公式法解一元二次方程推导
ax 2+bx+c=0
x 2+x +=0 b c
a a
b c x 2+x =-
a a
2b c ⎛b ⎫b ⎫+x +⎛+ ⎪ ⎪a a ⎝2a ⎭⎝2a ⎭22
b 2b 2-4ac (x+) = 2a 4a 2
b 2-4ac b x=± -2a 2a
x =根的判别式(b2-4ac)
b -4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根.
b -4ac =0⇔方程有两个相等的实数根(或说方程有一个实数根 b -4ac
x 的一元二次方程x -2(k +1) x +k -1=0有实数根，则k 的取值范围是______.
思路分析：方程有实数根，但具体不知道有多少个根，所以有b -4ac ≥0.
解：a =1, b =-2(k +1), c =k 2-1
22 ∴b -4ac =[-2(k +1) ]-4⨯1⨯(k -1) =8k +8 222222
因为方程有实数根，∴b -4ac ≥0
即：8k +8≥0 ∴k ≥-1
根与系数的关系-韦达定理
如果一元二次方程ax +bx +c =0的两根分别为x 1、x 2，则有： 22
x 1+x 2=-
2b a x 1⋅x 2=c a x 1, x 2一元二次方程x -5x -14=0的两根，则x 1+x 2=____，x 1∙x 2=____.
解：根据韦达定理得：
x 1+x 2=-
b -5c -14=-=5, x 1∙x 2===-14 a 1a 1
(利用根与系数的关系求值) 若方程x -3x -1=0的两根为x 1, x 2，则
解：根据韦达定理得：x 1+x 2=-
∴211+的值为_____. x 1x 2b -3c -1=-=3, x 1∙x 2===-1 a 1a 111x 1+x 23+===-3
x 1x 2x 1x 2-1
理论：以两个数
x 1, x 2是方程2x -6x +3=0的两个根，则
A ．2 B ．-2 2为根的一元二次方程是。 11+的值为( ) x 1x 2 D ．
2 C ．1 29 22x -(k +1) x +k +3=0的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．
常考题型及其相应的知识点：
(1)、利用一元二次方程的一个已知根求系数及求另一个根问题：
例1：关于x 的一元二次方程(m -1) x 2+x +m 2-1=0有一根为0，则m 的值为______.
例2：一元二次方程 x +mx +3=0的一个根为-1，则另一个根为_______.
四、拓展延伸：
1、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长．
拓展应用:关于x 的一元二次方程x +4x -m =02, 则m =方程的另一根是
22
1、 已知关于x 的方程x 2-(5k +1) x +k 2-2=0，是否存在负数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。
2、 已知方程x 2+5x -2=0，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。
3、 在关于x 的方程4x 2-(m -1)x +(m -7)=0中，
（1）当两根互为相反数时m 的值；
（2）（2）当一根为零时m 的值；
（3）（3）当两根互为倒数时m 的值
4、 已知一元二次方程ax -2bx +c =0的两个实数根满足x 1-x 2=22，a ，b ，c 分别是∆ABC 的
∠A ，∠B ，∠C 的对边。（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若a =c ，求∠B 的度数。
B C 9、在∆A 2∠C =90︒，中，斜边AB=10，直角边AC ，BC 的长是关于x 的方程x -mx +3m +6=0
的两个实数根，求m 的值。
例题1：
（1）若关于x 的一元二次方程2x 2+5x+k=0的一根是另一根的4倍，则k= ________
（2）已知：a,b 是一元二次方程x 2+2000x+1=0的两个根，求：（1+2006a+a2) （1+2005b+b2)
= __________
解法一：（1+2006a+a2) （1+2005b+b2)
= （1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b)
= 6a•5b=30ab
解法二：由题意知
∵ a 2 +2000a+1=0； b 2 +2000b+1=0
∴ a 2 +1=- 2000a; b 2 +1=- 2000b
∴ （1+2006a+a2) （1+2005b+b2)
=（2006a - 2000a)（2005b - 2000b)
=6a•5b=30ab
解法三：∵ab=1， a+b=-2000
∴（1+2006a+a2) （1+2005b+b2)
= （ ab +2006a+a2) （ ab +2005b+b2)
=a(b +2006+a) •b( a +2005+b)
=a(2006-2000) •b(2005-2000) =30ab
例题2：
已知:等腰三角形的两条边a,b 是方程x 2-（k+2）x+2 k =0的两个实数根, 另一条边c=1，
