学科: 数学 年级：高二 版本：人教版 期数：1318
本周教学内容：8.3 双曲线及其标准方程
【基础知识精讲】
1.双曲线的定义
平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示.常数用2a表示.
(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2a时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2a时，曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.
(3)若2a=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线. (4)若2a＞2c时，动点的轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程
-=1(a＞0,b＞0)焦点在x轴上的双曲线；
-=1(a＞0,b＞0)焦点在y轴上的双曲线.
2
2
2
2
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x、y的分母的大小，而是x、y的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.
本节学习方法：
本节主要数学思想和方法：方程思想，利用双曲线的定义等条件求双曲线方程常用特定系数法、定义法和轨迹法等.
双曲线和椭圆一样，都是解析几何的重要部分，双曲线的学习可通过与椭圆对比去掌握.它与直线、圆联系密切，涉及到距离公式、弦长问题，面积公式及方程中的韦达定理等知识，也是高考的重点内容. 【重点难点解析】
1.双曲线的定义，标准方程与椭圆类似，本小节在数学思想和方法上没有新内容，学习中应着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点.
2.与建立椭圆的标准方程一样，建立双曲线的标准方程是，从“平面内到两定点的距离差的绝对值是常数(与椭圆不同，这个常数要大于0且小于｜F1F2｜)的点M的轨迹”这个双曲线的定义出发，推导出它的标准方程.推导过程说明，双曲线上任意一点的坐标都适合方
程-=1；但关于坐标适合方程-=1的点都在双曲线上，即完备性未加以证明.
例1 若方程C.-2＜m＜3
+
=1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
D.-3＜m＜3或m＞3
A.-3＜m＜2或m＞3 B.m＜-3或m＞3
分析 该方程表示双曲线，则x与y项的系数的符号相反，即(2-m)(｜m｜-3)＜0，将问题转化为不等式的求解.
答：A
22
例2 求与椭圆+=1共焦点，且过点(3，)的双曲线的方程.
分析一 由题意知所求双曲线的焦点在x轴上，且焦距为8，∴c=4,设所求双曲线方程
为-=1代入点(3，)，得λ=7，故所求双曲线方程为
2
-=1.
分析二 运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为+=1，代
入点(3，)，得λ=16或λ=-7(舍)，故所求双曲线方程为-=1.
例3 课本第108页习题8.3第一题：△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边所在直线的斜率之积是
，求顶点A的轨迹.
分析 其顶点A的轨迹方程求得：-=1(x≠0).若将问题一般化：B(0，a)、C(0，
-a) kAB²kAC=，则顶点A的轨迹方程为：-=1(x≠0).若B(bcotφ，acosφ)、C(-cot
φ，-acscφ).kAB²kAC=，则顶点A的轨迹会是怎样?
反之，双曲线-=1(x≠0)上任一点到B(0，a)，C(0，-a)两点的连线的斜率之和，
等于立.
;若改变B、C的位置保持B、C两点关于原点对称于双曲线上，kAB²kAC=是否成
总之，同学们在学习过程中要多动手、多思考，举一反三，做到“以点代面，以少胜多”.
【难题巧解点拨】
例1 一动圆与圆(x+3)+y＝1外切又与圆(x-3)+y＝9内切，求动圆圆心轨迹方程. 分析 如图，设动圆M与⊙O1外切于A，与⊙O2内切于B，由位置关系可得数量关系：
2
2
2
2
｜MO1｜＝｜MA｜+1 ｜MO2｜＝｜MB｜-3 由｜MA｜＝｜MB｜可得｜MO1｜-｜MO2｜＝4
由定义可知M点轨迹为双曲线的一支.
