一． 填空题（每小题3分，共15分）
5x 1x 21
23
1. 设
D =
x 1x 12
, 则x 4的系数=x 322x
020
2⎤
0⎥, ⎥3⎥⎦
⎡1
2. 设A 是4⨯3矩阵, 且A 的秩R(A)=2, 而B =⎢0
⎢⎢⎣1
则R(AB)= 2
3. 已知三阶矩阵A 的特征值为1, 2, -1, B =A 3-5A 2, 则B
= 288
⎧λx 1+x 2+x 3=0
4. 齐次线性方程组⎪⎨x 1+λx 2+x 3=0, 只有零解, 则λ满足 λ
⎪x +x +x =0
23⎩1
=0或2
5. 当n 元二次型正定时, 二次型的秩为 n
二． 选择题（每小题3分，共15分）
1. 设
A 为n 阶方阵, 则A =0的必要条件是( B )
(a) A的两行(或列) 元素对应成比例 (b) A中必有一行为其余行的线性组合 (c) A中有一行元素全为零 (d) 任一行为其余行的线性组合 2. 设n 维行向量α
T T =(2, 0, , 0, 2), 矩阵A =E -αα, B =E +2αα,
其中E 为n 阶单位矩阵, 则AB =( B )
(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+α 3. 设(a) (c)
T
α
A , B 为n 阶方阵, 满足等式AB =0, 则必有( C )
A =0或B =0 (b) A +B =0
A =0或B =0 (d) A +B =0
n ≤s ) 线性无关的充分必要条件是( C )
4.s维向量组α1, α2, , αn (3≤
(a) 存在一组不全为零的数k 1, k 2, , k n , 使得k 1α1+k 2α2+ +k n αn ≠0
1 第 页 共6页
(b) α1, α2, , αn 中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) α1, α2, , αn 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d) α1, α2, , αn 中任意两个向量都线性无关 5. 设A 为n 阶方阵, 且秩R (A ) =则
n -1, α1, α2是Ax =0的两个不同的解,
-α2) (d) k (α1+α2)
Ax =0的通解为( AB )
(a) k α1 (b) k α2 (c) k (α11．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。
⎡001⎤⎡100⎤⎡100⎤⎡100⎤⎢010⎥⎢000⎥⎢020⎥⎢01-2⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢100⎥⎦ (B)⎢⎣010⎥⎦ (C) ⎢⎣001⎥⎦(D) ⎢⎣001⎥⎦ （A ）⎣
2．设向量组（A ）（C ）
α1, α2, α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。
α1-α2, α2-α3, α3-α1 （B ）α1, α2, α3+α1 α1, α2,2α1-3α2 （D ）α2, α3,2α2+α3
）
-12
(A +2E ) =（ A +A -5E =03．设A 为n 阶方阵，且。则
11(A -E ) (A +E ) 33 (A) A -E (B) E +A (C) (D)
A 为m ⨯n 矩阵，则有（ ）。
（A ）若m
（B ）若m
（C ）若A 有n 阶子式不为零，则Ax =b 有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则Ax =0仅有零解。
4．设
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（ ） （A ）A 与B 相似 （B ）A ≠B ，但|A-B |=0
（C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B| 三、填空题（每小题4分，共20分）
01
2
n
n -1
0 。
1．
2．
A 为3阶矩阵，且满足
A =
3, 则
A -1
=______，
3A *=
。
2 第 页 共6页
⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎛1⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪α1= 1α=2α=4α=234 ⎪ ⎪ ⎪ 2⎪
1⎪ 5⎪ 7⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是线性 （填相关或无关）的，它的一3．向量组，，，
个极大线性无关组是 。
⎛1⎫⎛4⎫
⎪ ⎪24η1= ⎪η2+η3= ⎪
3⎪ 4⎪ 4⎪⎪ 4⎪⎪η, η, ηR (A ) Ax =b 123⎝⎭，⎝⎭，4． 已知是四元方程组的三个解，其中A 的秩=3，
则方程组Ax =b 的通解为 。
⎡2-31⎤
⎥A =⎢1a 1⎢⎥
⎢⎣503⎥⎦，且秩(A )=2，则a = 5．设
1．选B 。初等矩阵一定是可逆的。
2．选B 。A 中的三个向量之和为零，显然A 线性相关； B 中的向量组与α1，α2，α3等价, 其秩为3，B 向量组线性无关；C 、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合，C 、D 中的向量组线性相关。
2A +A -2E =3E ⇒(A +2E )(A -E ) =3E ，
3．选C 。由A +A -5E =0⇒
1-1
⇒(A +2E )=(A -E )
3) 。
。
2
R (A |b ) ；B 错误，Ax =0的基础解系含有n -R (A )
个解向量；C 错误，因为有可能R (A ) =n
4．选D 。A 错误，因为m
-1-1
PAP =diag (λ, λ, , λ) =QBQ P , Q 12n 5．选A 。A 正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵，使得，
因此
A , B 都相似于同一个对角矩阵。
n +1
()-1n ! （按第一列展开） 三、1．
2．
12*353A 3A 3；3（=）
3． 相关（因为向量个数大于向量维数）。
