1.2.2.2
一、选择题
1．集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{d ，e }则从A 到B 可以建立不同的映射个数为( ) A ．5 C ．8 [答案] C
[解析] 用树状图写出所有的映射为：
B ．6 D ．9
⎧ a →d ⎨c →d ⎩b →e c →e
⎧⎪c →d b →d ⎨
⎪⎩c →e
⎧⎪⎨⎪⎩
2
⎧ a →e ⎨c →d
⎩b →e c →e
⎧⎪c →d b →d ⎨
⎪⎩c →e
⎧⎪⎨⎪⎩
共8个．
x ＋3 (x ＞0) ，⎧⎪
2．已知f (x ) ＝⎨1 (x ＝0) ，
⎪⎩x ＋4 (x ＜0). 则f (f (f (－4))) ＝( ) A ．－4 C ．3 [答案] B
[解析] f (－4) ＝(－4) ＋4＝0， ∴f (f (－4)) ＝f (0)＝1，
f (f (f (－4))) ＝f (1)＝12＋3＝4. 故选B.
B ．4 D ．－3
3．已知函数f (x ) ＝－x 2＋2x ＋m 的图象与x 轴有交点，则实数m 的范围是( ) A ．m ＞－1 C ．m ≥－1 [答案] C
[解析] f (x ) ＝－x 2＋2x ＋m 的图象与x 轴有交点，即方程－x 2＋2x ＋m ＝0有实根，∴Δ≥0即4＋4m ≥0，
∴m ≥－1，故选C.
4．下列从P 到Q 的各对应关系f 中，不是映射的是( ) A ．P ＝N ，Q ＝N *，f ：x →|x －8|
B ．P ＝{1,2,3,4,5,6}，Q ＝{－4，－3,0,5,12}，f ：x →x (x －
4)
B ．m ＞1 D ．m ≥1
C ．P ＝N *，Q ＝{－1,1}，f ：x →(－1) x D ．P ＝Z ，Q ＝{有理数}，f ：x →x 2 [答案] A
[解析] 对于选项A ，当x ＝8时，|x －8|＝0∉N *， ∴不是映射，故选A. 5．给出下列四个命题：
(1)若A ＝{整数}，B ＝{正奇数}，则一定不能建立从集合A 到集合B 的映射； (2)若A 是无限集，B 是有限集，则一定不能建立从集合A 到集合B 的映射； (3)若A ＝{a }，B ＝{1,2}，则从集合A 到集合B 只能建立一个映射； (4)若A ＝{1,2}，B ＝{a }，则从集合A 到集合B 只能建立一个映射． 其中正确命题的个数是( ) A ．0个 C ．2个 [答案] B
[解析] 对于(1)f ：A →B 对应法则f ：x →2|x |＋1故(1)错；(2)f ：R →{1}，对应法则f ：x →1，(2)错；(3)可以建立两个映射，(3)错；(4)正确，故选B.
⎧⎪2 x ∈[－1，1]6．(广东梅县东山中学2009～2010高一期末) 已知函数f (x ) ＝⎨，若f [f (x )]
⎪x x ∉[－1，1]⎩
B ．1个 D ．3个
＝2，则x 的取值范围是( )
A ．∅ B ．[－1,1]
C ．(－∞，－1) ∪(1，＋∞) D ．{2}∪[－1,1] [答案] D
[解析] 首先当x ＝2时，f (2)＝2， ∴f [f (2)]＝2，
其次当x ∈[－1,1]时，f (x ) ＝2， ∴f [f (x )]＝2.
7．已知函数f (x ) ＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (0)＝0，则f (4)的值是( ) A ．5 C ．12 [答案] C
[解析] 由f (1)＝f (0)＝0得到：1＋p ＋q ＝0①，q ＝0②，由①和②联立解得p ＝－1，q ＝0. 于是f (x ) ＝x 2－x ，则f (4)＝42－4＝12.
B ．－5 D ．20
8．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该学生走法的是(
)
[答案] D
[解析] t ＝0时，该学生到学校的距离为d 0，排除A 、C ，随着跑步开始，此学生到学校距离迅速缩短，而转入步行后，此学生到学校距离继续缩短，但较跑步时缩的慢了，∴选D
9．某产品的总成本y (万元) 与产量x 之间的函数关系式是y ＝3000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量为( )
A ．25台 C ．150台 [答案] C
[解析] 由题意得：y ≤25x 得3000＋20x －0.1x 2≤25x ∴x 2＋50x －30000≥0解得：x ≥150或x ≤－200 又0＜x ＜240，∴150≤x ＜240，最低产量为150台．
10．定义域为R 的函数f (x ) 满足f (x ) ＋2f (－x ) ＝2x ＋1，则f (x ) ＝( ) A ．－2x ＋1 C ．2x －1 [答案] D
[解析] ∵f (x ) ＋2f (－x ) ＝2x ＋1 (x ∈R ) ∴f (－x ) ＋2f (x ) ＝－2x ＋1， 1消去f (－x ) 得，f (x ) ＝－2x ＋.
