重心是重力的重要特性
重力是一种场力，相对弹力和摩擦力这两种接触力来说，它的作用规律较简单。学生对重力的分析一般感到较易，但并不是都没有问题。如在解物体平衡一类问题及跟重心概念相关的其他问题（如求摩擦力）时，常会出现一些不容轻视的错误和疑难。产生错难的最根本原因在于对重心概念缺乏正确深刻实质性的理解，因而没有掌握重力的作用规律和分析的方法。其中的原因，又跟学生对引入重心概念所根据的力的性质及所采用的等效替换抽象思维方法不甚理解有关。
本文意在围绕重心概念，提出若干在重力问题教学中应着重阐明并要求学生理解掌握的基本问题和基本规律方法。
一、关于重心的概念
物体由许多微小部分组成，这许多部分受到地球的引力，可视为垂向地面的一组同向平行力。这组分散的同向平行力共同作用的总效果，就整体看，与集中作用于某一点相当，这一点称为物体的重心。集中作用于重心上的一个等效力，自然就等于整个物体的全部重力各微小部分重力的总和，这个总和称为合力。因此，重心就是物体各部分所受重力的合力的作用点。可见，重心的位置是根据重力的总效果去“想象”出来而确定的。
重心并非一个集中的真实力的作用点。它只是对物体重力作等效处理所得到的一个特殊点。重力本来是一组空间分布力，但根据力的性质，可以把这一组分布力代换为产生同样效果的一个集中力。这个集中的总重力只是对各个分散的微重力作等效的抽象，这个集中力的作用点（重心），也只是对物体重力作用位置的等效抽象。实际上，并没有一个大小等于物体全重的真实力作用在重心上。
要进一步指出的是，重心和质点是两个不同的概念：首先是它们的内涵不同：重心是重力作用的集中点；而质点是代表物体的质量的集中点。其次是建立这两概念的抽象思维方法也根本不同：重心是从等效变换角度去考虑问题，等效方法的基本思想是从不同形态的事物具有相同的本质效果上把它们等价看待。以简单的形态去代替复杂的形态，从而得到便于计算有关物理量的最简形态；而质点是从理想化的角度去考虑问题，理想化方法的基本思想是分清主次，突出跟研究的问题相关的起决定作用的主要因素，忽略次要因素，构造出能清晰反映现象的本质特征的物理简图，从而得到便于研究其运动规律的简化的理想模型。
另一方面，这两种思维方法虽是对不同的物理事实作不同质的抽象，它们却有一个共同点：它们都是对研究对象（物理事实和客体）在一定的
条件和目的下进行科学抽象的产物。抽象的目的都是为了简化所研究的实际对象，使复杂问题简单化，以便简捷地抓住物理现象和过程的本质，运用最基本最普遍最简单的规律（法则）去研究复杂的问题。例如，电路的等效变换，是对电路的一种抽象，目的是简化电路，以便运用欧姆定律进行有关的计算。这种抽象不仅是一种有效的计算技术，而且是物理学中从现象到本质，形成概念，探索规律常用的重要的理论研究方法。
另外，重心和质心也是不同的概念。重心是重力的作用点，而质心是刚体的质量分布中心；当物体远离地球，不受重力作用时，重心失去了存在的意义，而此时刚体的质心仍存在。
然而，这两概念也有联系，在一般情况下（物体不太大，物体内各点的重力方向平行），刚体的重心和质心是重合的。但当物体特别大（如一座大山，其上各点的重力方向不能视为平行）时，刚体的重心和质心就不重合了。
二、引入重心概念的必要性和合理性
抽象出重心的概念之后，就可用一个通过重心的力来代替分布在整个物体上的力。在受力分析时，当把整个物体的重力看成集中作用于重心上之后，物体上的其它各点就应看成是没有重力的了。这时物体的原体就只是一个徒有其形的空壳子，它只起到架起空间力学结构的支撑作用。这样就大大简化了对物体重力的分析和对物体平衡或运动问题的计算。也便于人们从整体上把握和控制物体的平衡或运动状态及状态变化的趋势。这就是引入重心概念的必要性和优越性所在。
