第二章 微积分的基础——极限
第一节 数列极限的初步认识
定义 以正整数为自变量的函数y =f (n ) ，当n 依次取1，2，3，„所得到的一列函数值
a 1=f (1), a 2=f (2), a 3=f (3), , a n =f (n ),
称为无穷数列，简称数列。数列中的各个数称为数列的项，a n =f (n ) 称为数列的通项。数 列常简记为{a n }。 下面举几个数列的例子。 例1
11111
, , , , , n , ; 248162
例2
3254(-1) n 0, , , , , , 1+, ; 2345n 1, 1, 1, , 1, ;
例3 例4 例5
-1, 1, -1, , (-1) n , ;
2, 4, 6, , 2n , .
在理论研究或实践探索中，常常需要判断数列{a n }当n 趋于无穷大时通项a n 的变化趋
势。
下面我们来研究一个有趣的问题——分形几何中的柯契（Koch ）雪花问题。
设有边长为1的正三角形，则周长为a 1=3。对各边三等分，以中间的三分之一段为边向外作正三角形，则每一边生成四条新边，原三角形生成12边形；再三等分12边形的各边，同法向外作正三角形，仿此无限作下去，便可递归生成美丽的Koch 雪花！给我们直觉：无论n 有多大，Koch 雪花的面积总是有限值，然而它的周长是否也为有限值呢？这是直觉难以回答的问题。现在我们来求Koch 雪花的周长。
正三角形的周长为a 1=3；三等分正三角形各边，新边长为
1
，所以12边形的周长为3
a 2=
4444
a 1。仿此可知，a 3=a 2=() 2a 1, , a n =() n -1a 1, 3333
究竟当n →∞时，Koch 雪花的周长是有限还是无限，这涉及数列极限问题。
我们把有极限的数列称为收敛数列，没有极限的数列称为发散数列。
第二节 数列极限的数学定义
公元前四世纪，我国春秋战国时期的哲学家庄子（约公元前369——前286）在《庄子∙天下篇》一书中有一段富有哲理的名句：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”我们把逐日取下的锤的长度顺次列出来，便得到例1所示的数列⎨
⎧1⎫
，这是一个无穷递缩等比数列。当n ⎬2⎩⎭
n 越来越大时，通项a n =
则称该数列以0为极限。
1
越来越接近于常数0，并且想让它有多接近它就会有多接近，2n
⎧(-1) n ⎫(-1) n
数列⎨1+无限接近于常数1，则称该⎬，当n 无限增大时，通项a n =1+
n n ⎩⎭
数列以1为极限。
数列 ⎨a 1=3, a 2=
⎧⎩4444⎫
a 1, a 3=a 2=() 2a 1, , a n =() n -1a 1, ⎬，当n 无限增大时 3333⎭
44
a n =() n -1a 1=a n -1不以任何常数为限，会无限变大。此时数列没有极限。
33
极限的定性定义
定义1 如果n 无限增大时，数列{a n }的通项a n 无限趋近于常数a ，则称该数列以a 为极限，记作
lim a n =a 或a n →a (n →∞)
n →∞
其中n →∞表示n 无限增大，此时也称该数列收敛。
如果n →∞时，a n 不以任何常数为极限，则称数列{a n }发散。 极限的定量定义
定义2 如果对于任意正数ε（无论它有多小），总存在相应的正整数N ，使得
n >N 的一切n ，能使不等式a n -a
n →∞
lim a n =a , 或 a n →a (n →∞)
注：（1）定义中的常数ε具有二重性:即具有很小正数的固定性，又具有随意小的任意性。即，取之前任意，取到后固定。
（2）ε是首先给定的，N 是由ε确定的。关键是反映变化过程时刻的N 的存在性，而不是它的唯一性。
数列{a n }的极限为a 的几何解释：
将常数a 与数列a 1, a 2, , a n , 在数轴上用对应的点表示出来，从N +1项开始，数列
{a n }的点都落在开区间(a -ε, a +ε) 内，而只有有限个(至多只有N 个) 在此区间以外
注：数列极限中蕴含的辩证思想
（1）极限a 的取得是变量a n 的变化过程与变化结果的对立统一。
（2）极限是利用有限来认识无限的一种数学方法，同时也说明极限是有限与无限的对立统一。
（3）近似与精确的对立统一。 例6
(-1) n -1
=0. 证明数列极限lim
n →∞n
证明 由于
(-1) n -11
a n -a =-0=,
n n
对∀ε>0，要使
(-1) n -1
-0
(-1) n -111⎡1⎤
即. 取N =⎢⎥, 当n >N 时，有-0
n n ε⎣ε⎦
(-1) n -1
=0. lim
n →∞n
例7
证明数列极限lim
证明 由于
3n +13
=.
n →∞2n +12
a n -a =
对∀ε>0，要使
3n +13-111
-==
3n +13
-
即
3n +1311⎡1⎤
-. 取N =⎢⎥, 当n >N 时，有
4ε2n +124n 4ε⎣⎦
lim
3n +13
=.
n →∞2n +12
第三节 数列极限的性质
性质 1 (极限的唯一性) 收敛数列的极限必唯一.
证明 （反证法）假设同时有lim a n =a 及lim a n =b , 且a ≠b ，不妨设a
n →∞
n →∞
按极限的定义, 对于ε=b -a >0, 由于lim a n =a ，存在充分大的正整数N 1, 使当
2n →∞
n >N 1时, 有
a n -a
有
b -a
, 2
a n
n →∞
b +a
. 2
由于lim a n =b ，存在充分大的正整数N 2, 使当n >N 2时, 有
a n -b
有
b -a
, 2
a +b
{N 1, N 2}，则当n >N 时，同时有a n 22
故假设不成立. 收敛数列的极限必唯一.
性质 2 (四则运算) 如果lim x n =a , lim y n =b , 则有
n →∞
n →∞
加减原则：lim(x n ±y n ) =lim x n ±lim y n =a ±b
n →∞
n →∞
n →∞
乘法原则：lim(x n y n ) =(limx n )(limy n ) =ab
n →∞
n →∞
n →∞
除法原则：若lim y n =b ≠0lim(x n ÷y n ) =lim x n ÷lim y n =a ÷b
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
性质 3 (收敛数列的有界性) 如果数列{a n }收敛, 那它一定有界. 即对于收敛数列
{a n }，必存在正数M ，对一切n ∈N +，有a n
n →∞
≤M .
证明 设lim a n =a ， 根据数列极限的定义, 取ε =1, 存在正整数N , 当n >N 时, 不等
式
a n -a
都成立. 于是当n >N 时,
a n =a n -a +a
取M =max a 1, a 2, , a N , 1+a ，那么数列{a n }中的一切a n 都满足不等式a n ≤M . .这就证明了数列{a n }是有界的.
收敛数列一定有界，反之不成立. 例如，数列(-1) 有界，但是不收敛. 性质 4 (收敛数列的保号性)
如果lim a n =a , 且a >0(或a N 时, 有a n >0(或
n →∞
}
{
n
}
a n
a +
证明 就a >0的情形. 由数列极限的定义, 对ε=>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有
2
a
|a n -a |
2
从而
0
a
n →∞
推论 如果数列{a n }从某项起有a n ≥0(或a n ≤0) , 且lim a n =a , 那么a ≥0(或
a ≤0).
