第62讲 空间向量概念及其运算
【考点解读】
1. 了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 掌握空间向量的线性运算.
2. 掌握空间向量的数量积概念，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直；理解直线的方向向量.
3. 掌握空间向量的坐标表示及其运算.
4. 学会借助向量的坐标运算来证明线线垂直、线面垂直及直线与直线所成的角的计算.
【知识扫描】
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有(2) 向量相等：方向且长度．(3) 向量加法法则：(4) 向量减法法则：(5) 数乘向量法则：2．线性运算律
(1) 加法交换律：a ＋b ＝(2) 加法结合律：(a ＋b ) ＋c ＝(3) 数乘分配律：λ(a ＋b ) ＝．3．共线向量
(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 ．
(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0) ，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ．(3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在t ∈R ，使 ．4．共面向量
(1) 共面向量：平行于 的向量．
(2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(x , y ) ，使共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理
(1) 空间向量的基底：的三个向量．
(2) 空间向量基本定理：如果a ，b ，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p ，存在
一个唯一的有序实数组x , y , z ，使 ．
空间向量基本定理的推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组x , y , z ，使 ．
6．空间向量的数量积
(1) 空间向量的夹角：(2) 空间向量的长度或模：(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a 、b ，则a ·b ＝空间向量的数量积的常用结论：(a) cos〈a 、b 〉＝
(b) ⎪a ⎪2＝ ；
(c) a ⊥b ⇔(4) 空间向量的数量积的运算律：(a ) 交换律a ·b ＝ (b ) 分配律a ·(b ＋c ) ＝ 设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3)
(1) a ±b ＝(2) λa ＝． (3) a ·b ＝
(4) a ∥b ⇔a ⊥b ⇔ (5) 设A =(x 1, y 1, z 1), B =(x 2, y 2, z 2)
则＝ ，AB =． AB 的中点M 的坐标为
【考计点拨】
牛刀小试：
1．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列4种说法：
①点P 关于x 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点的对称点的坐标是（－x ，－y ，－z ） 其中正确的个数是 A ．3
B ．2
C ．1
（ ） D ．0
解析：选C.
2．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD
→→→→
的交点，若A 1B 1＝a ，A 1D 1＝b ，A 1A ＝c ，则下列向量中与B 1M 相等的向量是( )
11
A ．－a ＋b ＋c
2211
B. a ＋b ＋c 2211
C. a －b ＋c 22
11
D ．－a －b ＋c
22
→→→→1→→
解析：选A. B 1M ＝B 1B ＋BM ＝A 1A ＋(BA ＋BC )
2
→1→→111
＝A 1A ＋(B 1A 1＋A 1D 1) ＝c ＋(－a ＋b ) ＝－a ＋c .
2222
→→
3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM ，D 1N 〉的值为( )
14A. B. 5 9922C. 5 93
解析：选B. 设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x
→
轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，可知CM ＝(2，
→
－2,1) ，D 1N ＝(2,2，－1) ，
→1→
cos 〈CM ，D 1N
9
→4→
sin 〈CM ，D 1N 〉＝B.
9
4．A (1,0,1)，B (4,4,6)，C (2,2,3)，D (10,14,17)这四个点__________(填共面或不共面) ．
→→→
解析：AB ＝(3,4,5)，AC ＝(1,2,2)，AD ＝(9,14,16)， →→→设AD ＝xAB ＋yAC .
即(9,14,16)＝(3x ＋y, 4x ＋2y, 5x ＋2y ) ， ⎧x ＝2，⎪∴⎨从而A 、B 、C 、D 四点共面． ⎪⎩y ＝3，答案：共面
5．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．
→1→1→
(1)化简：A 1O ；
22
→2→→→→
(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE ＝DD 1，若EO ＝xAB ＋yAD
3
→
＋zAA 1，试求x 、y 、z 的值．
→→→
解：(1)∵AB ＋AD ＝AC ，
→1→1→→1→→∴A 1O AB －AD ＝A 1O －AB ＋AD )
222→1→→→→＝A 1O AC ＝A 1O －AO ＝A 1A .
2
→→→2→1→(2)∵EO ＝ED ＋DO ＝1D ＋DB
32
2→1→→＝D 1D DA ＋AB ) 32
2→1→1→＝A 1A ＋DA ＋AB 3221→1→2→＝AB －－1， 223112∴x y z ＝－.
223
典例分析
考点一：空间向量的概念与运算
例1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下面给出四个命题： →→→→
①|A 1A ＋A 1D 1＋A 1B 1|2＝3|A 1B 1|2； →→→②A 1C ·(A 1B 1－A 1A ) ＝0；
→→
③AD 1与A 1B 的夹角为60°；
→→→
④此正方体体积为|AB ·AA 1·AD |.