重心概念的提出，既是简化所研究问题的需要，也是合理的，符合客观实际的，因此，具有现实意义。其合理性可从这样的实验事实得以证明：在下面图1的两种情况中，在物体的重心处加上一个与物体重力相等的向上支持力，就可使物体处于平衡。
三、重心的基本特性重力的宏观作用规律
1．重心的基本特性：重心的位置只与物体的形状和物体内部质量的分布情况有关，与周围环境无关。只要物体的形状及内部质量分布不变，无论它被怎样放置和处于何种运动状态，物体重心的位置总是固定不变的。即刚体的重心是一个定点。但一旦物体的形状或质量组成发生变化，其重心位置也随之变化。这是重心的一个重要的基本特性。例如，图1中，一均匀直杆AB，其重心位置在中点O处；若将OB段对折，则整体的重心将转移到OA段的某定点O＇处。
又如，人体总重
心的位置是随着身体各部分位置的变动而变化的。因此，它不是一个固定点。
注意：初学者易错误认为；①物体的重力不变，重心位置就不会改变；②通过物体的重心，把物体分为两部分，这两部分物体所受的重力一定相等。后种错误的原因是把对称均匀体适用的规律推广到不对称非均匀体上去了。
2．重力的宏观等效作用规律：本来是不存在一个大小等于物体全重的真实力作用在重心上的。但从重力作用的宏观实际效果看，物体整体的重力却又是作用在重心上的。所以，当物体放在水平支承物上，只要物体的重心没有离开支承面，则物体对支承面的压力总等于物体的全重。这是重力作用的一个宏观等效规律。
这一规律可从下面的事实得到证明：把一根木棒平放在磅秤上称重时，逐次增加棒伸出秤台外的长度，则只要木棒的重心未离开秤台面，磅秤的示数（视重）总不变。
有不少高三毕业生，由于没有理解重心的实质，不懂得上述重力作用规律，以致对下面较简单的问题作出错误的判断：
[题目]如图2示，一根质量为m，长度为l的均匀长方木料放在水平桌面上，木棒与桌面间的摩擦系数为μ，现用水平力F推木料，当木料经过图中所示位置时，桌面对它的摩擦力等于______。
这是87年的高考题，当年不少考生填2／3μmg。其错误思路是：木料只有2／3压在桌面上，故对桌面的压力等于全重的2／3。错因是，没有认识到：只要重心没有离开桌面，则木料对桌面的压力是不变的。 另有学生虽答对f=μmg，但其判断的根据是摩擦力跟两物接触面积无关。这就还没有抓住问题的实质，因为摩擦力跟接触面积无关要以正压力不变为前提。命题者的意图是以“1／3长度（接触面）伸出桌面”作迷雾，来检查考生是否理解重心的概念和掌握由它渗透出的重力宏观作用规律。
四、运用重心概念正确分析恰当处理重力
运用重心概念，可对重力作不同的处理。
在研究物体的平衡问题时，对重力可作两种处理：整体和分段（部分）处理。整体处理是把物体的全部重力当作集中作用在整体的重心上；分段（部分）处理是视具体情况，把物体分为若干段（部分），把各段（部分）的重力看成集中作用在各段（部分）的重心处，然后计算整体或各段（部分）的重力的力矩。
作何种处理，需视具体问题而定。一般说，对重力作整体处理解题最简便，但有时又需要对重力作分段处理。
[例1］如图3，长5米，粗细不匀的木棒，在距粗端2米处支起恰能平衡；若在距这端3米处支起，则须在另一端挂一个20牛的重物，才能使它平衡。求这木棒的重力。
此题虽简浅，但初学者由于对重心的概念的实质及重力的宏观作用规律还不甚理解，尚有部分学生不能顺利解答此题，常产生多种错难。主要问题是不能正确分析恰当处理重力。
例如，有学生不能根据重心的概念，由第一种平衡情况，即知整棒重心就在支点O处；有学生对第二种平衡情况，认为木棒是在整棒重力G和AO＇段重力G1及所挂重物的拉力P这三力的力矩作用下处于平衡态的
