保 守 力 及 其 性 质
曹瑞廷
随着“应试教育”向素质教育模式的转轨，高考也由知识立意向能力立意转化，中学物理教学的要求已经变得越来越高了。中学物理的教学过程中，让学生掌握获取知识的方法、拓宽思维的深度和广度，是教学中的一个重要任务。特别是高三复习中，教师应对每个知识点的来龙去脉，对每个知识点的发生、发展过程，预以足够的重视，做到以新型的行为交往模式，使学生摆脱机械的知识接受器的学习模式，开启思维的通道，把前后知识联系起来，找到某些知识点的共同点，达到复习、巩固、提高能力的目的。
在中学物理中，力可以按效果或性质来分类，在高三复习中，我们可以引导学生研究重力、电场力、万有引力、分子力、弹簧的弹力、核力等，从中可以发现这些力有一个共同的特点，即力所做的功仅仅依赖于受力质点的始末位置，与质点经过的路径无关。我们把具有这种性质的力称为保守力。而像摩擦力等则不具有上述特点，称为非保守力。
一、 保守力做功与路径无关，只跟起点和终点的位置有关的证明 1、
重力的功
设一个质量为m 的物体，从高度为h 1的A 点自由下落到高度为 h 2的B 点，再水平移到C 点。物体在水平移动过程中，重力对物体并不做功，所以在整个过程
中，重力对物体所做的功，就等于物体由A 点自由下落到B 点的过程中重力所做的功。
W G =mgh1-mgh 2
如果让这个物体沿着斜面AC 滑下，从原来高度为h 1的A 点滑到高度为h 2的C 点，物体沿斜面滑下的距离是S ，重力所做的功是：
W G =mgsinθ S=mg△h=mgh1-mgh 2
我们看到，物体由起点A 到终点C ，不论沿折线ABC ，还是沿着斜面AC ，重力所做的功仍然是：
W G =mgh1-mgh 2
这就是说，重力对物体所做的功只跟起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
2、
静电场力的功
如图所示，在匀强电场中，有A 、B 、C 三点，其中A 的电势为U A ，B 、C 两点的电势分别为U B 、U C 且U B =UC 。
设将电量为q 的正电荷从A 点移到B 点，再移到C 点，在整个过程中电场力做功为：
W=WAB +WBC =qEd+0=q(UA -U B )=qUA -qU B =qUA -qU C 如果让这个电荷沿斜线AC 移动，电场力做功为 W=qEScosθ=qEd=qUA -qU C
可以证明，不论电荷q 是正是负，不论沿斜线AC 移动，还是沿着折线ABC 移动，电场力做的功总是相等的。
可以证明，这个电荷沿任一路径从A 移到C ，电场力做的功总为： W=qEScosθ=qEd=qUA -qU C
同样可以证明，在非匀强电场中上述关系也是成立的。
这就是说，电场力对移动电荷所做的功只跟起点和终点的位置有关，与移动的路径无关。
3、
可以证明万有引力、分子力、弹簧的弹力与重力、电场力一样，
都具有共同的特点，即：保守力所做的功仅仅依赖于受力质点的始末位置，与质点经过的路径无关。
二、 保守力总是与一定形式的势能相对应
对保守力来说，若受力质点始末位置一定，则力所做的功便唯一确定，与路径无关。这样就存在一个由相对位置决定的势能。当质点由初始位置移到末位置时，势能的增量等于力所做功的负值。即：力做的功等于势能的减少量。公式表达为：
W=-△E p =－( Ep2 –Ep 1) 或W = Ep 1 –Ep 2 三、 应用
例1：小球质量m=0.5kg，由高度为H=20m的高台上以初速度V 0=20m/s与方向成θ=60°角斜向上抛出，若空气阻力不计，小球落地时速度多大？（g=10m/s2）
解：小球运动中只受重力作用，根据动能定理：
W G =
1
2
m ν
2
-
12
m ν0
2
由于重力做的功等于重力势能增量的负值。
W G = mgH-0=mgH 所以
ν=0+2gH =
2
20
2
+2⨯10⨯20m /s =28. 3m /s
例2：如图所示，一质量为m ，带电量为-q 的小物体, 可在水平轨道OX 上运动,O 端有一与轨道垂直的固定墙。轨道处于匀强电场中，场强大小为E ，方向沿OX 轴正
方向。小物体以初速度
V 0从X 0点沿OX 轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力f 的作用，且〈f qE ，设小物体与墙碰撞时不损失机械能，且电量保持不变，试求它在停止运动前所通过的总路程S 多大？