α1, α2, α4。因为α3=2α1+α2，A =|α1 α2 α4|≠0。
T
14． (
5．a
234)+k (20-2-4)
T
。因为R
(A )=3，原方程组的导出组的基础解系中只含
有一个解向量，取为η2+η3-2η1，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。
×××大学线性代数期末考试题
=6（R (A )=2⇒A =0)
一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）
3 第 页 共6页
1
1. 若
-352
1
x =0，则χ=__________。 -2
0-1
⎧λx 1+x 2+x 3=0⎪
2．若齐次线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=0只有零解，则λ应满足 。
⎪x +x +x =0
23⎩1
3．已知矩阵
A ，B ，C =(c ij ) s ⨯n ，满足AC =CB ，则A 与B 分别是
a 12⎫⎪
a 22⎪的行向量组线性 a 32⎪⎭
⎛a 11
4．矩阵A = a 21
a ⎝31
5．n 阶方阵
A 满足A 2-3A -E =0，则A -1= 。
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)
1. 设
A 为n 阶矩阵，且A =2，则A A T =（ ）。
n
① 2 ② 2
n -1
③ 2
n +1
④ 4
2. n 维向量组 α1，α2，。 ，αs （3 ≤ s ≤ n）线性无关的充要条件是（ ）
① α1，α2， ，αs 中任意两个向量都线性无关
② α1，α2， ，αs 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ α1，α2， ，αs 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ α1，α2， ，αs 中不含零向量
3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个n +1维向量线性相关 ② 任意n 个n +1维向量线性无关 ③ 任意n +1个n 维向量线性相关 ④ 任意n +1个n 维向量线性无关 4. 设
A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则A +B 可逆 ③ 若A +B 可逆，则 A -B 可逆
A ，B 均可逆，则 A B 可逆
④ 若A +B 可逆，则 A ，B 均可
② 若
逆
4 第 页 共6页
5. 若ν1，ν2，ν3，ν4是线性方程组（ ）
A X=0的基础解系，则ν1+ν2+ν3+ν4是A X=0的
④ A的行向量
① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解
四、计算题 ( 每小题9分，共63分)
1. 计算行列式
x +a a a a b c d x +b c d b x +c d b c x +d
。
一、填空题 1. 5 5.
三、单项选择题 1. ③ 四、计算题 1.
2. ③
3. ③
4. ②
5. ①
2. λ
≠1 3. s ⨯s ，n ⨯n
4. 相关
A -3E
x +a a a a
b x +b b b
c c x +c c d d d x +d b b b x +b =
x +a +b +c +d x +a +b +c +d x +a +b +c +d x +a +b +c +d c c x +c c
d d d x +d
b x +b b b
c c x +c c
d d d x +d 1b
c x d 00x
x 0
=(x +a +b +c +d ) =(x +a +b +c +d )
00
=(x +a +b +c +
000
一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）
1
1. 若
-352
1
x =0，则χ=__________。 -2
0-1
⎧λx 1+x 2+x 3=0⎪
2．若齐次线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=0只有零解，则λ应满足 。
⎪x +x +x =0
23⎩1
5 第 页 共6页
3．已知矩阵
A ，B ，C =(c ij ) s ⨯n ，满足AC =CB ，则A 与B 分别是 阶矩阵。
a 12⎫⎪
a 22⎪的行向量组线性 。 a 32⎪⎭
⎛a 11
4．矩阵A = a 21
a ⎝31
5．n 阶方阵
A 满足A 2-3A -E =0，则A -1=
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)
1. 设
A 为n 阶矩阵，且A =2，则A A T =（ ）。
n
① 2 ② 2
n -1
③ 2
n +1
④ 4
2. n 维向量组 α1，α2，。 ，αs （3 ≤ s ≤ n）线性无关的充要条件是（ ）
① α1，α2， ，αs 中任意两个向量都线性无关
② α1，α2， ，αs 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ α1，α2， ，αs 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ α1，α2， ，αs 中不含零向量
3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个n +1维向量线性相关② 任意n 个n +1维向量线性无关 ③ 任意n +1个n 维向量线性相关④ 任意n +1个n 维向量线性无关 4. 设
A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则A +B 可逆 ③ 若A +B 可逆，则 A -B 可逆
A ，B 均可逆，则 A B 可逆
④ 若A +B 可逆，则 A ，B 均可
② 若
逆
5. 若ν1，ν2，ν3，ν4是线性方程组（ ）
① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解
一、1. 5 2. λ
④ A的行向量
A X=0的基础解系，则ν1+ν2+ν3+ν4是A X=0的
≠1 3. s ⨯s ，n ⨯n 4. 相关 5.
