"杨辉三角"的几种变体

第30卷第2期 唐山师范学院学报 2008年3月 Vol.30 No.2 Journal of Tangshan Teachers College Mar. 2008

“杨辉三角”的几种变体

吴立宝1，王新民1，宋维芳2

（1.内江师范学院数学系，四川 内江 641112；2.内江师范学院图书馆，四川 内江 641112）

摘 要：利用“杨辉三角”及其思想方法，给出了几个有趣的数表，揭示了n维空间“形体”的数量结构，得到了自然数幂和的一个简捷公式，呈现了倒数方程中相关变换的奇特规律。

关键词：杨辉三角；思想方法；数表；规律 中图分类号： O157

文献标识码：A

文章编号：1009-9115(2008)02-0041-03

Some Varieties of “Yanghui triangle”

WU Li-bao1, WANG Xin-min1, SONG Wei-fang2

(1. Department of Mathematics, Neijiang Teachers College, Neijiang Sichuan 641112, China 2. Library of Mathematics, Neijiang Teachers College, Neijiang Sichuan 641112, China)

Abstract: The author uses Yanghui triangle and its thought to give some amusing numerical tables. The tables have disclosed the scalar structure of “form and structure” in n-dimensional space. A short cutting expression of the natural number power summation which shows the particular regulars about correlative transform in reciprocal equation has been obtained.

Key words: Yanghui triangle; thought way; numerical tables; regular

“杨辉三角”（图1）是由中国北宋时期的数学家贾宪首先给出的，在西方被称为“帕斯卡三角”。“杨辉三角”具有深厚的数学文化内涵和许多美妙的性质；“杨辉三角”还提供了一种有效的数学思想方法，通过构造“杨辉三角”及其变体，可以使一些繁杂的问题呈现出一定的规律。 1 空间中的“杨辉三角”

一般而言，维度超过3的高维空间中“几何形体”的结构及其特征很难想象，“杨辉三角”可为我们开启一扇透视高维空间的窗口。

若将“杨辉三角”的右边除去则得到如图2所示的数表，此“三角形”给出了0维、1维、2维、…诸空间中“最简形体”的点、线、面、体、…的数量结构，如，第三层表示的是一个三角形有3条边和3个顶点，第五层表示的是，4维空间中的1个“最简几何体”是由5个四面体围成的，其中有10个面（三角形）、10条棱、和5个顶点。“杨辉三角”或其变体（数表二）的两条基本规律：

mm1mCnCn1Cn1，

1 111111

6

5

415 3 10

1 3 1 10 5

1

1

2 1 6 4 1 20 15 6

图1 数表一（杨辉三角）

1 11

6

51

1 1 2 3 3 4 6 4 10 10 515

20 15

6

图2 数表二

如果将一个点、一条线段、一个正方形和一个正方体所含的点、线、面、体的个数像“杨辉三角”那样进行排列，则可得数表三（图3）。

rr1CrrCrr1Crr2Cn1Cn (n>r) (1)

──────────

基金项目：四川省教育厅重点研究课题（SA03-045）；内江师范学院2006年度教学改革项目（JG200609-86）。 收稿日期：2007-06-07

作者简介：吴立宝（1977-）男，山东日照人，讲师，硕士，从事数学教育理论方面研究。 - 41 -

第30卷第2期 唐山师范学院学报 2008年3月

1

+25n(n-1)(n-2)+15n(n-1)+n

将以上各式中的系数作成如下的数表五（图5）：

1 1 1

11

10

6

1 7 1 3 1 25 15 1图5 数表五

1 2 1 4 4 1 6 12 8

图3 数表三

1

1

2

1 4 4 1 6 12 8 1 8 24 32 16

1 10 40 80 80 32

1 12 60 160

240 192

64

图4 数表四

显然，数表三有如下规律：左边上的数均为1，右边上的数为2n

（n=0，1，2，…），三角形内部的数等于这个数左肩上数的2倍与右肩上数的和，照此规律延展数表三可得到数表四（图4）。数表四给出了n维空间中“类正方体”的数量结构。如，4维空间中的一个“类正方体”是由8个正方体围成的，其中有24个面（正方形）、32条棱和16个顶点。若将数表四中的数记为S

r

n（r=0，1，2，…，n）

，与“杨辉三角”类似，数表四有如下两条基本规律：

Sm

2m1m

nS

n1

S

n1，

2(SrSrrr1

rSrr1r2Sn1)Sn

n

(n>r) (2)

