２０１０年第４期总第１００期
上海金融学院学报
Ｊｏｕｍａｌ
ｏｆＳｈａｎｇｈａｉ
ＦｉｎａｎｃｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｎｏ．４，２０１０ＡｐｒＮｏ．１００
马科维茨均值方差准则的应用
白志东，李华，黄永强
（新加坡国立大学，新加坡１１９０７７；长春大学，长春１３００２２；香港浸会大学，香港）
摘要：原先对马科维茨均值方差准则的预估．已被证明是严重背离了其最优投资组合的理论。近年人们对于这个问题不断尝试了一些新的方法。本文针对最优投资组合的问题，阐释了新修正过的ｂ００ｔｓｔｒａｐ方法预估和其资产分配形式，并证明这些修正过的ｂ（，ｏｔｓｔｒａｐ方法预估，是与其理论相一致的。本文所做的模拟测试显示，我们提出的方法可以涵盖到投资组合分析问题的本质：该模拟测试也进一步证实了我们的理论。
关键词：最优投资组合；均值方差准则；大维随机矩阵；ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法
中图分类号：Ｆ８４０．６
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７３—６８０ｘ（２０１０）０４一００４２一０９
◆－●－●。◆－◆－◆・●－●‘
１引言
使用均值一方差分析方法进行优化投资组合是由美国经济学家马科维茨（Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ，１９５２，１９５９）最先提出来的。现在它已成为优化投资结构，资产配置和投资多样化等领域里的一个里程碑。在这一方法中．最优投资组合是指在不确定条件下选择在一定风险标准下使得收益最大化的组合，或等价的在一定预期收益的标准下使得风险最小化的组合（Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ，１９５２，１９５９，１９９１；Ｍｅｒｔｏｎ，１９７２；ＫｒｏＵ，Ｌｅｖｙ粕ｄＭａｒｋｏｗｉｔｚ，１９８４）。
根据马科维茨（ＭＶ）理论一些方法被用来计算相应的估计（见Ｓｈａｒｐ（１９６７，１９７１），Ｓｔｏｎｅ（１９７３），Ｅｌｔｏｎ，Ｇｍｂｅｒ和Ｐａｄｂｅｒｇ（１９７６，１９７８），Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ和Ｐｅｒｏｌｄ（１９８１），及Ｐｅｒｏｌｄ（１９８４）中的例子），近几十年这些估计在投资界已经进行了大量的实验，但是其表现始终让人存有疑虑。例如，Ｆｍｎｋｆｕｒｔｈｅｒ，Ｐｈｉｌｉｐｓ和Ｓｅａｇｌｅ（１９７１）年发现根据马科维茨ＭＶ准则选择的投资组合可能还不如平均加权组合有效，而Ｚｅｌｌｎｅｒ和Ｃｈｅｔｔｙ（１９６５），Ｂｒｏｗｎ（１９７８），Ｋａｎ和Ｚｈｏｕ（２００７）指出在扩散先验下贝叶斯决策规则优于ＭＶ优化方法。
１．１马科维茨均值一方差理论
假设这里有ｐ个资产，Ｓ＝（Ｓ，，…，Ｓ。）７，相应回报为仁（ｒｌ’．”，ｒｐ）７，其中均值为斗＝（斗１，．”，ｈ）７，方差为∑＝（仉．ｉ）。另外，我们假设一位投资者将投资资金Ｃ到这ｐ个资产Ｓ中，希望合理的分配他的资金以便获得如下两者之一：
ｌ：在一个给定风险标准下回报最大化，或２：在给定预期收益条件下风险最小化。
因为以上两个问题等价，在这里我们仅就第一个问题求解。不失一般性，我们假设Ｃ≤ｌ，他（她）的
收稿日期：２０ｌＯ－０７—１０
作者简介：白志东（１９４３一），男，河北省乐亭县人，新加坡国立大学概率与统计系教授。
李
华（１９７７一）。男．吉林省通化市人。长春大学概率与统计系教授。
黄永强（１９５５一）。男，广东省中山市人，香港漫会大学经济系教授。
一４２—
马科维茨均值方差准则的应用
投资计划为ｃ＝（ｃ。，…，ｃ，）ｔ。那么，我们有∑ｃ产ｃ５１。并且其对应的回报Ｒ为ｃｔ斗风险为ｃ’∑ｃ。在这
一篇文章里我们进一步假设卖空是被允许的，也就是说ｃ中的任意元素可以为负。因此，上面的问题可以重新被整理为如下的最优化问题：
Ｒ：ｍａ）【ｃ～，这里ｃｔｌｓｌ，ｃｔ∑ｃ≤《。
问题下的优化组合方案。通过扩展分离定理（Ｃａｓｓ们从下面的问题可以获得（１．１）式的分析解。
命题ｌ：对于（１．１）式中的最优化问题
ａｎｄ
（１）
这里为由１组成的ｐ维向量，仃：是一个给定的风险标准。我们称满足（１）Ｒ为最优回报，称解ｃ为该
Ｓｔｉ直ｉｔｚ，１９７０）和共同基金定理（Ｍｅｔｒｏｎ，１９７２）我
１．如果』至垒竺刍＜Ｊ，那么最优回报Ｒ：仃。、／矿万和相应的最优组合方案为：
～“∑’啡
２．
如果器＞Ｊ，那么最优回报尺＝将“ｐ７∑。红一错］和相应的最优组合方
、／石７∑一缸
』１上。』
Ｌ
ｃ＝—兰垦∑一缸何７∑一缸
’
（２）
ｏ厶ｏ
１
案为：
这胩＼／鬲箍‰。
１．２马科维茨优化之谜化”。
Ｓ—Ｘ
ｃ－赫＋６［∑扯舒∑。卟
（３）
㈩
虽然均值方差优化理论被人们所熟悉。但在实际中他已经被证明缺乏实用性。例如，Ｆｒａｎｋｆｕｎｈｅｒ，Ｐｈｉｌｌｉｐｓ和Ｓｅａｇｌｅ（１９７１）首次发现抽样误差非常大，而后Ｍｉｃｈａｕｄ（１９８９）指出ＭＶ优化理论能够产生比平均加权组合还要差的结果。他称这一难题为“马科维茨优化之谜”，并称ＭＶ优化为“估计误差最大
在问题（１．１）中，我们需要输入均值向量和协方差矩阵。在实际中它们是未知的，必须由观测值估计得到。当人们把含有白噪声的样本均值和样本方差带入后，ＭＶ优化过程经常导致与经济无关的或虚假的“最优”投资组合和资产分配。我们称这一回报和相应的组合为“ｐｌｕｇ．ｉｎ”回报，砩，及“ｐｌｕｇ＿ｉｎ”组合，ｃ，。即：
ｑ＝
扩等≥心器拟ｓ一豇鬻．ｓ１ｗ并≥乩