（如图4）。这就犯了重复计入AO＇段重力的错误。他们总疑虑：AO＇段既在支点O＇的左边，怎么能把该段的重力合并到支点右边的O＇B段中去处理呢？基于这种考虑，有的学生又对重力作了不恰当的分段处理：将木棒看成是在拉力P、AO＇段的重力G，和O＇B段重力G2这三力的力矩作
用下处于平衡的（如图5）。终因G1、G2及它们的力臂未知而无法求解。
[例2]重为G的均匀钢棒，长0.8米，在中点折成两段成90°角，后悬挂于O点（图6）。求静止后钢棒上段与竖直方向的夹角θ=？
分析和解：整体的重心不在物体上。这时应把整体看成是在两段棒的重力的力矩作用下处于平衡状态的。以悬点O为转轴，作用在整棒上的合力矩为零。即两段棒的重力力矩必相等。列出力矩平衡方程为：
得 tgθ=1／3=0.33，故θ=arctg0.33。
五、确定物体重心的方法
1．对均质物体说，其重心完全由几何形状来决定，所以形心就是其重心。形状规则均质的棒状或板状物体，重心就在其几何中心（形心）处。例如，薄匀圆板的重心在圆心处；均质三角形薄板的重心在三角形三边中线的交点上；矩形匀板的重心在其对角线交点上。注意：重心不一定在物体上。如金属圆环，直角尺等物的重心在物体外。
2．对由形状不同而规则质匀的几部分组成的物体，可先分别找出形状简单的各个组成部分的重心，后按平行力的力矩平衡条件，计算整体重心的位置。
3．对形状不规则、质量分布也不均匀的物体的重心，可用下面两种实验法则定：
①悬挂法：此法对确定匀质薄片物体的重心较方便准确（中学课本已达，方法略）。
②称重法：对形状复杂、体积庞大的物体（如汽车），常用此法求重心（中学不讲，方法略）。
注意：在解题时，常根据共点力的平衡条件来确定不均匀的棒状物的重心位置：
①若物体仅在重力和一个支持力作用下处于平衡态，则支点处就是重心（如图3题第一种情况）。
②若物体在重力和两个非平行的支持力作用下处于平衡态，则重力作用线必定通过这二个非平行力作用线的交点。由此可确定物体重心的位置。例如，下面的问题：
[题目]一根粗细不均匀2.5米长的树干，象图7那样把它挂起来。已知两根轻绳的长度分别是2.0米和1.5米，这时树干恰好能保持水平。求树干的重心。
根据上述规律，作出力图，即可确定重心就在D点。由题给条件，可近似算出D点距粗端B0.9米（具体算法略）。
三、历史性贡献永载史册
伦琴发现X射线后，几乎所有的欧美有关科学学会均授予他名誉会员称号。德皇召他进宫表演X射线的贯穿本领，并授予他二级普鲁士勋章。德国国会，许多学校和学术团体邀请他讲演，名目繁多的勋章，各种各样的荣誉称号和职务一齐向他涌来，可伦琴一向淡泊名利，其中有不少被他谢绝了。巴伐利亚贵族院曾授予他王室勋章及贵族封号，伦琴不顾世俗的偏见和个别人的攻击诽谤，拒绝接受贵族封号。
X射线发现后，宣传报道中最多的是X射线在医学和照相术中的应用，然伦琴并不赞赏，他的本意是要探究X射线的性质，对医学上的应用也是鼓励年轻人去研究。X射线在医疗诊断及金属检测中的重大应用价值，完全可使伦琴成为百万富翁。“美国人在我面前挥动着上百万的美钞。”伦琴丝毫不为金钱所动，“我的发现属于所有的人。但愿我的这一发现能被全世界科学家所利用。这样，它就会更好地服务于全人类„„”这就是伦琴的回答，是他崇高品格的生动写照。
在诺贝尔（A.B.Nobel）逝世五年之后，伦琴于1901年荣获首次颁发的诺贝尔物理学奖，对于这一极大的荣誉，伦琴完全当之无愧，他接受了诺贝尔奖，却把5万瑞典克朗的奖金转赠给了维尔茨堡大学。
X射线的发现，打破了物理学已发展到顶，物理学家无事可做的沉闷空气，重新激起人们去探索未知领域的希望和热情。1896年2月贝克勒尔发现了钠盐的放射性，尔后一系列具有划时代意义的重大发现接踵而至。然这一切都是由X射线的发现所开创的，是伦琴揭开了20世纪物理学革命的序幕，他的历史性贡献将永载史册。