有趣的是，数表四中的数恰为(1+2x) (n=0，1，2，…)展开式中各项的系数，从而易得：

Srrr

n=2Cn （r=0，1，2，…，n）

(3)

由(3)与(1)不难得出(2)。 2 自然数幂和公式中的“杨辉三角”

自然数幂和是指：

1m2mnm=n

rm(mN) (4)

r1

我们将借助“杨辉三角”的思维方式，得到一个较为简捷的自然数幂和公式。由排列组合的知识，易知如下关系式：

n(n1)(n2)(nm1)=Pmm

n= m!Cn nn

r(r1)(rm1)= m!1Cmm1

r= m!Cn1

rrm

由此，只需将自然数的幂表示成连续自然数乘积的形式，即可方便的求其和。实际上，经过简单的变形，易得到以下表达式：

n=n，n2

=n(n-1)+n，

n3

=n2

(n-1)+n2=n(n-1)(n-2)+3n(n-1)+n n4

=n3

(n-1)+n3

= n(n-1)2

(n-2)+3n(n-1)2

+n(n-1)+n3

= n(n-1)(n-2)(n-3)+ 6n(n-1)(n-2)+7n(n-1)+n

n5

=n4

(n-1)+n4

=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)+10n(n-1)(n-2)(n-3) - 42 -

若记数表五中的数为Zr

n（r=1，2，…，n），则有与“杨辉三角”相类似的规律：

Z1n

=Zn

，Zmm1mn=1n=(nm1)Zn1+Zn1 Zr2Zrrr1

rr13Zrr2(nr)Zn1Zn (n>r)

由此可以将数表五延展为数表六（图6），结合公式(4)便有如下的结论：

nm =Z1

mPm

Z2m1Zm1

nn

mPnmPn

rmZ1m12m

m2

mm!Cn1Zm(m1)!Cn1

…+ZmCn1 r1

m

=

Z

r

(mr1)!Cmr2

mn1

r1

1

1 1 1 3 1

1 6 7 1 1 10 25 15 1

1 15 65

90 31 1

1

21

140

350 301 63 1

图6 数表六

3 倒数方程中的“杨辉三角”

倒数方程是指

f(x)an10x2a2n1xanxna1xa0(a00)0

因为x0，故此方程可转化为如下形式：

a10(xnxn)a1(xn111xn1

an1

(xxan0 若设x1

xt，则解倒数方程的关键是寻求

xr

1

x

r（r=1，2，…，n）关于t的表达式f(t)。 下面，同样借助“杨辉三角”的思想方法来探求多项式

f(t)系数的规律。

经过简单的计算可以得到以下表达式：

x0

1x02，x1xt，x21

x

2

t22， x311

x3t33t，x4x4t44t22，

吴立宝，等：“杨辉三角”的几种变体

x5

1

x5t55t35t， x61

x6t66t49t22，…

2 1 0

1

2

1 0 3 0 1 0 4 0 2 1 0 5 0 5 0

1 0 6 0 9 0 2

图7 数表七

取上述表达式中各项系数的绝对值（缺项的系数为0），可作成数表七（图7），将数表中的数记为Tr

n（r=0，1，2，…，n），与“杨辉三角”的规律进行类比，不难得出数表七的如下规律：

T0n1(n≥1)，T2r1n0，Tnn1(1)n

Tr2rnTrn2Tn1

Trr2rTrr1Trr2Trn1Tn1(n>r)

若将数表七与“杨辉三角”（数表一）进行比较，则可得关系式：

T2rCr1Cr

n

r1nnr1nrrCnr1

其中r=1，2，…，[ n

2]，[ ]表示取整数部分。 至此，我们可以写出xn



1

x

n关于t的表达式 n

xn

1(1)[r2

]rxnTntnr

， r0

T0n1(n≥1)，T2r1n0， T2r

n

nrCr1

nnr1（r=1，2，…，[ 2]）

1

1 0 1 0 1 1 0 2 0 1 0 3 0 1 1 0 4 0 3 0 1 0 5 0

6 0

1

1 0 6 0 10 0 4

图8 数表八

循此方法，我们可以探讨xn1

x

n的相类似的表达 式。因为

xn

11n1n311

xn(xxxxxn3xn1

（n≥2） (x1xxn111

xn1(xn3xn3)]