求:k的值。
韦达定理在解题中的应用
一、直接应用韦达定理
若已知条件或待证结论中含有a ＋b 和a·b 形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．
例1 已知a ＋a －1＝0，b ＋b －1＝0，a ≠b ，求ab ＋a ＋b 的值．
二、先恒等变形，再应用韦达定理
若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a ＋b 、a ·b 形式的式子，则可考虑应用韦达定理．
例2 若实数x 、y 、z 满足x ＝6－y ，z ＝xy －9．求证：x ＝y ．
三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系) 求系数关系(或求两根的关系) ，可考虑用韦达定理
例3 已知方程x ＋px ＋q ＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p 与q 之值，解此方程．
例4 设方程x ＋px ＋q ＝0的两根之差等于方程x ＋qx ＋p ＝0的两根之差，求证：p ＝q 或p ＋q ＝－4． 证明：设方程x ＋px ＋q ＝0的两根为α、β，x ＋qx ＋P ＝0的两根为α＇、β＇．
由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α－2αβ＋β＝α＇－2α＇β＇＋β＇．
[1**********]2
从而有(α＋β) －4αβ＝(α＇＋β＇) －4α＇β＇．①
22
把②代入①，有p －4q ＝q －4p ，即p －q ＋4p －4q ＝0，即(p＋q)(p－q) ＋4(p－q) ＝0，即(p－q)(p＋q ＋4) ＝0．故p －q ＝0或p ＋q ＋4＝0，即p ＝q 或p ＋q ＝－4．
四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理
例5当m 为问值时，方程x ＋mx －3＝0与方程x －4x －(m－1) ＝0有一个公共根？并求出这个公共根． 解：设公共根为α，易知，原方程x +mx－3＝0的两根为α、－m －α；x －4x －(m－1) ＝0的两根为α、4－α．
由韦达定理，得α(m＋α) ＝3， ①α(4－α) ＝－(m－1) ．
②由②得m ＝1－4α＋α， ③
把③代入①得α－3α＋α－3＝0，即(α－3)(α＋1) ＝0．
∵α＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．
把α＝3代入③，得m ＝－2．故当m ＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．
[1**********]22
公式法解一元二次方程推导
ax 2+bx+c=0
x 2+x +=0 b c
a a
b c x 2+x =-
a a
2b c ⎛b ⎫b ⎫+x +⎛+ ⎪ ⎪a a ⎝2a ⎭⎝2a ⎭22
b 2b 2-4ac (x+) = 2a 4a 2
b 2-4ac b x=± -2a 2a
x =根的判别式(b2-4ac)
b -4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根.
b -4ac =0⇔方程有两个相等的实数根(或说方程有一个实数根 b -4ac
x 的一元二次方程x -2(k +1) x +k -1=0有实数根，则k 的取值范围是______.
思路分析：方程有实数根，但具体不知道有多少个根，所以有b -4ac ≥0.
解：a =1, b =-2(k +1), c =k 2-1
22 ∴b -4ac =[-2(k +1) ]-4⨯1⨯(k -1) =8k +8 222222
因为方程有实数根，∴b -4ac ≥0
即：8k +8≥0 ∴k ≥-1
根与系数的关系-韦达定理
如果一元二次方程ax +bx +c =0的两根分别为x 1、x 2，则有： 22
x 1+x 2=-
2b a x 1⋅x 2=c a x 1, x 2一元二次方程x -5x -14=0的两根，则x 1+x 2=____，x 1∙x 2=____.
解：根据韦达定理得：
x 1+x 2=-
b -5c -14=-=5, x 1∙x 2===-14 a 1a 1
(利用根与系数的关系求值) 若方程x -3x -1=0的两根为x 1, x 2，则
解：根据韦达定理得：x 1+x 2=-
∴211+的值为_____. x 1x 2b -3c -1=-=3, x 1∙x 2===-1 a 1a 111x 1+x 23+===-3
x 1x 2x 1x 2-1
理论：以两个数
x 1, x 2是方程2x -6x +3=0的两个根，则
A ．2 B ．-2 2为根的一元二次方程是。 11+的值为( ) x 1x 2 D ．
2 C ．1 29 22x -(k +1) x +k +3=0的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．
常考题型及其相应的知识点：
(1)、利用一元二次方程的一个已知根求系数及求另一个根问题：
例1：关于x 的一元二次方程(m -1) x 2+x +m 2-1=0有一根为0，则m 的值为______.