性质 5 (夹逼准则) 如果数列{a n }、{b n }及{c n }满足下列条件: (1)b n ≤a n ≤c n (n =1, 2, ) , (2)lim b n =a , lim c n =a ,
n →∞
n →∞
那么数列{a n }的极限存在, 且lim a n =a .
n →∞
证明 因为lim b n =a , lim c n =a , 以根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当
n →∞
n →∞
n >N 1时, 有
a -ε又∃N 2>0, 当n >N 2时, 有
a -ε现取N =max {N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有
a -ε同时成立. 又因b n ≤a n ≤c n (n =1, 2, ) , 所以当n >N 时, 有
a -ε即 |a n -a |
n →∞
例8
求证lim 证明 由于
⎛111⎫
⎪=0. ++ +22⎪n →∞n 2(n +1) (n +n ) ⎭⎝
n 111n
≤++ +≤， 22222
(n +n ) n (n +1) (n +n ) n
而lim
n n =0，lim =0，由夹逼准则知，
n →∞(n +n ) 2n →∞n 2
⎛111⎫
⎪=0. lim ++ +22⎪n →∞ n 2(n +1) (n +n ) ⎝⎭
如果数列{a n }满足条件
a 1≤a 2≤ ≤a n ≤a n +1≤ ,
就称数列{a n }是单调增加的. 如果数列{a n }满足条件
a 1≥a 2≥ ≥a n ≥a n +1≥ ,
就称数列{a n }是单调减少的.
单调增加和单调减少数列统称为单调数列.
性质 6 (单调有界准则) 单调有界数列必有极限.
1
lim(1+) n =e n →∞n
12
例10 lim(2+)
n →∞n n
例9
3n +2n
例11 lim n n →∞3
例12 lim(1+)
n →∞
1
n
2n
2n 2+9n -6
例13 lim
n →∞3n 2+4
例14 lim
n +sin n
n →∞2n -cos 2n
n 例15
第四节 函数极限与函数的连续性
由于数列{a n }可以看做是自变量为n 的函数：a n =f (n ), n ∈N +. 所以数列{a n }的极限为a ，可以认为是当自变量n 取正整数且无限增大时，对应的函数值f (n ) 无限接近于常数a . 对一般的函数y =f (x ) 而言，在自变量的某个变化过程中，函数值f (x ) 无限接近于某个确定的常数，那么这个常数就叫做f (x ) 在自变量x 在这一变化过程的极限. 这说明函数的极限与自变量的变化趋势有关，自变量的变化趋势不同，函数的极限也会不同.
下面主要介绍自变量的两种变化趋势下函数的极限. 一、 自变量x →∞时函数的极限
引例 观察函数y =
sin x
当x →+∞时的变化趋势
x
图2.1
可以看出，当x 无限增大时，函数
sin x
无限接近于0（确定的常数）. x
由此推得函数f (x ) 在x →+∞时极限的直观定义：
定义3 设f (x ) 当 x 大于某一正数时有定义，当 x 无限增大时, 函数值f (x ) 无限接近于一个确定的常数A ,称A 为f (x ) 当 x →+∞时的极限. 记作
x →+∞
lim f (x ) =A 或 f (x ) →A (x →+∞) ．
引例中，lim
sin x
=0.
x →+∞x
类比于数列极限的定义推得当x →+∞时函数f (x ) 的极限的直观定义：
定义4 设f (x ) 当 x 大于某一正数时有定义，如果存在常数A ，对任意给定的正数ε，总存在正数X ，使得当x >X 时，不等式
f (x ) -A
都成立，则称A 是函数f (x ) 在x →+∞时的极限，记作
x →+∞
lim f (x ) =A .
简单叙述：
x →+∞
lim f (x ) =A ⇔∀ε>0, ∃X >0. 当x >X 时, 有f (x ) -A
类比当x →+∞时函数f (x ) 的极限定义，当x →-∞时函数f (x ) 的极限定义： 定义5 设f (x ) 当 -x 大于某一正数时有定义，如果存在常数A ，对任意给定的正数ε，总存在正数X ，使得当x
f (x ) -A
都成立，则称A 是函数f (x ) 在x →-∞时的极限，记作
x →-∞
lim f (x ) =A .
简单叙述：
x →-∞
lim f (x ) =A ⇔∀ε>0, ∃X >0. 当x
在引例中，lim
sin x
=0.
x →-∞x
结合定义4和定义5，推得函数f (x ) 在x →∞时的极限定义：
定义6 设f (x ) 当 |x |大于某一正数时有定义，如果存在常数A ，对任意给定的正数ε，总存在正数X ，使得当x >X 时，不等式
f (x ) -A
都成立，则称A 是函数f (x ) 在x →∞时的极限，记作
lim f (x ) =A .
x →∞
简单叙述：
lim f (x ) =A ⇔∀ε>0, ∃X >0. 当x >X 时, 有f (x ) -A
x →∞
结合定义，函数f (x ) 在x →∞时的极限存在的充要条件是：
lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =lim f (x ) =A .
x →∞
x →-∞
x →+∞
例1
lim
sin x
=0.
x →∞x
证明 由于
f (x ) -A =
对∀ε>0，要使
sin x sin x 1
-0=≤, x x x
f (x ) -A
即
111
. 取X =, 当x >X 时，有f (x ) -A
lim
sin x
=0.
x →∞x
从几何上看，lim f (x ) =A 表示当x >X 时，曲线y =f (x ) 位于直线y =A -ε和
x →∞
y =A +ε之间（图1-15）
.
图2.2
这时称直线y =A 为曲线y =f (x ) 的水平渐近线. 例如 lim
sin x sin x
的水平渐近线. =0，则y =0是曲线y =
x →∞x x
二、 自变量x →x 0时函数的极限
x 2-1引例1 观察函数f (x ) =x +1和g (x ) =在x →1时函数值的变化趋势
x -1
图2.3
x 2-1
从图中得出，函数f (x ) =x +1和g (x ) =在x →1时函数值都无限接近于2，则
x -1x 2-1
称2是函数f (x ) =x +1和g (x ) =在x →1时的极限.
x -1
从上例中看出，虽然f (x ) 和g (x ) 在x =1处都有极限，但g (x ) 在x =1处不定义. 这说明函数在一点处是否存在极限与它在该点处是否有定义无关. 因此，在后面的定义中假定函数f (x ) 在x 0的某个去心邻域内有定义，函数f (x ) 在x →x 0时函数极限的直观定义： 定义7 函数f (x ) 在x 0的某个去心邻域内有定义. 当x →x 0时，函数f (x ) 的函数值无限接近于确定的常数A ，称A 为函数f (x ) 在x →x 0时的极限.
在定义7中，函数f (x ) 的函数值无限接近于某个确定的常数A ，表示f (x ) -A 能任意小，在此同样可以通过对于任意给定的正数ε，f (x ) -0），δ体现了x 接近x 0的程度. 由此得到函数f (x ) 在x →x 0时函数极限的精确定义：
定义8 函数f (x ) 在x 0的某个去心邻域内有定义. 对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，当x 满足不等式0
f (x ) -A
称A 为函数f (x ) 在x →x 0时的极限. 记作
x →x 0
lim f (x ) =A 或f (x ) →A (x →x 0) .
