集合与映射学习指南
一、内容提要
1、集合的有关知识概括
(1) 集合的概念
(2) 集合的表示法、列举法、描述法
(3) 子集、集合相等
(4) 有限集、无限集
2、集合的运算
(1) 集合运算的概念：集合A , B ，则
1) A与B 的并： A ∪B ={x x ∈A 或x ∈B }
2) A与B 的交： A ∩B ={x x ∈A 且x ∈B }
3) A与B 的差：A −B =A \B ={x x ∈A 且x ∉B }
4) A的补集或余集：A =Ω−A （或记为A c ）
(2) 集合的运算性质：
1) 交换律： A ∪B =B ∪A , A ∩B =B ∩A
2) 结合律：(A ∪B ) ∪C =A ∪(B ∪C ) , (A ∩B ) ∩C =A ∩(B ∩C )
3) 分配律：(A ∪B ) ∩C =(A ∩C ) ∪(B ∩C ) ，
(A ∩B ) ∪C =(A ∪C ) ∩(B ∪C ) ，(A −B ) ∩C =A ∩C −B ∩C
4) 幂等律：A ∪A =A , A ∩A =A
5) 吸收律：A ∪φ=A , A ∩φ=A
若A ⊂B , 则A ∪B =B , A ∩B =A , A ∪(B ∩A ) =A , 且A ∩(A ∪B ) =A
6) 对偶律：A ∪B =A ∩B , A ∩B =A ∪B
3、映射的基本概念
(1) 映射； (2) 一一对应
4、实数、区间、邻域
1) 实数的构成：{实数集}={有理数}∪{无理数集}
2) 实数与数轴上的点一一对应
3) 数轴上任意点a , b 之间的距离为：d = |a －b |.
4) 区间 ① 闭区间：[a , b ]={x a ≤x ≤b }
② 开区间：(a , b ) ={x a
b }
③ 半开半闭区间：
(a , b ]={x a
[a , +∞) ={x x ≥a }；(a , +∞) ={x x >a }；(−∞, b ]={x x ≤b }
(−∞, b ) ={x x
⑤ 邻域
点x 0的δ邻域：U (x 0, δ) ={x x 0−δ
点x 0的δ去心邻域： (x , δ) ={x x −δ
=U (x 0, δ) −{x 0}=(x 0−δ, x 0) ∪
(x 0, x 0+δ)
5、重点提示
(1) 理解和掌握集合的各种符号和运算
(2) 理解映射的概念
二、答疑解惑
问题1 怎样理解集合概念中“确定的”或“特定的”其含义？
答：集合中的元素是确切定义的，任何一个对象，或者是这个集合中的元素，或者不是这个集合的元素，不能含糊不清. 例如：
a) 所有远远大于2的实数（28是这样的数吗？）
b) 健康人的群体（你是这群体的一员吗？）
c) 我们班成绩好的同学（我是这样的同学吗？）
以上三个例子就不是我们数学中的集合. 事实上，现实世界中遇到的对象也有很多是这种模糊的、不精确定义的类型，它们的成员没有精确定义的判别标准，这类对象就不属集合的范畴.
问题2 在表示集合时，应该注意哪些问题？
答： 特别要注意下面两个问题：
a) 确定性. 就象问题1解释的那样，一定要明确集合元素的特性. 列举法和描述法就是表示集合的常见方法.
b) 互异性. 集合中的元素互不相同，相同的元素归入一个集合时，只能算作该集合的一个元素；不能重复出现. 例如，方程(x −1) 2=0的根有两个相同的根x 1=1, x 2=1（称为重根）. 而该方程的集合A 只含有一个元素1，即
A ={x (x −1) 2=0}={1}. 不能写为A ={1,1}.
问题3 映射、一一对应等这些概念十分抽象，怎样才能更好地理解他们的含义和实际作用？
答：映射是数学中一个非常重要的概念，是认识事物的方法. 利用它可以更深层次地揭示事物之间的关系，而且具有广泛普遍性. 我们仅从一个例子来说明. 例 平面直角坐标系
在平面解析几何中，我们用代数方法研究几何图形的性质. 该方法是以坐标系为基础的，这是因为在坐标系下实现了数组与点的一一对应，从而沟通了“数”和“形”的联系.