A -3E
1. ③
2. ③
3. ③
4. ②
5. ①
6 第 页 共6页
一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1
1．已知
23
是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为____________．
1-1x 11-1
应填：1．
⎡k ⎢1
2．已知矩阵A =⎢
⎢1⎢⎣1
应填：-3． 3．已知线性方程组
1k 1111k 1
1⎤1⎥⎥，且A 的秩r (A )=3，则k =___________． 1⎥⎥k ⎦
⎧x +y =0⎪
⎨-2x +3y =5 ⎪2x +y =a ⎩
有解，则a =___________． 应填：-1
4．设A 是n 阶矩阵，值是_________________． 应填：
A ≠0，A *是A 的伴随矩阵．若A 有特征值λ，则2A *
()
-1
必有一个特征
λ
2A
．
5．若二次型是
22
f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 2+x 3+2x 1x 2+ax 2x 3是正定二次型，则a 的取值范围
______________．应填：-
2
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设
⎛a 11 A = a 21
a ⎝31
a 12a 22a 32
a 13⎫⎛a 21
⎪
a 23⎪ ， B = a 11
a +a a 33⎪⎭⎝3111
a 22a 12
a 32+a 12
⎫⎪a 13⎪ ， a 33+a 13⎪⎭
a 23
⎛010⎫⎛100⎫
⎪ ⎪P 1= 100⎪ ， P 2= 010⎪ ，
001⎪ 101⎪⎝⎭⎝⎭
7 第 页 共6页
则必有【 】．
(A ). AP 1P 2=B ； (B ). AP 2P 1=B ； (C ). P 1P 2A =B ； (D ). P 2P 1A =B ．
． A =0，则A 中【 】
2．设A 是4阶矩阵，且A 的行列式
(A ). 必有一列元素全为0； (B ). 必有两列元素成比例；
(C ). 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D ). 任意列向量是其余列向量的线性组合．
3．设A 是5⨯6矩阵，而且A 的行向量线性无关，则【 】．
(A ). A 的列向量线性无关；
(B ). 线性方程组AX =B 的增广矩阵的行向量线性无关； (C ). 线性方程组AX =B 的增广矩阵的任意四个列向量线性无关； (D ). 线性方程组AX =B 有唯一解．
4．设矩阵A 是三阶方阵，λ0是A 的二重特征值，则下面各向量组中： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷
(1, 3, -2)1, 1)
T
T
，
(4, -1, 3)
T
T
，
(0, 0, 0)
T
T
；
(1, (1, (1,
，
T
(1,
，
1, 0)
，
(0,
T
0, 1)
，
；
T
-1, 2)(2, -2, 4)1, 0)
T
(3, -3, 6)
T
；
0, 0)
T
，
(0,
，
(0, 0, 1)
；
肯定不属于λ0的特征向量共有【 】．
(A ). 1组； (B ). 2组； (C ). 3组； (D ). 4组．
(B )．
应选：
5．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【 】．
(A ). BAB ； (B ). ABA ； (C ). (AB )2； (D ). AB 2．
8 第 页 共6页
三． 填空题（每小题3分，共15分）
5x
6. 设D =
1x 21
23
x 1x 12
, 则x 4的系数=
x 322x
020
2⎤0⎥⎥, 3⎥⎦
⎡1
⎢7. 设A 是4⨯3矩阵, 且A 的秩R(A)=2, 而B =0⎢⎢⎣1则R(AB)= 2
8. 已知三阶矩阵A 的特征值为1, 2, -1, B =A 3-5A 2, 则B
= 288
⎧λx 1+x 2+x 3=0
⎪
9. 齐次线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=0, 只有零解, 则λ满足 λ
⎪x +x +x =0
23⎩1
2
=0或
10. 当n 元二次型正定时, 二次型的秩为 n
四． 选择题（每小题3分，共15分）
1. 设
A 为n 阶方阵, 则A =0的必要条件是( B )
(a) A的两行(或列) 元素对应成比例 (b) A中必有一行为其余行的线性组合 (c) A中有一行元素全为零 (d) 任一行为其余行的线性组合 2. 设n 维行向量α
T T =(, 0, , 0, ), 矩阵A =E -αα, B =E +2αα, 22
其中E 为n 阶单位矩阵, 则AB =( B )
(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+α 3. 设(a)
T
α
A , B 为n 阶方阵, 满足等式AB =0, 则必有( C )
A =0或B =0 (b) A +B =0 (c) A =0或B =0 (d)
A +B =0
4.s维向量组α1, α2, , αn (3≤
n ≤s ) 线性无关的充分必要条件是( C )
9 第 页 共6页
(a) 存在一组不全为零的数k 1, k 2, , k n , 使得k 1α1+k 2α2+ +k n αn ≠0
(b) α1, α2, , αn 中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) α1, α2, , αn 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d) α1, α2, , αn 中任意两个向量都线性无关 5. 设A 为n 阶方阵, 且秩R (A ) =则
n -1, α1, α2是Ax =0的两个不同的解,
-α2) (d) k (α1+α2)
Ax =0的通解为( AB )
(a) k α1 (b) k α2 (c) k (α1
一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1
1．已知
23
是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为____________．
1-1x 11-1
应填：1．
⎡k ⎢1
2．已知矩阵A =⎢
⎢1⎢⎣1
应填：-3． 3．已知线性方程组
1k 1111k 1
1⎤1⎥⎥，且A 的秩r (A )=3，则k =___________． 1⎥⎥k ⎦
⎧x +y =0⎪
⎨-2x +3y =5 ⎪2x +y =a ⎩
有解，则a =___________． 应填：-1
4．设A 是n 阶矩阵，值是_________________． 应填：
A ≠0，A *是A 的伴随矩阵．若A 有特征值λ，则2A *
()
-1
必有一个特征
λ
2A
．
5．若二次型是
22
f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 2+x 3+2x 1x 2+ax 2x 3是正定二次型，则a 的取值范围
______________．
第 10 页 共6页
应填：-2
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设
⎛a 11 A = a 21
a ⎝31
a 12a 22a 32
a 13⎫⎛a 21
⎪
a 23⎪ ， B = a 11
a +a a 33⎪⎭⎝3111
a 22a 12
a 32+a 12
⎫⎪a 13⎪ ， a 33+a 13⎪⎭
a 23
⎛010⎫⎛100P 00⎪ ⎪ ， P ⎫
⎪1= 12= 010⎪ ，
⎝001⎪⎭ ⎝101⎪⎭
则必有【 】．
(A ). AP 1P 2=B ； (B ). AP 2P 1=B ； (C ). P 1P 2A =B ； 应选：
(C )．