慷ｔ孓啄’
（６）
这里６＝
注：“ｐｌｕｇ—ｉｎ”回报为矗＝ｅＴｐ斗。这一方法虽然简单但可能还不如共同平均加权组合有效
（Ｆｒａｎｋｆｕｒｔｈｅｒ，Ｐｈｉｌｌｉｐｓ，ａｎｄ
ｓｅａ９１ｅ，１９７１）。这主要是因为当协方差的维数ｐ非常大时，岛与理论最优
一４３—
马科维茨均值方差准则的应用
组合ｃ差异巨大。事实上通过证明（Ｂａｉ，Ｌｉｕ，ａｎｄＷｏｎｇ，２００９ａ，ｂ）可以确定ｐｌｕｇ—ｉｎ回报总是大于理论最优回报的。即所谓的“过度预测”现象（见图１）。
。
图１资产数量
１．３前期工作
‘
在投资组合分析中，参数值的不确定性导致了次优投资组合的选择。那么就参数的估计问题人们想了很多办法来解决。下面我们来介绍近几十年常用的一些估计模型。
１．Ｂａｖｅｓ—Ｓｔｅｉｎ估计
Ｂａｙｅｓ—Ｓｔｅｉｎ估计量（Ｊｏｒｉｏｎ１９８６）是通过对特定形式的估计量缩小平均损失得到的。假设一组资产
回报服从如下正态分布，我们有：ｘ。～Ｎ（斗，∑），这里五表示斗的估计量。考虑平方损失函数
￡Ｄｓｓ缸，肛）＝①，ｐ）’①，肛），
（７）
则相应的均方损失为Ｅｒｒ２（五，扯）＝Ｅ｛（五，斗）７（五，ｐ）｝。Ｊａｍｅｓ—ｓｔｅｉｎ收缩估计量为五ｓ兰（１一俚）ｉ＋仅ｂ，
这里Ｘ是样本均值，ｂ为固定向量。通过证明可得在这一表达式中最优的０【为
ｄ：导』坠：２ＡＬ。
（８）
１∞一６）７缸一６）
２．Ｂｌａｃｋ一“ｔｔｅ瑚ａｎ模型
Ｂｌａｃｋ一“ｔｔｅ瑚ａｎ模型（Ｂｌａｃｋａｎｄ“ｔｔｅｍ肌１９９２）的主要想法是资产回报分布受风险估计影响，而
风险可以通过考虑投资者在市场中的想法使其平稳化。假设一个投资者在市场中得到Ｘ的一个真实值ｘ，这里Ｘ～Ｎ（¨，∑）。观测值记为Ｖ，可表示为一个条件分布ＶＩｘ。更一般的观测值是对市场的一个通用多元函数ｇ（ｘ），而不是直接有关市场的。因此，条件分布变成了Ｖｌｇ（ｘ）。
通常，ｇ（ｘ）＝ＰＸ，
ｙＩ仇～Ｊ７＼，（以，力），
（９）
应用Ｂａｙｅｓ法则，
ＸＩ秽～ＪＩ、ｒ（№，∑越），
’
这里
肛阻（秽，ｎ）量胪∑Ｐ’（Ｐ∑ＪＰ，＋力）一（｜Ｉ一毋）；
（１０）∑成＝∑一∑Ｐ’（Ｐ∑Ｐ，＋ｎ）一Ｐ∑。（１１）
３．单指数和多指数模型
解决这个问题最有名的模型是对协方差矩阵指定一些结构的单指数模型（Ｓｈａｒｐｅ，１９“）。因为股票价格与市场有共同联动作用，建立一个与股票价格共同移动的系统对于观察数据是有积极意义的。
一４４、
这一想法可归结为如下的回归模型：
尺产０ｃｉ弗厌一岛。
（１２）
设叮２ｍ和叮乞分别代表Ｒ。和８ｉ的方差，则资金ｉ的方差为ｐｉ叮２ｍ＋仃乞，资金ｉ和ｊ的协方差为ｐｉｐｊ盯２ｍ。
多指数模型（Ｒｏｓｓ，１９７６）即包含多个可以影响资产价格的因素。即：
尺产ａ州岛ＪＺＪ弗Ｊ才…鹕∥—毋。
１．４随机矩阵理论
（１３）
当数据维数很大的时候统计效率将大大降低，经典极限理论不再适用。大维随机矩阵研究了当维数和样本量成比例增加时随机矩阵的极限谱分布。从而产生了处理上述问题的一些可行办法。下面介绍一下随机矩阵中的相关概念。
在我们的分析中，样本协方差矩阵在检验这类数据中扮演了非常重要的角色。假设｛瓠，（ｊ＝ｌ，…，ｐ；ｋ＝１，…，ｎ）｝是一组双指标数据集，他们是独立同分布的复随机变量，均值为０方差为仃２。设ｘ。＝（ｘ。ｋ＇．“，ｘＤｋ）７，Ｘ＝（ｘｌ’．一，ｘ。）。则样本方差Ｓ为
Ⅳ
ｓ＝｝∑（菇。＿－）（石。ｉ）ｒ
¨７‘２』
（１４）
这里戈＝乞戈＾／ｎ。
＾＝Ｊ
（１５）
假设上面定义的样本方差Ｓ的特征根为｛～．ｊ＝１，…，ｐ｝。如果所有的特征根都是实的，则样本方差矩阵Ｓ的经验谱分布Ｆ丐定义为
Ｂ（髫）＝｝孝Ｕｓｐ？～≤，｝。
，
（１６）
这里样Ｅ为集合Ｅ所含元素的个数。在介绍有关经验谱分布定理之前。我们定义Ｍａｒｃｅｎｋｏ—Ｐａｓｔｕｒ（ＭＰ）（Ｍａｒｃｅｎｋｏ—Ｐａｓｔｕｒ，１９６７）分布。
定义１设ｙ为维数与样本之比，ｐ／ｎ，ｃｒ２为尺度参数。ＭＰ分布定义如下：１．如果ｙ≤ｌ，那么ＭＰ分布Ｒ（ｘ）对应的密度函数为：
ｐ，（戈）：｛荔焉矿、／∞叫Ｈ护∞矿ａ电＜６
ｌＤ
这里口＝ｃｒ２（Ｊ一、／ｙ）２，６＝矿（Ｊ＋、／），）２。
（１７）
（１８）
２．如果ｙ＞ｌ，那么Ｆｙ（ｘ）在原点处权重为１—１／ｙ，其余权重１／ｙ分布在区间（ａ，ｂ）上，对应密度为上面的ｐ，（ｘ）。
下面我们就样本方差矩阵的经验谱分布给出如下定理。
定理ｌ设｛ｘｊｋ，（ｊ＝１，…，ｐ；ｋ＝１，…，ｎ）｝为一组独立同分布随机样本，均值为０，方差为ｃｒ２。如果ｐ／一
ｙ∈（０，∞），那么依概率ｌ有，（１６）定义的经验谱分布Ｐ渐进收敛于ＭＰ分布。
总体方差一致时，样本方差的特征根分布于（１一、／歹）２，（１＋、／丁）２之间。如ｎ＝５００我们有
ｐ５３００
ｐ／ｎ０．０１Ｏ．６
Ｉｎｔｅｒｖａｌ
（０．８ｌ。１．２１）（０．０５，３．１４）
定理２设｛ｘｊｋ，（ｊ＝１，…，ｐ；ｋ＝ｌ，…，ｎ）｝是一组独立同分布样本，均值为０，方差为ｃｒ２。Ｓ为样本方差，
有ｎ个随机变量｛（ｘ－ｋ’．”，ｘｐｋ）’｝计算得到。如果ｐ／ｎ１∈（Ｏ，∞），那么依概率１有，Ｓ的最大特征根趋近
一４５—
于ｂ＝仃２（１＋、／ｙ）２，另外
１．如果ｙｓ１，ｓ的最小样本特征根趋近于口＝ｃｒ２（１一、／丁）２；
２．如果ｙ＞ｌ，则ｓ的第ｐ—ｎ＋１个最小特征根趋近于ｏ＝ｃｒ２（１一、／丁）２。
１．５Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法
Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法由Ｅｆｒｏｎ于１９７９年最先提出，是一个重复抽样的方法。在寻找近似数据进行计算非常困难或不可能的时候，这一方法有许多特别的应用。对于ｂｏｏｔｓｔｒａｐ主要有两种方法，一种是非参数方法，另外一种是参数方法。非参数ｂ００ｔｓｔｒａｐ方法的基本想法是用经验分布代替未知总体分布。给定一组样本，他由ｎ个独立同分布的随机变量ｘＩ’．一，ｘ。组成。然后对未知参数得到一个真实的估计值ｅ（ｘｌ，．一，ｘ。），记为６。现在以样本ｘ１，．一，ｘｎ经验分布为初始分布，抽取样本ｘ＋Ｉ，－一，ｘ＋。，依照上面
得到６的办法我们可以得到６。。
２
２．１
Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正估计量
Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正估计
Ｂ００ｔｓｔｒａｐ校正估计由Ｂａｉ，Ｈｕ，ａｎｄＷｏｎｇ（２００９ａ）最先提出。假设Ｘ＝｛Ｘ１，．一，Ｘ。｝是一组来自总体的样本，Ｘ＋＝｛ＸＩ’．”，Ｘ。。｝为以Ｘ为总体的样本。对于每组新样本我们都可以计算样本均值Ｘ＋和样本协方差矩阵Ｓ＋。然后取平均作为我们的ｂｏｏｔｓｔｒａｐ均值和ｂｏｏｔｓｔｍｐ协方差矩阵。接下来将他们带人到问题（１．１）中的理论结果即得到ｂｏｏｔｓｔｍｐ
ｐｌｕｇ—ｉｎ资产组合与回报的估计，ｅ＋基＋，。则我们有
（１９）
型二＝丝一ａ等詹。幺，＋上（蠢，一袁＊，）。ａ
爰，胡
定理３设Ｙ１＇．“，Ｙ。是ｎ个独立同分布的ｐ维向量，均值为零，方差为单位阵。设ＸＴ－斗＋∑１呵ｉ，这
里灿为未知的ｐ维向量，∑是一个未知的ｐ×ｐ矩阵。并且Ｙｊ的任意元素都有有限四阶矩。同时当ｐ／ＩＰ
ｙ∈（Ｏ，１）时，有
些至：丝．—锄，』盟＿锄，』竺二ｔ一匈
满足口。妒如Ｏ。那么，依概率ｌ有，
（２０）
Ｖ面＞２溉善竺：订，国＜Ｄ，
ｌｉｍ』Ｌ：
一＊、／丁
嘞、卢丕硒＞ｚ砌』当：嘞、／血咝！二夏，其他
Ｖ
””Ｖ
ｎ
（２１）
ｎ２，Ｐ。、／ｎ
Ｖｃ１２
这里ｙ＝一奶（咖击＞咖＝ｃｒ２（Ｊ一汀）２＇６＝柙＋盯圪
资产组合：ｂ和ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正资产回报食ｂ，
（２２）
定理４在定理３的条件下，利用上面描述的ｂｏｏｔｓｔｒａｐｐｌｕｇ－ｉｎ估计可以得到相应的ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正
色：岛＋—圭：（岛一ｅ★ｐ），
Ｖ
＾
＾
（２３）（２４）
风胡，＋七（尺，胡。，）。
，
＾
＾．
ｙ
Ｖ７
—４６～
马科维茨均值方差准则的应用
这里ｅ，，ｅ＋，分别为ｐｌｕｇ—ｉｎ和ｂｏｏｔｓｔｒａｐｐｌｕｇ—ｉｎ资产分配。矗，，食＋，分别为他们相应ｐｌｕｇ—ｉｎ和ｂｏｏｔｓｔｒ印ｐｌｕｇ—ｉｎ资产回报。＾ｙ由定理４给出。
２．２模拟结果
在这一部分，通过模拟我们展示了Ｒ“和众是优于氏，和：，估计的。这里我们定义ｄＲｂｔ，）＝ｌ矗ｂ（ｐ广Ｒｌ，ｄｃｂ。，，＝ｌｌ＆。，广ｃＩ。对ｎ＝５００，ｐ＝１００，２００，３００计算ｄＲｂ。。，和ｄｃｂｃ。，，模拟３０次。结果见图２：
婚．．
ｏ‘＿
ｏ
ｏ
图２模拟数量
实线表示ｄＲｂ（ｄｃｂ）；虚线表示ｄＲｐ（ｄｃＰ）
从这个图，我们看到对每种情况我们都有ｄＲｂ（以）小于ｄＲｐ（ｄｃｐ）。这说明利用ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正方法得到
的估计在估计理论结果时比ｐｌｕｇ—ｉｎ方法要好。而且当ｐ增加时’ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正方法的优势更加明显。
图３是比较ｄＲｂ（ｄｃｂ）和ｄＲｐ（ｄｃｐ）的ＭｓＥ。在下图中ｄＲｂ（ｄ。ｂ）的ＭｓＥ大大小于ｄＲｐ（ｄｃｐ）的ＭｓＥ。这也进
一步说明ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正方法的优越性。
图３资产数量
实线表示ｄＲｐ（ｄｃｐ）；虚线表示ｄＲｂ（ｄｃｂ）
最后这个图是对比ｐｌｕｇ—ｉｎ回报与ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正回报。在这里ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正回报远没有ｐｌｕｇ—ｉｎ回报大。
一４７一
马科维茨均值方差准则的应用
图４回报值
实线表示ｐｌｕｇ—ｉｎ回报；虚线ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正回报左中右图对应ｍ＝１，１０，１００
３Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正估计量的渐进性
３．１假设检验
为了对预期收益进行假设检验，我们设定：
％？尺胡Ｄ日Ｊ：Ｒ＝６帜Ｄ。
（２５）
这里ｂ是任意非零常数。为了检验上面的假设问题，我们给出如下定理。
定理５设ｎ个随机变量Ｘｌ＇．“，Ｘ。具有相同的ｐ×１均值向量，相同的ｐ×ｐ协方差矩阵，及有限４阶矩。同时当ｐ／ｎ－１∈（Ｏ，１）时，有
些丝飞，型飞，堡生飞
则最优回报凡和相应ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正估计在原假设下有：
（２６）
袁・一订Ｒ旷Ⅳ（Ｄ，（Ｊ７）（“盖）ｃｒ２），
在备择假设下有：
（２７）
詹６一订Ｒ旷Ⅳ（６，（Ｊ叫）（Ｊ＋盖）ｃｒ２）。
３．２模拟结果
（２８）
