HR Planning System Integration and Upgrading Research of
A Suzhou Institution
浅谈高考中的数学建模问题
宁波鄞州正始中学数学组—王伍成
函数是高中数学的主要内容，涉及函数的应用问题，题源丰富，背景深刻，题型新颖，解法灵活，是历年高考命题的热点之一，同时也是考生失分较多的一种题型。应用题与现实生活联系密切，它不仅能培养学生分析问题和解决实际问题的能力，还能提高学生的思维素质。
一般来说，高考中的函数应用题往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：（1）阅读理解、认真审题；（2）利用数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的相关方法将得到的常见数学问题(即数学模型) 予以解答，求得结果。而解答这类问题的要害就在于理解题意，建立恰当的数学模型将问题转化为数学问题。
下面略举数例谈谈函数建模在生活和高考中的应用。
1、 优化问题实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”例1、(1996年全国高考题) 某地现有耕地10000 公顷，规划l0年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?
(粮食单产=总产量/总面积，人均粮食占有量=总产量/总人口数) 。
（平均增长率问题：如果原来人口的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的人口量为y=N(1+p)x . ）
分析：人口是以年增长率计算，土地是以每年减少的亩数计算，因此可以这样理解：人口是以几何级数(等比数列) 增长，土地是以算术级数(等差数列) 减少。本题的解答关键是建立数学模型，设现在总人口为p 人时，10年后总人口为p(1+0．01) 10；现在人均粮食占有量为bt(吨) 时，10年后则为6(1+10％)t ；现在耕地共104公顷，设每年允许减少xha 时，10年后耕地将共有(104一l0x) 公顷；现有单产为Mt 吨／公顷，10年后单产为M ×(1+22％)t ／公顷。设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为p 人，粮食单产为M 吨/公顷。
解：依题意得不等式
答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。
本题也可属于预测问题，通过建立数列模型和不等式模型来解决问题。
2工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值。
例2、（2007年福建高考）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为(12-x ) 2万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式； （Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最
大值Q (a )
分析：总利润=每一件的利润×销售量=（每一件的售价-成本-管理费）×销售量 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：
L =(x -3-a )(12-x ) 2，x ∈[911]，．
（Ⅱ）L '(x ) =(12-x ) 2-2(x -3-a )(12-x )
=(12-x )(18+2a -3x ) ．
2令L '=0得x =6+a 或x =12（不合题意，舍去）． 3
228 3≤a ≤5，∴8≤6+a ≤． 33
2在x =6+a 两侧L '的值由正变负． 3
29所以（1）当8≤6+a
L max =L (9)=(9-3-a )(12-9) 2=9(6-a ) ．
2289（2）当9≤6+a ≤即≤a ≤5时， 332
L max 222⎫⎤⎛⎫⎡⎛⎛1⎫=L (6+a ) = 6+a -3-a ⎪⎢12- 6+a ⎪⎥=4 3-a ⎪， 333⎭⎦⎝⎭⎣⎝⎝3⎭23
9⎧9(6-a ) ， 3≤a
答：若3≤a
92⎫⎛Q (a ) =9(6-a ) （万元）；若≤a ≤5，则当每件售价为 6+a ⎪元时，分公司23⎭⎝
⎛1⎫一年的利润L 最大，最大值Q (a ) =4 3-a ⎪（万元） ⎝3⎭
本题利用导数来求三次函数的最值。
3、 预测问题经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决例3、（2002年全国理科）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 3
解：设2001年末汽车保有量为b 1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b 2万辆，b 3万辆，„，每年新增汽车x 万辆，则