解：如图，设动圆圆心M坐标为M(x,y)，圆M与圆O1外切于A，与圆O2内切于B，则，MO1＝｜MA｜+1①，｜MO2｜＝｜MB｜-3②，①-②：｜MO1｜-｜MO2｜＝4
由双曲线定义知，M点轨迹是以O1(-3，0)O2(3，0)为焦点2a＝4的双曲线的右支 ∴b＝3-2＝5
2
2
2
∴所求轨迹方程为：-＝1(x≥2)
说明：在求轨迹方程时，要注意使用曲线的定义，此时的思路：位置关系(内切，外切)数量关系(｜MO1｜＝r+r1,｜MO2｜＝r-r2其中r为动圆半径)曲线形状(写出标准方程)，可以简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值，此时不含绝对值，要求｜MO1｜>｜MO2｜，所以是双曲线的右支，而不是整个双曲线.
例2 过双曲线-＝1的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB的中点C到右焦点F
的距离，并求弦AB的长.
分析 将直线方程与双曲线方程联立，求出A、B两点的坐标，再求其中点，由两点的距离公式求出｜CF｜.
解：∵双曲线的右焦点为F(5，0)，直线AB的方程为y＝x-5，故
消去y，并整理得 7x+90x-369＝0
2
③
此方程的两个根x1、x2是A、B两点的横坐标，设AB的中心点C的坐标为(x,y)，则
x＝＝＝-.
C点的坐标满足方程②，故 y＝--5＝-
∴｜CF｜＝＝(5+)
＝
又设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2)，则y1＝x1-5,y2＝x2-5. ∴y1-y2＝x1-x2， ｜AB｜＝
＝＝
＝由方程③知 x1+x2＝-,x1²x2＝-
∴｜AB｜＝
＝
【命题趋势分析】
＝＝27
点评：利用韦达定理及两点间距离公式求弦长.
双曲线与直线、圆和椭圆联系密切，涉及到距离公式、弦长及面积公式、方程中的韦达定理和判别式的运用；还涉及到弦的中点轨迹问题、中点弦问题，对称问题与最值问题等都是高考的重要内容.如“能力演练”中有许多曾是高考题或样题，同学们在学习中应该重基础知识和基本的数学思想数学方法的运用.训练能力，创新思维，做到举一反三.触类旁通. 【典型热点考题】
例1 设F1和F2为曲线求△F1PF2的面积.
-y=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则
2
分析一 依题意求出P点的纵坐标，据面积公式计算△F1PF2的面积. 设P(x1,y1),由PF1⊥PF2得
²
即 y1=5-x1 又 x1-4y1=4
2
2
2
2
=-1
联立解得y1=±
∴=｜F1F2｜²｜y1｜=²2c² =1
分析二 运用双曲线定义解题 由点P在双曲线上，知
｜｜PF1｜-｜PF2｜｜=4且｜PF1｜+｜PF2｜=20 联立解得｜PF1｜²｜PF2｜=2 ∴
=
｜PF1｜²｜PF2｜=1
，0)的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y-x=1
2
2
2
2
例2 已知l1、l2是过点P(-(1)求l1的斜率k1的取值范围. (2)若｜A1B1｜=
各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.
｜A2B2｜；求l1、l2的方程.
分析 设直线斜率为k，联立方程组求解.
(1)因为l1、l2中有一条斜率不存在，就可推出另一条斜率为零而与双曲线不相交，所以l1、l2的斜率k1、k2均不为零.
设l1:y=k1(x+
),
l2:y=-(x+)
把它们代入双曲线方程分别得 (k1-1)x+2(k1-1)x-2
2
2
2
2
k1x+2k1-1=0 x+k1-2=0
2
22
②
①
当k1=±1时，方程①、②均为一次方程不符合题意， 所以，当k1≠±1时由①、②的判别式都大于零得
k1∈(-，-)∪(
，
)且k1≠±1
(2)由①、②可知 ｜A1B1｜ =
²
=²
｜A2B2｜=∵｜A1B1｜=
²｜A2B2｜
∴解得 k1=±,k2=±
∴所求直线方程为
l1:y=(x+),l2:y=- (x+)
或l1:y=- (x+),l2:y=(x+).
例3 如图，给出定点A(a,0)，(a＞0)和直线l:x=-1.B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.