如图所示，在平面上，有公共原点，互相垂直并且有相同长度单位的两条数轴构成平面笛卡儿直角坐标系，坐标系所在的平面称为坐标平面.
我们发现坐标平面上的点与二元有序实数组之间存在一个一一对应，这个是映射f 为：
设M 为坐标平面上任给定的一点，过点M 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足对应的坐标分别为x 和y ，于是M →(x , y ) .
从数学的角度来看，由于点与数组之间存在一一对应，因此可抽象的把他们看成是同一种东西，于是坐标平面上的点可记为M (x , y ) .
有了上述这种关系，我们就可用代数方法来研究几何图形的性质了. 例如，研究以o 为圆心，半径为r 的圆的特征（如图）.
从几何特征来看，圆周上的点到o 点的距离都为r （换句话说，具有上述特征的点的全体集合构成了圆周曲线C ），利用点的坐标，这个特征可表示为x 2+y 2=r 2，即圆周上的点的坐标都满足这个方程关系. 该关系完全刻划了圆的属性，因此我们称方程 x 2+y 2=r 2表示圆心在坐标原点、半径为r 的圆（几何曲线与二元方程的对应.
在下一节里将介绍函数，函数也就是数集之间的映射. 我们会了解更多的映射实际背景和有关映射的知识.
三、知识拓展
关于数集的上确界和下确界
集合可分为有限集和无限集. 对于数集来说，任何有限数集都有一个最大数和一个最小数. 但对无穷数集就不一定有最大数和最小数了. 例如，集合
n 1{x x >1]就没有最小数；数列无最大数，而有最小数. 下面我们研究数n +12
集的界.
设给定一数集E ，若存在这样一个数β，适合下面两个条件：
(1) 集E 中的一切数x ≤β.
(2) 对任意给定的正数ε，至少存在一个数 x 0∈E ，使x 0>β−ε.
则称β叫做E 的上确界. 记为
β=sup E 或β=sup{x }
x ∈E
上面第一个条件就意味着β是集E 的上界之一，而第二个条件显示出凡小于β的任何数都不是E 的上界，即β就是E 的最小的上界.
同样，对给定的数集E ，若存在这样一个数
(1) 集E 中的一切数 x ≥α.
(2) 对任意给定的正数ε，至少存在一个数x 0′∈E ，使x 0′
α=inf E 或a =inf{x } x ∈E
任何有限集一定存在上、下确界，最大数就为上确界，最小数为下确界. 然而对无穷数集来说，它就不一定存在上、下确界了，一个无穷集E ，即便它有上确界β（或下确界α），然而这个β（或α）可属于E 也可不属于E . 例如，数1列{，易知α=0, β=1. 而α∉E 而β∈E . 如果β（或α）属于E ，则我们说n
上（或下）确界）β（或α）可达到，否则就说上（或下）确界不达到. 现在要问：一个数集如果有上（或下）确界，那么它的上（或下）确界是否唯一？下面的定理回答了这个问题.
定理1 设一数集E 有上（或下）确界，则这个上（或下）确界是唯一的. 证明 仅对上确界的情况来证明，用反证法. 设β1, β2都是E 的上确界，则
有三种可能：
(i) β1β2 (iii) β1=β2
设有(i)出现，则有比β2小的数β1是E 的上界，从而β2不是E 的上确界，与
假设矛盾. 故(i)不能出现.
相似地，情况(ii)也是不可能的. 最后仅有(iii)是真实的. 这就证明了上确界的唯一性.
前面已经说过不是任何数列都有上确界或下确界. 但究竟怎样的数列才有上确界或下确界呢？
定理2 有上界的数列必有上确界，有下界的数列必有下确界.
本定理从直观上很容易理解，它的严格证明可以利用实数连续性得出. 我们对这个定理只作直观上承认，不予证明.
有了上、下确界的理论，我们就得到一些重要结果，比如：单调有界数列必有极限定理. 请同学们自证.