则错误命题的序号是________(填出所有错误命题的序号) ．
→→→→→
解析：①∵|A 1A ＋A 1D 1＋A 1B 1|＝|A 1C |＝3|A 1B 1|， ∴正确；
→→→→→②∵A 1C ·(A 1B 1－A 1A ) ＝A 1C ·AB 1，
→→
由三垂线定理知A 1C ⊥AB 1，∴正确；
→→→→
③AD 1与A 1B 两异面直线的夹角为60°，但AD 1与A 1B 的夹角为120°，A 1B ＝D 1C ，注意方向．
→→→→→
④因为AB ·AA 1＝0，正确的应是|AB |·|AA 1|·|AD |. 答案：③④
规律小结：熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量分解定理、数量积的性质等.
变式训练1. 已知向量a ＝(1，－3,2) ，b ＝(－2,1,1) ，点A (－3，－1,4) ， B (－2，－2,2) ．
(1)求：|2a ＋b |；
→
(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE ⊥b ？(O 为原点) 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4) ＋(－2,1,1) ＝(0，－5,5) ， 故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝52. →→→→→
(2)OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋tAB ＝(－3，－1,4) ＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t, 4－2t ) ，若
9→→
OE ⊥b ，则OE ·b ＝0，所以－2(－3＋t ) ＋(－1－t ) ＋(4－2t ) ＝0，解得t ＝E ，使
5
6142→
得OE ⊥b ，此时E 点的坐标为(－．
555
考点二：空间向量基本定理
例2. 已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 、H 分别为棱A 1D 1, D 1C 1, C 1C 和AB 的中点．求
证：E 、F 、G 、H 四点共面．解：=+＝+GC 1
＝++FC 1＝A 1+FC 1+＝2+，
所以EF , EG , EH 共面，即点E 、F 、G 、H 共面．
变式训练2：如图，平行六面体AC 1中，AE ＝3EA 1，AF ＝FD ，AG ＝1GB ，过E 、F 、G 的
2
平面与对角线AC 1交于点P ，求AP:PC1的值．解：设=m 1
B AC 1=AB +BB 1+B 1C 1=AB +AA 1+AD
=3+
4
+23
∴=3m +m +2m 43
又∵E 、F 、G 、P 四点共面，∴3m +m +2m =1∴m =
3
∴AP ︰PC 1＝3︰1619
43
考点三：平行与垂直
例3. 已知四面体ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， G 、H 分别是△ABC 和△ACD 的重心．求证：(1) AD⊥BC ； (2) GH∥BD ．
证明：(1) AD⊥BC ⇔AD ⋅BC =0．因为AB ⊥CD ⇔AB ⋅CD =0，AC ⊥BD ⇔AC ⋅BD =0，而⋅=(+) ⋅(+) =0．
所以AD ⊥BC ．
=+＝(+) (2) 设E 、F 各为BC 和CD 的中点．欲证GH ∥BD ，只需证GH ∥EF 2
3
＝
2
． 3
规律小结：立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
变式训练3：正方体ABCD －EFGH 中，M 、N 分别是对角线AC 和BE 上的点，且AM ＝EN ．(1) 求证：MN ∥平面FC ； (2) 求证：MN ⊥AB ；
(3) 当MA 为何值时，MN 取最小值，最小值是多少？
解：(1) 设
NB MC
==k , 则MN =(k -1) BC +k BF . EB AC
(2) MN ⋅AB =(k -1) BC ⋅AB -k BF ⋅AB =0. (3) 设正方体的边长为a ,
=(2k 2-2k +1) a 2, 即当k =
1, 2
也即AM =
1AC 时2
=
2a 2
考点四：夹角与距离
例4. 如图，多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 所截而得，其中AB ＝4，BC ＝1，BE ＝3，CF ＝4.
(1) 求和点G 的坐标；
(2) 求GE 与平面ABCD 所成的角；
(3) 求点C 到截面AEFG 的距离．
解：(1) 由图可知：A(1，0，0) ，B(1，4，0) ， E(1，4，3) ，F(0，4，4) ∴=(-1, 0, 1) 又∵=，设G(0，0，z) ，则(－1，0，
z)
y
＝(－1，0，1) ∴z ＝1 ∴G(0，0，1) (2)平面ABCD 的法向量=(0, 0, 1).
