˆ=Q WL +Q WV =Q LW +Q WV =AQ -AQ =0,
-1-1Q K L =Q +Q =-N AQ +N ˆKL KV aa aa AQ =0, T -1
Q V L ˆ=Q VL +Q VV =0
. Q L ˆL ˆ=Q L L -Q VV =Q -QA N aa AQ
以上是经典平差中条件平差协因数阵的计算。
T -1 因为 Q L ˆL ˆ＝ Q LL +Q LV +Q VL + Q VV ，而Q LV ＝Q VL ＝－Q VV ，于是有
2． 拓 展
由上面的解答过程我们看到：Q L L ˆ＝ Q LL ＋Q LV ；Q V L ˆ＝Q VL ＋Q VV
ˆ－Ｖ 而：Q 和Q 的答案又可以写成这样的形式： 由式子（5）我们得出：L=L ˆˆL ˆL L L
T -1T -1Q L L ˆ＝Q -QA N aa AQ ＝Q -QA N aa AQ ＋０＝Q L ˆL ˆ－Q V L ˆ （７）
Q L ˆL ˆ＝ Q LL +Q LV +Q VL +Q VV ＝Q L L ˆ＋Q V L ˆ （８）
-1ˆ＋N -1ＡＶ-N -1Ａ０ （９） 由式子（２）、（３）、（５）可以推出：Ｋ＝-N aa ＡL aa aa
-1-1-1-1-1而求出的Q K L ˆ＝０＝-N aa ＡQ ＋N aa ＡQ ＝-N aa ＡQ ＋N aa ＡQ ＡN aa ＡQ ＝Ｔ
Ｔ-1-1-1-1Ａ（Q －Q ＡN aa ＡQ ）＝-N aa ＡQ L -N aa ˆL ˆ＋N aa ＡQ V L ˆ （１０）
ˆ－ＡＶ＋Ａ０ （１１） 由式子：（２）、（５）得出Ｗ＝ＡL
Ｔ-1Q W L ˆ＝０＝ＡQ －ＡQ ＝Ａ（Q －Q ＡN aa ＡQ ）＝ＡQ L ˆL ˆ
＝ＡQ L ˆL ˆ＋（－Ａ）Q V L ˆ （１２） 从上面的解答过程可以看到：
ˆ－Ｖ 可以把Q 写成：Q ＝Q －Q （１３） 由式子L=L ˆˆˆL ˆˆL L L L L V L
ˆ=Ｌ＋Ｖ 可以把Q 写成：Q ＝Q ＋Q （１４） 由式子L ˆL ˆˆL ˆˆˆL L L L K L
-1ˆ＋N -1ＡＶ-N -1Ａ０ 可以把Q 写成： 由式子Ｋ＝-N aa ＡL ˆaa aa K L
-1-1Q K L ˆ＝-N aa ＡQ L ˆL ˆ＋N aa ＡQ V L ˆ （１５）
ˆ－ＡＶ＋Ａ０ 由式子Ｗ＝ＡL
可以把Q W L ˆ写成：Q W L ˆ＝ＡQ L ˆL ˆ＋（－Ａ）Q V L ˆ （１６）
由（１３）、（１４）、（１５）、（１６）可以看到：假设在条件平差中基本向量为：X 、Y 、Z ，他们都是观测值向量的函数，若Z=AXB+CYD+E（其中A 、B 、C 、D 、E 为常数），求Q ZZ 那么就可以把运算写成：Q ZZ =AQ XZ B T +CQ YZ D T （１７），同理，可以写出：Q ZX =AQ XX B Ｔ＋C Q YX D T （１８）；Q ZY =AQ XY B T +CQ YY D T （１９）……
3． 验 证
我们利用此类简化公式来解求上面的协因数阵，验证这样的运算是否正确，举例求解： Q VW 、Q VL 、Q KK （由于篇幅有限，所以仅举了三例）
T -1求解Q VW ：由（４）、（５）式推出：V =-QA N aa Ｗ
由上述公式（１８）或者（１９）可得：Q VW ＝-QA N aa Q WW ＝-QA N aa N aa ＝-QA 求解Q VL ：由（４）式推出：V =-QA N aa AL -QA N aa A 0
-1-1由上述公式（１８）或者（１９）可得：Q VL ＝-QA T N aa A Q LL ＝-QA T N aa A Q T -1T -1T -1T -1T
-1求解Q KK ：由（３）式推出：Ｋ＝-N aa Ｗ
-1-1由上述公式（１７）可得：Q KK ＝-N aa Q WK ＝N aa
经验证条件和间接平差中所有的协因数都可以用这种方法来计算。
4． 结 论
间接平差与条件平差虽采用了不同的函数模型，但它们是在相同的最小二乘原理下进行的，所以两种方法的平差结果总是相同的，所以上述的公式同样在间接平差中实用，在条件平差和间接平差中，只要满足这样的运算的，都可以运用这种方法来计算，现列出一般通用公式即设基本向量为：X 1、Y 2……Z n （n ≥2），他们都是观测值向量的函数，若
Z n ＝A X1B+CY2D+……+E（其中A 、B 、C 、D 、E ……为常数），求Q ZnZ n 那么就可以把运算写成： Q Z n n ＝Z A Q X 1Zn B T +CQ Y 2Z n D T +……
同理可得出：Q Z n X 1＝A Q X 1X 1B T +CQ Y 2X 1D T +……
Q Z n Y 2＝A Q X 1Y 2B T +CQ Y 2Y 2D T +……
上述三个公式即为条件平差和间接平差中计算的三个简化公式。
参考文献：
1 武汉大学测绘学院，测量平差学科组编著《误差理论与测量平差基础》，武汉大学出版社，2005.1（3）：84~86，117~119
2 葛永慧编《测量平差》，中国矿业大学出版社，2005.2（1）：54~55