b 1=30，b 2=b 1⨯0. 94+x
对于n >1，有
b n +1=b n ⨯0. 94+x
=b n -1⨯0. 942+(1+0. 94) x
所以b n +1=b 1⨯0. 94n +x (1+0. 94+0. 942+ +0. 94n )
1-0. 94n
=b 1⨯0. 94+x 0. 06n
=x x +(30-) ⨯0. 94n 0. 060. 06
当30-x ≥0，即x ≤1. 8时 0. 06
b n +1≤b n ≤ ≤b 1=30。
当30-x 1. 8时 0. 06
x 0. 06数列{b n }逐项增加，可以任意靠近
lim b n =lim [x x x +(30-) ⨯0. 94n -1]= n →+∞n →+∞0. 060. 060. 06
因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即
b n ≤60（n =1, 2, 3, ） x ≤60，即x ≤3. 6万辆 0. 06
综上，每年新增汽车不应超过3. 6万辆。
4、 等量关系问题建立“方程模型”解决，通过题目中的等量关系建立方程，再通过方程整理出函数关系式或解方程来解决问题。
例4、(1995年全国高考题) 某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x 元／kg ，政府补贴为t 元／kg ，根据市场调查，当8≤x ≤14时，淡水鱼的市场日供应量P kg 与市场日需求量Q kg 近似地满足关系
P=1000(x+t-8)，(x≥8，t ≥
0) 则
当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元? 分析：从数学的角度理解政府补贴t 的含义，可与税收联系起来，当t>0时，则是补贴，意在扶植促进某个行业的发展，如果t
解：(1)依题设，有
解
得t ≥1或t ≤-5，由于t ≥0, 知t ≥1，从而政府补贴至少为每千克1元。
5、测量问题可设计成“图形模型”利用几何知识解决化为几何问题，利用几何知识或者解析几何知识来解决问题。
例5、（2003年全国理科）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南θ(cosθ=2) 方向300km 的海面P 处，并以10
20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
．解：如图建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向.
在时刻：t （h ）台风中心P (x , y ) 的坐标为
⎧22x =300⨯-20⨯t , ⎪⎪102 ⎨⎪y =-300⨯72+20⨯2t . ⎪102⎩
此时台风侵袭的区域是(x -x ) 2+(y -y ) 2≤[r (t )]2，
其中r (t ) =10t+60，
若在t 时，该城市O 受到台风的侵袭，则有
(0-x ) 2+(0-y ) 2≤(10t +60) 2, 即(300⨯2227222-20⨯t ) +(-300⨯+20⨯t ) ≤(10t +60) 2, 102102
即t 2-36t +288≤0， 解得12≤t ≤24.
答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭。
本题通过建立解析几何模型来解决，此模型可用于研究台风，沙暴中心的运动规律，以预防自然灾害。
HR Planning System Integration and Upgrading Research of
A Suzhou Institution
浅谈高考中的数学建模问题
宁波鄞州正始中学数学组—王伍成
函数是高中数学的主要内容，涉及函数的应用问题，题源丰富，背景深刻，题型新颖，解法灵活，是历年高考命题的热点之一，同时也是考生失分较多的一种题型。应用题与现实生活联系密切，它不仅能培养学生分析问题和解决实际问题的能力，还能提高学生的思维素质。
一般来说，高考中的函数应用题往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：（1）阅读理解、认真审题；（2）利用数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的相关方法将得到的常见数学问题(即数学模型) 予以解答，求得结果。而解答这类问题的要害就在于理解题意，建立恰当的数学模型将问题转化为数学问题。
下面略举数例谈谈函数建模在生活和高考中的应用。
1、 优化问题实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”例1、(1996年全国高考题) 某地现有耕地10000 公顷，规划l0年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?