集合与映射学习指南
一、内容提要
1、集合的有关知识概括
(1) 集合的概念
(2) 集合的表示法、列举法、描述法
(3) 子集、集合相等
(4) 有限集、无限集
2、集合的运算
(1) 集合运算的概念：集合A , B ，则
1) A与B 的并： A ∪B ={x x ∈A 或x ∈B }
2) A与B 的交： A ∩B ={x x ∈A 且x ∈B }
3) A与B 的差：A −B =A \B ={x x ∈A 且x ∉B }
4) A的补集或余集：A =Ω−A （或记为A c ）
(2) 集合的运算性质：
1) 交换律： A ∪B =B ∪A , A ∩B =B ∩A
2) 结合律：(A ∪B ) ∪C =A ∪(B ∪C ) , (A ∩B ) ∩C =A ∩(B ∩C )
3) 分配律：(A ∪B ) ∩C =(A ∩C ) ∪(B ∩C ) ，
(A ∩B ) ∪C =(A ∪C ) ∩(B ∪C ) ，(A −B ) ∩C =A ∩C −B ∩C
4) 幂等律：A ∪A =A , A ∩A =A
5) 吸收律：A ∪φ=A , A ∩φ=A
若A ⊂B , 则A ∪B =B , A ∩B =A , A ∪(B ∩A ) =A , 且A ∩(A ∪B ) =A
6) 对偶律：A ∪B =A ∩B , A ∩B =A ∪B
3、映射的基本概念
(1) 映射； (2) 一一对应
4、实数、区间、邻域
1) 实数的构成：{实数集}={有理数}∪{无理数集}
2) 实数与数轴上的点一一对应
3) 数轴上任意点a , b 之间的距离为：d = |a －b |.
4) 区间 ① 闭区间：[a , b ]={x a ≤x ≤b }
② 开区间：(a , b ) ={x a
b }
③ 半开半闭区间：
(a , b ]={x a
[a , +∞) ={x x ≥a }；(a , +∞) ={x x >a }；(−∞, b ]={x x ≤b }
(−∞, b ) ={x x
⑤ 邻域
点x 0的δ邻域：U (x 0, δ) ={x x 0−δ
点x 0的δ去心邻域： (x , δ) ={x x −δ
=U (x 0, δ) −{x 0}=(x 0−δ, x 0) ∪
(x 0, x 0+δ)
5、重点提示
(1) 理解和掌握集合的各种符号和运算
(2) 理解映射的概念
二、答疑解惑
问题1 怎样理解集合概念中“确定的”或“特定的”其含义？
答：集合中的元素是确切定义的，任何一个对象，或者是这个集合中的元素，或者不是这个集合的元素，不能含糊不清. 例如：
a) 所有远远大于2的实数（28是这样的数吗？）
b) 健康人的群体（你是这群体的一员吗？）
c) 我们班成绩好的同学（我是这样的同学吗？）
以上三个例子就不是我们数学中的集合. 事实上，现实世界中遇到的对象也有很多是这种模糊的、不精确定义的类型，它们的成员没有精确定义的判别标准，这类对象就不属集合的范畴.
问题2 在表示集合时，应该注意哪些问题？
答： 特别要注意下面两个问题：
a) 确定性. 就象问题1解释的那样，一定要明确集合元素的特性. 列举法和描述法就是表示集合的常见方法.
b) 互异性. 集合中的元素互不相同，相同的元素归入一个集合时，只能算作该集合的一个元素；不能重复出现. 例如，方程(x −1) 2=0的根有两个相同的根x 1=1, x 2=1（称为重根）. 而该方程的集合A 只含有一个元素1，即
A ={x (x −1) 2=0}={1}. 不能写为A ={1,1}.
问题3 映射、一一对应等这些概念十分抽象，怎样才能更好地理解他们的含义和实际作用？
答：映射是数学中一个非常重要的概念，是认识事物的方法. 利用它可以更深层次地揭示事物之间的关系，而且具有广泛普遍性. 我们仅从一个例子来说明. 例 平面直角坐标系
在平面解析几何中，我们用代数方法研究几何图形的性质. 该方法是以坐标系为基础的，这是因为在坐标系下实现了数组与点的一一对应，从而沟通了“数”和“形”的联系.