下面就检验问题（２５）进行模拟运算。这里我们对均值斗在原假设和被择假设下加以限制，以便在这两种情况下预期利润的差异等于一个标准差值。这里理论势和相应的第一类错误分别为Ｏ．１７和０．０５。样本量ｎ从２５０增加到１０００。重复次数为５００。结果如下：
模拟势
ｎ＝２５０
ｙ０．１０．２０．３Ｏ．４
ｎ＝５００
ｐｏｗｅｏＯ．１８２０．２００Ｏ．１９３Ｏ．１８６
ｎ：１０００
ｐｏｗｅ‘０．１７６Ｏ．１８５０．１７８０．１６５
Ｒ０
７．１０９．８４１４．７５１６．５ｌ
ＲＩ７．４４１０－３４１５．５５１７．４７
ｆＩｏ
１０．１４１５．１１１９－３８２２．００
Ｒｌ１０．４８１５．６５２０．１２２２．９１
凡
１３．４ｌ２２．３５２２．００２９．６９
Ｒｌ１３．７３２２．９ｌ２２．９１３０．５６
ｐｏｗｅｒ‘Ｏ．１６７Ｏ．１８０Ｏ．１６５Ｏ．１７６
—４８—
冯科维茨均值方差准则的应用
模拟第一类错误
ｎ＝２５０
ｙ０．１０．２Ｏ．３Ｏ．４
ｎ＝５００
ｐｏｗｅｒ０．０６ｌ０．０５７Ｏ．０５６Ｏ．０５０
ｎ＝１０００
ｐｏｗｅｒＯ．０５３０．０５９０．０５６Ｏ．０５６
凡
８．１７９．９０１３．３０１４．１０
Ｒ１８．５６１０．４０１４．０１１４．９３
凡
９．３３１６．１１１８．８５２０．０２
Ｒｌ９．６４１６．６９１９．５６２０．８５
Ｒｏ
１６．２３２０１８３２４．３９２９．９３
Ｒｌ１６．６ｌ２１．３５２５．０５３０．８０
ｐｏｗｅｒ０．０６００．０５５０．０３７Ｏ．０４９
从这两个表我们可以看到（１）模拟值和理论值是很接近的；（２）样本量越大，模拟值越接近理论值。
结
论
在这里我们理论证明了当资产数目较大时ｐｌｕｇ—ｉｎ回报总是大于理论回报的。通过构建ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正估计量更好的估计了理论最优回报。我们进一步给出了ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正估计量的渐进性。
可以考虑最优投资组合其权重为非负限制的情况，因为有事卖空是不可执行的或执行起来花费过大的。可以考虑解决给定回报条件下风险最小化问题。可以考虑放宽独立性
条件使ＭＶ理论的应用更实际。
另外，这里介绍的ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正估计虽然在资产利润估计的上表现优异，但在风险方面做的却并不好。下面的工作我们考虑通过估计总体方差特征根的方式改善总体方差的估计，从而得到更好的资产组合，使其在风险最小的同时对应的资产利润也最接近理论最优值。
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ｔｈｅ
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Ｍ．Ｗ．ＰＡＤＢＥＲＧ．Ｓｉｍｐｌｅ
ｆｏｒ叩ｔｉｍａｌＰｏｒｔｆｏｌｉｏ卵ｌｅｃｔｉ∞：ｔｒａｃｉｌｌｇ
ｏｕｔｔｈｅｅｍｃｉｅｎｔ
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ｐｏｒｔ响ｌｉｏ鸵ｌｅｃｔｉｏｎ：
１１ｌｅ
ｅ雎ｃｔｓｏｆ
ｕｎｃｅｒｔａｉｎ
ｍｅ哪，
ｖａｌｉ柚ｃ鹪锄ｄ
ｃｏ谢锄ｃｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｍａｌ
０ｆ
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一４９
马科维茨均值方差准则的应用
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ＭａｒｋｅｔＥｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ
ｕｎｄｅｒＣｏｎｄｉｔｉｏｎｓ
ｏｆ
Ｒｉｓｋ［Ｊ］．Ｊｏｕｍａｌ
ｏｆＦｉｎ粕ｃｅ，
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ｆ０咖ｕｌａｔｉｏｎ
ｏｆｔｈｅｇｅｎｅｒａｌＰｏｒｔｆｏｌｉｏｓｅｌｅｃｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｊ０ｕｍａｌｏｆＦｉｎａｎｃｉａｌａｎｄＱｕ柚ｔｉｔａｔｉＶｅ
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０ｆｔｈｅ
Ａｍｅｒｉｃａｎ
ｉｎ
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ｍｏｄｅｌ￥ｆｍｍｃｈｅ
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ＳｔａｔｉｓｔｉｃａｌＡ８ｓｏｃｉａｔｉｏｎ，１９６５，（６０），６０８—６１６．
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆ
Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ
Ｂａｉ
Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ
Ｍｅａｎ—Ｖａｒｉａｎｃｅ
Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ
Ｚｈｉｄｏｎｇ，ＬｉＨｕａ，
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（责任编校：窦然）
５０一