3二、填空题
1
B ．2x －
31
D ．－2x 3B ．75台 D ．200台
⎧⎪3x ＋2，x
11．(2010·陕西文，13) 已知函数f (x ) ＝⎨2若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝
⎪x ＋ax ，x ≥1，⎩
________.
[答案] 2
[解析] 由题意得，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，a ＝2.
12．已知函数φ(x ) ＝f (x ) ＋g (x ) ，其中f (x ) 是x 的正比例函数，g (x ) 是x 的反比例函数，且
1
φ() ＝16，φ(1)＝8，则φ(x ) 的表达式为________． 3
5
[答案] 3x ＋
x
m
[解析] 设f (x ) ＝kx (k ≠0) ，g (x ) ＝ (m ≠0)
x k ⎧⎪＋3m ＝16m
则φ(x ) ＝kx ＋，由题设⎨3
x
⎪⎩k ＋m ＝8
⎧⎪k ＝35
解之得：⎨，∴φ(x ) ＝3x ＋.
x ⎪⎩m ＝5
三、解答题
13．在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克而不超过40克重付邮资160分．试写出x (0≤x ≤40) 克重的信应付的邮资y (分) 与x (克) 的函数关系，并求函数的定义域，然后作出函数的图象．
0 (x ＝0) ⎧⎪
[解析] y ＝⎨80 (0＜x ≤20) ，
⎪⎩160 (20＜x ≤40)
定义域为[0,40]，图象如下
14．作出下列函数的图象．
(1)f (x ) ＝2x ，x ∈Z ，且|x |≤2；
[解析] (1)这个函数的定义域是集合{－2，－1,0,1,2}，对应法则是“乘以2”，故它的图象由5个孤立的点(－2，－4) ，(－1，－2) ，(0,0)，(1,2)，(2,4)组成，函数图象如图(1)所示．
(2)这个函数分为两部分， 当x ∈(0，＋∞) 时，f (x ) ＝1， 当x ∈(－∞，0]时，f (x ) ＝－1， 函数图象如图(2)所示．
15．(1)一次函数的图象如图(1)，求其解析式．
(2)设二次函数的图象如图(2)所示，求此函数的解析式．
[解析] (1)设y ＝kx ＋b (k ≠0) ，由图知过(－1,0) 和(0,2)点， ⎧⎧⎪－k ＋b ＝0⎪k ＝2⎨∴，∴⎨， ⎪b ＝2⎪b ＝2⎩⎩∴y ＝2x ＋2.
(2)设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ，由图知过A (－3,0) 、B (1，0) 、C (0，－2) 三点，
9a －3b ＋c ＝0⎧⎪
∴⎨a ＋b ＋c ＝0⎪⎩c ＝－2
⎧
⎪，∴⎨4
b ＝3⎪⎩c ＝－2
2a ＝3
，
24
∴y 2－2.
33
[点评] 设y ＝ax 2＋bx ＋c ，由图知y ＝0时，x ＝－3或1，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两根－3和1，故可用根与系数关系求解，也可设ax 2＋bx ＋c ＝a (x ＋3)(x －1) ．由过(0，－2) 求出a ，进而求出b 、c .