2．设A 是4阶矩阵，且A 的行列式A =0，则A 中【 】
． (A ). 必有一列元素全为0； (B ). 必有两列元素成比例；
(C ). 必有一列向量是其余列向量的线性组合；
(D ). 任意列向量是其余列向量的线性组合．
应选：
(C )．
3．设A 是5⨯6矩阵，而且A 的行向量线性无关，则【 】． (A ). A 的列向量线性无关；
(B ). 线性方程组AX =B 的增广矩阵的行向量线性无关； (C ). 线性方程组AX =B 的增广矩阵的任意四个列向量线性无关；
(D ). 线性方程组AX =B 有唯一解．
应选：
(B )．
第 11 页 共6页
(D ). P 2P 1A =B ．
4．设矩阵A 是三阶方阵，λ0是A 的二重特征值，则下面各向量组中： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷
(1, 3, -2)1, 1)
T
T
，
(4, -1, 3)
T
T
，
(0, 0, 0)
T
T
；
(1, (1, (1,
，
T
(1,
，
1, 0)
，
(0,
T
0, 1)
，
；
T
-1, 2)(2, -2, 4)1, 0)
T
(3, -3, 6)
T
；
0, 0)
T
，
(0,
，
(0, 0, 1)
；
肯定不属于λ0的特征向量共有【 】．
(A ). 1组； (B ). 2组； (C ). 3组； (D ). 4组．
(B )．
应选：
5．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【 】．
(A ). BAB ； (B ). ABA ； (C ). (AB )2； (D ). AB 2．
(A ) ．
应选：
一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题
目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1. 设行列式 A. m+n C. n-m
a 11a 21
a 12a 22
=m，
a 13a 23
a 11a 21
=n，则行列式
a 11a 21
a 12+a 13a 22+a 23
等于（ ）
B. -(m+n) D. m-n
⎛100⎫
⎪
2. 设矩阵A = 020⎪，则A -1等于（ ）
⎪⎝003⎭
⎛1 3 A. 0
0 ⎝
0120
⎫0⎪⎪0⎪ ⎪1⎪⎪⎭
⎛ 1 B. 0 0⎝
0120
⎫0⎪⎪0⎪ ⎪1⎪⎪3⎭
第 12 页 共6页
⎛1⎫
00⎪ 3⎪ C. 010 1⎪ ⎪ 00⎪
2⎭⎝
⎛1
2D. 0 0 ⎝⎫00⎪
⎪1⎪0 3⎪01⎪
⎪⎭
⎛3-12⎫ ⎪
0-1⎪，A *是A 的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ） 3. 设矩阵A = 1 ⎪⎝-214⎭
A. –6 C. 2
B. 6 D. –2
B. B ≠C 时A =0 D. |A |≠0时B =C B. 2 D. 4
4. 设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（ ） A. A =0 C. A ≠0时B =C A. 1 C. 3
5. 已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（ ）
6. 设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（ ）
A. 有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0 B. 有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs +βs ）=0 C. 有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0
D. 有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ
1β1+μ2β2+…+μs βs =0
7. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ） A. 所有r -1阶子式都不为0
B. 所有r -1阶子式全为0 D. 所有r 阶子式都不为0
C. 至少有一个r 阶子式不等于0
8. 设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A. η1+η2是Ax=0的一个解 C. η1-η2是Ax=0的一个解 A. 秩(A )
B.
11
η1+η2是Ax=b的一个解 22
D.2η1-η2是Ax=b的一个解
B. 秩(A )=n-1
D. 方程组Ax=0只有零解
9. 设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）
10. 设A 是一个n(≥3) 阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）
A. 如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量 B. 如存在数λ和非零向量α，使(λE -A ) α=0，则λ是A 的特征值 C. A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量
D. 如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向
量，则α1，α2，α3有可能线性相关 11. 设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ A. k≤3 C. k=3
B. k
D. k>3
0的线性无关的特征向量的个数为
k ，则必有（ ）
第 13 页 共6页
12. 设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1 C. A -1=A T
B.|A |必为1
D. A 的行（列）向量组是正交单位向量组
13. 设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC . 则（ ） A. A 与B 相似 B. A与B 不等价
C. A与B 有相同的特征值 D. A与B 合同
14. 下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.
⎛23⎫
⎪ ⎝34⎭
B.
⎛34⎫
⎪ ⎝26⎭
⎛100⎫ ⎪ C. 02-3⎪
⎪⎝0-35⎭
⎛111⎫ ⎪D. 120⎪ ⎪⎝102⎭
第二部分 非选择题（共72分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
错填或不填均无分。
111
6=. 15. 35
92536
⎛1-11⎫⎛123⎫
⎪，B = ⎪. 则A +2B ⎝11-1⎭⎝-1-24⎭
×
16. 设A = 17. 设
A =(aij ) 3
3
，|A |=2，A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式（i,j=1,2,3）, 则
(a11A 21+a12A 22+a13A 23) 2+(a21A 21+a22A 22+a23A 23) 2+(a31A 21+a32A 22+a33A 23) 2. 18. 设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则.
19. 设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 . 20. 设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(
⎛0106⎫⎛2⎫
⎪ ⎪
23. 设矩阵A = 1-3-3⎪，已知α= -1⎪是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .
⎪ ⎪⎝-2108⎭⎝2⎭
24. 设实二次型f(x1,x 2,x 3,x 4,x 5) 的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 6.D 11.A
2.B 7.C 12.B
3.B 8.A 13.D
4.D 9.A 14.C
5.C 10.B
第 14 页 共6页
二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 6 16. 17. 4 18. –10
19. η1+c(η2-η1) （或η2+c(η2-η1) ），c 为任意常数 ⎛337⎫
⎪
⎝-1-37⎭
20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1
24. z 21+z 22+z 23-z 24
第 15 页 共6页
一． 填空题（每小题3分，共15分）
5x 1x 21
23
1. 设
D =
x 1x 12
, 则x 4的系数=x 322x
020
2⎤
0⎥, ⎥3⎥⎦
⎡1
2. 设A 是4⨯3矩阵, 且A 的秩R(A)=2, 而B =⎢0
⎢⎢⎣1
则R(AB)= 2
3. 已知三阶矩阵A 的特征值为1, 2, -1, B =A 3-5A 2, 则B
= 288
⎧λx 1+x 2+x 3=0
4. 齐次线性方程组⎪⎨x 1+λx 2+x 3=0, 只有零解, 则λ满足 λ
⎪x +x +x =0
23⎩1
=0或2
5. 当n 元二次型正定时, 二次型的秩为 n
二． 选择题（每小题3分，共15分）
1. 设
A 为n 阶方阵, 则A =0的必要条件是( B )
(a) A的两行(或列) 元素对应成比例 (b) A中必有一行为其余行的线性组合 (c) A中有一行元素全为零 (d) 任一行为其余行的线性组合 2. 设n 维行向量α
T T =(2, 0, , 0, 2), 矩阵A =E -αα, B =E +2αα,
其中E 为n 阶单位矩阵, 则AB =( B )
(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+α 3. 设(a) (c)
T
α
A , B 为n 阶方阵, 满足等式AB =0, 则必有( C )
A =0或B =0 (b) A +B =0
A =0或B =0 (d) A +B =0
n ≤s ) 线性无关的充分必要条件是( C )
4.s维向量组α1, α2, , αn (3≤
(a) 存在一组不全为零的数k 1, k 2, , k n , 使得k 1α1+k 2α2+ +k n αn ≠0
1 第 页 共6页
(b) α1, α2, , αn 中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) α1, α2, , αn 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d) α1, α2, , αn 中任意两个向量都线性无关 5. 设A 为n 阶方阵, 且秩R (A ) =则
n -1, α1, α2是Ax =0的两个不同的解,
-α2) (d) k (α1+α2)
Ax =0的通解为( AB )
(a) k α1 (b) k α2 (c) k (α11．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。
⎡001⎤⎡100⎤⎡100⎤⎡100⎤⎢010⎥⎢000⎥⎢020⎥⎢01-2⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢100⎥⎦ (B)⎢⎣010⎥⎦ (C) ⎢⎣001⎥⎦(D) ⎢⎣001⎥⎦ （A ）⎣
2．设向量组（A ）（C ）
α1, α2, α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。
α1-α2, α2-α3, α3-α1 （B ）α1, α2, α3+α1 α1, α2,2α1-3α2 （D ）α2, α3,2α2+α3
）
-12
(A +2E ) =（ A +A -5E =03．设A 为n 阶方阵，且。则
11(A -E ) (A +E ) 33 (A) A -E (B) E +A (C) (D)
A 为m ⨯n 矩阵，则有（ ）。
（A ）若m
（B ）若m
（C ）若A 有n 阶子式不为零，则Ax =b 有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则Ax =0仅有零解。
4．设
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（ ） （A ）A 与B 相似 （B ）A ≠B ，但|A-B |=0
（C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B| 三、填空题（每小题4分，共20分）
01
2
n
n -1
0 。
1．
2．
A 为3阶矩阵，且满足
A =
3, 则
A -1
=______，
3A *=
。
2 第 页 共6页
⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎛1⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪α1= 1α=2α=4α=234 ⎪ ⎪ ⎪ 2⎪
1⎪ 5⎪ 7⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是线性 （填相关或无关）的，它的一3．向量组，，，
个极大线性无关组是 。
⎛1⎫⎛4⎫
⎪ ⎪24η1= ⎪η2+η3= ⎪
3⎪ 4⎪ 4⎪⎪ 4⎪⎪η, η, ηR (A ) Ax =b 123⎝⎭，⎝⎭，4． 已知是四元方程组的三个解，其中A 的秩=3，
则方程组Ax =b 的通解为 。
⎡2-31⎤
⎥A =⎢1a 1⎢⎥
⎢⎣503⎥⎦，且秩(A )=2，则a = 5．设
1．选B 。初等矩阵一定是可逆的。
2．选B 。A 中的三个向量之和为零，显然A 线性相关； B 中的向量组与α1，α2，α3等价, 其秩为3，B 向量组线性无关；C 、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合，C 、D 中的向量组线性相关。
2A +A -2E =3E ⇒(A +2E )(A -E ) =3E ，
3．选C 。由A +A -5E =0⇒
1-1
⇒(A +2E )=(A -E )
3) 。
。
2
R (A |b ) ；B 错误，Ax =0的基础解系含有n -R (A )
个解向量；C 错误，因为有可能R (A ) =n
4．选D 。A 错误，因为m
-1-1