定义8简单表述为：
x →x 0
lim f (x ) =A ⇔∀ε>0, ∃δ>0, 当0
函数f (x ) 在x →x 0时极限为A 的几何解释：
对∀ε>0，当x ∈U (x 0, δ) 时，曲线y =f (x ) 位于直线y =A -ε和y =A +ε之间。
o
图2.4
例2
证明lim C =C , C 为常数.
x →x 0
证明 由于
f (x ) -A =C -C =0,
对∀ε>0，对∀δ>0，当0
x →x 0
lim C =C .
例3
x 2-1
=2. 证明lim
x →1x -1
证明 由于
x 2-1
f (x ) -A =-2=x -1,
x -1
对∀ε>0，要使f (x ) -A
f (x ) -A
x 2-1lim =2. x →1x -1
在函数的极限中，x →x 0既包含x 从左侧向x 0靠近，又包含从右侧向x 0靠近. 因此，在求分段函数在分界点x 0处的极限时，由于在x 0处两侧函数式子不同，只能分别讨论.
x 左侧向x 0靠近的情形，记作x →x 0. x 从右侧向x 0靠近的情形，记作x →x 0.
-+
在定义8中，若把空心邻域0
x →x 0时的左极限. 记作
x →x 0
lim -f (x ) =A 或 f (x 0) =A .
-
类似地，若把空心邻域0
x →x 0时的右极限. 记作
x →x 0
lim +f (x ) =A 或 f (x 0) =A .
+
我们把左极限和右极限统称为单侧极限.
根据f (x ) 在x →x 0时极限的定义推出f (x ) 在x →x 0时的极限存在的充要条件是左、右极限都存在并且相等，即：
定理 lim f (x ) =A ⇔lim -f (x ) =lim +f (x ) =A .
x →x 0
x →x 0
x →x 0
例4
讨论函数
⎧-x , x ≤0
f (x ) =⎨
⎩1+x , x >0
当x →0时f (x ) 极限不存在.
解 函数图形如下：
图2.5
f (x ) 在x =0处的左极限为
x →0-
lim f (x ) =lim (-x ) =0； -
x →0
右极限为
x →0+
lim f (x ) =lim (1+x ) =1. +
x →0
x →0
由于lim f (x ) ≠lim f (x ) ，故lim f (x ) 不存在. -+
x →0
x →0
定义8 如果函数y =f (x ) 在点x 0处不连续，则称f (x ) 在x 0处间断，x 0称为f (x ) 的间断点.
三、 函数的极限的性质
类比数列极限的性质，可以推得函数极限的性质. 由于函数极限自变量的变化趋势有不同的形式，下面仅以lim f (x ) 为代表讨论.
x →x 0
性质1（唯一性） 若lim f (x ) =A ，则极限值是唯一的.
x →x 0
性质2（局部有界性） 若lim f (x ) =A ，若存在常数M >0及δ>0，当0
x →x 0
时，有f (x ) ≤M .
性质3（保号性） 若lim f (x ) =A ，且A >0（或A 0，当
x →x 0
00（或f (x )
h (x ) 是三个函数，g (x ) 、性质4（夹逼准则） 设f (x ) 、若存在δ>0，当0
时，有
g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) ，lim g (x ) =lim h (x ) =A ，
x →x 0
x →x 0
则
x →x 0
lim f (x ) =A .
sin x =例5 设函数f (x ) =sin x
，lim π
x →
4
x ⎧⎪e , x ≤0
f (x ), lim -f (x ) 例6 设f (x ) =⎨2 ，求lim +
x →0x →0
⎪⎩x , x >0
例7 y =x a ，求lim y
x →x 0
例8 lim(e x cos x +ln(1+x ))
x →0
sin x
=1
x →0x
1
例10 重要极限lim(1+) x =e
x →∞x
例9 重要极限lim
例11 lim(1+x ) =e
x →0
1x
例12 lim(1+2x )
x →0x →x 0
12x
=e
定义9 若lim f (x ) =0，则称函数f (x ) 为x →x 0时的无穷小.
22
例如 lim (x -1) =0，则x -1是x →1时的无穷小. lim
x →1
11
=0，则是x →∞时的x →∞x x
无穷小.
在此需要指出的是：（1）无穷小不是很小的数，它表示当x →x 0时，f (x ) 的绝对值可以任意小的函数. （2）在说一个函数是无穷小时，一定要指明自变量的变化趋势. 同一函数，在自变量的不同变化趋势下，极限不一定为零；在常数里面. （3）0是唯一的无穷小.
定义10 函数f (x ) 在x 0的某个去心邻域内有定义. 对于任意给定的正数M ，总存在正数
δ，当x 满足不等式0
f (x ) >M ，
则称函数f (x ) 为x →x 0时的无穷大.
按照函数极限的定义，当x →x 0时无穷大的函数f (x ) 极限是不存在的. 为了便于叙述函数的这一性态，习惯上称作函数的极限是无穷大，记作
x →x 0
lim f (x ) =∞.
若把定义中f (x ) >M 改为f (x ) >M (或f (x )
x →x 0
lim f (x ) =+∞(或lim f (x ) =-∞) .
x →x 0
在此，同样注意无穷大不是很大的数，不能和很大的数混为一谈.
例如 由于lim
11
=∞，为x →0时的无穷大. x →0x x
求极限的几种常用的方法
1.
代入法：直接将x →x 0的x 0代入所求极限的函数中去，若f (x 0)存在，即为其极
限，若f (x 0)不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
0x 2-9
例如，lim 就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下
x →3x -30
的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法
x 2-9
=lim (x +3)=6。 例如，lim
x →3x -3x →3
3.
分子（分母）有理化法
例如，lim
x →2
x 2+5-32x +1-5
=lim
x →2
x 2+5-32x +1-
2x +1+)
2x +1+x +5+3x 2+5+3
2
x 2-4
=lim
x →22x -4
=lim
(x +2)(x -2) x →22x -2
=2 又如，lim 4.
x →+∞
x
2
2
+1-x =lim
)
1x +1+x
2
x →+∞
=0
化无穷大为无穷小法
1
-
3x +x -7x 例如，lim 2=lim x →∞2x -x +4x →∞1
2-+
x
2+
穷大量。由此不难得出
7
x 2=1，实际上就是分子分母同时除以x 2这个无4x 2
习题
1. 根据数列的变化趋势，求下列数列的极限：
12n +(-1) n
（1）a n =(-1) 2； （2）a n =； n
n 2
n
（3）a n =n sin
n πn -1； （4）a n =. 2n +1
2. 根据数列极限的定义，证明： （1）lim
sin n 1
lim =0. =0； （2）n →∞n →∞n 2n
n →∞
3. 设lim a n =a ，求证lim a n =a .
n →∞
4. 设数列a n 有界，lim b n =0，求证lim a n b n =0.
n →∞
n →∞
5. 求下列函数在指定点处的左、右极限，并判断在改点处极限是否存在. （1）f (x ) =
x x
，在x =0处； （2）f (x ) =⎨
⎧cos x , x >0
，在x =0处；
1+x , x
1⎧
⎪x sin , x >0
（3）f (x ) =⎨，在x =0处. x
2
⎪⎩1+x , x
6. 求下列函数的极限.