２０１０年第４期总第１００期
上海金融学院学报
Ｊｏｕｍａｌ
ｏｆＳｈａｎｇｈａｉ
ＦｉｎａｎｃｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｎｏ．４，２０１０ＡｐｒＮｏ．１００
马科维茨均值方差准则的应用
白志东，李华，黄永强
（新加坡国立大学，新加坡１１９０７７；长春大学，长春１３００２２；香港浸会大学，香港）
摘要：原先对马科维茨均值方差准则的预估．已被证明是严重背离了其最优投资组合的理论。近年人们对于这个问题不断尝试了一些新的方法。本文针对最优投资组合的问题，阐释了新修正过的ｂ００ｔｓｔｒａｐ方法预估和其资产分配形式，并证明这些修正过的ｂ（，ｏｔｓｔｒａｐ方法预估，是与其理论相一致的。本文所做的模拟测试显示，我们提出的方法可以涵盖到投资组合分析问题的本质：该模拟测试也进一步证实了我们的理论。
关键词：最优投资组合；均值方差准则；大维随机矩阵；ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法
中图分类号：Ｆ８４０．６
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７３—６８０ｘ（２０１０）０４一００４２一０９
◆－●－●。◆－◆－◆・●－●‘
１引言
使用均值一方差分析方法进行优化投资组合是由美国经济学家马科维茨（Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ，１９５２，１９５９）最先提出来的。现在它已成为优化投资结构，资产配置和投资多样化等领域里的一个里程碑。在这一方法中．最优投资组合是指在不确定条件下选择在一定风险标准下使得收益最大化的组合，或等价的在一定预期收益的标准下使得风险最小化的组合（Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ，１９５２，１９５９，１９９１；Ｍｅｒｔｏｎ，１９７２；ＫｒｏＵ，Ｌｅｖｙ粕ｄＭａｒｋｏｗｉｔｚ，１９８４）。
根据马科维茨（ＭＶ）理论一些方法被用来计算相应的估计（见Ｓｈａｒｐ（１９６７，１９７１），Ｓｔｏｎｅ（１９７３），Ｅｌｔｏｎ，Ｇｍｂｅｒ和Ｐａｄｂｅｒｇ（１９７６，１９７８），Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ和Ｐｅｒｏｌｄ（１９８１），及Ｐｅｒｏｌｄ（１９８４）中的例子），近几十年这些估计在投资界已经进行了大量的实验，但是其表现始终让人存有疑虑。例如，Ｆｍｎｋｆｕｒｔｈｅｒ，Ｐｈｉｌｉｐｓ和Ｓｅａｇｌｅ（１９７１）年发现根据马科维茨ＭＶ准则选择的投资组合可能还不如平均加权组合有效，而Ｚｅｌｌｎｅｒ和Ｃｈｅｔｔｙ（１９６５），Ｂｒｏｗｎ（１９７８），Ｋａｎ和Ｚｈｏｕ（２００７）指出在扩散先验下贝叶斯决策规则优于ＭＶ优化方法。
１．１马科维茨均值一方差理论
假设这里有ｐ个资产，Ｓ＝（Ｓ，，…，Ｓ。）７，相应回报为仁（ｒｌ’．”，ｒｐ）７，其中均值为斗＝（斗１，．”，ｈ）７，方差为∑＝（仉．ｉ）。另外，我们假设一位投资者将投资资金Ｃ到这ｐ个资产Ｓ中，希望合理的分配他的资金以便获得如下两者之一：
ｌ：在一个给定风险标准下回报最大化，或２：在给定预期收益条件下风险最小化。
因为以上两个问题等价，在这里我们仅就第一个问题求解。不失一般性，我们假设Ｃ≤ｌ，他（她）的
收稿日期：２０ｌＯ－０７—１０
作者简介：白志东（１９４３一），男，河北省乐亭县人，新加坡国立大学概率与统计系教授。
李
华（１９７７一）。男．吉林省通化市人。长春大学概率与统计系教授。
黄永强（１９５５一）。男，广东省中山市人，香港漫会大学经济系教授。
一４２—
马科维茨均值方差准则的应用
投资计划为ｃ＝（ｃ。，…，ｃ，）ｔ。那么，我们有∑ｃ产ｃ５１。并且其对应的回报Ｒ为ｃｔ斗风险为ｃ’∑ｃ。在这
一篇文章里我们进一步假设卖空是被允许的，也就是说ｃ中的任意元素可以为负。因此，上面的问题可以重新被整理为如下的最优化问题：
Ｒ：ｍａ）【ｃ～，这里ｃｔｌｓｌ，ｃｔ∑ｃ≤《。
问题下的优化组合方案。通过扩展分离定理（Ｃａｓｓ们从下面的问题可以获得（１．１）式的分析解。
命题ｌ：对于（１．１）式中的最优化问题
ａｎｄ
（１）
这里为由１组成的ｐ维向量，仃：是一个给定的风险标准。我们称满足（１）Ｒ为最优回报，称解ｃ为该
Ｓｔｉ直ｉｔｚ，１９７０）和共同基金定理（Ｍｅｔｒｏｎ，１９７２）我
１．如果』至垒竺刍＜Ｊ，那么最优回报Ｒ：仃。、／矿万和相应的最优组合方案为：
～“∑’啡
２．
如果器＞Ｊ，那么最优回报尺＝将“ｐ７∑。红一错］和相应的最优组合方
、／石７∑一缸
』１上。』
Ｌ
ｃ＝—兰垦∑一缸何７∑一缸
’
（２）
ｏ厶ｏ
１
案为：
这胩＼／鬲箍‰。
１．２马科维茨优化之谜化”。
Ｓ—Ｘ
ｃ－赫＋６［∑扯舒∑。卟
（３）
㈩
虽然均值方差优化理论被人们所熟悉。但在实际中他已经被证明缺乏实用性。例如，Ｆｒａｎｋｆｕｎｈｅｒ，Ｐｈｉｌｌｉｐｓ和Ｓｅａｇｌｅ（１９７１）首次发现抽样误差非常大，而后Ｍｉｃｈａｕｄ（１９８９）指出ＭＶ优化理论能够产生比平均加权组合还要差的结果。他称这一难题为“马科维茨优化之谜”，并称ＭＶ优化为“估计误差最大
在问题（１．１）中，我们需要输入均值向量和协方差矩阵。在实际中它们是未知的，必须由观测值估计得到。当人们把含有白噪声的样本均值和样本方差带入后，ＭＶ优化过程经常导致与经济无关的或虚假的“最优”投资组合和资产分配。我们称这一回报和相应的组合为“ｐｌｕｇ．ｉｎ”回报，砩，及“ｐｌｕｇ＿ｉｎ”组合，ｃ，。即：
ｑ＝
扩等≥心器拟ｓ一豇鬻．ｓ１ｗ并≥乩
