平面向量中的三角形四心问题

向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要

工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在

给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的

相互关系。

一、重心（barycenter)

三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与

重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的

帕普斯定理。

结论1：

若G为ABC所在平面内一点，则G是三角形的重心

证明：设BC中点为D，则2GA2GD,

这表明，G在中线AD上

同理可得G在中线BE,CF上

故G为ABC的重心

1若P为ABC所在平面内一点，则()3

G是ABC的重心

1证明：()()()()3

GAGBGC0

G是ABC的重心

二、垂心(orthocenter)

三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：

若H为ABC所在平面内一点，则H是ABC的垂心

证明：HAHBHBHCHB(HAHC)0

HBAC0HBAC

同理，有HACB,HCAB

故H为三角形垂心

若H为ABC所在平面内一点，则H是ABC的垂心

证明：由得，()()2HBHCHCHA

同理可证得，HAHBHBHCHCHA

由结论3可知命题成立[1**********]22

三、外心(circumcenter)

三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点

做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5：

若O是ABC所在平面内一点，则

O是ABC的外心

证明：由外心定义可知命题成立

结论6：

若O是ABC所在平面内一点，则

（)()()

O是ABC的外心

证明：(OAOB)BA(OAOB)(OAOB)()()2故O为ABC的外心

四、内心(incenter)

三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。

结论7：

若P为ABC所在平面内一点，则

123(0)CB

P是ABC的内心

证明：记，方向上的单位向量分别为e1,e2

11(e1e2)由平行四边形法则知，(e1e2)在AB,AC边夹角平分线上即P在A平分线上

同理可得，P在B,C的平分线上

故P为ABC的内心

结论8：

若P是ABC所在平面内一点，则abc

P是ABC的内心

证明：不妨设

aPAbPBcPC0a(PDDA)b(PDDB)cPC0(abc)(ab)由于PC与DA,DB不共线，则

abc0,abba

由角平分线定理，CD是ACB的平分线

同理可得其他的两条也是平分线

故P是ABC的内心

平面向量中的三角形四心问题

向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要

工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在

给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的

相互关系。

一、重心（barycenter)

三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与

重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的

帕普斯定理。

结论1：

若G为ABC所在平面内一点，则G是三角形的重心

证明：设BC中点为D，则2GA2GD,

这表明，G在中线AD上

同理可得G在中线BE,CF上

故G为ABC的重心

1若P为ABC所在平面内一点，则()3

G是ABC的重心

1证明：()()()()3

GAGBGC0

G是ABC的重心

二、垂心(orthocenter)

三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：

若H为ABC所在平面内一点，则H是ABC的垂心

证明：HAHBHBHCHB(HAHC)0

HBAC0HBAC

同理，有HACB,HCAB

故H为三角形垂心

若H为ABC所在平面内一点，则H是ABC的垂心

证明：由得，()()2HBHCHCHA

同理可证得，HAHBHBHCHCHA

由结论3可知命题成立[1**********]22

三、外心(circumcenter)

三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点

做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5：

若O是ABC所在平面内一点，则

O是ABC的外心

证明：由外心定义可知命题成立

结论6：

若O是ABC所在平面内一点，则

（)()()

O是ABC的外心

证明：(OAOB)BA(OAOB)(OAOB)()()2故O为ABC的外心

四、内心(incenter)

三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。

结论7：

若P为ABC所在平面内一点，则

123(0)CB

P是ABC的内心

证明：记，方向上的单位向量分别为e1,e2

11(e1e2)由平行四边形法则知，(e1e2)在AB,AC边夹角平分线上即P在A平分线上

同理可得，P在B,C的平分线上

故P为ABC的内心

结论8：

若P是ABC所在平面内一点，则abc

P是ABC的内心

证明：不妨设

aPAbPBcPC0a(PDDA)b(PDDB)cPC0(abc)(ab)由于PC与DA,DB不共线，则

abc0,abba

由角平分线定理，CD是ACB的平分线

同理可得其他的两条也是平分线

故P是ABC的内心

平面向量中的三角形四心问题

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