排列及计算公式
从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列; 从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号p(n,m)表示。
p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1).
2. 组合及计算公式
从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合; 从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。用符号
c(n,m)表示。
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);
3. 其他排列与组合公式
从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r).
n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1，n2，……nk这n 个元素的全排列数为
n!/(n1!*n2!*……*nk!).
k 类元素，每类的个数无限，从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1，m).
排列(Pnm(n为下标，m 为上标))
Pnm=n×(n-1)……(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：！是阶乘符号);Pnn(两个n 分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n
组合(Cnm(n为下标，m 为上标))
Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n 分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m
公式P 是指排列，从N 个元素取R 个进行排列。公式C 是指组合，从N 个元素取R 个，不进行排列。N-元素的总个数R 参与选择的元素个数！-阶乘，如
9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N 倒数r 个，表达式应该为n*(n-1)*(n-2).(n-r+1);
因为从n 到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r
举例：
Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？
A1：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988，997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式=P(3，9)=9*8*7，(从9倒数3个的乘积)
Q2：有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”?
A2：213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3，
9)=9*8*7/3*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例1设有3名学生和4个课外小组。(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加。各有多少种不同方法？
解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法。
(2)由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法。
点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算。
例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？
解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：
∴符合题意的不同排法共有9种。
点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理。为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型。
例3判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果。
(1)高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
(2)高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？
(3)有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？
(4)有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？
分析(1)①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列; ②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题。其他类似分析。
(1)①是排列问题，共用了封信; ②是组合问题，共需握手(次).
(2)①是排列问题，共有(种) 不同的选法; ②是组合问题，共有种不同的选法。
(3)①是排列问题，共有种不同的商; ②是组合问题，共有种不同的积。
(4)①是排列问题，共有种不同的选法; ②是组合问题，共有种不同的选法。
例4证明。
证明左式
右式。
∴等式成立。
点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化。
例5化简。
解法一原式
解法二原式
点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质; 解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化。
例6解方程：(1);(2).
解(1)原方程
解得。
(2)原方程可变为
∵，
∴原方程可化为。
即，解得
排列及计算公式
从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列; 从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号p(n,m)表示。
p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1).
2. 组合及计算公式
从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合; 从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。用符号
c(n,m)表示。
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);
3. 其他排列与组合公式
从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r).
n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1，n2，……nk这n 个元素的全排列数为
n!/(n1!*n2!*……*nk!).
k 类元素，每类的个数无限，从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1，m).
排列(Pnm(n为下标，m 为上标))
Pnm=n×(n-1)……(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：！是阶乘符号);Pnn(两个n 分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n
组合(Cnm(n为下标，m 为上标))
Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n 分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m
公式P 是指排列，从N 个元素取R 个进行排列。公式C 是指组合，从N 个元素取R 个，不进行排列。N-元素的总个数R 参与选择的元素个数！-阶乘，如
9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N 倒数r 个，表达式应该为n*(n-1)*(n-2).(n-r+1);
因为从n 到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r
举例：
Q1：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？
A1：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988，997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式=P(3，9)=9*8*7，(从9倒数3个的乘积)
Q2：有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”?
A2：213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3，
9)=9*8*7/3*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例1设有3名学生和4个课外小组。(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加。各有多少种不同方法？
解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法。
(2)由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法。
点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算。
例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？
解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：
∴符合题意的不同排法共有9种。
点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理。为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型。
例3判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果。
(1)高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
(2)高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？
(3)有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？
(4)有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？
分析(1)①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列; ②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题。其他类似分析。
(1)①是排列问题，共用了封信; ②是组合问题，共需握手(次).
(2)①是排列问题，共有(种) 不同的选法; ②是组合问题，共有种不同的选法。
(3)①是排列问题，共有种不同的商; ②是组合问题，共有种不同的积。
(4)①是排列问题，共有种不同的选法; ②是组合问题，共有种不同的选法。
例4证明。
证明左式
右式。
∴等式成立。
点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化。
例5化简。
解法一原式
解法二原式
点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质; 解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化。
例6解方程：(1);(2).
解(1)原方程
解得。
(2)原方程可变为
∵，
∴原方程可化为。
即，解得