PAP =diag (λ, λ, , λ) =QBQ P , Q 12n 5．选A 。A 正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵，使得，
因此
A , B 都相似于同一个对角矩阵。
n +1
()-1n ! （按第一列展开） 三、1．
2．
12*353A 3A 3；3（=）
3． 相关（因为向量个数大于向量维数）。
α1, α2, α4。因为α3=2α1+α2，A =|α1 α2 α4|≠0。
T
14． (
5．a
234)+k (20-2-4)
T
。因为R
(A )=3，原方程组的导出组的基础解系中只含
有一个解向量，取为η2+η3-2η1，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。
×××大学线性代数期末考试题
=6（R (A )=2⇒A =0)
一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）
3 第 页 共6页
1
1. 若
-352
1
x =0，则χ=__________。 -2
0-1
⎧λx 1+x 2+x 3=0⎪
2．若齐次线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=0只有零解，则λ应满足 。
⎪x +x +x =0
23⎩1
3．已知矩阵
A ，B ，C =(c ij ) s ⨯n ，满足AC =CB ，则A 与B 分别是
a 12⎫⎪
a 22⎪的行向量组线性 a 32⎪⎭
⎛a 11
4．矩阵A = a 21
a ⎝31
5．n 阶方阵
A 满足A 2-3A -E =0，则A -1= 。
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)
1. 设
A 为n 阶矩阵，且A =2，则A A T =（ ）。
n
① 2 ② 2
n -1
③ 2
n +1
④ 4
2. n 维向量组 α1，α2，。 ，αs （3 ≤ s ≤ n）线性无关的充要条件是（ ）
① α1，α2， ，αs 中任意两个向量都线性无关
② α1，α2， ，αs 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ α1，α2， ，αs 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ α1，α2， ，αs 中不含零向量
3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个n +1维向量线性相关 ② 任意n 个n +1维向量线性无关 ③ 任意n +1个n 维向量线性相关 ④ 任意n +1个n 维向量线性无关 4. 设
A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则A +B 可逆 ③ 若A +B 可逆，则 A -B 可逆
A ，B 均可逆，则 A B 可逆
④ 若A +B 可逆，则 A ，B 均可
② 若
逆
4 第 页 共6页
5. 若ν1，ν2，ν3，ν4是线性方程组（ ）
A X=0的基础解系，则ν1+ν2+ν3+ν4是A X=0的
④ A的行向量
① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解
四、计算题 ( 每小题9分，共63分)
1. 计算行列式
x +a a a a b c d x +b c d b x +c d b c x +d
。
一、填空题 1. 5 5.
三、单项选择题 1. ③ 四、计算题 1.
2. ③
3. ③
4. ②
5. ①
2. λ
≠1 3. s ⨯s ，n ⨯n
4. 相关
A -3E
x +a a a a
b x +b b b
c c x +c c d d d x +d b b b x +b =
x +a +b +c +d x +a +b +c +d x +a +b +c +d x +a +b +c +d c c x +c c
d d d x +d
b x +b b b
c c x +c c
d d d x +d 1b
c x d 00x
x 0
=(x +a +b +c +d ) =(x +a +b +c +d )
00
=(x +a +b +c +
000
一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）
1
1. 若
-352
1
x =0，则χ=__________。 -2
0-1
⎧λx 1+x 2+x 3=0⎪
2．若齐次线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=0只有零解，则λ应满足 。
⎪x +x +x =0
23⎩1
5 第 页 共6页
3．已知矩阵
A ，B ，C =(c ij ) s ⨯n ，满足AC =CB ，则A 与B 分别是 阶矩阵。
a 12⎫⎪
a 22⎪的行向量组线性 。 a 32⎪⎭
⎛a 11
4．矩阵A = a 21
a ⎝31
5．n 阶方阵
A 满足A 2-3A -E =0，则A -1=
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)
1. 设
A 为n 阶矩阵，且A =2，则A A T =（ ）。
n
① 2 ② 2
n -1
③ 2
n +1
④ 4
2. n 维向量组 α1，α2，。 ，αs （3 ≤ s ≤ n）线性无关的充要条件是（ ）
① α1，α2， ，αs 中任意两个向量都线性无关
② α1，α2， ，αs 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ α1，α2， ，αs 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ α1，α2， ，αs 中不含零向量
3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个n +1维向量线性相关② 任意n 个n +1维向量线性无关 ③ 任意n +1个n 维向量线性相关④ 任意n +1个n 维向量线性无关 4. 设
A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则A +B 可逆 ③ 若A +B 可逆，则 A -B 可逆
A ，B 均可逆，则 A B 可逆
④ 若A +B 可逆，则 A ，B 均可
② 若
逆
5. 若ν1，ν2，ν3，ν4是线性方程组（ ）
① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解
一、1. 5 2. λ
④ A的行向量
A X=0的基础解系，则ν1+ν2+ν3+ν4是A X=0的
≠1 3. s ⨯s ，n ⨯n 4. 相关 5.