(粮食单产=总产量/总面积，人均粮食占有量=总产量/总人口数) 。
（平均增长率问题：如果原来人口的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的人口量为y=N(1+p)x . ）
分析：人口是以年增长率计算，土地是以每年减少的亩数计算，因此可以这样理解：人口是以几何级数(等比数列) 增长，土地是以算术级数(等差数列) 减少。本题的解答关键是建立数学模型，设现在总人口为p 人时，10年后总人口为p(1+0．01) 10；现在人均粮食占有量为bt(吨) 时，10年后则为6(1+10％)t ；现在耕地共104公顷，设每年允许减少xha 时，10年后耕地将共有(104一l0x) 公顷；现有单产为Mt 吨／公顷，10年后单产为M ×(1+22％)t ／公顷。设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为p 人，粮食单产为M 吨/公顷。
解：依题意得不等式
答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。
本题也可属于预测问题，通过建立数列模型和不等式模型来解决问题。
2工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值。
例2、（2007年福建高考）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为(12-x ) 2万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式； （Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最
大值Q (a )
分析：总利润=每一件的利润×销售量=（每一件的售价-成本-管理费）×销售量 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：
L =(x -3-a )(12-x ) 2，x ∈[911]，．
（Ⅱ）L '(x ) =(12-x ) 2-2(x -3-a )(12-x )
=(12-x )(18+2a -3x ) ．
2令L '=0得x =6+a 或x =12（不合题意，舍去）． 3
228 3≤a ≤5，∴8≤6+a ≤． 33
2在x =6+a 两侧L '的值由正变负． 3
29所以（1）当8≤6+a
L max =L (9)=(9-3-a )(12-9) 2=9(6-a ) ．
2289（2）当9≤6+a ≤即≤a ≤5时， 332
L max 222⎫⎤⎛⎫⎡⎛⎛1⎫=L (6+a ) = 6+a -3-a ⎪⎢12- 6+a ⎪⎥=4 3-a ⎪， 333⎭⎦⎝⎭⎣⎝⎝3⎭23
9⎧9(6-a ) ， 3≤a
答：若3≤a
92⎫⎛Q (a ) =9(6-a ) （万元）；若≤a ≤5，则当每件售价为 6+a ⎪元时，分公司23⎭⎝
⎛1⎫一年的利润L 最大，最大值Q (a ) =4 3-a ⎪（万元） ⎝3⎭
本题利用导数来求三次函数的最值。
3、 预测问题经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决例3、（2002年全国理科）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 3
解：设2001年末汽车保有量为b 1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b 2万辆，b 3万辆，„，每年新增汽车x 万辆，则
b 1=30，b 2=b 1⨯0. 94+x
对于n >1，有
b n +1=b n ⨯0. 94+x
=b n -1⨯0. 942+(1+0. 94) x
所以b n +1=b 1⨯0. 94n +x (1+0. 94+0. 942+ +0. 94n )
1-0. 94n
=b 1⨯0. 94+x 0. 06n
=x x +(30-) ⨯0. 94n 0. 060. 06
当30-x ≥0，即x ≤1. 8时 0. 06
b n +1≤b n ≤ ≤b 1=30。
当30-x 1. 8时 0. 06
x 0. 06数列{b n }逐项增加，可以任意靠近
lim b n =lim [x x x +(30-) ⨯0. 94n -1]= n →+∞n →+∞0. 060. 060. 06
因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即
b n ≤60（n =1, 2, 3, ） x ≤60，即x ≤3. 6万辆 0. 06
综上，每年新增汽车不应超过3. 6万辆。
4、 等量关系问题建立“方程模型”解决，通过题目中的等量关系建立方程，再通过方程整理出函数关系式或解方程来解决问题。
例4、(1995年全国高考题) 某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x 元／kg ，政府补贴为t 元／kg ，根据市场调查，当8≤x ≤14时，淡水鱼的市场日供应量P kg 与市场日需求量Q kg 近似地满足关系
P=1000(x+t-8)，(x≥8，t ≥
0) 则
当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元? 分析：从数学的角度理解政府补贴t 的含义，可与税收联系起来，当t>0时，则是补贴，意在扶植促进某个行业的发展，如果t
解：(1)依题设，有
解
得t ≥1或t ≤-5，由于t ≥0, 知t ≥1，从而政府补贴至少为每千克1元。
5、测量问题可设计成“图形模型”利用几何知识解决化为几何问题，利用几何知识或者解析几何知识来解决问题。
例5、（2003年全国理科）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南θ(cosθ=2) 方向300km 的海面P 处，并以10
20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
．解：如图建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向.
在时刻：t （h ）台风中心P (x , y ) 的坐标为
⎧22x =300⨯-20⨯t , ⎪⎪102 ⎨⎪y =-300⨯72+20⨯2t . ⎪102⎩
此时台风侵袭的区域是(x -x ) 2+(y -y ) 2≤[r (t )]2，
其中r (t ) =10t+60，
若在t 时，该城市O 受到台风的侵袭，则有
(0-x ) 2+(0-y ) 2≤(10t +60) 2, 即(300⨯2227222-20⨯t ) +(-300⨯+20⨯t ) ≤(10t +60) 2, 102102
即t 2-36t +288≤0， 解得12≤t ≤24.
答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭。
本题通过建立解析几何模型来解决，此模型可用于研究台风，沙暴中心的运动规律，以预防自然灾害。