线性规划应用题
1．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，求该企业可获得最大利润。
解析：设甲、乙种两种产品各需生产x、y吨，可使利润z最大，故本题即
3xy132x3y18
已知约束条件，求目标函数z5x3y的最大
x0y0
值，可求出最优解为
2. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,求所需租赁费的最少值.
x3
，故zmax151227。
y4
【解析】:设甲种设备需要生产x天, 乙种设备需要生产y天, 该公司所需租赁费为z元,则
z200x300y，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:
A类产品 B类产品 租赁费 设备 (件)(≥50) (件)(≥140) 甲设备 乙设备
5 6
10 20
(元) 200 300
6
xy105x6y505
则满足的关系为10x20y140即:,
x2y14x0,y0
x0,y0
6
xy10
作出不等式表示的平面区域,当z200x300y对应的直线过两直线的交点5
x2y14
(4,5)时，目标函数z200x300y取得最低为2300元.
答案:2300
3. 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mile/h（4≤v≤20）从A港出发到距50 n mile的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h（30≤w≤100）自B港向距300 km的C市驶去应该在同一天下午4至9点到达Cx h、y h
（1）作图表示满足上述条件的x、y范围；
（2）如果已知所需的经费p=100+3×（5－x）+2×（8－y）（元）， 那么v、w分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?
分析：由p=100+3×（5－x）+2×（8－y）可知影响花费的是3x+2y的取值范围
解：（1）依题意得v=
50300
，w=，4≤v≤20，30≤w≤100 yx
由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在
9至14个小时之间，
即9≤x+y≤14 ② 因此，满足①②的点（x，y）的存在范围是图
中阴影部分（包括边界） （2）∵p=100+3·（5－x）+2·（8－y）， ∴3x+2y=131－p
设131－p=k，那么当k最大时，p最小525
∴3≤x≤10，≤y≤ ①
22
－的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点（10，4），即当x=10，y=4时，p最小 此时，v=12，w=30，p的最小值为93元
点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式的几何意义
4. 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大
(表中单位:百元)
32
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少? 解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有
30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x
、y均为整数
由图知直线y=－
31
x+P过M
（4，9）时，48
时P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96（百元）
故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元
5. 某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t6次，乙型卡车每辆每天可往返8次252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元?
分析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，解：设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么
xy9
106x68y360
x4,xNy7,yN
z=252x+160y，
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作出直线l0：252x+160y=0，把直线l使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小y=t经过点（2，5）时，满足上述要求此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低
解题回顾:用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作6. 某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?
解：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克）， 所需费用为Sxy，且x、y满足 6x+3y≥8，4x+7y≥10，x≥0，y≥0，
5513145x+S过A（，）时，纵截距S最小，即S最小 [1**********]
故每盒盒饭为面食百克，米食百克时既科学又费用最少1515
由图可知，直线y=－
7. 配制A、B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药需甲料3 mg，乙料5 mg；配一剂B种药需甲料5 mg，乙料4 mg今有甲料20 mg，乙料25 mg，若A、B两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?
解：设A、B两种药分别配x、y剂（x、y∈N），则 x≥1，y≥1，3x+5y≤20，5x+4y≤25
上述不等式组的解集是以直线x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法
8. 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表：
每张钢板的面积为：第一种1m2，第二种2 m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得所需的三种规格成品，且使所用钢板面积最小？
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为zm2，则有：
xy122xy15
，zx2y，
x3y27x0,y0,x,yN
915
作出可行域，得l1与l3的交点为A（,），
22
当直线zx2y
过点A时z最小，但A不 是整点，而在可行域内，整点（4，8）和 （6，7）都使z最小，且
3
zmin42862720，所以应分别截第一、第二种钢板4张、8张，或6张、7
张，能满足要求.
线性规划应用题
1．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，求该企业可获得最大利润。
解析：设甲、乙种两种产品各需生产x、y吨，可使利润z最大，故本题即
3xy132x3y18
已知约束条件，求目标函数z5x3y的最大
x0y0
值，可求出最优解为
2. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,求所需租赁费的最少值.
x3
，故zmax151227。
y4
【解析】:设甲种设备需要生产x天, 乙种设备需要生产y天, 该公司所需租赁费为z元,则
z200x300y，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:
A类产品 B类产品 租赁费 设备 (件)(≥50) (件)(≥140) 甲设备 乙设备
5 6
10 20
(元) 200 300
6
xy105x6y505
则满足的关系为10x20y140即:,
x2y14x0,y0
x0,y0
6
xy10
作出不等式表示的平面区域,当z200x300y对应的直线过两直线的交点5
x2y14
(4,5)时，目标函数z200x300y取得最低为2300元.
答案:2300
3. 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mile/h（4≤v≤20）从A港出发到距50 n mile的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h（30≤w≤100）自B港向距300 km的C市驶去应该在同一天下午4至9点到达Cx h、y h
（1）作图表示满足上述条件的x、y范围；
（2）如果已知所需的经费p=100+3×（5－x）+2×（8－y）（元）， 那么v、w分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?
分析：由p=100+3×（5－x）+2×（8－y）可知影响花费的是3x+2y的取值范围
解：（1）依题意得v=
50300
，w=，4≤v≤20，30≤w≤100 yx
由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在
9至14个小时之间，
即9≤x+y≤14 ② 因此，满足①②的点（x，y）的存在范围是图
中阴影部分（包括边界） （2）∵p=100+3·（5－x）+2·（8－y）， ∴3x+2y=131－p
设131－p=k，那么当k最大时，p最小525
∴3≤x≤10，≤y≤ ①
22
－的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点（10，4），即当x=10，y=4时，p最小 此时，v=12，w=30，p的最小值为93元
点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式的几何意义
4. 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大
(表中单位:百元)
32
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少? 解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有
30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x
、y均为整数
由图知直线y=－
31
x+P过M
（4，9）时，48
时P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96（百元）
故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元
5. 某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t6次，乙型卡车每辆每天可往返8次252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元?
分析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，解：设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么
xy9
106x68y360
x4,xNy7,yN
z=252x+160y，
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作出直线l0：252x+160y=0，把直线l使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小y=t经过点（2，5）时，满足上述要求此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低
解题回顾:用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作6. 某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?
解：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克）， 所需费用为Sxy，且x、y满足 6x+3y≥8，4x+7y≥10，x≥0，y≥0，
5513145x+S过A（，）时，纵截距S最小，即S最小 [1**********]
故每盒盒饭为面食百克，米食百克时既科学又费用最少1515
由图可知，直线y=－
7. 配制A、B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药需甲料3 mg，乙料5 mg；配一剂B种药需甲料5 mg，乙料4 mg今有甲料20 mg，乙料25 mg，若A、B两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?
解：设A、B两种药分别配x、y剂（x、y∈N），则 x≥1，y≥1，3x+5y≤20，5x+4y≤25
上述不等式组的解集是以直线x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法
8. 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表：
每张钢板的面积为：第一种1m2，第二种2 m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，问各截这两种钢板多少张，可得所需的三种规格成品，且使所用钢板面积最小？
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为zm2，则有：
xy122xy15
，zx2y，
x3y27x0,y0,x,yN
915
作出可行域，得l1与l3的交点为A（,），
22
当直线zx2y
过点A时z最小，但A不 是整点，而在可行域内，整点（4，8）和 （6，7）都使z最小，且
3
zmin42862720，所以应分别截第一、第二种钢板4张、8张，或6张、7
张，能满足要求.