12x +1
lim ； ；
x →2x 2-x -2x →∞x
1arctan x 2
lim x cos ； lim . x →0x →∞x x
lim
x 2-4 lim ； lim (2x -1)；
x →2x →-2x +2
1+x 2
lim lim ；
x →∞2x 2x
四、 函数的连续性
定义11 函数f (x ) 在点x 0 及其附近有定义，如果当x →x 0 时，f (x ) →f (x 0) ，则称
f (x ) 在点x 0连续。
定义12 函数f (x ) 在点x 0 及其附近有定义，若
x →0
lim y =lim (f (x 0+ x ) -f (x 0)) =0
x →0
则称f (x ) 在点x 0连续。
函数y =f (x ) 在点x 0处连续，必须满足下列三个条件： （1）函数y =f (x ) 在点x 0处有定义；
（2）lim f (x ) 存在，即lim -f (x ) =lim +f (x ) ；
x →x 0
x →x 0x →x 0
（3）lim f (x ) =f (x 0)
x →x 0
例1
解 由
而f (0) =0，故
lim f (x ) =f (0) .
x →0
由连续性的定义知，函数f (x ) 在x =0处连续.
由于函数f (x ) 在x 0处极限存在等价于f (x ) 在x 0处左、右极限都存在并且相等，结合这一特点，下面定义左、右连续的概念.
如果lim -f (x ) =f (x 0) ，则称函数f (x ) 在点x 0处的左连续. 如果lim +f (x ) =f (x 0) ，
x →x 0
x →x 0
则称函数f (x ) 在点x 0处的右连续.
如果函数y =f (x ) 在点x 0处连续，必有lim f (x ) =f (x 0) ，则有
x →x 0
x →x 0-
lim f (x ) =lim +f (x ) =f (x 0) ，
x →x 0
这说明了函数y =f (x ) 在点x 0处连续，既包含了f (x ) 在点x 0处左连续，又包含了f (x ) 在点x 0处右连续. 定理1 连续.
函数y =f (x ) 在点x 0处连续的充要条件是函数y =f (x ) 在点x 0处既左连续又右
例2 讨论函数
⎧x 2, x ≤1
f (x ) =⎨
⎩x +1, x >1
在x =1处的连续性.
解 函数f (x ) 图形如图
1-22.
图2.6
f (x ) =lim x =1=f (1) ，故f (x ) 在x =1处左连续. 由于lim --
x →1
x →1
x →1+
2
(x +1)=1≠f (1) ，故f (x ) 在x =1处不右连续. lim f (x ) =lim +
x →1
因此由定理1知，函数f (x ) 在x =1处不连续.
以上是介绍函数在一点处连续的概念，下面介绍连续函数的概念.
定义13 如果函数f (x ) 在区间(a , b ) 内每一点都连续, 称f (x ) 为(a , b ) 内的连续函数.
如果函数f (x ) 在(a , b ) 内连续, 且在左端点x =a 处右连续，在右端点x =b 处左连续，则称f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续. 五、 连续函数的性质与存在性定理 1. 连续函数的性质 定理2 定理3
初等函数在其定义区间内是连续的。
设函数f (x ) 与g (x ) 在x 0处连续，则其和、差、积、商（分母在x 0处函数值不为
零）在x 0处也连续. 定理4
设函数y =f (ϕ(x ) )由y =f (u ) 和u =ϕ(x ) 复合而成. 且y =f (u ) 在u 0处连续，
x →x 0
u =ϕ(x ) 在x 0处极限lim ϕ(x ) =u 0存在，则
lim f (ϕ(x ) )=lim f (u )=f (u 0) =f ⎛lim ϕ(x ) ⎫ ⎪.
x →x 0u →u 0x →x ⎝0⎭
注：内函数的极限存在, 外函数在该极限点连续，则求复合函数的极限时极限符号可以
与外函数符号互换.
如果把条件lim ϕ(x ) =u 0改为u =ϕ(x ) 在x =x 0处连续，且ϕ(x 0) =u 0结论仍然成立，
x →x 0
即
lim f (ϕ(x ) )=f ⎛lim ϕ(x ) ⎫ ⎪=f (ϕ(x 0) ).
x →x 0⎝x →x 0⎭
例3
如果把条件lim ϕ(x ) =u 0改为u =ϕ(x ) 在x =x 0处连续，且ϕ(x 0) =u 0结论仍然成立，
x →x 0
即
lim f (ϕ(x ) )=f ⎛lim
ϕ(x ) ⎫ ⎪=f (ϕ(x 0) ).
x →x 0⎝x →x 0⎭
2. 闭区间上连续函数的性质 定理5
（最值定理）闭区间上连续的函数在该区间上一定存在最大值和最小值.
此定理说明，如果函数f (x ) ∈C [a , b ]，如图1：
图2.7
则至少存在一点ξ1∈[a , b ]，f (ξ1) =m ，对∀x ∈[a , b ]，都有f (x ) ≥m ，则m 是
f (x ) 在[a , b ]上的最小值. 至少存在一点ξ2∈[a , b ]，f (ξ2) =M ，对∀x ∈[a , b ]，都有f (x ) ≤M ，则M 是f (x ) 在[a , b ]上的最大值.
注：定理5中条件“闭区间”和“连续”很重要，如果缺少一个，定理5不一定成立.
例如，函数y =x 在开区间(0, 2) 内虽然连续，但是没有最大值和最小值（ 由于闭区间上连续函数存在最大值和最小值，因此闭区间上连续函数必定有界. 推论：闭区间上连续函数在该区间上有界. 定理6
（介值定理）函数f (x ) 在[a , b ]上连续，M 和m 分别是f (x ) 在[a , b ]上的最大
值和最小值，则至少存在一点ξ∈[a , b ]，使得m ≤f (ξ
) ≤M .
图2.8
定理7（零点定理）函数f (x ) 在[a , b ]上连续，且f (a ) ⋅f (b )
(ξ) =0.
图2.9
例4 证明方程x -2x -1=0在区间(1, 2) 内至少有一个根.
52
解 设f (x ) =x -2x -1，显然f (x ) 在[1, 2]上连续，而
5
2
f (1) =-20，
由零点定理知，至少存在一点ξ∈(1, 2) ，使得f (ξ) =0. 即x -2x -1=0在区间(1, 2) 内至少有一个根ξ.
注：在应用零点定理时，一定要注意检验函数是否满足定理使用的条件.
习题
5
2
文科数学讲义（李）
⎧ln(1-3x ) , x
⎪sin ax x >0⎪x , ⎩
2. 证明方程x =a sin x +b （a >0, b >0）至少有一个正根，且它不超过a +b .
3. 证明函数f (x ) =x 4-2x -4在(-2, 2) 之间至少有2个零点.