慷ｔ孓啄’
（６）
这里６＝
注：“ｐｌｕｇ—ｉｎ”回报为矗＝ｅＴｐ斗。这一方法虽然简单但可能还不如共同平均加权组合有效
（Ｆｒａｎｋｆｕｒｔｈｅｒ，Ｐｈｉｌｌｉｐｓ，ａｎｄ
ｓｅａ９１ｅ，１９７１）。这主要是因为当协方差的维数ｐ非常大时，岛与理论最优
一４３—
马科维茨均值方差准则的应用
组合ｃ差异巨大。事实上通过证明（Ｂａｉ，Ｌｉｕ，ａｎｄＷｏｎｇ，２００９ａ，ｂ）可以确定ｐｌｕｇ—ｉｎ回报总是大于理论最优回报的。即所谓的“过度预测”现象（见图１）。
。
图１资产数量
１．３前期工作
‘
在投资组合分析中，参数值的不确定性导致了次优投资组合的选择。那么就参数的估计问题人们想了很多办法来解决。下面我们来介绍近几十年常用的一些估计模型。
１．Ｂａｖｅｓ—Ｓｔｅｉｎ估计
Ｂａｙｅｓ—Ｓｔｅｉｎ估计量（Ｊｏｒｉｏｎ１９８６）是通过对特定形式的估计量缩小平均损失得到的。假设一组资产
回报服从如下正态分布，我们有：ｘ。～Ｎ（斗，∑），这里五表示斗的估计量。考虑平方损失函数
￡Ｄｓｓ缸，肛）＝①，ｐ）’①，肛），
（７）
则相应的均方损失为Ｅｒｒ２（五，扯）＝Ｅ｛（五，斗）７（五，ｐ）｝。Ｊａｍｅｓ—ｓｔｅｉｎ收缩估计量为五ｓ兰（１一俚）ｉ＋仅ｂ，
这里Ｘ是样本均值，ｂ为固定向量。通过证明可得在这一表达式中最优的０【为
ｄ：导』坠：２ＡＬ。
（８）
１∞一６）７缸一６）
２．Ｂｌａｃｋ一“ｔｔｅ瑚ａｎ模型
Ｂｌａｃｋ一“ｔｔｅ瑚ａｎ模型（Ｂｌａｃｋａｎｄ“ｔｔｅｍ肌１９９２）的主要想法是资产回报分布受风险估计影响，而
风险可以通过考虑投资者在市场中的想法使其平稳化。假设一个投资者在市场中得到Ｘ的一个真实值ｘ，这里Ｘ～Ｎ（¨，∑）。观测值记为Ｖ，可表示为一个条件分布ＶＩｘ。更一般的观测值是对市场的一个通用多元函数ｇ（ｘ），而不是直接有关市场的。因此，条件分布变成了Ｖｌｇ（ｘ）。
通常，ｇ（ｘ）＝ＰＸ，
ｙＩ仇～Ｊ７＼，（以，力），
（９）
应用Ｂａｙｅｓ法则，
ＸＩ秽～ＪＩ、ｒ（№，∑越），
’
这里
肛阻（秽，ｎ）量胪∑Ｐ’（Ｐ∑ＪＰ，＋力）一（｜Ｉ一毋）；
（１０）∑成＝∑一∑Ｐ’（Ｐ∑Ｐ，＋ｎ）一Ｐ∑。（１１）
３．单指数和多指数模型
解决这个问题最有名的模型是对协方差矩阵指定一些结构的单指数模型（Ｓｈａｒｐｅ，１９“）。因为股票价格与市场有共同联动作用，建立一个与股票价格共同移动的系统对于观察数据是有积极意义的。
一４４、
这一想法可归结为如下的回归模型：
尺产０ｃｉ弗厌一岛。
（１２）
设叮２ｍ和叮乞分别代表Ｒ。和８ｉ的方差，则资金ｉ的方差为ｐｉ叮２ｍ＋仃乞，资金ｉ和ｊ的协方差为ｐｉｐｊ盯２ｍ。
多指数模型（Ｒｏｓｓ，１９７６）即包含多个可以影响资产价格的因素。即：
尺产ａ州岛ＪＺＪ弗Ｊ才…鹕∥—毋。
１．４随机矩阵理论
（１３）
当数据维数很大的时候统计效率将大大降低，经典极限理论不再适用。大维随机矩阵研究了当维数和样本量成比例增加时随机矩阵的极限谱分布。从而产生了处理上述问题的一些可行办法。下面介绍一下随机矩阵中的相关概念。
在我们的分析中，样本协方差矩阵在检验这类数据中扮演了非常重要的角色。假设｛瓠，（ｊ＝ｌ，…，ｐ；ｋ＝１，…，ｎ）｝是一组双指标数据集，他们是独立同分布的复随机变量，均值为０方差为仃２。设ｘ。＝（ｘ。ｋ＇．“，ｘＤｋ）７，Ｘ＝（ｘｌ’．一，ｘ。）。则样本方差Ｓ为
Ⅳ
ｓ＝｝∑（菇。＿－）（石。ｉ）ｒ
¨７‘２』
（１４）
这里戈＝乞戈＾／ｎ。
＾＝Ｊ
（１５）
假设上面定义的样本方差Ｓ的特征根为｛～．ｊ＝１，…，ｐ｝。如果所有的特征根都是实的，则样本方差矩阵Ｓ的经验谱分布Ｆ丐定义为
Ｂ（髫）＝｝孝Ｕｓｐ？～≤，｝。
，
（１６）
这里样Ｅ为集合Ｅ所含元素的个数。在介绍有关经验谱分布定理之前。我们定义Ｍａｒｃｅｎｋｏ—Ｐａｓｔｕｒ（ＭＰ）（Ｍａｒｃｅｎｋｏ—Ｐａｓｔｕｒ，１９６７）分布。
定义１设ｙ为维数与样本之比，ｐ／ｎ，ｃｒ２为尺度参数。ＭＰ分布定义如下：１．如果ｙ≤ｌ，那么ＭＰ分布Ｒ（ｘ）对应的密度函数为：
ｐ，（戈）：｛荔焉矿、／∞叫Ｈ护∞矿ａ电＜６
ｌＤ
这里口＝ｃｒ２（Ｊ一、／ｙ）２，６＝矿（Ｊ＋、／），）２。
（１７）
（１８）
２．如果ｙ＞ｌ，那么Ｆｙ（ｘ）在原点处权重为１—１／ｙ，其余权重１／ｙ分布在区间（ａ，ｂ）上，对应密度为上面的ｐ，（ｘ）。
下面我们就样本方差矩阵的经验谱分布给出如下定理。
定理ｌ设｛ｘｊｋ，（ｊ＝１，…，ｐ；ｋ＝１，…，ｎ）｝为一组独立同分布随机样本，均值为０，方差为ｃｒ２。如果ｐ／一
ｙ∈（０，∞），那么依概率ｌ有，（１６）定义的经验谱分布Ｐ渐进收敛于ＭＰ分布。
总体方差一致时，样本方差的特征根分布于（１一、／歹）２，（１＋、／丁）２之间。如ｎ＝５００我们有
ｐ５３００
ｐ／ｎ０．０１Ｏ．６
Ｉｎｔｅｒｖａｌ
（０．８ｌ。１．２１）（０．０５，３．１４）
定理２设｛ｘｊｋ，（ｊ＝１，…，ｐ；ｋ＝ｌ，…，ｎ）｝是一组独立同分布样本，均值为０，方差为ｃｒ２。Ｓ为样本方差，
有ｎ个随机变量｛（ｘ－ｋ’．”，ｘｐｋ）’｝计算得到。如果ｐ／ｎ１∈（Ｏ，∞），那么依概率１有，Ｓ的最大特征根趋近
一４５—
于ｂ＝仃２（１＋、／ｙ）２，另外
１．如果ｙｓ１，ｓ的最小样本特征根趋近于口＝ｃｒ２（１一、／丁）２；
２．如果ｙ＞ｌ，则ｓ的第ｐ—ｎ＋１个最小特征根趋近于ｏ＝ｃｒ２（１一、／丁）２。
１．５Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法
Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ方法由Ｅｆｒｏｎ于１９７９年最先提出，是一个重复抽样的方法。在寻找近似数据进行计算非常困难或不可能的时候，这一方法有许多特别的应用。对于ｂｏｏｔｓｔｒａｐ主要有两种方法，一种是非参数方法，另外一种是参数方法。非参数ｂ００ｔｓｔｒａｐ方法的基本想法是用经验分布代替未知总体分布。给定一组样本，他由ｎ个独立同分布的随机变量ｘＩ’．一，ｘ。组成。然后对未知参数得到一个真实的估计值ｅ（ｘｌ，．一，ｘ。），记为６。现在以样本ｘ１，．一，ｘｎ经验分布为初始分布，抽取样本ｘ＋Ｉ，－一，ｘ＋。，依照上面
得到６的办法我们可以得到６。。
２
２．１
Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正估计量
Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正估计
Ｂ００ｔｓｔｒａｐ校正估计由Ｂａｉ，Ｈｕ，ａｎｄＷｏｎｇ（２００９ａ）最先提出。假设Ｘ＝｛Ｘ１，．一，Ｘ。｝是一组来自总体的样本，Ｘ＋＝｛ＸＩ’．”，Ｘ。。｝为以Ｘ为总体的样本。对于每组新样本我们都可以计算样本均值Ｘ＋和样本协方差矩阵Ｓ＋。然后取平均作为我们的ｂｏｏｔｓｔｒａｐ均值和ｂｏｏｔｓｔｍｐ协方差矩阵。接下来将他们带人到问题（１．１）中的理论结果即得到ｂｏｏｔｓｔｍｐ
ｐｌｕｇ—ｉｎ资产组合与回报的估计，ｅ＋基＋，。则我们有
（１９）
型二＝丝一ａ等詹。幺，＋上（蠢，一袁＊，）。ａ
爰，胡
定理３设Ｙ１＇．“，Ｙ。是ｎ个独立同分布的ｐ维向量，均值为零，方差为单位阵。设ＸＴ－斗＋∑１呵ｉ，这
里灿为未知的ｐ维向量，∑是一个未知的ｐ×ｐ矩阵。并且Ｙｊ的任意元素都有有限四阶矩。同时当ｐ／ＩＰ
ｙ∈（Ｏ，１）时，有
些至：丝．—锄，』盟＿锄，』竺二ｔ一匈
满足口。妒如Ｏ。那么，依概率ｌ有，
（２０）
Ｖ面＞２溉善竺：订，国＜Ｄ，
ｌｉｍ』Ｌ：
一＊、／丁
嘞、卢丕硒＞ｚ砌』当：嘞、／血咝！二夏，其他
Ｖ
””Ｖ
ｎ
（２１）
ｎ２，Ｐ。、／ｎ
Ｖｃ１２
这里ｙ＝一奶（咖击＞咖＝ｃｒ２（Ｊ一汀）２＇６＝柙＋盯圪
资产组合：ｂ和ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正资产回报食ｂ，
（２２）
定理４在定理３的条件下，利用上面描述的ｂｏｏｔｓｔｒａｐｐｌｕｇ－ｉｎ估计可以得到相应的ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正
色：岛＋—圭：（岛一ｅ★ｐ），
Ｖ
＾
＾
（２３）（２４）
风胡，＋七（尺，胡。，）。
，
＾
＾．
ｙ
Ｖ７
—４６～
马科维茨均值方差准则的应用
这里ｅ，，ｅ＋，分别为ｐｌｕｇ—ｉｎ和ｂｏｏｔｓｔｒａｐｐｌｕｇ—ｉｎ资产分配。矗，，食＋，分别为他们相应ｐｌｕｇ—ｉｎ和ｂｏｏｔｓｔｒ印ｐｌｕｇ—ｉｎ资产回报。＾ｙ由定理４给出。
２．２模拟结果
在这一部分，通过模拟我们展示了Ｒ“和众是优于氏，和：，估计的。这里我们定义ｄＲｂｔ，）＝ｌ矗ｂ（ｐ广Ｒｌ，ｄｃｂ。，，＝ｌｌ＆。，广ｃＩ。对ｎ＝５００，ｐ＝１００，２００，３００计算ｄＲｂ。。，和ｄｃｂｃ。，，模拟３０次。结果见图２：
婚．．
ｏ‘＿
ｏ
ｏ
图２模拟数量
实线表示ｄＲｂ（ｄｃｂ）；虚线表示ｄＲｐ（ｄｃＰ）
从这个图，我们看到对每种情况我们都有ｄＲｂ（以）小于ｄＲｐ（ｄｃｐ）。这说明利用ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正方法得到
的估计在估计理论结果时比ｐｌｕｇ—ｉｎ方法要好。而且当ｐ增加时’ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正方法的优势更加明显。
图３是比较ｄＲｂ（ｄｃｂ）和ｄＲｐ（ｄｃｐ）的ＭｓＥ。在下图中ｄＲｂ（ｄ。ｂ）的ＭｓＥ大大小于ｄＲｐ（ｄｃｐ）的ＭｓＥ。这也进
一步说明ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正方法的优越性。
图３资产数量
实线表示ｄＲｐ（ｄｃｐ）；虚线表示ｄＲｂ（ｄｃｂ）
最后这个图是对比ｐｌｕｇ—ｉｎ回报与ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正回报。在这里ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正回报远没有ｐｌｕｇ—ｉｎ回报大。
一４７一
马科维茨均值方差准则的应用
图４回报值
实线表示ｐｌｕｇ—ｉｎ回报；虚线ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正回报左中右图对应ｍ＝１，１０，１００
３Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正估计量的渐进性
３．１假设检验
为了对预期收益进行假设检验，我们设定：
％？尺胡Ｄ日Ｊ：Ｒ＝６帜Ｄ。
（２５）
这里ｂ是任意非零常数。为了检验上面的假设问题，我们给出如下定理。
定理５设ｎ个随机变量Ｘｌ＇．“，Ｘ。具有相同的ｐ×１均值向量，相同的ｐ×ｐ协方差矩阵，及有限４阶矩。同时当ｐ／ｎ－１∈（Ｏ，１）时，有
些丝飞，型飞，堡生飞
则最优回报凡和相应ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正估计在原假设下有：
（２６）
袁・一订Ｒ旷Ⅳ（Ｄ，（Ｊ７）（“盖）ｃｒ２），
在备择假设下有：
（２７）
詹６一订Ｒ旷Ⅳ（６，（Ｊ叫）（Ｊ＋盖）ｃｒ２）。
３．２模拟结果
（２８）
