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课 题：1、直线的投影图
2、直线对于一个投影面的投影特性
3、各种位置直线的投影特性
4、一般位置直线的实长和对投影面的倾角
课堂类型：讲授
教学目的：1、讲解三种投影面平行线和三种投影面垂直线的投影特性
2、讲解用直角三角形法求一般位置直线的实长和倾角
教学要求：1、理解并掌握各种位置直线的投影特性，并能根据投影特性判别直线对投影面的相对位置
2、熟练掌握求一般位置直线的实长及其对各投影面倾角的直角三角形法
教学重点：1、各种位置直线的投影特性
2、直角三角形法
教学难点：直角三角形法
教 具：自制的三投影面体系模型；
挂图：“投影面平行线的投影特性”、“投影面垂直线的投影特性”
教学方法：直线投影的实质，就是线段两个端点的同面投影的连线；尤其是投影面垂直线，实质就是重影点。
为了进一步加强空间思维的训练，要用一定量的例题作演示性讲解，并布置适当的练习加以巩固。
教学过程：
一、复习旧课
1、 讲评上次作业。
2、复习点的投影与与其直角坐标的关系
3、复习点的三面投影规律
4、复习特殊位置点的投影
5、复习两点的相对位置和重影点
二、引入新课题
空间两点确定一条空间直线段，空间直线的投影一般也是直线。直线段投影的实质，就是线段两个端点的同面投影的连线；所以学习直线的投影，必须于点的投影联系起来。
三、教学内容
（一）直线的投影图
空间一直线的投影可由直线上的两点（通常取线段两个端点）的同面投影来确定。如图2－19所示的直线AB，求作它的三面投影图时，可分别作出A、B两端点的投影（a、a′、a″）、（b、b′、b″），然后将其同面投影连接起来即得直线AB的三面投影图（a b、a′ b′ 、a″b″）。
（a） （b） （c）
图2－19 直线的投影
（二）直线对于一个投影面的投影特性
空间直线相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三种位置有不同的投影特性。
1、真实性 当直线与投影面平行时，则直线的投影为实长。如图2－20（a）所示。
2、积聚性 当直线与投影面垂直时，则直线的投影积聚为一点。如图2－20（b）所示。
3、收缩性 当直线与投影面倾斜时，则直线的投影小于直线的实长。如图2－20（c）所示。
（a） （b） （c）
图2－20 直线的投影
（三）各种位置直线的投影特性
根据直线在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜线、投影面平行线、投影面垂直线三类。前一类直线称为一般位置直线，后两类直线称为特殊位置直线。
1、投影面平行线
平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。平行于V面的称为正平线；平行于H面的称为水平线；平行于W面的称为侧平线。
直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。α、β、γ分别表示直线对H面、V面、W面的倾角。
举例说明：正平线的投影特性
强调：（1）斜线反映实长；
（2）直线的倾角α、γ。
总结投影面平行线的投影特性：两平一斜。
要求学生必须掌握表2－1中的图例。
对于投影面平行线的辨认：当直线的投影有两个平行于投影轴，第三投影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面平行线，且一定平行于其投影为倾斜线的那个投影面。
讲解例题（例2－3） 如图2－21所示，已知空间点A，试作线段AB，长度为15，并使其平行V面，与H面倾角α＝30°（只需一解）。
（a）题目 （b）解答
图2－21 作正平线AB
2、投影面垂直线
垂直于一个投影面且同时平行于另外两个投影面的直线称为投影面垂直线。垂直于V面的称为正垂线；垂直于H面的称为铅垂线；垂直于W面的称为侧垂线。
举例说明：侧垂线的投影特性
强调：（1）两个投影反映实长；
（2）一个投影积聚为一点。
总结投影面平行线的投影特性：两线一点。
要求学生必须掌握表2－2中的图例。
对于投影面垂直线的辨认：直线的投影中只要有一个投影积聚为一点，则该直线一定是投影面垂直线，且一定垂直于其投影积聚为一点的那个投影面。
讲解例题（例2－4） 如图2－22所示，已知正垂线AB的点A的投影，直线AB长度为10毫米，试作直线AB的三面投影（只需一解）。
（a）题目 （b）解答
图2－22 作正垂线AB
3、一般位置直线