如图所示，在平面上，有公共原点，互相垂直并且有相同长度单位的两条数轴构成平面笛卡儿直角坐标系，坐标系所在的平面称为坐标平面.
我们发现坐标平面上的点与二元有序实数组之间存在一个一一对应，这个是映射f 为：
设M 为坐标平面上任给定的一点，过点M 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足对应的坐标分别为x 和y ，于是M →(x , y ) .
从数学的角度来看，由于点与数组之间存在一一对应，因此可抽象的把他们看成是同一种东西，于是坐标平面上的点可记为M (x , y ) .
有了上述这种关系，我们就可用代数方法来研究几何图形的性质了. 例如，研究以o 为圆心，半径为r 的圆的特征（如图）.
从几何特征来看，圆周上的点到o 点的距离都为r （换句话说，具有上述特征的点的全体集合构成了圆周曲线C ），利用点的坐标，这个特征可表示为x 2+y 2=r 2，即圆周上的点的坐标都满足这个方程关系. 该关系完全刻划了圆的属性，因此我们称方程 x 2+y 2=r 2表示圆心在坐标原点、半径为r 的圆（几何曲线与二元方程的对应.
在下一节里将介绍函数，函数也就是数集之间的映射. 我们会了解更多的映射实际背景和有关映射的知识.
三、知识拓展
关于数集的上确界和下确界
集合可分为有限集和无限集. 对于数集来说，任何有限数集都有一个最大数和一个最小数. 但对无穷数集就不一定有最大数和最小数了. 例如，集合
n 1{x x >1]就没有最小数；数列无最大数，而有最小数. 下面我们研究数n +12
集的界.
设给定一数集E ，若存在这样一个数β，适合下面两个条件：
(1) 集E 中的一切数x ≤β.
(2) 对任意给定的正数ε，至少存在一个数 x 0∈E ，使x 0>β−ε.
则称β叫做E 的上确界. 记为
β=sup E 或β=sup{x }
x ∈E
上面第一个条件就意味着β是集E 的上界之一，而第二个条件显示出凡小于β的任何数都不是E 的上界，即β就是E 的最小的上界.
同样，对给定的数集E ，若存在这样一个数
(1) 集E 中的一切数 x ≥α.
(2) 对任意给定的正数ε，至少存在一个数x 0′∈E ，使x 0′
α=inf E 或a =inf{x } x ∈E
任何有限集一定存在上、下确界，最大数就为上确界，最小数为下确界. 然而对无穷数集来说，它就不一定存在上、下确界了，一个无穷集E ，即便它有上确界β（或下确界α），然而这个β（或α）可属于E 也可不属于E . 例如，数1列{，易知α=0, β=1. 而α∉E 而β∈E . 如果β（或α）属于E ，则我们说n
上（或下）确界）β（或α）可达到，否则就说上（或下）确界不达到. 现在要问：一个数集如果有上（或下）确界，那么它的上（或下）确界是否唯一？下面的定理回答了这个问题.
定理1 设一数集E 有上（或下）确界，则这个上（或下）确界是唯一的. 证明 仅对上确界的情况来证明，用反证法. 设β1, β2都是E 的上确界，则
有三种可能：
(i) β1β2 (iii) β1=β2
设有(i)出现，则有比β2小的数β1是E 的上界，从而β2不是E 的上确界，与
假设矛盾. 故(i)不能出现.
相似地，情况(ii)也是不可能的. 最后仅有(iii)是真实的. 这就证明了上确界的唯一性.
前面已经说过不是任何数列都有上确界或下确界. 但究竟怎样的数列才有上确界或下确界呢？
定理2 有上界的数列必有上确界，有下界的数列必有下确界.
本定理从直观上很容易理解，它的严格证明可以利用实数连续性得出. 我们对这个定理只作直观上承认，不予证明.
有了上、下确界的理论，我们就得到一些重要结果，比如：单调有界数列必有极限定理. 请同学们自证.