重心是重力的重要特性
重力是一种场力，相对弹力和摩擦力这两种接触力来说，它的作用规律较简单。学生对重力的分析一般感到较易，但并不是都没有问题。如在解物体平衡一类问题及跟重心概念相关的其他问题（如求摩擦力）时，常会出现一些不容轻视的错误和疑难。产生错难的最根本原因在于对重心概念缺乏正确深刻实质性的理解，因而没有掌握重力的作用规律和分析的方法。其中的原因，又跟学生对引入重心概念所根据的力的性质及所采用的等效替换抽象思维方法不甚理解有关。
本文意在围绕重心概念，提出若干在重力问题教学中应着重阐明并要求学生理解掌握的基本问题和基本规律方法。
一、关于重心的概念
物体由许多微小部分组成，这许多部分受到地球的引力，可视为垂向地面的一组同向平行力。这组分散的同向平行力共同作用的总效果，就整体看，与集中作用于某一点相当，这一点称为物体的重心。集中作用于重心上的一个等效力，自然就等于整个物体的全部重力各微小部分重力的总和，这个总和称为合力。因此，重心就是物体各部分所受重力的合力的作用点。可见，重心的位置是根据重力的总效果去“想象”出来而确定的。
重心并非一个集中的真实力的作用点。它只是对物体重力作等效处理所得到的一个特殊点。重力本来是一组空间分布力，但根据力的性质，可以把这一组分布力代换为产生同样效果的一个集中力。这个集中的总重力只是对各个分散的微重力作等效的抽象，这个集中力的作用点（重心），也只是对物体重力作用位置的等效抽象。实际上，并没有一个大小等于物体全重的真实力作用在重心上。
要进一步指出的是，重心和质点是两个不同的概念：首先是它们的内涵不同：重心是重力作用的集中点；而质点是代表物体的质量的集中点。其次是建立这两概念的抽象思维方法也根本不同：重心是从等效变换角度去考虑问题，等效方法的基本思想是从不同形态的事物具有相同的本质效果上把它们等价看待。以简单的形态去代替复杂的形态，从而得到便于计算有关物理量的最简形态；而质点是从理想化的角度去考虑问题，理想化方法的基本思想是分清主次，突出跟研究的问题相关的起决定作用的主要因素，忽略次要因素，构造出能清晰反映现象的本质特征的物理简图，从而得到便于研究其运动规律的简化的理想模型。
另一方面，这两种思维方法虽是对不同的物理事实作不同质的抽象，它们却有一个共同点：它们都是对研究对象（物理事实和客体）在一定的
条件和目的下进行科学抽象的产物。抽象的目的都是为了简化所研究的实际对象，使复杂问题简单化，以便简捷地抓住物理现象和过程的本质，运用最基本最普遍最简单的规律（法则）去研究复杂的问题。例如，电路的等效变换，是对电路的一种抽象，目的是简化电路，以便运用欧姆定律进行有关的计算。这种抽象不仅是一种有效的计算技术，而且是物理学中从现象到本质，形成概念，探索规律常用的重要的理论研究方法。
另外，重心和质心也是不同的概念。重心是重力的作用点，而质心是刚体的质量分布中心；当物体远离地球，不受重力作用时，重心失去了存在的意义，而此时刚体的质心仍存在。
然而，这两概念也有联系，在一般情况下（物体不太大，物体内各点的重力方向平行），刚体的重心和质心是重合的。但当物体特别大（如一座大山，其上各点的重力方向不能视为平行）时，刚体的重心和质心就不重合了。
二、引入重心概念的必要性和合理性
抽象出重心的概念之后，就可用一个通过重心的力来代替分布在整个物体上的力。在受力分析时，当把整个物体的重力看成集中作用于重心上之后，物体上的其它各点就应看成是没有重力的了。这时物体的原体就只是一个徒有其形的空壳子，它只起到架起空间力学结构的支撑作用。这样就大大简化了对物体重力的分析和对物体平衡或运动问题的计算。也便于人们从整体上把握和控制物体的平衡或运动状态及状态变化的趋势。这就是引入重心概念的必要性和优越性所在。