与三个投影面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直线。举例：如图2－23（a）所示，直线AB与H、V、W面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、γ。其投影如图2－23（b）所示。
（a） （b）
一般位置直线的投影特征可归纳为：
（1）直线的三个投影和投影轴都倾斜，各投影和投影轴所夹的角度不等于空间线段对相应投影面的倾角；
（2）任何投影都小于空间线段的实长，也不能积聚为一点。
对于一般位置直线的辨认：直线的投影如果与三个投影轴都倾斜，则可判定该直线为一般位置直线。
（四）一般位置直线的实长和对投影面的倾角
1、直角三角形法的作图原理
如图2－24所示，AB为一般位置直线，过端点A作直线平行其水平投影ab并交Bb于C，得直角三角形ABC。在直角三角形ABC中，斜边AB就是线段本身，底边AC等于线段AB的水平投影ab，对边BC等于线段AB的两端点到H面的距离差（Z坐标差），也即等于a′ b′ 两端点到投影轴OX的距离差，而AB与底边AC的夹角即为线段AB对H面的倾角α。 图2－24 直角三角形法的原理
2、直角三角形法的作图方法和步骤
图2－25直角三角形法
根据上述分析，只要用一般位置直线在某一投影面上的投影作为直角三角形的底边，用直线的两端点到该投影面的距离差为另一直角边，作出一直角三角形。此直角三角形的斜边就是空间线段的真实长度，而斜边与底边的夹角就是空间线段对该投影面的倾角。这就是直角三角形法。
作图方法与步骤如图2－25所示，用线段的任一投影为底边均可用直角三角形法求出空间线段的实长，其长度是相同的，但所得倾角不同。
在直角三角形法中，直角三角形包含四个
因素：投影长、坐标差、实长、倾角。只要知道两个因素，就可以将其余两个求出来。3、讲解例题（例2－5） 如图2－26（a）所示，已知直线AB的实长L =15mm，及直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a′ ，试用直角三角形法求出直线AB的正面投影a′ b′。
（a）题目 （b）解答
图2—26 直角三角形法应用示例
四、小结
1、三种位置直线（包括七种类型）的投影特性。尤其注意：实长和倾角的判断。
2、用直角三角形法求一般位置直线的实长及其对各投影面倾角的方法和步骤。
五、布置作业
习题集2－2（1）、（2）、（7）
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2、直线对于一个投影面的投影特性
3、各种位置直线的投影特性
4、一般位置直线的实长和对投影面的倾角
课堂类型：讲授
教学目的：1、讲解三种投影面平行线和三种投影面垂直线的投影特性
2、讲解用直角三角形法求一般位置直线的实长和倾角
教学要求：1、理解并掌握各种位置直线的投影特性，并能根据投影特性判别直线对投影面的相对位置
2、熟练掌握求一般位置直线的实长及其对各投影面倾角的直角三角形法
教学重点：1、各种位置直线的投影特性
2、直角三角形法
教学难点：直角三角形法
教 具：自制的三投影面体系模型；
挂图：“投影面平行线的投影特性”、“投影面垂直线的投影特性”
教学方法：直线投影的实质，就是线段两个端点的同面投影的连线；尤其是投影面垂直线，实质就是重影点。
为了进一步加强空间思维的训练，要用一定量的例题作演示性讲解，并布置适当的练习加以巩固。
教学过程：
一、复习旧课
1、 讲评上次作业。
2、复习点的投影与与其直角坐标的关系
3、复习点的三面投影规律
4、复习特殊位置点的投影
5、复习两点的相对位置和重影点
二、引入新课题
空间两点确定一条空间直线段，空间直线的投影一般也是直线。直线段投影的实质，就是线段两个端点的同面投影的连线；所以学习直线的投影，必须于点的投影联系起来。
三、教学内容
（一）直线的投影图
空间一直线的投影可由直线上的两点（通常取线段两个端点）的同面投影来确定。如图2－19所示的直线AB，求作它的三面投影图时，可分别作出A、B两端点的投影（a、a′、a″）、（b、b′、b″），然后将其同面投影连接起来即得直线AB的三面投影图（a b、a′ b′ 、a″b″）。
（a） （b） （c）
图2－19 直线的投影
（二）直线对于一个投影面的投影特性
空间直线相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三种位置有不同的投影特性。
1、真实性 当直线与投影面平行时，则直线的投影为实长。如图2－20（a）所示。
2、积聚性 当直线与投影面垂直时，则直线的投影积聚为一点。如图2－20（b）所示。
3、收缩性 当直线与投影面倾斜时，则直线的投影小于直线的实长。如图2－20（c）所示。
（a） （b） （c）
图2－20 直线的投影
（三）各种位置直线的投影特性