GE =(1, 4, 2) ，设GE 与平面ABCD 成角为θ，则 cos(
π
2
-θ) =
=
221
21
∴θ=arcsin
221
21
(3)设n 0⊥面AEFG ，n 0＝(x 0，y 0，z 0)
∵n 0⊥，n 0⊥，而＝(－1，0，1) ，＝(0，4，3)
⎧x 0=z 0
⎧-x 0+z 0=03⎪
⇒⎨∴n 0=(z 0, -z 0, z 0) ∴⎨3
4⎩4y 0+3z 0=0⎪y 0=-z 0
4⎩
取z 0＝4，则n 0＝(4，－3，4) ∵=(0, 0, 4), ∴d 0=1641
41
即点C 到截面AEFG 的距离为
1641
．41
规律小结：
1．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果．
2．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角) 有时也很方便．其一般方法是将所求的
角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式c osθ
．
3．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l 1、l 2，AB 为其公垂线段，C 、D 分别为l 1、l 2上的任意一点，为与共线的向量，则｜.
4．设平面α的一个法向量为n ，点P 是平面α外一点，且P o ∈α，则点P 到平面α的距离是d .
变式训练4：如图四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且PG ＝4，AG =
1
GD ，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点． 3
(1)求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值；
(2)求点D 到平面PBG 的距离；
(3)若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求
PF
FC
的值． 解：(1)以G 点为原点，GB 、GC 、GP 为x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则B (2，0，0) ，C (0，2，0) ， P (0，0，4) ，故E (1，1，0) ，GE ＝(1，1，0) ， PC ＝(0，D
2，4) 。cos =22⋅=10， E
∴GE 与PC 所成的余弦值为10
． (2)平面PBG 的单位法向量n ＝(0，±1，0) .
∵GD =34AD =34BC =(-33
22
，0) ，
∴点D 到平面PBG 的距离为|GD ⋅n |＝3
2
.
(3)设F (0，y ，z ) ，则=(0，y ，z ) -(-32320) =32，y -3
2
，z ) 。
∵DF ⊥GC ，∴DF ⋅GC =0，
即33
2
，y -
2，z ) ⋅(0，2，0) =2y -3=0， ∴y =32 , 又PF =λPC ，即(0，3
2
，z －4) ＝λ(0，2，－4) ， ∴z =1，
故F (0，3
PF 2，1) ，PF
=(032-3) ，FC =(012，-1) ，∴
PC ==3。
第62讲 空间向量概念及其运算
【考点解读】
1. 了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 掌握空间向量的线性运算.
2. 掌握空间向量的数量积概念，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直；理解直线的方向向量.
3. 掌握空间向量的坐标表示及其运算.
4. 学会借助向量的坐标运算来证明线线垂直、线面垂直及直线与直线所成的角的计算.
【知识扫描】
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有(2) 向量相等：方向且长度．(3) 向量加法法则：(4) 向量减法法则：(5) 数乘向量法则：2．线性运算律
(1) 加法交换律：a ＋b ＝(2) 加法结合律：(a ＋b ) ＋c ＝(3) 数乘分配律：λ(a ＋b ) ＝．3．共线向量
(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 ．
(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0) ，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ．(3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在t ∈R ，使 ．4．共面向量
(1) 共面向量：平行于 的向量．
(2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(x , y ) ，使共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理
(1) 空间向量的基底：的三个向量．
(2) 空间向量基本定理：如果a ，b ，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p ，存在
一个唯一的有序实数组x , y , z ，使 ．
空间向量基本定理的推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组x , y , z ，使 ．
6．空间向量的数量积
(1) 空间向量的夹角：(2) 空间向量的长度或模：(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a 、b ，则a ·b ＝空间向量的数量积的常用结论：(a) cos〈a 、b 〉＝
(b) ⎪a ⎪2＝ ；
(c) a ⊥b ⇔(4) 空间向量的数量积的运算律：(a ) 交换律a ·b ＝ (b ) 分配律a ·(b ＋c ) ＝ 设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3)
(1) a ±b ＝(2) λa ＝． (3) a ·b ＝
(4) a ∥b ⇔a ⊥b ⇔ (5) 设A =(x 1, y 1, z 1), B =(x 2, y 2, z 2)
则＝ ，AB =． AB 的中点M 的坐标为
【考计点拨】
牛刀小试：
1．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列4种说法：
①点P 关于x 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点的对称点的坐标是（－x ，－y ，－z ） 其中正确的个数是 A ．3
B ．2
C ．1
（ ） D ．0
解析：选C.