下面就检验问题（２５）进行模拟运算。这里我们对均值斗在原假设和被择假设下加以限制，以便在这两种情况下预期利润的差异等于一个标准差值。这里理论势和相应的第一类错误分别为Ｏ．１７和０．０５。样本量ｎ从２５０增加到１０００。重复次数为５００。结果如下：
模拟势
ｎ＝２５０
ｙ０．１０．２０．３Ｏ．４
ｎ＝５００
ｐｏｗｅｏＯ．１８２０．２００Ｏ．１９３Ｏ．１８６
ｎ：１０００
ｐｏｗｅ‘０．１７６Ｏ．１８５０．１７８０．１６５
Ｒ０
７．１０９．８４１４．７５１６．５ｌ
ＲＩ７．４４１０－３４１５．５５１７．４７
ｆＩｏ
１０．１４１５．１１１９－３８２２．００
Ｒｌ１０．４８１５．６５２０．１２２２．９１
凡
１３．４ｌ２２．３５２２．００２９．６９
Ｒｌ１３．７３２２．９ｌ２２．９１３０．５６
ｐｏｗｅｒ‘Ｏ．１６７Ｏ．１８０Ｏ．１６５Ｏ．１７６
—４８—
冯科维茨均值方差准则的应用
模拟第一类错误
ｎ＝２５０
ｙ０．１０．２Ｏ．３Ｏ．４
ｎ＝５００
ｐｏｗｅｒ０．０６ｌ０．０５７Ｏ．０５６Ｏ．０５０
ｎ＝１０００
ｐｏｗｅｒＯ．０５３０．０５９０．０５６Ｏ．０５６
凡
８．１７９．９０１３．３０１４．１０
Ｒ１８．５６１０．４０１４．０１１４．９３
凡
９．３３１６．１１１８．８５２０．０２
Ｒｌ９．６４１６．６９１９．５６２０．８５
Ｒｏ
１６．２３２０１８３２４．３９２９．９３
Ｒｌ１６．６ｌ２１．３５２５．０５３０．８０
ｐｏｗｅｒ０．０６００．０５５０．０３７Ｏ．０４９
从这两个表我们可以看到（１）模拟值和理论值是很接近的；（２）样本量越大，模拟值越接近理论值。
结
论
在这里我们理论证明了当资产数目较大时ｐｌｕｇ—ｉｎ回报总是大于理论回报的。通过构建ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正估计量更好的估计了理论最优回报。我们进一步给出了ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正估计量的渐进性。
可以考虑最优投资组合其权重为非负限制的情况，因为有事卖空是不可执行的或执行起来花费过大的。可以考虑解决给定回报条件下风险最小化问题。可以考虑放宽独立性
条件使ＭＶ理论的应用更实际。
另外，这里介绍的ｂｏｏｔｓｔｒａｐ校正估计虽然在资产利润估计的上表现优异，但在风险方面做的却并不好。下面的工作我们考虑通过估计总体方差特征根的方式改善总体方差的估计，从而得到更好的资产组合，使其在风险最小的同时对应的资产利润也最接近理论最优值。
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Ｂａｉ
Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ
Ｍｅａｎ—Ｖａｒｉａｎｃｅ
Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ
Ｚｈｉｄｏｎｇ，ＬｉＨｕａ，
ｆｏｒｔ｝Ｉｅ
ＨｕａｎｇＹｏｎｇｑｉａｎｇ
ｏｐｔｉｍａｔｉｏｎ
ｓｏｍｅ
ｈａｓ
ｂｅｅｎ
ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄｉｎ
ｔｏ
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ｆ而ｍ
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ｉｔｓ
ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ
ｏｐｔｉｍａｌ
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ｄｅｐａｒｔ
ｒｅｔｕｍ．Ｆ０ｒｔｈｉｓ
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ｒｅｃｅｎｔ
ｙｅａｒｓ．
ｄｅｖｅＩｏｐ
ｎｅｗ
ｂｏｏｔｓｔｒａｐ—ｃｏｒｒｅｃｔｅｄｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｓｆｏｒｔ｝ｌｅ
ａｒｅ
ｏｐｔｉｍ“ｒｅｔｕｍ
ｔｈｅｉｒ
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ａｎｄｐｒｏＶｅｔｈａｔｔｈｅｓｅ
ｒｅｓｕｌｔｓ
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ｂ００ｔｓｔｍｐ—ｃｏｒｒｅｃｔｅｄｆｕｒｔｈｅｒ
ｅｓｔｉｍａｔｅｓ
ｐｍｐｏｒｔｉｏｎａＵｙｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ
ｗｈｉｃｈｓｈｏｗ
ｔｈａｔ
ｔｈｅ
ｗｉｍｍｅｏｒｅｔｉｃ
ｃｏｕｎｔｅｒｐａｒｔｓ．
０ｕｒｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｐｒｏｂｌｅｍｃｏｕｌｄｂｅ
ｃｏｎｆｉ珊ｅｄ
ｂｙ
ｏｕｒ
ｂｙ
ｏｕｒ
ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ，
ｅ８ｓｅｎｃｅ
ｏｆｔｈｅｐｏｒⅡｏｌｉｏａｎａｌｙｓｉｓ
ａｄｅｑｕａｔｅｌｙ
ｃａｐｔｕＩｅｄ
Ｋｅｙ
ｐＩ＿０ｐｏｓｅｄａｐｐｒＤａｃｈ．
ｗｏｒｄｓ：ｍａｒｋｏ埘ｔｚ；ｐｏｒｄｂｌｉｏ；Ｍｅａｎ—Ｖａ＾ａｎｃｅ；ｐｒａｃｔｉｃａｌｕｓａｂｌｅ
（责任编校：窦然）
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