分析 设B(-1，y0)，C(x,y)，由角平分线的性质有
=,当y0≠0时，又由平行线性质有
===
∴==
即有==
(易知y与y0-y同号，0＜x＜a)
由
2
2
=
2
得
2
a(x+1)=(a-x)(1+y0) ①
又由
2
=得y0=
2
²y
②
③
由①、②消去y0并整理得 (1-a)x-2ax+(1+a)y=0
2
2
当y0=0时易知点C即为原点，此时x=0，y=0，亦满足③，故所求点C的轨迹方程是： (1+a)x-2ax+(1+a)y=0(0≤x＜a)④ (1)当a=1时，方程为y=x(0≤x＜1) 表示抛物线弧段. (2)当a≠1时，④变形为
2
+＝1(0≤x＜a)
当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.
本周强化练习：
【同步达纲检测】
A级
一、选择题 1.设θ∈(
，π)则方程x²cosθ-ysecθ=1所表示的曲线是( )
B.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线
2
2
A.焦点在x轴上的双曲线 C.焦点在x轴上的椭圆
2.如果双曲线AF2｜等于( )
A.5+
-y=1的两个焦点为F1、F2，A是双曲线上一点，且｜AF1｜=5，那么｜
2
B.5+2
2
2
2
2
C.8 D.11
B.两条双曲线
D.一个椭圆与一条双曲线
3.与两圆x+y=1和x+y-8x+7=0都相切的圆的圆心轨迹是( ) A.两个椭圆
C.一条双曲线和一条直线
4.以椭圆是( )
+=1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程
A.-y=1
2
B.y-
2
=1
C.-=1 D. -=1
5.设动点P到定点F1(-5，0)的距离与它到定点F2(5，0)的距离的差等于6，则P点轨迹方程是( )
A. -=1 B. -=1
C. -=1(x≥3)
2
2
D.
2
-2
=1(x≤-3)
二、填空题
6.若椭圆mx+ny=1(0＜m＜n)和双曲线ax-by=1(a＞0,b＞0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则｜PF1｜²｜PF2｜= .
7.过点A(-2三、解答题
，4
2
2
)、B(3，-2)的双曲线的标准方程为 .
8.与双曲线16x-9y=-144有共同焦点，且过点(0，2)的双曲线方程为 .
9.已知点A(3，0)，圆C：(x+3)+y=16，动圆P与圆C相外切并过点A，求动圆圆心P的轨迹方程.
10.在双曲线x-y=1上求一点P，使它到直线y=x的距离为
AA级
一、选择题
2
2
22
.
1.直线l过双曲线A.4a+m
2
-=1的下方焦点F1且与双曲线的下支交于A、B两点，F2是双
2
2
曲线的另一个焦点，且｜AB｜=m,则△ABF2的周长为( )
2
2
B.4a+2m C.4a-m D.4a-2m
2.若曲线x-y=a与曲线(x-1)+y=1恰好有三个不同的公共点，则实数a的值只能是( )
A.a=0
B.a=±1 D.｜a｜＞1
C.0＜｜a｜＜1
3.若A.(
,-
+) )∪(
=1表示双曲线，a为负常数，则m的取值范围是( )
B.(D.(-
2
2
,-,
) )
D.正方形
C.(-∞,-,+∞)
2
2
4.依次连接双曲线x-y=12与圆x+y=25的交点，则所成的图形是( ) A.三角形 ( )
A.y=x
)
B.y=x(｜x｜＞D.y=x(｜x｜≥
) )
B.菱形
2
2
C.矩形
5.斜率为2的直线与双曲线2x-y=2交于P、Q两点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是
C.y=x(｜x｜＞2二、填空题
6.已知B(-5，0)，C(5，0)是△ABC的两个顶点，且sinB-sinC=迹方程是
.
sinA,则顶点A的轨
7.已知双曲线-=1(a＞0,b＞0)的弦AB的中点为M，O为坐标原点，则直线OM
.