(x1x

g(t)

g(t)是关于t的 n-1次多项式，

结合数表七很容易得到g(t)的“系数（绝对值）三角形”数表八（图8）。如果在

“杨辉三角”（从第二层起）的每一个数的后面添加一个0，而将原来此位置上的数沿与三角形右边平行的斜线顺次下移便可得到数表八。因此，容易得出数表八的以下规律：

T0

1，T

2r11(1)n

nn

0，T

nn



2

TrrnTr2n2Tn1

Trr2rTrr1Tr2Trn1Trn1(n>r)

特别地

T2rr

n

nCnr（r=0，1，2，…，[ 2]）

故有表达式

r

xn

11n

[]xn(x(1)2Trnrxnt，

r0T2rr

，T2r1n

nCnr

n0（r=0，1，2，…，[ 2]） 值得指出的是，数表八各层数的和恰好成为一个斐波纳契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…。

以上诸例表明，“杨辉三角”作为一种数学思想方法具有较强的发现功能，并且其应用也是比较广泛的。此外，需要说明的是，本文中的许多公式都是归纳的结果，但都是可以证明的，限于篇幅，这里不再赘述。

[参考文献]

[1] 何秀娟,黄雪涛.杨辉三角在三维空间的推广[J].雁北师范

学院学报,2001,(4).

[2] 袁南桥.广义杨辉三角及其应用[J].达县师范高等专科学

校学报,2006,13(2):59-62.

[3] 汪贵平.趣味杨辉三角问题[J].数学通报,2006,45(3):

40-43.

[4] 王雄伟.杨辉三角数字排列的一些性质[J].中学数学月

刊,2005,(5).

（责任编辑、校对：琚行松）

- 43 -

第30卷第2期 唐山师范学院学报 2008年3月 Vol.30 No.2 Journal of Tangshan Teachers College Mar. 2008

“杨辉三角”的几种变体

吴立宝1，王新民1，宋维芳2

（1.内江师范学院数学系，四川 内江 641112；2.内江师范学院图书馆，四川 内江 641112）

摘 要：利用“杨辉三角”及其思想方法，给出了几个有趣的数表，揭示了n维空间“形体”的数量结构，得到了自然数幂和的一个简捷公式，呈现了倒数方程中相关变换的奇特规律。

关键词：杨辉三角；思想方法；数表；规律 中图分类号： O157

文献标识码：A

文章编号：1009-9115(2008)02-0041-03

Some Varieties of “Yanghui triangle”

WU Li-bao1, WANG Xin-min1, SONG Wei-fang2

(1. Department of Mathematics, Neijiang Teachers College, Neijiang Sichuan 641112, China 2. Library of Mathematics, Neijiang Teachers College, Neijiang Sichuan 641112, China)

Abstract: The author uses Yanghui triangle and its thought to give some amusing numerical tables. The tables have disclosed the scalar structure of “form and structure” in n-dimensional space. A short cutting expression of the natural number power summation which shows the particular regulars about correlative transform in reciprocal equation has been obtained.

Key words: Yanghui triangle; thought way; numerical tables; regular

“杨辉三角”（图1）是由中国北宋时期的数学家贾宪首先给出的，在西方被称为“帕斯卡三角”。“杨辉三角”具有深厚的数学文化内涵和许多美妙的性质；“杨辉三角”还提供了一种有效的数学思想方法，通过构造“杨辉三角”及其变体，可以使一些繁杂的问题呈现出一定的规律。 1 空间中的“杨辉三角”