A -3E
1. ③
2. ③
3. ③
4. ②
5. ①
6 第 页 共6页
一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1
1．已知
23
是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为____________．
1-1x 11-1
应填：1．
⎡k ⎢1
2．已知矩阵A =⎢
⎢1⎢⎣1
应填：-3． 3．已知线性方程组
1k 1111k 1
1⎤1⎥⎥，且A 的秩r (A )=3，则k =___________． 1⎥⎥k ⎦
⎧x +y =0⎪
⎨-2x +3y =5 ⎪2x +y =a ⎩
有解，则a =___________． 应填：-1
4．设A 是n 阶矩阵，值是_________________． 应填：
A ≠0，A *是A 的伴随矩阵．若A 有特征值λ，则2A *
()
-1
必有一个特征
λ
2A
．
5．若二次型是
22
f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 2+x 3+2x 1x 2+ax 2x 3是正定二次型，则a 的取值范围
______________．应填：-
2
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设
⎛a 11 A = a 21
a ⎝31
a 12a 22a 32
a 13⎫⎛a 21
⎪
a 23⎪ ， B = a 11
a +a a 33⎪⎭⎝3111
a 22a 12
a 32+a 12
⎫⎪a 13⎪ ， a 33+a 13⎪⎭
a 23
⎛010⎫⎛100⎫
⎪ ⎪P 1= 100⎪ ， P 2= 010⎪ ，
001⎪ 101⎪⎝⎭⎝⎭
7 第 页 共6页
则必有【 】．
(A ). AP 1P 2=B ； (B ). AP 2P 1=B ； (C ). P 1P 2A =B ； (D ). P 2P 1A =B ．
． A =0，则A 中【 】
2．设A 是4阶矩阵，且A 的行列式
(A ). 必有一列元素全为0； (B ). 必有两列元素成比例；
(C ). 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D ). 任意列向量是其余列向量的线性组合．
3．设A 是5⨯6矩阵，而且A 的行向量线性无关，则【 】．
(A ). A 的列向量线性无关；
(B ). 线性方程组AX =B 的增广矩阵的行向量线性无关； (C ). 线性方程组AX =B 的增广矩阵的任意四个列向量线性无关； (D ). 线性方程组AX =B 有唯一解．
4．设矩阵A 是三阶方阵，λ0是A 的二重特征值，则下面各向量组中： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷
(1, 3, -2)1, 1)
T
T
，
(4, -1, 3)
T
T
，
(0, 0, 0)
T
T
；
(1, (1, (1,
，
T
(1,
，
1, 0)
，
(0,
T
0, 1)
，
；
T
-1, 2)(2, -2, 4)1, 0)
T
(3, -3, 6)
T
；
0, 0)
T
，
(0,
，
(0, 0, 1)
；
肯定不属于λ0的特征向量共有【 】．
(A ). 1组； (B ). 2组； (C ). 3组； (D ). 4组．
(B )．
应选：
5．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【 】．
(A ). BAB ； (B ). ABA ； (C ). (AB )2； (D ). AB 2．
8 第 页 共6页
三． 填空题（每小题3分，共15分）
5x
6. 设D =
1x 21
23
x 1x 12
, 则x 4的系数=
x 322x
020
2⎤0⎥⎥, 3⎥⎦
⎡1
⎢7. 设A 是4⨯3矩阵, 且A 的秩R(A)=2, 而B =0⎢⎢⎣1则R(AB)= 2
8. 已知三阶矩阵A 的特征值为1, 2, -1, B =A 3-5A 2, 则B
= 288
⎧λx 1+x 2+x 3=0
⎪
9. 齐次线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=0, 只有零解, 则λ满足 λ
⎪x +x +x =0
23⎩1
2
=0或
10. 当n 元二次型正定时, 二次型的秩为 n
四． 选择题（每小题3分，共15分）
1. 设
A 为n 阶方阵, 则A =0的必要条件是( B )
(a) A的两行(或列) 元素对应成比例 (b) A中必有一行为其余行的线性组合 (c) A中有一行元素全为零 (d) 任一行为其余行的线性组合 2. 设n 维行向量α
T T =(, 0, , 0, ), 矩阵A =E -αα, B =E +2αα, 22
其中E 为n 阶单位矩阵, 则AB =( B )
(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+α 3. 设(a)
T
α
A , B 为n 阶方阵, 满足等式AB =0, 则必有( C )
A =0或B =0 (b) A +B =0 (c) A =0或B =0 (d)
A +B =0
4.s维向量组α1, α2, , αn (3≤
n ≤s ) 线性无关的充分必要条件是( C )
9 第 页 共6页
(a) 存在一组不全为零的数k 1, k 2, , k n , 使得k 1α1+k 2α2+ +k n αn ≠0
(b) α1, α2, , αn 中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) α1, α2, , αn 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d) α1, α2, , αn 中任意两个向量都线性无关 5. 设A 为n 阶方阵, 且秩R (A ) =则
n -1, α1, α2是Ax =0的两个不同的解,
-α2) (d) k (α1+α2)
Ax =0的通解为( AB )
(a) k α1 (b) k α2 (c) k (α1
一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1
1．已知
23
是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为____________．
1-1x 11-1
应填：1．
⎡k ⎢1
2．已知矩阵A =⎢
⎢1⎢⎣1
应填：-3． 3．已知线性方程组
1k 1111k 1
1⎤1⎥⎥，且A 的秩r (A )=3，则k =___________． 1⎥⎥k ⎦
⎧x +y =0⎪
⎨-2x +3y =5 ⎪2x +y =a ⎩
有解，则a =___________． 应填：-1
4．设A 是n 阶矩阵，值是_________________． 应填：
A ≠0，A *是A 的伴随矩阵．若A 有特征值λ，则2A *
()
-1
必有一个特征
λ
2A
．
5．若二次型是
22
f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 2+x 3+2x 1x 2+ax 2x 3是正定二次型，则a 的取值范围
______________．
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应填：-2
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设
⎛a 11 A = a 21
a ⎝31
a 12a 22a 32
a 13⎫⎛a 21
⎪
a 23⎪ ， B = a 11
a +a a 33⎪⎭⎝3111
a 22a 12
a 32+a 12
⎫⎪a 13⎪ ， a 33+a 13⎪⎭
a 23
⎛010⎫⎛100P 00⎪ ⎪ ， P ⎫
⎪1= 12= 010⎪ ，
⎝001⎪⎭ ⎝101⎪⎭
则必有【 】．
(A ). AP 1P 2=B ； (B ). AP 2P 1=B ； (C ). P 1P 2A =B ； 应选：
(C )．
2．设A 是4阶矩阵，且A 的行列式A =0，则A 中【 】
． (A ). 必有一列元素全为0； (B ). 必有两列元素成比例；
(C ). 必有一列向量是其余列向量的线性组合；
(D ). 任意列向量是其余列向量的线性组合．
应选：
(C )．
3．设A 是5⨯6矩阵，而且A 的行向量线性无关，则【 】． (A ). A 的列向量线性无关；
(B ). 线性方程组AX =B 的增广矩阵的行向量线性无关； (C ). 线性方程组AX =B 的增广矩阵的任意四个列向量线性无关；
(D ). 线性方程组AX =B 有唯一解．
应选：
(B )．