和直线AB的斜率的乘积为
8.关于x的方程三、解答题
=x+b没有实数根，则实数b的取值范围是 .
2
9.已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x-2y=1总有公共点，试求实数k的取值范围.
10.双曲线3x-y=1上是否存在关于直线=2x对称的两点A、B?若存在，试求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.
【素质优化训练】
1.平面内有一条定线段AB，其长度为4，动点P满足｜PA｜-｜PB｜=3,O为线段AB的中点，则｜OP｜的最小值是( )
A.1
B.
C.2
D.4
2
2
2.P为双曲线C上的一点，F1、F2是双曲线C的两个焦点，过双曲线C的一个焦点作∠F1PF2的平分线的垂线，设垂足为Q，则Q点的轨迹是( )
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.双曲线
3.给出下列曲线：①4x+2y-1=0;②x+y=3;
③y=-2x-3有交点的所有曲线是( )
A.①③ 方程是( )
B.②④
2
2
22
+y=1;
④
2
-y=1，其中与直线
2
C.①②③ D.②③④
2
2
4.若动圆P与两定圆(x+5)+y=1及(x-5)+y=49都相内切或都相外切，则动圆圆心轨迹
A.
-=1 B.-=1(x＞0)
C.-=1 D.-=1(x＞0)
2
2
5.已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx-y+n=0与nx+my=mn所表示的示意曲线是
( )
二、填空题
6.已知双曲线x-
2
=1,过点P(2，1)作直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中
点，则｜AB｜= .
7.若圆C过双曲线为 .
-=1的两焦点，且截直线y=-1所得弦长为8，则圆C的方程
8.过点M(3，-1)且被点M平分的双曲
线为 .
-y=1的弦所在直线方程
2
三、解答题
9.若双曲线y-x=1上的点P与其焦点F1、F2的连线互相垂直，求P点的坐标.
10.设k和r是实数，且r＞0，使得：直线y=kx+1既与圆x+y=r相切，又与双曲线x-y=r有两个交点.
(1)求证：
-k=1,且｜k｜≠1;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(2)试问：直线y=kx+1能否经过双曲线x-y=4的焦点?为什么?
【生活实际运用】
活动1：求证直线y=kx+m与双曲线+=1相切的充要条件是：m=a²k-b
22
22
222
若过双曲线上一点P(x0,y0)斜率为k的切线为y=kx+y0-kx0,其中m=y0-kx.且bx0-ab,
联立可解得斜率k= (y≠0),代入切线方程可得过点P(x0,y0)双曲线的切线方程为
-特别地，当y0=0时亦合上面的方程.
=1
活动2：运用上面结论可求过双曲线-=1上一点(x0,y0)的切线方程与法线方程，
若双曲线方程为
【知识验证实验】
-=1时，过曲线上点(x0,y0)的切线和法线方程又是怎样?
1.运用双曲线定义解方程｜｜x-3｜-｜x+3｜｜=2.
解：该方程的解是以(-3，0)，(3，0)为焦点，2为实轴长的双轴线与x轴交点的横坐
标，其方程为x-
2
=1，令y=0得x=±1，即原方程的解为x=±1.
2.运用双曲线图形解无理不等式
2
＞x+1
解：令y1=2【知识探究学习】
,y2=x+1，即x-
2
=1(y1≥0),在同一坐标系中画出两图形，使得
双曲线的部分在直线部分上方的x的值为原不等式的解.故原不等式的解集为(-∞，-1).
1.设声速为a米/秒，在相距10a米的A、B两监听室中，听到一爆炸声的时间差为6秒，且纪录到B处的声强是A处的4倍，若已知声速a=340米/秒，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸点P到AB的中点M的距离.