重心概念的提出，既是简化所研究问题的需要，也是合理的，符合客观实际的，因此，具有现实意义。其合理性可从这样的实验事实得以证明：在下面图1的两种情况中，在物体的重心处加上一个与物体重力相等的向上支持力，就可使物体处于平衡。
三、重心的基本特性重力的宏观作用规律
1．重心的基本特性：重心的位置只与物体的形状和物体内部质量的分布情况有关，与周围环境无关。只要物体的形状及内部质量分布不变，无论它被怎样放置和处于何种运动状态，物体重心的位置总是固定不变的。即刚体的重心是一个定点。但一旦物体的形状或质量组成发生变化，其重心位置也随之变化。这是重心的一个重要的基本特性。例如，图1中，一均匀直杆AB，其重心位置在中点O处；若将OB段对折，则整体的重心将转移到OA段的某定点O＇处。
又如，人体总重
心的位置是随着身体各部分位置的变动而变化的。因此，它不是一个固定点。
注意：初学者易错误认为；①物体的重力不变，重心位置就不会改变；②通过物体的重心，把物体分为两部分，这两部分物体所受的重力一定相等。后种错误的原因是把对称均匀体适用的规律推广到不对称非均匀体上去了。
2．重力的宏观等效作用规律：本来是不存在一个大小等于物体全重的真实力作用在重心上的。但从重力作用的宏观实际效果看，物体整体的重力却又是作用在重心上的。所以，当物体放在水平支承物上，只要物体的重心没有离开支承面，则物体对支承面的压力总等于物体的全重。这是重力作用的一个宏观等效规律。
这一规律可从下面的事实得到证明：把一根木棒平放在磅秤上称重时，逐次增加棒伸出秤台外的长度，则只要木棒的重心未离开秤台面，磅秤的示数（视重）总不变。
有不少高三毕业生，由于没有理解重心的实质，不懂得上述重力作用规律，以致对下面较简单的问题作出错误的判断：
[题目]如图2示，一根质量为m，长度为l的均匀长方木料放在水平桌面上，木棒与桌面间的摩擦系数为μ，现用水平力F推木料，当木料经过图中所示位置时，桌面对它的摩擦力等于______。
这是87年的高考题，当年不少考生填2／3μmg。其错误思路是：木料只有2／3压在桌面上，故对桌面的压力等于全重的2／3。错因是，没有认识到：只要重心没有离开桌面，则木料对桌面的压力是不变的。 另有学生虽答对f=μmg，但其判断的根据是摩擦力跟两物接触面积无关。这就还没有抓住问题的实质，因为摩擦力跟接触面积无关要以正压力不变为前提。命题者的意图是以“1／3长度（接触面）伸出桌面”作迷雾，来检查考生是否理解重心的概念和掌握由它渗透出的重力宏观作用规律。
四、运用重心概念正确分析恰当处理重力
运用重心概念，可对重力作不同的处理。
在研究物体的平衡问题时，对重力可作两种处理：整体和分段（部分）处理。整体处理是把物体的全部重力当作集中作用在整体的重心上；分段（部分）处理是视具体情况，把物体分为若干段（部分），把各段（部分）的重力看成集中作用在各段（部分）的重心处，然后计算整体或各段（部分）的重力的力矩。
作何种处理，需视具体问题而定。一般说，对重力作整体处理解题最简便，但有时又需要对重力作分段处理。
[例1］如图3，长5米，粗细不匀的木棒，在距粗端2米处支起恰能平衡；若在距这端3米处支起，则须在另一端挂一个20牛的重物，才能使它平衡。求这木棒的重力。
此题虽简浅，但初学者由于对重心的概念的实质及重力的宏观作用规律还不甚理解，尚有部分学生不能顺利解答此题，常产生多种错难。主要问题是不能正确分析恰当处理重力。
例如，有学生不能根据重心的概念，由第一种平衡情况，即知整棒重心就在支点O处；有学生对第二种平衡情况，认为木棒是在整棒重力G和AO＇段重力G1及所挂重物的拉力P这三力的力矩作用下处于平衡态的