第二章 微积分的基础——极限
第一节 数列极限的初步认识
定义 以正整数为自变量的函数y =f (n ) ，当n 依次取1，2，3，„所得到的一列函数值
a 1=f (1), a 2=f (2), a 3=f (3), , a n =f (n ),
称为无穷数列，简称数列。数列中的各个数称为数列的项，a n =f (n ) 称为数列的通项。数 列常简记为{a n }。 下面举几个数列的例子。 例1
11111
, , , , , n , ; 248162
例2
3254(-1) n 0, , , , , , 1+, ; 2345n 1, 1, 1, , 1, ;
例3 例4 例5
-1, 1, -1, , (-1) n , ;
2, 4, 6, , 2n , .
在理论研究或实践探索中，常常需要判断数列{a n }当n 趋于无穷大时通项a n 的变化趋
势。
下面我们来研究一个有趣的问题——分形几何中的柯契（Koch ）雪花问题。
设有边长为1的正三角形，则周长为a 1=3。对各边三等分，以中间的三分之一段为边向外作正三角形，则每一边生成四条新边，原三角形生成12边形；再三等分12边形的各边，同法向外作正三角形，仿此无限作下去，便可递归生成美丽的Koch 雪花！给我们直觉：无论n 有多大，Koch 雪花的面积总是有限值，然而它的周长是否也为有限值呢？这是直觉难以回答的问题。现在我们来求Koch 雪花的周长。
正三角形的周长为a 1=3；三等分正三角形各边，新边长为
1
，所以12边形的周长为3
a 2=
4444
a 1。仿此可知，a 3=a 2=() 2a 1, , a n =() n -1a 1, 3333
究竟当n →∞时，Koch 雪花的周长是有限还是无限，这涉及数列极限问题。
我们把有极限的数列称为收敛数列，没有极限的数列称为发散数列。
第二节 数列极限的数学定义
公元前四世纪，我国春秋战国时期的哲学家庄子（约公元前369——前286）在《庄子∙天下篇》一书中有一段富有哲理的名句：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”我们把逐日取下的锤的长度顺次列出来，便得到例1所示的数列⎨
⎧1⎫
，这是一个无穷递缩等比数列。当n ⎬2⎩⎭
n 越来越大时，通项a n =
则称该数列以0为极限。
1
越来越接近于常数0，并且想让它有多接近它就会有多接近，2n
⎧(-1) n ⎫(-1) n
数列⎨1+无限接近于常数1，则称该⎬，当n 无限增大时，通项a n =1+
n n ⎩⎭
数列以1为极限。
数列 ⎨a 1=3, a 2=
⎧⎩4444⎫
a 1, a 3=a 2=() 2a 1, , a n =() n -1a 1, ⎬，当n 无限增大时 3333⎭
44
a n =() n -1a 1=a n -1不以任何常数为限，会无限变大。此时数列没有极限。
33
极限的定性定义
定义1 如果n 无限增大时，数列{a n }的通项a n 无限趋近于常数a ，则称该数列以a 为极限，记作
lim a n =a 或a n →a (n →∞)
n →∞
其中n →∞表示n 无限增大，此时也称该数列收敛。
如果n →∞时，a n 不以任何常数为极限，则称数列{a n }发散。 极限的定量定义
定义2 如果对于任意正数ε（无论它有多小），总存在相应的正整数N ，使得
n >N 的一切n ，能使不等式a n -a
n →∞
lim a n =a , 或 a n →a (n →∞)
注：（1）定义中的常数ε具有二重性:即具有很小正数的固定性，又具有随意小的任意性。即，取之前任意，取到后固定。
（2）ε是首先给定的，N 是由ε确定的。关键是反映变化过程时刻的N 的存在性，而不是它的唯一性。
数列{a n }的极限为a 的几何解释：
将常数a 与数列a 1, a 2, , a n , 在数轴上用对应的点表示出来，从N +1项开始，数列
{a n }的点都落在开区间(a -ε, a +ε) 内，而只有有限个(至多只有N 个) 在此区间以外
注：数列极限中蕴含的辩证思想
（1）极限a 的取得是变量a n 的变化过程与变化结果的对立统一。
（2）极限是利用有限来认识无限的一种数学方法，同时也说明极限是有限与无限的对立统一。
（3）近似与精确的对立统一。 例6
(-1) n -1
=0. 证明数列极限lim
n →∞n
证明 由于
(-1) n -11
a n -a =-0=,
n n
对∀ε>0，要使
(-1) n -1
-0
(-1) n -111⎡1⎤
即. 取N =⎢⎥, 当n >N 时，有-0
n n ε⎣ε⎦
(-1) n -1
=0. lim
n →∞n
例7
证明数列极限lim
证明 由于
3n +13
=.
n →∞2n +12
a n -a =
对∀ε>0，要使
3n +13-111
-==
3n +13
-
即
3n +1311⎡1⎤
-. 取N =⎢⎥, 当n >N 时，有
4ε2n +124n 4ε⎣⎦
lim
3n +13
=.
n →∞2n +12
第三节 数列极限的性质
性质 1 (极限的唯一性) 收敛数列的极限必唯一.
证明 （反证法）假设同时有lim a n =a 及lim a n =b , 且a ≠b ，不妨设a
n →∞
n →∞
按极限的定义, 对于ε=b -a >0, 由于lim a n =a ，存在充分大的正整数N 1, 使当
2n →∞
n >N 1时, 有
a n -a
有
b -a
, 2
a n
n →∞
b +a
. 2
由于lim a n =b ，存在充分大的正整数N 2, 使当n >N 2时, 有
a n -b
有
b -a
, 2
a +b
{N 1, N 2}，则当n >N 时，同时有a n 22
故假设不成立. 收敛数列的极限必唯一.
性质 2 (四则运算) 如果lim x n =a , lim y n =b , 则有
n →∞
n →∞
加减原则：lim(x n ±y n ) =lim x n ±lim y n =a ±b
n →∞
n →∞
n →∞
乘法原则：lim(x n y n ) =(limx n )(limy n ) =ab
n →∞
n →∞
n →∞
除法原则：若lim y n =b ≠0lim(x n ÷y n ) =lim x n ÷lim y n =a ÷b
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
性质 3 (收敛数列的有界性) 如果数列{a n }收敛, 那它一定有界. 即对于收敛数列
{a n }，必存在正数M ，对一切n ∈N +，有a n
n →∞
≤M .
证明 设lim a n =a ， 根据数列极限的定义, 取ε =1, 存在正整数N , 当n >N 时, 不等
式
a n -a
都成立. 于是当n >N 时,
a n =a n -a +a
取M =max a 1, a 2, , a N , 1+a ，那么数列{a n }中的一切a n 都满足不等式a n ≤M . .这就证明了数列{a n }是有界的.
收敛数列一定有界，反之不成立. 例如，数列(-1) 有界，但是不收敛. 性质 4 (收敛数列的保号性)
如果lim a n =a , 且a >0(或a N 时, 有a n >0(或
n →∞
}
{
n
}
a n
a +
证明 就a >0的情形. 由数列极限的定义, 对ε=>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有
2
a
|a n -a |
2
从而
0
a
n →∞
推论 如果数列{a n }从某项起有a n ≥0(或a n ≤0) , 且lim a n =a , 那么a ≥0(或
a ≤0).