解：以AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A(-5a，
0)，B(5a,0)，P(x,y)，｜PA｜-｜PB｜=6a，到A、B两点距离差为6a的点在双曲线， -
22=1(x≥3a)上 ①, 又B处的声强是A处声强的4倍，∴｜PA｜=4｜PB｜,即(x+5a)+y=4［(x-5a)+y］，22222223x+3y-50ax+75a=0 ②，
由①、②消去y,得25x-150ax+81a=0，x=22a或x=a(舍去)，y=a，∴｜PM｜==a=340(米)，
米. 答：P点到AB中点M的距离为340
2.如图所示，某农场在P处有一肥堆，今要把这堆肥沿道路PA或PB送到大田ABCD中去，已知AP=100m，PB=150m,∠APB=60°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿PA送肥较近，而另一侧的点沿PB送肥较近?如能，请确定这条界线
.
解题思路：大田ABCD中的点分成三类：第一类设PA送肥较近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA和PB送肥一样远近，第三类构成第一类、第二类点的界线，即我们所要求的轨迹，设以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，设M为界线所在曲线上的一点，则满足｜PA｜+｜AM｜=｜PB｜+｜BM｜,于是｜MA｜-｜MB｜=｜PB｜-｜PA｜=50.可知M点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支其方程可求得为25≤x≤35)界线为双曲线在矩形中的一段.
-=1.(0≤y≤60，
参考答案：
【同步达纲检测】
A级 1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6. - 7.-=1 8. -=1
9.解：设P(x,y),依题意有｜PC｜=｜PA｜+4，∴P点的轨迹是以C(-3，0)，A(3，0)为
焦点，且实轴长为4的双曲线的右支、其方程为-=1(x≥2)
10.解：设P(cscθ,cotθ)，则由万能公式求得P(±,±) =∴, =±2，∴tan=±2，
AA级 1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6. -=1(x＜-3) 7. 8.(-∞,-1)∪［9，1］
9.解：联立方程
组
22222消去y得(2k-1)x+4kbx+2b+1=0,依题意有△2222=(4kb)-4(2k-1)(2b+1)=-4(2k-2b-1)＞0，对所有实数b恒成立，∴2k-1＜0，得-＜k＜
10.解：设AB：y=-
22x+m,代入双曲线方程得11x+4mx-4(m+1)=0,这里△=(4m)-4³11222［-4(m+1)］=16(2m+11)＞0 恒成立，设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0,)则x1+x2=-
上，∴，∴x0=-=-,y0=-x0+m=,若A、B关于直线y=2x对称，则M必在直线y=2xx与双曲线的交点的A、B必得m=1，由双曲线的对称性知，直线y=-
关于直线y=2x对称.∴存在A、B且求得A(
【素质优化训练】 ，-)，B(-，)
1.B 2.B 3.D 4.C 5.C 6.4 7.x+(y-4)=41 8.3x+4y-5=0 22
9.解：设P(x,y),∵F1
(0,-),F2
(0, ),
∴
=
,
=,
∵
²=-1,即x+y=1,又y-x=1，∴x=±2222,y=±,∴P的坐标为(
，)，(，-)，(-，)和(-，-)
10.解(1)因为直线y=kx+1与圆x+y=r相切，所以有222=r,∴=r,∵2
r≠0,∴2-k=1，又由于直线y=kx+1与双曲线x-y=r相交，故交点坐标(x,y)满足方程
2222
组
≠1 ,将①代入②得(1-k)x-2kx-(1+r)=0 ③,因直线与双曲线有两个2222交点，且对任意实数k，直线不平行y轴，故③有两个不同的实数根，因此1-k≠1,∴｜k｜
(2)双曲线x2-y2=r2的过点是F1
(-r,0),F2
(r,0)，若直线y=kx+1过点F1,则 - rk+1=0,即k=，又由(1)结论-k2=1得k2=1与｜k｜≠1矛质.故直线y=kx+1不可能过双曲线x2-y2=r2的左焦点，同理可得，直线y=kx+1也不可能过双曲线x2-y2=r2的右焦点.
学科: 数学 年级：高二 版本：人教版 期数：1318
本周教学内容：8.3 双曲线及其标准方程
【基础知识精讲】
1.双曲线的定义
平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示.常数用2a表示.