2．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD
→→→→
的交点，若A 1B 1＝a ，A 1D 1＝b ，A 1A ＝c ，则下列向量中与B 1M 相等的向量是( )
11
A ．－a ＋b ＋c
2211
B. a ＋b ＋c 2211
C. a －b ＋c 22
11
D ．－a －b ＋c
22
→→→→1→→
解析：选A. B 1M ＝B 1B ＋BM ＝A 1A ＋(BA ＋BC )
2
→1→→111
＝A 1A ＋(B 1A 1＋A 1D 1) ＝c ＋(－a ＋b ) ＝－a ＋c .
2222
→→
3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM ，D 1N 〉的值为( )
14A. B. 5 9922C. 5 93
解析：选B. 设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x
→
轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，可知CM ＝(2，
→
－2,1) ，D 1N ＝(2,2，－1) ，
→1→
cos 〈CM ，D 1N
9
→4→
sin 〈CM ，D 1N 〉＝B.
9
4．A (1,0,1)，B (4,4,6)，C (2,2,3)，D (10,14,17)这四个点__________(填共面或不共面) ．
→→→
解析：AB ＝(3,4,5)，AC ＝(1,2,2)，AD ＝(9,14,16)， →→→设AD ＝xAB ＋yAC .
即(9,14,16)＝(3x ＋y, 4x ＋2y, 5x ＋2y ) ， ⎧x ＝2，⎪∴⎨从而A 、B 、C 、D 四点共面． ⎪⎩y ＝3，答案：共面
5．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．
→1→1→
(1)化简：A 1O ；
22
→2→→→→
(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE ＝DD 1，若EO ＝xAB ＋yAD
3
→
＋zAA 1，试求x 、y 、z 的值．
→→→
解：(1)∵AB ＋AD ＝AC ，
→1→1→→1→→∴A 1O AB －AD ＝A 1O －AB ＋AD )
222→1→→→→＝A 1O AC ＝A 1O －AO ＝A 1A .
2
→→→2→1→(2)∵EO ＝ED ＋DO ＝1D ＋DB
32
2→1→→＝D 1D DA ＋AB ) 32
2→1→1→＝A 1A ＋DA ＋AB 3221→1→2→＝AB －－1， 223112∴x y z ＝－.
223
典例分析
考点一：空间向量的概念与运算
例1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下面给出四个命题： →→→→
①|A 1A ＋A 1D 1＋A 1B 1|2＝3|A 1B 1|2； →→→②A 1C ·(A 1B 1－A 1A ) ＝0；
→→
③AD 1与A 1B 的夹角为60°；
→→→
④此正方体体积为|AB ·AA 1·AD |.
则错误命题的序号是________(填出所有错误命题的序号) ．
→→→→→
解析：①∵|A 1A ＋A 1D 1＋A 1B 1|＝|A 1C |＝3|A 1B 1|， ∴正确；
→→→→→②∵A 1C ·(A 1B 1－A 1A ) ＝A 1C ·AB 1，
→→
由三垂线定理知A 1C ⊥AB 1，∴正确；
→→→→
③AD 1与A 1B 两异面直线的夹角为60°，但AD 1与A 1B 的夹角为120°，A 1B ＝D 1C ，注意方向．
→→→→→
④因为AB ·AA 1＝0，正确的应是|AB |·|AA 1|·|AD |. 答案：③④
规律小结：熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量分解定理、数量积的性质等.