一般而言，维度超过3的高维空间中“几何形体”的结构及其特征很难想象，“杨辉三角”可为我们开启一扇透视高维空间的窗口。

若将“杨辉三角”的右边除去则得到如图2所示的数表，此“三角形”给出了0维、1维、2维、…诸空间中“最简形体”的点、线、面、体、…的数量结构，如，第三层表示的是一个三角形有3条边和3个顶点，第五层表示的是，4维空间中的1个“最简几何体”是由5个四面体围成的，其中有10个面（三角形）、10条棱、和5个顶点。“杨辉三角”或其变体（数表二）的两条基本规律：

mm1mCnCn1Cn1，

1 111111

6

5

415 3 10

1 3 1 10 5

1

1

2 1 6 4 1 20 15 6

图1 数表一（杨辉三角）

1 11

6

51

1 1 2 3 3 4 6 4 10 10 515

20 15

6

图2 数表二

如果将一个点、一条线段、一个正方形和一个正方体所含的点、线、面、体的个数像“杨辉三角”那样进行排列，则可得数表三（图3）。

rr1CrrCrr1Crr2Cn1Cn (n>r) (1)

──────────

基金项目：四川省教育厅重点研究课题（SA03-045）；内江师范学院2006年度教学改革项目（JG200609-86）。 收稿日期：2007-06-07

作者简介：吴立宝（1977-）男，山东日照人，讲师，硕士，从事数学教育理论方面研究。 - 41 -

第30卷第2期 唐山师范学院学报 2008年3月

1

+25n(n-1)(n-2)+15n(n-1)+n

将以上各式中的系数作成如下的数表五（图5）：

1 1 1

11

10

6

1 7 1 3 1 25 15 1图5 数表五

1 2 1 4 4 1 6 12 8

图3 数表三

1

1

2

1 4 4 1 6 12 8 1 8 24 32 16

1 10 40 80 80 32

1 12 60 160

240 192

64

图4 数表四

显然，数表三有如下规律：左边上的数均为1，右边上的数为2n

（n=0，1，2，…），三角形内部的数等于这个数左肩上数的2倍与右肩上数的和，照此规律延展数表三可得到数表四（图4）。数表四给出了n维空间中“类正方体”的数量结构。如，4维空间中的一个“类正方体”是由8个正方体围成的，其中有24个面（正方形）、32条棱和16个顶点。若将数表四中的数记为S

r

n（r=0，1，2，…，n）

，与“杨辉三角”类似，数表四有如下两条基本规律：

Sm

2m1m

nS

n1

S

n1，

2(SrSrrr1

rSrr1r2Sn1)Sn

n

(n>r) (2)

有趣的是，数表四中的数恰为(1+2x) (n=0，1，2，…)展开式中各项的系数，从而易得：

Srrr

n=2Cn （r=0，1，2，…，n）

(3)

由(3)与(1)不难得出(2)。 2 自然数幂和公式中的“杨辉三角”

自然数幂和是指：

1m2mnm=n

rm(mN) (4)

r1

我们将借助“杨辉三角”的思维方式，得到一个较为简捷的自然数幂和公式。由排列组合的知识，易知如下关系式：

n(n1)(n2)(nm1)=Pmm

n= m!Cn nn

r(r1)(rm1)= m!1Cmm1

r= m!Cn1

rrm

由此，只需将自然数的幂表示成连续自然数乘积的形式，即可方便的求其和。实际上，经过简单的变形，易得到以下表达式：

n=n，n2

=n(n-1)+n，

n3

=n2

(n-1)+n2=n(n-1)(n-2)+3n(n-1)+n n4

=n3

(n-1)+n3

= n(n-1)2

(n-2)+3n(n-1)2

+n(n-1)+n3

= n(n-1)(n-2)(n-3)+ 6n(n-1)(n-2)+7n(n-1)+n

n5

=n4

(n-1)+n4

=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)+10n(n-1)(n-2)(n-3) - 42 -

若记数表五中的数为Zr

n（r=1，2，…，n），则有与“杨辉三角”相类似的规律：

Z1n

=Zn

，Zmm1mn=1n=(nm1)Zn1+Zn1 Zr2Zrrr1

rr13Zrr2(nr)Zn1Zn (n>r)