16．设A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y ) →(kx ，y ＋b ) ．是从集合A 到集合B 的映射，若B 中元素(6,2)在映射f 下对应A 中元素(3,1)，求k ，b 的值．
[解析] (3,1)对应元素为(3k, 1＋b ) ， ⎧⎧⎪3k ＝6，⎪k ＝2⎨∴解得⎨. ⎪b ＋1＝2，⎪b ＝1⎩⎩
17．作出函数f (x ) ＝|x －2|－|x ＋1|的图象，并由图象求函数f (x ) 的值域．
－3 (x ≥2) ⎧⎪
[解析] f (x ) ＝⎨1－2x (－1＜x ＜2)
⎪⎩3 (x ≤－1)
如图：由图象知函数f (x ) 值域为{y |－3≤y ≤3}．
1.2.2.2
一、选择题
1．集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{d ，e }则从A 到B 可以建立不同的映射个数为( ) A ．5 C ．8 [答案] C
[解析] 用树状图写出所有的映射为：
B ．6 D ．9
⎧ a →d ⎨c →d ⎩b →e c →e
⎧⎪c →d b →d ⎨
⎪⎩c →e
⎧⎪⎨⎪⎩
2
⎧ a →e ⎨c →d
⎩b →e c →e
⎧⎪c →d b →d ⎨
⎪⎩c →e
⎧⎪⎨⎪⎩
共8个．
x ＋3 (x ＞0) ，⎧⎪
2．已知f (x ) ＝⎨1 (x ＝0) ，
⎪⎩x ＋4 (x ＜0). 则f (f (f (－4))) ＝( ) A ．－4 C ．3 [答案] B
[解析] f (－4) ＝(－4) ＋4＝0， ∴f (f (－4)) ＝f (0)＝1，
f (f (f (－4))) ＝f (1)＝12＋3＝4. 故选B.
B ．4 D ．－3
3．已知函数f (x ) ＝－x 2＋2x ＋m 的图象与x 轴有交点，则实数m 的范围是( ) A ．m ＞－1 C ．m ≥－1 [答案] C
[解析] f (x ) ＝－x 2＋2x ＋m 的图象与x 轴有交点，即方程－x 2＋2x ＋m ＝0有实根，∴Δ≥0即4＋4m ≥0，
∴m ≥－1，故选C.
4．下列从P 到Q 的各对应关系f 中，不是映射的是( ) A ．P ＝N ，Q ＝N *，f ：x →|x －8|
B ．P ＝{1,2,3,4,5,6}，Q ＝{－4，－3,0,5,12}，f ：x →x (x －
4)
B ．m ＞1 D ．m ≥1
C ．P ＝N *，Q ＝{－1,1}，f ：x →(－1) x D ．P ＝Z ，Q ＝{有理数}，f ：x →x 2 [答案] A
[解析] 对于选项A ，当x ＝8时，|x －8|＝0∉N *， ∴不是映射，故选A. 5．给出下列四个命题：
(1)若A ＝{整数}，B ＝{正奇数}，则一定不能建立从集合A 到集合B 的映射； (2)若A 是无限集，B 是有限集，则一定不能建立从集合A 到集合B 的映射； (3)若A ＝{a }，B ＝{1,2}，则从集合A 到集合B 只能建立一个映射； (4)若A ＝{1,2}，B ＝{a }，则从集合A 到集合B 只能建立一个映射． 其中正确命题的个数是( ) A ．0个 C ．2个 [答案] B
[解析] 对于(1)f ：A →B 对应法则f ：x →2|x |＋1故(1)错；(2)f ：R →{1}，对应法则f ：x →1，(2)错；(3)可以建立两个映射，(3)错；(4)正确，故选B.
⎧⎪2 x ∈[－1，1]6．(广东梅县东山中学2009～2010高一期末) 已知函数f (x ) ＝⎨，若f [f (x )]
⎪x x ∉[－1，1]⎩
B ．1个 D ．3个
＝2，则x 的取值范围是( )
A ．∅ B ．[－1,1]
C ．(－∞，－1) ∪(1，＋∞) D ．{2}∪[－1,1] [答案] D
[解析] 首先当x ＝2时，f (2)＝2， ∴f [f (2)]＝2，
其次当x ∈[－1,1]时，f (x ) ＝2， ∴f [f (x )]＝2.
7．已知函数f (x ) ＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (0)＝0，则f (4)的值是( ) A ．5 C ．12 [答案] C
[解析] 由f (1)＝f (0)＝0得到：1＋p ＋q ＝0①，q ＝0②，由①和②联立解得p ＝－1，q ＝0. 于是f (x ) ＝x 2－x ，则f (4)＝42－4＝12.
B ．－5 D ．20
8．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该学生走法的是(
)
[答案] D
[解析] t ＝0时，该学生到学校的距离为d 0，排除A 、C ，随着跑步开始，此学生到学校距离迅速缩短，而转入步行后，此学生到学校距离继续缩短，但较跑步时缩的慢了，∴选D
9．某产品的总成本y (万元) 与产量x 之间的函数关系式是y ＝3000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量为( )
A ．25台 C ．150台 [答案] C
[解析] 由题意得：y ≤25x 得3000＋20x －0.1x 2≤25x ∴x 2＋50x －30000≥0解得：x ≥150或x ≤－200 又0＜x ＜240，∴150≤x ＜240，最低产量为150台．
10．定义域为R 的函数f (x ) 满足f (x ) ＋2f (－x ) ＝2x ＋1，则f (x ) ＝( ) A ．－2x ＋1 C ．2x －1 [答案] D
[解析] ∵f (x ) ＋2f (－x ) ＝2x ＋1 (x ∈R ) ∴f (－x ) ＋2f (x ) ＝－2x ＋1， 1消去f (－x ) 得，f (x ) ＝－2x ＋.