性质 5 (夹逼准则) 如果数列{a n }、{b n }及{c n }满足下列条件: (1)b n ≤a n ≤c n (n =1, 2, ) , (2)lim b n =a , lim c n =a ,
n →∞
n →∞
那么数列{a n }的极限存在, 且lim a n =a .
n →∞
证明 因为lim b n =a , lim c n =a , 以根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当
n →∞
n →∞
n >N 1时, 有
a -ε又∃N 2>0, 当n >N 2时, 有
a -ε现取N =max {N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有
a -ε同时成立. 又因b n ≤a n ≤c n (n =1, 2, ) , 所以当n >N 时, 有
a -ε即 |a n -a |
n →∞
例8
求证lim 证明 由于
⎛111⎫
⎪=0. ++ +22⎪n →∞n 2(n +1) (n +n ) ⎭⎝
n 111n
≤++ +≤， 22222
(n +n ) n (n +1) (n +n ) n
而lim
n n =0，lim =0，由夹逼准则知，
n →∞(n +n ) 2n →∞n 2
⎛111⎫
⎪=0. lim ++ +22⎪n →∞ n 2(n +1) (n +n ) ⎝⎭
如果数列{a n }满足条件
a 1≤a 2≤ ≤a n ≤a n +1≤ ,
就称数列{a n }是单调增加的. 如果数列{a n }满足条件
a 1≥a 2≥ ≥a n ≥a n +1≥ ,
就称数列{a n }是单调减少的.
单调增加和单调减少数列统称为单调数列.
性质 6 (单调有界准则) 单调有界数列必有极限.
1
lim(1+) n =e n →∞n
12
例10 lim(2+)
n →∞n n
例9
3n +2n
例11 lim n n →∞3
例12 lim(1+)
n →∞
1
n
2n
2n 2+9n -6
例13 lim
n →∞3n 2+4
例14 lim
n +sin n
n →∞2n -cos 2n
n 例15
第四节 函数极限与函数的连续性
由于数列{a n }可以看做是自变量为n 的函数：a n =f (n ), n ∈N +. 所以数列{a n }的极限为a ，可以认为是当自变量n 取正整数且无限增大时，对应的函数值f (n ) 无限接近于常数a . 对一般的函数y =f (x ) 而言，在自变量的某个变化过程中，函数值f (x ) 无限接近于某个确定的常数，那么这个常数就叫做f (x ) 在自变量x 在这一变化过程的极限. 这说明函数的极限与自变量的变化趋势有关，自变量的变化趋势不同，函数的极限也会不同.
下面主要介绍自变量的两种变化趋势下函数的极限. 一、 自变量x →∞时函数的极限
引例 观察函数y =
sin x
当x →+∞时的变化趋势
x
图2.1
可以看出，当x 无限增大时，函数
sin x
无限接近于0（确定的常数）. x
由此推得函数f (x ) 在x →+∞时极限的直观定义：
定义3 设f (x ) 当 x 大于某一正数时有定义，当 x 无限增大时, 函数值f (x ) 无限接近于一个确定的常数A ,称A 为f (x ) 当 x →+∞时的极限. 记作
x →+∞
lim f (x ) =A 或 f (x ) →A (x →+∞) ．
引例中，lim
sin x
=0.
x →+∞x
类比于数列极限的定义推得当x →+∞时函数f (x ) 的极限的直观定义：
定义4 设f (x ) 当 x 大于某一正数时有定义，如果存在常数A ，对任意给定的正数ε，总存在正数X ，使得当x >X 时，不等式
f (x ) -A
都成立，则称A 是函数f (x ) 在x →+∞时的极限，记作
x →+∞
lim f (x ) =A .
简单叙述：
x →+∞
lim f (x ) =A ⇔∀ε>0, ∃X >0. 当x >X 时, 有f (x ) -A
类比当x →+∞时函数f (x ) 的极限定义，当x →-∞时函数f (x ) 的极限定义： 定义5 设f (x ) 当 -x 大于某一正数时有定义，如果存在常数A ，对任意给定的正数ε，总存在正数X ，使得当x
f (x ) -A
都成立，则称A 是函数f (x ) 在x →-∞时的极限，记作
x →-∞
lim f (x ) =A .
简单叙述：
x →-∞
lim f (x ) =A ⇔∀ε>0, ∃X >0. 当x
在引例中，lim
sin x
=0.
x →-∞x
结合定义4和定义5，推得函数f (x ) 在x →∞时的极限定义：
定义6 设f (x ) 当 |x |大于某一正数时有定义，如果存在常数A ，对任意给定的正数ε，总存在正数X ，使得当x >X 时，不等式
f (x ) -A
都成立，则称A 是函数f (x ) 在x →∞时的极限，记作
lim f (x ) =A .
x →∞
简单叙述：
lim f (x ) =A ⇔∀ε>0, ∃X >0. 当x >X 时, 有f (x ) -A
x →∞
结合定义，函数f (x ) 在x →∞时的极限存在的充要条件是：
lim f (x ) =A ⇔lim f (x ) =lim f (x ) =A .
x →∞
x →-∞
x →+∞
例1
lim
sin x
=0.
x →∞x
证明 由于
f (x ) -A =
对∀ε>0，要使
sin x sin x 1
-0=≤, x x x
f (x ) -A
即
111
. 取X =, 当x >X 时，有f (x ) -A
lim
sin x
=0.
x →∞x
从几何上看，lim f (x ) =A 表示当x >X 时，曲线y =f (x ) 位于直线y =A -ε和
x →∞
y =A +ε之间（图1-15）
.
图2.2
这时称直线y =A 为曲线y =f (x ) 的水平渐近线. 例如 lim
sin x sin x
的水平渐近线. =0，则y =0是曲线y =
x →∞x x
二、 自变量x →x 0时函数的极限
x 2-1引例1 观察函数f (x ) =x +1和g (x ) =在x →1时函数值的变化趋势
x -1
图2.3
x 2-1
从图中得出，函数f (x ) =x +1和g (x ) =在x →1时函数值都无限接近于2，则
x -1x 2-1
称2是函数f (x ) =x +1和g (x ) =在x →1时的极限.
x -1
从上例中看出，虽然f (x ) 和g (x ) 在x =1处都有极限，但g (x ) 在x =1处不定义. 这说明函数在一点处是否存在极限与它在该点处是否有定义无关. 因此，在后面的定义中假定函数f (x ) 在x 0的某个去心邻域内有定义，函数f (x ) 在x →x 0时函数极限的直观定义： 定义7 函数f (x ) 在x 0的某个去心邻域内有定义. 当x →x 0时，函数f (x ) 的函数值无限接近于确定的常数A ，称A 为函数f (x ) 在x →x 0时的极限.