根据直线在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜线、投影面平行线、投影面垂直线三类。前一类直线称为一般位置直线，后两类直线称为特殊位置直线。
1、投影面平行线
平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。平行于V面的称为正平线；平行于H面的称为水平线；平行于W面的称为侧平线。
直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。α、β、γ分别表示直线对H面、V面、W面的倾角。
举例说明：正平线的投影特性
强调：（1）斜线反映实长；
（2）直线的倾角α、γ。
总结投影面平行线的投影特性：两平一斜。
要求学生必须掌握表2－1中的图例。
对于投影面平行线的辨认：当直线的投影有两个平行于投影轴，第三投影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面平行线，且一定平行于其投影为倾斜线的那个投影面。
讲解例题（例2－3） 如图2－21所示，已知空间点A，试作线段AB，长度为15，并使其平行V面，与H面倾角α＝30°（只需一解）。
（a）题目 （b）解答
图2－21 作正平线AB
2、投影面垂直线
垂直于一个投影面且同时平行于另外两个投影面的直线称为投影面垂直线。垂直于V面的称为正垂线；垂直于H面的称为铅垂线；垂直于W面的称为侧垂线。
举例说明：侧垂线的投影特性
强调：（1）两个投影反映实长；
（2）一个投影积聚为一点。
总结投影面平行线的投影特性：两线一点。
要求学生必须掌握表2－2中的图例。
对于投影面垂直线的辨认：直线的投影中只要有一个投影积聚为一点，则该直线一定是投影面垂直线，且一定垂直于其投影积聚为一点的那个投影面。
讲解例题（例2－4） 如图2－22所示，已知正垂线AB的点A的投影，直线AB长度为10毫米，试作直线AB的三面投影（只需一解）。
（a）题目 （b）解答
图2－22 作正垂线AB
3、一般位置直线
与三个投影面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直线。举例：如图2－23（a）所示，直线AB与H、V、W面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、γ。其投影如图2－23（b）所示。
（a） （b）
一般位置直线的投影特征可归纳为：
（1）直线的三个投影和投影轴都倾斜，各投影和投影轴所夹的角度不等于空间线段对相应投影面的倾角；
（2）任何投影都小于空间线段的实长，也不能积聚为一点。
对于一般位置直线的辨认：直线的投影如果与三个投影轴都倾斜，则可判定该直线为一般位置直线。
（四）一般位置直线的实长和对投影面的倾角
1、直角三角形法的作图原理
如图2－24所示，AB为一般位置直线，过端点A作直线平行其水平投影ab并交Bb于C，得直角三角形ABC。在直角三角形ABC中，斜边AB就是线段本身，底边AC等于线段AB的水平投影ab，对边BC等于线段AB的两端点到H面的距离差（Z坐标差），也即等于a′ b′ 两端点到投影轴OX的距离差，而AB与底边AC的夹角即为线段AB对H面的倾角α。 图2－24 直角三角形法的原理
2、直角三角形法的作图方法和步骤
图2－25直角三角形法
根据上述分析，只要用一般位置直线在某一投影面上的投影作为直角三角形的底边，用直线的两端点到该投影面的距离差为另一直角边，作出一直角三角形。此直角三角形的斜边就是空间线段的真实长度，而斜边与底边的夹角就是空间线段对该投影面的倾角。这就是直角三角形法。
作图方法与步骤如图2－25所示，用线段的任一投影为底边均可用直角三角形法求出空间线段的实长，其长度是相同的，但所得倾角不同。
在直角三角形法中，直角三角形包含四个
因素：投影长、坐标差、实长、倾角。只要知道两个因素，就可以将其余两个求出来。3、讲解例题（例2－5） 如图2－26（a）所示，已知直线AB的实长L =15mm，及直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a′ ，试用直角三角形法求出直线AB的正面投影a′ b′。
（a）题目 （b）解答
图2—26 直角三角形法应用示例
四、小结
1、三种位置直线（包括七种类型）的投影特性。尤其注意：实长和倾角的判断。
2、用直角三角形法求一般位置直线的实长及其对各投影面倾角的方法和步骤。
五、布置作业
习题集2－2（1）、（2）、（7）
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