位移转角推导公式

y TT 已知 = θRT f , (1) RR m TR

θ=T*y; (2)

T 为转换矩阵

因为H=1/（-ω2*M+j*ω*C+K）, 其中M,C,K 都为是对称矩阵，所以H 为对称矩阵，即 H=

将（2）代入（1）得

RT*f+RR*m=T*(TT*f+TR*m) (4)

由分配律可得

RT=T*TT (5)

RR=T*TR (6)

在一个多自由度系统中

TT 11TT= ⋮

TT n1

TR 11TR= ⋮

TR n1

RT 11RT= ⋮

RT n1…⋱……⋱…TT 1n ⋮ (7) TT nn TR 1n ⋮ (8) TR nn TT RT TR RR =H T

TR=RT T (3) …RT 1n ⋱⋮ (9) …RT nn

RR 1n ⋮ (10) RR nn RR 11…⋱RR= ⋮RR n1…

且TT=TT T , RR=RR T (11)

由（7）得

TT ij =E i *TT*E j T (12)

E i , Ej 分别表示第i 或j 个元素为1，其他元素为0的一维行向量, 且1≤i, j ≤n , 以下相同由(3),（5）,(9)，（11）得

TR ij =RT ji = TT 1i …TT ji …TT ni ∗T j T = TT i1…TT ij …TT in *T j T = Ei *TT*T j T （13） T i , Tj ——第i,j 点的转换矩阵

E i , Ej ——第i 或j 个元素为1，其他元素为0的一维行向量,

且1≤i, j ≤n , 以下相同

由（5），（7）得

RT ij = RT i1…RT ij …RT in *E j T =T i *TT*E j T (14)

由(3),（6），（11）得

RR ij =RR ji = TR 1i …TR ji …TR ni *T j T = RT i1…RT i2…RT in *T j T

=T i *TT*T j T （15）

由（12），（14）得 TT ij E []= [i ] *TT*E j T (16) RT ij Ti

由（13）（15）得 TR ij E []= [i ] *TT*T j T （17） RR ij Ti

将（16），（17）联立得

TT ij TR ij E i T E j T E i T H ij = RT ij RR ij =[ Ti ] *TT*[E j T j ]= [ Ti ] *TT* T j