变式训练1. 已知向量a ＝(1，－3,2) ，b ＝(－2,1,1) ，点A (－3，－1,4) ， B (－2，－2,2) ．
(1)求：|2a ＋b |；
→
(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE ⊥b ？(O 为原点) 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4) ＋(－2,1,1) ＝(0，－5,5) ， 故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝52. →→→→→
(2)OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋tAB ＝(－3，－1,4) ＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t, 4－2t ) ，若
9→→
OE ⊥b ，则OE ·b ＝0，所以－2(－3＋t ) ＋(－1－t ) ＋(4－2t ) ＝0，解得t ＝E ，使
5
6142→
得OE ⊥b ，此时E 点的坐标为(－．
555
考点二：空间向量基本定理
例2. 已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 、H 分别为棱A 1D 1, D 1C 1, C 1C 和AB 的中点．求
证：E 、F 、G 、H 四点共面．解：=+＝+GC 1
＝++FC 1＝A 1+FC 1+＝2+，
所以EF , EG , EH 共面，即点E 、F 、G 、H 共面．
变式训练2：如图，平行六面体AC 1中，AE ＝3EA 1，AF ＝FD ，AG ＝1GB ，过E 、F 、G 的
2
平面与对角线AC 1交于点P ，求AP:PC1的值．解：设=m 1
B AC 1=AB +BB 1+B 1C 1=AB +AA 1+AD
=3+
4
+23
∴=3m +m +2m 43
又∵E 、F 、G 、P 四点共面，∴3m +m +2m =1∴m =
3
∴AP ︰PC 1＝3︰1619
43
考点三：平行与垂直
例3. 已知四面体ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， G 、H 分别是△ABC 和△ACD 的重心．求证：(1) AD⊥BC ； (2) GH∥BD ．
证明：(1) AD⊥BC ⇔AD ⋅BC =0．因为AB ⊥CD ⇔AB ⋅CD =0，AC ⊥BD ⇔AC ⋅BD =0，而⋅=(+) ⋅(+) =0．
所以AD ⊥BC ．
=+＝(+) (2) 设E 、F 各为BC 和CD 的中点．欲证GH ∥BD ，只需证GH ∥EF 2
3
＝
2
． 3
规律小结：立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
变式训练3：正方体ABCD －EFGH 中，M 、N 分别是对角线AC 和BE 上的点，且AM ＝EN ．(1) 求证：MN ∥平面FC ； (2) 求证：MN ⊥AB ；
(3) 当MA 为何值时，MN 取最小值，最小值是多少？
解：(1) 设
NB MC
==k , 则MN =(k -1) BC +k BF . EB AC
(2) MN ⋅AB =(k -1) BC ⋅AB -k BF ⋅AB =0. (3) 设正方体的边长为a ,
=(2k 2-2k +1) a 2, 即当k =
1, 2
也即AM =
1AC 时2
=
2a 2
考点四：夹角与距离
例4. 如图，多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 所截而得，其中AB ＝4，BC ＝1，BE ＝3，CF ＝4.
(1) 求和点G 的坐标；
(2) 求GE 与平面ABCD 所成的角；
(3) 求点C 到截面AEFG 的距离．
解：(1) 由图可知：A(1，0，0) ，B(1，4，0) ， E(1，4，3) ，F(0，4，4) ∴=(-1, 0, 1) 又∵=，设G(0，0，z) ，则(－1，0，
z)
y
＝(－1，0，1) ∴z ＝1 ∴G(0，0，1) (2)平面ABCD 的法向量=(0, 0, 1).
GE =(1, 4, 2) ，设GE 与平面ABCD 成角为θ，则 cos(
π
2
-θ) =
=
221
21
∴θ=arcsin
221
21
(3)设n 0⊥面AEFG ，n 0＝(x 0，y 0，z 0)
∵n 0⊥，n 0⊥，而＝(－1，0，1) ，＝(0，4，3)
⎧x 0=z 0
⎧-x 0+z 0=03⎪
⇒⎨∴n 0=(z 0, -z 0, z 0) ∴⎨3
4⎩4y 0+3z 0=0⎪y 0=-z 0
4⎩
取z 0＝4，则n 0＝(4，－3，4) ∵=(0, 0, 4), ∴d 0=1641
41
即点C 到截面AEFG 的距离为
1641
．41
规律小结：
1．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果．
2．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角) 有时也很方便．其一般方法是将所求的
角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式c osθ
．
3．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l 1、l 2，AB 为其公垂线段，C 、D 分别为l 1、l 2上的任意一点，为与共线的向量，则｜.
4．设平面α的一个法向量为n ，点P 是平面α外一点，且P o ∈α，则点P 到平面α的距离是d .
变式训练4：如图四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且PG ＝4，AG =
1
GD ，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点． 3
(1)求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值；
(2)求点D 到平面PBG 的距离；
(3)若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求
PF
FC
的值． 解：(1)以G 点为原点，GB 、GC 、GP 为x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则B (2，0，0) ，C (0，2，0) ， P (0，0，4) ，故E (1，1，0) ，GE ＝(1，1，0) ， PC ＝(0，D
2，4) 。cos =22⋅=10， E
∴GE 与PC 所成的余弦值为10
． (2)平面PBG 的单位法向量n ＝(0，±1，0) .
∵GD =34AD =34BC =(-33
22
，0) ，
∴点D 到平面PBG 的距离为|GD ⋅n |＝3
2
.
(3)设F (0，y ，z ) ，则=(0，y ，z ) -(-32320) =32，y -3
2
，z ) 。
∵DF ⊥GC ，∴DF ⋅GC =0，
即33
2
，y -
2，z ) ⋅(0，2，0) =2y -3=0， ∴y =32 , 又PF =λPC ，即(0，3
2
，z －4) ＝λ(0，2，－4) ， ∴z =1，
故F (0，3
PF 2，1) ，PF
=(032-3) ，FC =(012，-1) ，∴
PC ==3。