在定义7中，函数f (x ) 的函数值无限接近于某个确定的常数A ，表示f (x ) -A 能任意小，在此同样可以通过对于任意给定的正数ε，f (x ) -0），δ体现了x 接近x 0的程度. 由此得到函数f (x ) 在x →x 0时函数极限的精确定义：
定义8 函数f (x ) 在x 0的某个去心邻域内有定义. 对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，当x 满足不等式0
f (x ) -A
称A 为函数f (x ) 在x →x 0时的极限. 记作
x →x 0
lim f (x ) =A 或f (x ) →A (x →x 0) .
定义8简单表述为：
x →x 0
lim f (x ) =A ⇔∀ε>0, ∃δ>0, 当0
函数f (x ) 在x →x 0时极限为A 的几何解释：
对∀ε>0，当x ∈U (x 0, δ) 时，曲线y =f (x ) 位于直线y =A -ε和y =A +ε之间。
o
图2.4
例2
证明lim C =C , C 为常数.
x →x 0
证明 由于
f (x ) -A =C -C =0,
对∀ε>0，对∀δ>0，当0
x →x 0
lim C =C .
例3
x 2-1
=2. 证明lim
x →1x -1
证明 由于
x 2-1
f (x ) -A =-2=x -1,
x -1
对∀ε>0，要使f (x ) -A
f (x ) -A
x 2-1lim =2. x →1x -1
在函数的极限中，x →x 0既包含x 从左侧向x 0靠近，又包含从右侧向x 0靠近. 因此，在求分段函数在分界点x 0处的极限时，由于在x 0处两侧函数式子不同，只能分别讨论.
x 左侧向x 0靠近的情形，记作x →x 0. x 从右侧向x 0靠近的情形，记作x →x 0.
-+
在定义8中，若把空心邻域0
x →x 0时的左极限. 记作
x →x 0
lim -f (x ) =A 或 f (x 0) =A .
-
类似地，若把空心邻域0
x →x 0时的右极限. 记作
x →x 0
lim +f (x ) =A 或 f (x 0) =A .
+
我们把左极限和右极限统称为单侧极限.
根据f (x ) 在x →x 0时极限的定义推出f (x ) 在x →x 0时的极限存在的充要条件是左、右极限都存在并且相等，即：
定理 lim f (x ) =A ⇔lim -f (x ) =lim +f (x ) =A .
x →x 0
x →x 0
x →x 0
例4
讨论函数
⎧-x , x ≤0
f (x ) =⎨
⎩1+x , x >0
当x →0时f (x ) 极限不存在.
解 函数图形如下：
图2.5
f (x ) 在x =0处的左极限为
x →0-
lim f (x ) =lim (-x ) =0； -
x →0
右极限为
x →0+
lim f (x ) =lim (1+x ) =1. +
x →0
x →0
由于lim f (x ) ≠lim f (x ) ，故lim f (x ) 不存在. -+
x →0
x →0
定义8 如果函数y =f (x ) 在点x 0处不连续，则称f (x ) 在x 0处间断，x 0称为f (x ) 的间断点.
三、 函数的极限的性质
类比数列极限的性质，可以推得函数极限的性质. 由于函数极限自变量的变化趋势有不同的形式，下面仅以lim f (x ) 为代表讨论.
x →x 0
性质1（唯一性） 若lim f (x ) =A ，则极限值是唯一的.
x →x 0
性质2（局部有界性） 若lim f (x ) =A ，若存在常数M >0及δ>0，当0
x →x 0
时，有f (x ) ≤M .
性质3（保号性） 若lim f (x ) =A ，且A >0（或A 0，当
x →x 0
00（或f (x )
h (x ) 是三个函数，g (x ) 、性质4（夹逼准则） 设f (x ) 、若存在δ>0，当0
时，有
g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) ，lim g (x ) =lim h (x ) =A ，
x →x 0
x →x 0
则
x →x 0
lim f (x ) =A .
sin x =例5 设函数f (x ) =sin x
，lim π
x →
4
x ⎧⎪e , x ≤0
f (x ), lim -f (x ) 例6 设f (x ) =⎨2 ，求lim +
x →0x →0
⎪⎩x , x >0
例7 y =x a ，求lim y
x →x 0
例8 lim(e x cos x +ln(1+x ))
x →0
sin x
=1
x →0x
1
例10 重要极限lim(1+) x =e
x →∞x
例9 重要极限lim
例11 lim(1+x ) =e
x →0
1x
例12 lim(1+2x )
x →0x →x 0
12x
=e
定义9 若lim f (x ) =0，则称函数f (x ) 为x →x 0时的无穷小.
22
例如 lim (x -1) =0，则x -1是x →1时的无穷小. lim
x →1
11
=0，则是x →∞时的x →∞x x
无穷小.
在此需要指出的是：（1）无穷小不是很小的数，它表示当x →x 0时，f (x ) 的绝对值可以任意小的函数. （2）在说一个函数是无穷小时，一定要指明自变量的变化趋势. 同一函数，在自变量的不同变化趋势下，极限不一定为零；在常数里面. （3）0是唯一的无穷小.
定义10 函数f (x ) 在x 0的某个去心邻域内有定义. 对于任意给定的正数M ，总存在正数
δ，当x 满足不等式0
f (x ) >M ，
则称函数f (x ) 为x →x 0时的无穷大.
按照函数极限的定义，当x →x 0时无穷大的函数f (x ) 极限是不存在的. 为了便于叙述函数的这一性态，习惯上称作函数的极限是无穷大，记作
x →x 0
lim f (x ) =∞.
若把定义中f (x ) >M 改为f (x ) >M (或f (x )
x →x 0
lim f (x ) =+∞(或lim f (x ) =-∞) .
x →x 0
在此，同样注意无穷大不是很大的数，不能和很大的数混为一谈.
例如 由于lim
11
=∞，为x →0时的无穷大. x →0x x
求极限的几种常用的方法
1.
代入法：直接将x →x 0的x 0代入所求极限的函数中去，若f (x 0)存在，即为其极
限，若f (x 0)不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
0x 2-9
例如，lim 就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下
x →3x -30
的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法
x 2-9
=lim (x +3)=6。 例如，lim
x →3x -3x →3
3.
分子（分母）有理化法
例如，lim
x →2
x 2+5-32x +1-5
=lim
x →2
x 2+5-32x +1-
2x +1+)
2x +1+x +5+3x 2+5+3
2
x 2-4
=lim
x →22x -4
=lim
(x +2)(x -2) x →22x -2
=2 又如，lim 4.
x →+∞
x
2
2
+1-x =lim
)
1x +1+x
2
x →+∞
=0
化无穷大为无穷小法
1
-
3x +x -7x 例如，lim 2=lim x →∞2x -x +4x →∞1
2-+
x
2+
穷大量。由此不难得出
7
x 2=1，实际上就是分子分母同时除以x 2这个无4x 2
习题
1. 根据数列的变化趋势，求下列数列的极限：
12n +(-1) n
（1）a n =(-1) 2； （2）a n =； n
n 2
n
（3）a n =n sin
n πn -1； （4）a n =. 2n +1
2. 根据数列极限的定义，证明： （1）lim
sin n 1
lim =0. =0； （2）n →∞n →∞n 2n
n →∞
3. 设lim a n =a ，求证lim a n =a .
n →∞
4. 设数列a n 有界，lim b n =0，求证lim a n b n =0.
n →∞
n →∞
5. 求下列函数在指定点处的左、右极限，并判断在改点处极限是否存在. （1）f (x ) =
x x
，在x =0处； （2）f (x ) =⎨
⎧cos x , x >0
，在x =0处；
1+x , x
1⎧
⎪x sin , x >0
（3）f (x ) =⎨，在x =0处. x
2
⎪⎩1+x , x
6. 求下列函数的极限.