（如图4）。这就犯了重复计入AO＇段重力的错误。他们总疑虑：AO＇段既在支点O＇的左边，怎么能把该段的重力合并到支点右边的O＇B段中去处理呢？基于这种考虑，有的学生又对重力作了不恰当的分段处理：将木棒看成是在拉力P、AO＇段的重力G，和O＇B段重力G2这三力的力矩作
用下处于平衡的（如图5）。终因G1、G2及它们的力臂未知而无法求解。
[例2]重为G的均匀钢棒，长0.8米，在中点折成两段成90°角，后悬挂于O点（图6）。求静止后钢棒上段与竖直方向的夹角θ=？
分析和解：整体的重心不在物体上。这时应把整体看成是在两段棒的重力的力矩作用下处于平衡状态的。以悬点O为转轴，作用在整棒上的合力矩为零。即两段棒的重力力矩必相等。列出力矩平衡方程为：
得 tgθ=1／3=0.33，故θ=arctg0.33。
五、确定物体重心的方法
1．对均质物体说，其重心完全由几何形状来决定，所以形心就是其重心。形状规则均质的棒状或板状物体，重心就在其几何中心（形心）处。例如，薄匀圆板的重心在圆心处；均质三角形薄板的重心在三角形三边中线的交点上；矩形匀板的重心在其对角线交点上。注意：重心不一定在物体上。如金属圆环，直角尺等物的重心在物体外。
2．对由形状不同而规则质匀的几部分组成的物体，可先分别找出形状简单的各个组成部分的重心，后按平行力的力矩平衡条件，计算整体重心的位置。
3．对形状不规则、质量分布也不均匀的物体的重心，可用下面两种实验法则定：
①悬挂法：此法对确定匀质薄片物体的重心较方便准确（中学课本已达，方法略）。
②称重法：对形状复杂、体积庞大的物体（如汽车），常用此法求重心（中学不讲，方法略）。
注意：在解题时，常根据共点力的平衡条件来确定不均匀的棒状物的重心位置：
①若物体仅在重力和一个支持力作用下处于平衡态，则支点处就是重心（如图3题第一种情况）。
②若物体在重力和两个非平行的支持力作用下处于平衡态，则重力作用线必定通过这二个非平行力作用线的交点。由此可确定物体重心的位置。例如，下面的问题：
[题目]一根粗细不均匀2.5米长的树干，象图7那样把它挂起来。已知两根轻绳的长度分别是2.0米和1.5米，这时树干恰好能保持水平。求树干的重心。
根据上述规律，作出力图，即可确定重心就在D点。由题给条件，可近似算出D点距粗端B0.9米（具体算法略）。
三、历史性贡献永载史册
伦琴发现X射线后，几乎所有的欧美有关科学学会均授予他名誉会员称号。德皇召他进宫表演X射线的贯穿本领，并授予他二级普鲁士勋章。德国国会，许多学校和学术团体邀请他讲演，名目繁多的勋章，各种各样的荣誉称号和职务一齐向他涌来，可伦琴一向淡泊名利，其中有不少被他谢绝了。巴伐利亚贵族院曾授予他王室勋章及贵族封号，伦琴不顾世俗的偏见和个别人的攻击诽谤，拒绝接受贵族封号。
X射线发现后，宣传报道中最多的是X射线在医学和照相术中的应用，然伦琴并不赞赏，他的本意是要探究X射线的性质，对医学上的应用也是鼓励年轻人去研究。X射线在医疗诊断及金属检测中的重大应用价值，完全可使伦琴成为百万富翁。“美国人在我面前挥动着上百万的美钞。”伦琴丝毫不为金钱所动，“我的发现属于所有的人。但愿我的这一发现能被全世界科学家所利用。这样，它就会更好地服务于全人类„„”这就是伦琴的回答，是他崇高品格的生动写照。
在诺贝尔（A.B.Nobel）逝世五年之后，伦琴于1901年荣获首次颁发的诺贝尔物理学奖，对于这一极大的荣誉，伦琴完全当之无愧，他接受了诺贝尔奖，却把5万瑞典克朗的奖金转赠给了维尔茨堡大学。
X射线的发现，打破了物理学已发展到顶，物理学家无事可做的沉闷空气，重新激起人们去探索未知领域的希望和热情。1896年2月贝克勒尔发现了钠盐的放射性，尔后一系列具有划时代意义的重大发现接踵而至。然这一切都是由X射线的发现所开创的，是伦琴揭开了20世纪物理学革命的序幕，他的历史性贡献将永载史册。