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(D ). P 2P 1A =B ．
4．设矩阵A 是三阶方阵，λ0是A 的二重特征值，则下面各向量组中： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷
(1, 3, -2)1, 1)
T
T
，
(4, -1, 3)
T
T
，
(0, 0, 0)
T
T
；
(1, (1, (1,
，
T
(1,
，
1, 0)
，
(0,
T
0, 1)
，
；
T
-1, 2)(2, -2, 4)1, 0)
T
(3, -3, 6)
T
；
0, 0)
T
，
(0,
，
(0, 0, 1)
；
肯定不属于λ0的特征向量共有【 】．
(A ). 1组； (B ). 2组； (C ). 3组； (D ). 4组．
(B )．
应选：
5．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【 】．
(A ). BAB ； (B ). ABA ； (C ). (AB )2； (D ). AB 2．
(A ) ．
应选：
一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题
目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1. 设行列式 A. m+n C. n-m
a 11a 21
a 12a 22
=m，
a 13a 23
a 11a 21
=n，则行列式
a 11a 21
a 12+a 13a 22+a 23
等于（ ）
B. -(m+n) D. m-n
⎛100⎫
⎪
2. 设矩阵A = 020⎪，则A -1等于（ ）
⎪⎝003⎭
⎛1 3 A. 0
0 ⎝
0120
⎫0⎪⎪0⎪ ⎪1⎪⎪⎭
⎛ 1 B. 0 0⎝
0120
⎫0⎪⎪0⎪ ⎪1⎪⎪3⎭
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⎛1⎫
00⎪ 3⎪ C. 010 1⎪ ⎪ 00⎪
2⎭⎝
⎛1
2D. 0 0 ⎝⎫00⎪
⎪1⎪0 3⎪01⎪
⎪⎭
⎛3-12⎫ ⎪
0-1⎪，A *是A 的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ） 3. 设矩阵A = 1 ⎪⎝-214⎭
A. –6 C. 2
B. 6 D. –2
B. B ≠C 时A =0 D. |A |≠0时B =C B. 2 D. 4
4. 设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（ ） A. A =0 C. A ≠0时B =C A. 1 C. 3
5. 已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（ ）
6. 设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（ ）
A. 有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0 B. 有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs +βs ）=0 C. 有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0
D. 有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ
1β1+μ2β2+…+μs βs =0
7. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ） A. 所有r -1阶子式都不为0
B. 所有r -1阶子式全为0 D. 所有r 阶子式都不为0
C. 至少有一个r 阶子式不等于0
8. 设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A. η1+η2是Ax=0的一个解 C. η1-η2是Ax=0的一个解 A. 秩(A )
B.
11
η1+η2是Ax=b的一个解 22
D.2η1-η2是Ax=b的一个解
B. 秩(A )=n-1
D. 方程组Ax=0只有零解
9. 设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）
10. 设A 是一个n(≥3) 阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）
A. 如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量 B. 如存在数λ和非零向量α，使(λE -A ) α=0，则λ是A 的特征值 C. A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量
D. 如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向
量，则α1，α2，α3有可能线性相关 11. 设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ A. k≤3 C. k=3
B. k
D. k>3
0的线性无关的特征向量的个数为
k ，则必有（ ）
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12. 设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1 C. A -1=A T
B.|A |必为1
D. A 的行（列）向量组是正交单位向量组
13. 设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC . 则（ ） A. A 与B 相似 B. A与B 不等价
C. A与B 有相同的特征值 D. A与B 合同
14. 下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.
⎛23⎫
⎪ ⎝34⎭
B.
⎛34⎫
⎪ ⎝26⎭
⎛100⎫ ⎪ C. 02-3⎪
⎪⎝0-35⎭
⎛111⎫ ⎪D. 120⎪ ⎪⎝102⎭
第二部分 非选择题（共72分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
错填或不填均无分。
111
6=. 15. 35
92536
⎛1-11⎫⎛123⎫
⎪，B = ⎪. 则A +2B ⎝11-1⎭⎝-1-24⎭
×
16. 设A = 17. 设
A =(aij ) 3
3
，|A |=2，A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式（i,j=1,2,3）, 则
(a11A 21+a12A 22+a13A 23) 2+(a21A 21+a22A 22+a23A 23) 2+(a31A 21+a32A 22+a33A 23) 2. 18. 设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则.
19. 设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 . 20. 设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(
⎛0106⎫⎛2⎫
⎪ ⎪
23. 设矩阵A = 1-3-3⎪，已知α= -1⎪是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .
⎪ ⎪⎝-2108⎭⎝2⎭
24. 设实二次型f(x1,x 2,x 3,x 4,x 5) 的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 6.D 11.A
2.B 7.C 12.B
3.B 8.A 13.D
4.D 9.A 14.C
5.C 10.B
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二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 6 16. 17. 4 18. –10
19. η1+c(η2-η1) （或η2+c(η2-η1) ），c 为任意常数 ⎛337⎫
⎪
⎝-1-37⎭
20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1
24. z 21+z 22+z 23-z 24
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