解：小物体在水平方向受到电场力和摩擦力的作用。当它向左运动时，电场力向左而摩擦力向右，且电场力大于摩擦力，它做匀加速直线运动；当它向右运动时，电场力和摩擦力均向左，它做匀减速直线运动。
由上述分析可知，当它向左加速运动，遇到墙时发生碰撞，改变为向右做减速运动，直到速度减为零。然后又向左加速运动，遇墙又碰撞，变为向右做减速运动，这样反复不止，但因存在摩擦力，向右运动的最大距离一次比一次小，直到为零。
由于电场力做功与路径无关，所以电场力做功为qEX 0 。摩擦力做功与路径有关，因而摩擦力做功为μmgS 。根据动能定理有：
qEx
-μmgS =0-
12
m ν0
2
整理得：
S =
2qEx
+
m ν
2
2f
例3、两个分子甲和乙相距较远（此时它们之间的分子力可忽略），设甲固定不动，乙逐渐向甲靠近直到不能靠近的整个过程中，分子力对乙分子的做功情况是 。两分子的势能变化情况是 。
解：根据分子力做功的特点，可知：先做正功，后做负功。热能先减小后增大。
例4、水平放置的平行金属板A 、B 间形成匀强电场。一带电油滴以初速度V 0从某一角度射入电场区，如图所示，已
知油滴的质量为m ，电量为+q 。试求：（1）油滴进入电场区后做速度为V 0
的匀速直线运动且油滴始终未与A 板相碰，求该电场区场强大小和方向？（2）当油滴运动到距B 板h 处时，突然场强减为原来的三分之一，油滴打在B 板上的末速度为多大？
解：（1）因为匀速直线运动，所以油滴所受合力为零，即：
F 电= mg ∴场强方向向上 F 电 = qE ∴E =
F 电q =mg q
（2）当E ′= E/3 时，合力方向竖直向下，油滴做类平抛运动。 根据动能定理，得：
mgh -
13qEh =
12mV
2
-
12
mV 0
2
整理以上两式，得：
V =
0+
2
43
gh
通过以上例题可以看出，在曲线运动中，这类力做功是无法用功的定义直接求出，而利用这类力做功等于势能的减少量可以很方便求出。这样，不仅增加学生对这些知识点融会贯通，达到复习目的。也使学生掌握了一种学习的方法，提高了学习的能力。
山西平阳机械厂中学
保 守 力 及 其 性 质
曹瑞廷
随着“应试教育”向素质教育模式的转轨，高考也由知识立意向能力立意转化，中学物理教学的要求已经变得越来越高了。中学物理的教学过程中，让学生掌握获取知识的方法、拓宽思维的深度和广度，是教学中的一个重要任务。特别是高三复习中，教师应对每个知识点的来龙去脉，对每个知识点的发生、发展过程，预以足够的重视，做到以新型的行为交往模式，使学生摆脱机械的知识接受器的学习模式，开启思维的通道，把前后知识联系起来，找到某些知识点的共同点，达到复习、巩固、提高能力的目的。
在中学物理中，力可以按效果或性质来分类，在高三复习中，我们可以引导学生研究重力、电场力、万有引力、分子力、弹簧的弹力、核力等，从中可以发现这些力有一个共同的特点，即力所做的功仅仅依赖于受力质点的始末位置，与质点经过的路径无关。我们把具有这种性质的力称为保守力。而像摩擦力等则不具有上述特点，称为非保守力。
一、 保守力做功与路径无关，只跟起点和终点的位置有关的证明 1、
重力的功
设一个质量为m 的物体，从高度为h 1的A 点自由下落到高度为 h 2的B 点，再水平移到C 点。物体在水平移动过程中，重力对物体并不做功，所以在整个过程
中，重力对物体所做的功，就等于物体由A 点自由下落到B 点的过程中重力所做的功。
W G =mgh1-mgh 2
如果让这个物体沿着斜面AC 滑下，从原来高度为h 1的A 点滑到高度为h 2的C 点，物体沿斜面滑下的距离是S ，重力所做的功是：
W G =mgsinθ S=mg△h=mgh1-mgh 2
我们看到，物体由起点A 到终点C ，不论沿折线ABC ，还是沿着斜面AC ，重力所做的功仍然是：
W G =mgh1-mgh 2
这就是说，重力对物体所做的功只跟起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
2、
静电场力的功
如图所示，在匀强电场中，有A 、B 、C 三点，其中A 的电势为U A ，B 、C 两点的电势分别为U B 、U C 且U B =UC 。
设将电量为q 的正电荷从A 点移到B 点，再移到C 点，在整个过程中电场力做功为：