例2：一元二次方程 x +mx +3=0的一个根为-1，则另一个根为_______.
四、拓展延伸：
1、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长．
拓展应用:关于x 的一元二次方程x +4x -m =02, 则m =方程的另一根是
22
1、 已知关于x 的方程x 2-(5k +1) x +k 2-2=0，是否存在负数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。
2、 已知方程x 2+5x -2=0，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。
3、 在关于x 的方程4x 2-(m -1)x +(m -7)=0中，
（1）当两根互为相反数时m 的值；
（2）（2）当一根为零时m 的值；
（3）（3）当两根互为倒数时m 的值
4、 已知一元二次方程ax -2bx +c =0的两个实数根满足x 1-x 2=22，a ，b ，c 分别是∆ABC 的
∠A ，∠B ，∠C 的对边。（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若a =c ，求∠B 的度数。
B C 9、在∆A 2∠C =90︒，中，斜边AB=10，直角边AC ，BC 的长是关于x 的方程x -mx +3m +6=0
的两个实数根，求m 的值。
例题1：
（1）若关于x 的一元二次方程2x 2+5x+k=0的一根是另一根的4倍，则k= ________
（2）已知：a,b 是一元二次方程x 2+2000x+1=0的两个根，求：（1+2006a+a2) （1+2005b+b2)
= __________
解法一：（1+2006a+a2) （1+2005b+b2)
= （1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b)
= 6a•5b=30ab
解法二：由题意知
∵ a 2 +2000a+1=0； b 2 +2000b+1=0
∴ a 2 +1=- 2000a; b 2 +1=- 2000b
∴ （1+2006a+a2) （1+2005b+b2)
=（2006a - 2000a)（2005b - 2000b)
=6a•5b=30ab
解法三：∵ab=1， a+b=-2000
∴（1+2006a+a2) （1+2005b+b2)
= （ ab +2006a+a2) （ ab +2005b+b2)
=a(b +2006+a) •b( a +2005+b)
=a(2006-2000) •b(2005-2000) =30ab
例题2：
已知:等腰三角形的两条边a,b 是方程x 2-（k+2）x+2 k =0的两个实数根, 另一条边c=1，
求:k的值。
韦达定理在解题中的应用
一、直接应用韦达定理
若已知条件或待证结论中含有a ＋b 和a·b 形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．
例1 已知a ＋a －1＝0，b ＋b －1＝0，a ≠b ，求ab ＋a ＋b 的值．
二、先恒等变形，再应用韦达定理
若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a ＋b 、a ·b 形式的式子，则可考虑应用韦达定理．
例2 若实数x 、y 、z 满足x ＝6－y ，z ＝xy －9．求证：x ＝y ．
三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系) 求系数关系(或求两根的关系) ，可考虑用韦达定理
例3 已知方程x ＋px ＋q ＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p 与q 之值，解此方程．
例4 设方程x ＋px ＋q ＝0的两根之差等于方程x ＋qx ＋p ＝0的两根之差，求证：p ＝q 或p ＋q ＝－4． 证明：设方程x ＋px ＋q ＝0的两根为α、β，x ＋qx ＋P ＝0的两根为α＇、β＇．
由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α－2αβ＋β＝α＇－2α＇β＇＋β＇．
[1**********]2
从而有(α＋β) －4αβ＝(α＇＋β＇) －4α＇β＇．①
22
把②代入①，有p －4q ＝q －4p ，即p －q ＋4p －4q ＝0，即(p＋q)(p－q) ＋4(p－q) ＝0，即(p－q)(p＋q ＋4) ＝0．故p －q ＝0或p ＋q ＋4＝0，即p ＝q 或p ＋q ＝－4．
四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理
例5当m 为问值时，方程x ＋mx －3＝0与方程x －4x －(m－1) ＝0有一个公共根？并求出这个公共根． 解：设公共根为α，易知，原方程x +mx－3＝0的两根为α、－m －α；x －4x －(m－1) ＝0的两根为α、4－α．
由韦达定理，得α(m＋α) ＝3， ①α(4－α) ＝－(m－1) ．
②由②得m ＝1－4α＋α， ③
把③代入①得α－3α＋α－3＝0，即(α－3)(α＋1) ＝0．
∵α＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．
把α＝3代入③，得m ＝－2．故当m ＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．
[1**********]22