由此可以将数表五延展为数表六（图6），结合公式(4)便有如下的结论：

nm =Z1

mPm

Z2m1Zm1

nn

mPnmPn

rmZ1m12m

m2

mm!Cn1Zm(m1)!Cn1

…+ZmCn1 r1

m

=

Z

r

(mr1)!Cmr2

mn1

r1

1

1 1 1 3 1

1 6 7 1 1 10 25 15 1

1 15 65

90 31 1

1

21

140

350 301 63 1

图6 数表六

3 倒数方程中的“杨辉三角”

倒数方程是指

f(x)an10x2a2n1xanxna1xa0(a00)0

因为x0，故此方程可转化为如下形式：

a10(xnxn)a1(xn111xn1

an1

(xxan0 若设x1

xt，则解倒数方程的关键是寻求

xr

1

x

r（r=1，2，…，n）关于t的表达式f(t)。 下面，同样借助“杨辉三角”的思想方法来探求多项式

f(t)系数的规律。

经过简单的计算可以得到以下表达式：

x0

1x02，x1xt，x21

x

2

t22， x311

x3t33t，x4x4t44t22，

吴立宝，等：“杨辉三角”的几种变体

x5

1

x5t55t35t， x61

x6t66t49t22，…

2 1 0

1

2

1 0 3 0 1 0 4 0 2 1 0 5 0 5 0

1 0 6 0 9 0 2

图7 数表七

取上述表达式中各项系数的绝对值（缺项的系数为0），可作成数表七（图7），将数表中的数记为Tr

n（r=0，1，2，…，n），与“杨辉三角”的规律进行类比，不难得出数表七的如下规律：

T0n1(n≥1)，T2r1n0，Tnn1(1)n

Tr2rnTrn2Tn1

Trr2rTrr1Trr2Trn1Tn1(n>r)

若将数表七与“杨辉三角”（数表一）进行比较，则可得关系式：

T2rCr1Cr

n

r1nnr1nrrCnr1

其中r=1，2，…，[ n

2]，[ ]表示取整数部分。 至此，我们可以写出xn



1

x

n关于t的表达式 n

xn

1(1)[r2

]rxnTntnr

， r0

T0n1(n≥1)，T2r1n0， T2r

n

nrCr1

nnr1（r=1，2，…，[ 2]）

1

1 0 1 0 1 1 0 2 0 1 0 3 0 1 1 0 4 0 3 0 1 0 5 0

6 0

1

1 0 6 0 10 0 4

图8 数表八

循此方法，我们可以探讨xn1

x

n的相类似的表达 式。因为

xn

11n1n311

xn(xxxxxn3xn1

（n≥2） (x1xxn111

xn1(xn3xn3)]

(x1x

g(t)

g(t)是关于t的 n-1次多项式，

结合数表七很容易得到g(t)的“系数（绝对值）三角形”数表八（图8）。如果在

“杨辉三角”（从第二层起）的每一个数的后面添加一个0，而将原来此位置上的数沿与三角形右边平行的斜线顺次下移便可得到数表八。因此，容易得出数表八的以下规律：

T0

1，T

2r11(1)n

nn

0，T

nn



2

TrrnTr2n2Tn1

Trr2rTrr1Tr2Trn1Trn1(n>r)

特别地

T2rr

n

nCnr（r=0，1，2，…，[ 2]）

故有表达式

r

xn

11n

[]xn(x(1)2Trnrxnt，

r0T2rr

，T2r1n

nCnr

n0（r=0，1，2，…，[ 2]） 值得指出的是，数表八各层数的和恰好成为一个斐波纳契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…。

以上诸例表明，“杨辉三角”作为一种数学思想方法具有较强的发现功能，并且其应用也是比较广泛的。此外，需要说明的是，本文中的许多公式都是归纳的结果，但都是可以证明的，限于篇幅，这里不再赘述。

[参考文献]

[1] 何秀娟,黄雪涛.杨辉三角在三维空间的推广[J].雁北师范

学院学报,2001,(4).

[2] 袁南桥.广义杨辉三角及其应用[J].达县师范高等专科学

校学报,2006,13(2):59-62.

[3] 汪贵平.趣味杨辉三角问题[J].数学通报,2006,45(3):

40-43.

[4] 王雄伟.杨辉三角数字排列的一些性质[J].中学数学月

刊,2005,(5).

（责任编辑、校对：琚行松）

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