12x +1
lim ； ；
x →2x 2-x -2x →∞x
1arctan x 2
lim x cos ； lim . x →0x →∞x x
lim
x 2-4 lim ； lim (2x -1)；
x →2x →-2x +2
1+x 2
lim lim ；
x →∞2x 2x
四、 函数的连续性
定义11 函数f (x ) 在点x 0 及其附近有定义，如果当x →x 0 时，f (x ) →f (x 0) ，则称
f (x ) 在点x 0连续。
定义12 函数f (x ) 在点x 0 及其附近有定义，若
x →0
lim y =lim (f (x 0+ x ) -f (x 0)) =0
x →0
则称f (x ) 在点x 0连续。
函数y =f (x ) 在点x 0处连续，必须满足下列三个条件： （1）函数y =f (x ) 在点x 0处有定义；
（2）lim f (x ) 存在，即lim -f (x ) =lim +f (x ) ；
x →x 0
x →x 0x →x 0
（3）lim f (x ) =f (x 0)
x →x 0
例1
解 由
而f (0) =0，故
lim f (x ) =f (0) .
x →0
由连续性的定义知，函数f (x ) 在x =0处连续.
由于函数f (x ) 在x 0处极限存在等价于f (x ) 在x 0处左、右极限都存在并且相等，结合这一特点，下面定义左、右连续的概念.
如果lim -f (x ) =f (x 0) ，则称函数f (x ) 在点x 0处的左连续. 如果lim +f (x ) =f (x 0) ，
x →x 0
x →x 0
则称函数f (x ) 在点x 0处的右连续.
如果函数y =f (x ) 在点x 0处连续，必有lim f (x ) =f (x 0) ，则有
x →x 0
x →x 0-
lim f (x ) =lim +f (x ) =f (x 0) ，
x →x 0
这说明了函数y =f (x ) 在点x 0处连续，既包含了f (x ) 在点x 0处左连续，又包含了f (x ) 在点x 0处右连续. 定理1 连续.
函数y =f (x ) 在点x 0处连续的充要条件是函数y =f (x ) 在点x 0处既左连续又右
例2 讨论函数
⎧x 2, x ≤1
f (x ) =⎨
⎩x +1, x >1
在x =1处的连续性.
解 函数f (x ) 图形如图
1-22.
图2.6
f (x ) =lim x =1=f (1) ，故f (x ) 在x =1处左连续. 由于lim --
x →1
x →1
x →1+
2
(x +1)=1≠f (1) ，故f (x ) 在x =1处不右连续. lim f (x ) =lim +
x →1
因此由定理1知，函数f (x ) 在x =1处不连续.
以上是介绍函数在一点处连续的概念，下面介绍连续函数的概念.
定义13 如果函数f (x ) 在区间(a , b ) 内每一点都连续, 称f (x ) 为(a , b ) 内的连续函数.
如果函数f (x ) 在(a , b ) 内连续, 且在左端点x =a 处右连续，在右端点x =b 处左连续，则称f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续. 五、 连续函数的性质与存在性定理 1. 连续函数的性质 定理2 定理3
初等函数在其定义区间内是连续的。
设函数f (x ) 与g (x ) 在x 0处连续，则其和、差、积、商（分母在x 0处函数值不为
零）在x 0处也连续. 定理4
设函数y =f (ϕ(x ) )由y =f (u ) 和u =ϕ(x ) 复合而成. 且y =f (u ) 在u 0处连续，
x →x 0
u =ϕ(x ) 在x 0处极限lim ϕ(x ) =u 0存在，则
lim f (ϕ(x ) )=lim f (u )=f (u 0) =f ⎛lim ϕ(x ) ⎫ ⎪.
x →x 0u →u 0x →x ⎝0⎭
注：内函数的极限存在, 外函数在该极限点连续，则求复合函数的极限时极限符号可以
与外函数符号互换.
如果把条件lim ϕ(x ) =u 0改为u =ϕ(x ) 在x =x 0处连续，且ϕ(x 0) =u 0结论仍然成立，
x →x 0
即
lim f (ϕ(x ) )=f ⎛lim ϕ(x ) ⎫ ⎪=f (ϕ(x 0) ).
x →x 0⎝x →x 0⎭
例3
如果把条件lim ϕ(x ) =u 0改为u =ϕ(x ) 在x =x 0处连续，且ϕ(x 0) =u 0结论仍然成立，
x →x 0
即
lim f (ϕ(x ) )=f ⎛lim
ϕ(x ) ⎫ ⎪=f (ϕ(x 0) ).
x →x 0⎝x →x 0⎭
2. 闭区间上连续函数的性质 定理5
（最值定理）闭区间上连续的函数在该区间上一定存在最大值和最小值.
此定理说明，如果函数f (x ) ∈C [a , b ]，如图1：
图2.7
则至少存在一点ξ1∈[a , b ]，f (ξ1) =m ，对∀x ∈[a , b ]，都有f (x ) ≥m ，则m 是
f (x ) 在[a , b ]上的最小值. 至少存在一点ξ2∈[a , b ]，f (ξ2) =M ，对∀x ∈[a , b ]，都有f (x ) ≤M ，则M 是f (x ) 在[a , b ]上的最大值.
注：定理5中条件“闭区间”和“连续”很重要，如果缺少一个，定理5不一定成立.
例如，函数y =x 在开区间(0, 2) 内虽然连续，但是没有最大值和最小值（ 由于闭区间上连续函数存在最大值和最小值，因此闭区间上连续函数必定有界. 推论：闭区间上连续函数在该区间上有界. 定理6
（介值定理）函数f (x ) 在[a , b ]上连续，M 和m 分别是f (x ) 在[a , b ]上的最大
值和最小值，则至少存在一点ξ∈[a , b ]，使得m ≤f (ξ
) ≤M .
图2.8
定理7（零点定理）函数f (x ) 在[a , b ]上连续，且f (a ) ⋅f (b )
(ξ) =0.
图2.9
例4 证明方程x -2x -1=0在区间(1, 2) 内至少有一个根.
52
解 设f (x ) =x -2x -1，显然f (x ) 在[1, 2]上连续，而
5
2
f (1) =-20，
由零点定理知，至少存在一点ξ∈(1, 2) ，使得f (ξ) =0. 即x -2x -1=0在区间(1, 2) 内至少有一个根ξ.
注：在应用零点定理时，一定要注意检验函数是否满足定理使用的条件.
习题
5
2
文科数学讲义（李）
⎧ln(1-3x ) , x
⎪sin ax x >0⎪x , ⎩
2. 证明方程x =a sin x +b （a >0, b >0）至少有一个正根，且它不超过a +b .
3. 证明函数f (x ) =x 4-2x -4在(-2, 2) 之间至少有2个零点.