W=WAB +WBC =qEd+0=q(UA -U B )=qUA -qU B =qUA -qU C 如果让这个电荷沿斜线AC 移动，电场力做功为 W=qEScosθ=qEd=qUA -qU C
可以证明，不论电荷q 是正是负，不论沿斜线AC 移动，还是沿着折线ABC 移动，电场力做的功总是相等的。
可以证明，这个电荷沿任一路径从A 移到C ，电场力做的功总为： W=qEScosθ=qEd=qUA -qU C
同样可以证明，在非匀强电场中上述关系也是成立的。
这就是说，电场力对移动电荷所做的功只跟起点和终点的位置有关，与移动的路径无关。
3、
可以证明万有引力、分子力、弹簧的弹力与重力、电场力一样，
都具有共同的特点，即：保守力所做的功仅仅依赖于受力质点的始末位置，与质点经过的路径无关。
二、 保守力总是与一定形式的势能相对应
对保守力来说，若受力质点始末位置一定，则力所做的功便唯一确定，与路径无关。这样就存在一个由相对位置决定的势能。当质点由初始位置移到末位置时，势能的增量等于力所做功的负值。即：力做的功等于势能的减少量。公式表达为：
W=-△E p =－( Ep2 –Ep 1) 或W = Ep 1 –Ep 2 三、 应用
例1：小球质量m=0.5kg，由高度为H=20m的高台上以初速度V 0=20m/s与方向成θ=60°角斜向上抛出，若空气阻力不计，小球落地时速度多大？（g=10m/s2）
解：小球运动中只受重力作用，根据动能定理：
W G =
1
2
m ν
2
-
12
m ν0
2
由于重力做的功等于重力势能增量的负值。
W G = mgH-0=mgH 所以
ν=0+2gH =
2
20
2
+2⨯10⨯20m /s =28. 3m /s
例2：如图所示，一质量为m ，带电量为-q 的小物体, 可在水平轨道OX 上运动,O 端有一与轨道垂直的固定墙。轨道处于匀强电场中，场强大小为E ，方向沿OX 轴正
方向。小物体以初速度
V 0从X 0点沿OX 轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力f 的作用，且〈f qE ，设小物体与墙碰撞时不损失机械能，且电量保持不变，试求它在停止运动前所通过的总路程S 多大？
解：小物体在水平方向受到电场力和摩擦力的作用。当它向左运动时，电场力向左而摩擦力向右，且电场力大于摩擦力，它做匀加速直线运动；当它向右运动时，电场力和摩擦力均向左，它做匀减速直线运动。
由上述分析可知，当它向左加速运动，遇到墙时发生碰撞，改变为向右做减速运动，直到速度减为零。然后又向左加速运动，遇墙又碰撞，变为向右做减速运动，这样反复不止，但因存在摩擦力，向右运动的最大距离一次比一次小，直到为零。
由于电场力做功与路径无关，所以电场力做功为qEX 0 。摩擦力做功与路径有关，因而摩擦力做功为μmgS 。根据动能定理有：
qEx
-μmgS =0-
12
m ν0
2
整理得：
S =
2qEx
+
m ν
2
2f
例3、两个分子甲和乙相距较远（此时它们之间的分子力可忽略），设甲固定不动，乙逐渐向甲靠近直到不能靠近的整个过程中，分子力对乙分子的做功情况是 。两分子的势能变化情况是 。
解：根据分子力做功的特点，可知：先做正功，后做负功。热能先减小后增大。
例4、水平放置的平行金属板A 、B 间形成匀强电场。一带电油滴以初速度V 0从某一角度射入电场区，如图所示，已
知油滴的质量为m ，电量为+q 。试求：（1）油滴进入电场区后做速度为V 0
的匀速直线运动且油滴始终未与A 板相碰，求该电场区场强大小和方向？（2）当油滴运动到距B 板h 处时，突然场强减为原来的三分之一，油滴打在B 板上的末速度为多大？
解：（1）因为匀速直线运动，所以油滴所受合力为零，即：
F 电= mg ∴场强方向向上 F 电 = qE ∴E =
F 电q =mg q
（2）当E ′= E/3 时，合力方向竖直向下，油滴做类平抛运动。 根据动能定理，得：
mgh -
13qEh =
12mV
2
-
12
mV 0
2
整理以上两式，得：
V =
0+
2
43
gh
通过以上例题可以看出，在曲线运动中，这类力做功是无法用功的定义直接求出，而利用这类力做功等于势能的减少量可以很方便求出。这样，不仅增加学生对这些知识点融会贯通，达到复习目的。也使学生掌握了一种学习的方法，提高了学习的能力。
山西平阳机械厂中学