3二、填空题
1
B ．2x －
31
D ．－2x 3B ．75台 D ．200台
⎧⎪3x ＋2，x
11．(2010·陕西文，13) 已知函数f (x ) ＝⎨2若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝
⎪x ＋ax ，x ≥1，⎩
________.
[答案] 2
[解析] 由题意得，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，a ＝2.
12．已知函数φ(x ) ＝f (x ) ＋g (x ) ，其中f (x ) 是x 的正比例函数，g (x ) 是x 的反比例函数，且
1
φ() ＝16，φ(1)＝8，则φ(x ) 的表达式为________． 3
5
[答案] 3x ＋
x
m
[解析] 设f (x ) ＝kx (k ≠0) ，g (x ) ＝ (m ≠0)
x k ⎧⎪＋3m ＝16m
则φ(x ) ＝kx ＋，由题设⎨3
x
⎪⎩k ＋m ＝8
⎧⎪k ＝35
解之得：⎨，∴φ(x ) ＝3x ＋.
x ⎪⎩m ＝5
三、解答题
13．在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克而不超过40克重付邮资160分．试写出x (0≤x ≤40) 克重的信应付的邮资y (分) 与x (克) 的函数关系，并求函数的定义域，然后作出函数的图象．
0 (x ＝0) ⎧⎪
[解析] y ＝⎨80 (0＜x ≤20) ，
⎪⎩160 (20＜x ≤40)
定义域为[0,40]，图象如下
14．作出下列函数的图象．
(1)f (x ) ＝2x ，x ∈Z ，且|x |≤2；
[解析] (1)这个函数的定义域是集合{－2，－1,0,1,2}，对应法则是“乘以2”，故它的图象由5个孤立的点(－2，－4) ，(－1，－2) ，(0,0)，(1,2)，(2,4)组成，函数图象如图(1)所示．
(2)这个函数分为两部分， 当x ∈(0，＋∞) 时，f (x ) ＝1， 当x ∈(－∞，0]时，f (x ) ＝－1， 函数图象如图(2)所示．
15．(1)一次函数的图象如图(1)，求其解析式．
(2)设二次函数的图象如图(2)所示，求此函数的解析式．
[解析] (1)设y ＝kx ＋b (k ≠0) ，由图知过(－1,0) 和(0,2)点， ⎧⎧⎪－k ＋b ＝0⎪k ＝2⎨∴，∴⎨， ⎪b ＝2⎪b ＝2⎩⎩∴y ＝2x ＋2.
(2)设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ，由图知过A (－3,0) 、B (1，0) 、C (0，－2) 三点，
9a －3b ＋c ＝0⎧⎪
∴⎨a ＋b ＋c ＝0⎪⎩c ＝－2
⎧
⎪，∴⎨4
b ＝3⎪⎩c ＝－2
2a ＝3
，
24
∴y 2－2.
33
[点评] 设y ＝ax 2＋bx ＋c ，由图知y ＝0时，x ＝－3或1，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两根－3和1，故可用根与系数关系求解，也可设ax 2＋bx ＋c ＝a (x ＋3)(x －1) ．由过(0，－2) 求出a ，进而求出b 、c .
16．设A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y ) →(kx ，y ＋b ) ．是从集合A 到集合B 的映射，若B 中元素(6,2)在映射f 下对应A 中元素(3,1)，求k ，b 的值．
[解析] (3,1)对应元素为(3k, 1＋b ) ， ⎧⎧⎪3k ＝6，⎪k ＝2⎨∴解得⎨. ⎪b ＋1＝2，⎪b ＝1⎩⎩
17．作出函数f (x ) ＝|x －2|－|x ＋1|的图象，并由图象求函数f (x ) 的值域．
－3 (x ≥2) ⎧⎪
[解析] f (x ) ＝⎨1－2x (－1＜x ＜2)
⎪⎩3 (x ≤－1)
如图：由图象知函数f (x ) 值域为{y |－3≤y ≤3}．