(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2a时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2a时，曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.
(3)若2a=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线. (4)若2a＞2c时，动点的轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程
-=1(a＞0,b＞0)焦点在x轴上的双曲线；
-=1(a＞0,b＞0)焦点在y轴上的双曲线.
2
2
2
2
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x、y的分母的大小，而是x、y的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.
本节学习方法：
本节主要数学思想和方法：方程思想，利用双曲线的定义等条件求双曲线方程常用特定系数法、定义法和轨迹法等.
双曲线和椭圆一样，都是解析几何的重要部分，双曲线的学习可通过与椭圆对比去掌握.它与直线、圆联系密切，涉及到距离公式、弦长问题，面积公式及方程中的韦达定理等知识，也是高考的重点内容. 【重点难点解析】
1.双曲线的定义，标准方程与椭圆类似，本小节在数学思想和方法上没有新内容，学习中应着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点.
2.与建立椭圆的标准方程一样，建立双曲线的标准方程是，从“平面内到两定点的距离差的绝对值是常数(与椭圆不同，这个常数要大于0且小于｜F1F2｜)的点M的轨迹”这个双曲线的定义出发，推导出它的标准方程.推导过程说明，双曲线上任意一点的坐标都适合方
程-=1；但关于坐标适合方程-=1的点都在双曲线上，即完备性未加以证明.
例1 若方程C.-2＜m＜3
+
=1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
D.-3＜m＜3或m＞3
A.-3＜m＜2或m＞3 B.m＜-3或m＞3
分析 该方程表示双曲线，则x与y项的系数的符号相反，即(2-m)(｜m｜-3)＜0，将问题转化为不等式的求解.
答：A
22
例2 求与椭圆+=1共焦点，且过点(3，)的双曲线的方程.
分析一 由题意知所求双曲线的焦点在x轴上，且焦距为8，∴c=4,设所求双曲线方程
为-=1代入点(3，)，得λ=7，故所求双曲线方程为
2
-=1.
分析二 运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为+=1，代
入点(3，)，得λ=16或λ=-7(舍)，故所求双曲线方程为-=1.
例3 课本第108页习题8.3第一题：△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边所在直线的斜率之积是
，求顶点A的轨迹.
分析 其顶点A的轨迹方程求得：-=1(x≠0).若将问题一般化：B(0，a)、C(0，
-a) kAB²kAC=，则顶点A的轨迹方程为：-=1(x≠0).若B(bcotφ，acosφ)、C(-cot
φ，-acscφ).kAB²kAC=，则顶点A的轨迹会是怎样?
反之，双曲线-=1(x≠0)上任一点到B(0，a)，C(0，-a)两点的连线的斜率之和，
等于立.
;若改变B、C的位置保持B、C两点关于原点对称于双曲线上，kAB²kAC=是否成
总之，同学们在学习过程中要多动手、多思考，举一反三，做到“以点代面，以少胜多”.
【难题巧解点拨】
例1 一动圆与圆(x+3)+y＝1外切又与圆(x-3)+y＝9内切，求动圆圆心轨迹方程. 分析 如图，设动圆M与⊙O1外切于A，与⊙O2内切于B，由位置关系可得数量关系：
2
2
2
2
｜MO1｜＝｜MA｜+1 ｜MO2｜＝｜MB｜-3 由｜MA｜＝｜MB｜可得｜MO1｜-｜MO2｜＝4
由定义可知M点轨迹为双曲线的一支.
解：如图，设动圆圆心M坐标为M(x,y)，圆M与圆O1外切于A，与圆O2内切于B，则，MO1＝｜MA｜+1①，｜MO2｜＝｜MB｜-3②，①-②：｜MO1｜-｜MO2｜＝4
由双曲线定义知，M点轨迹是以O1(-3，0)O2(3，0)为焦点2a＝4的双曲线的右支 ∴b＝3-2＝5
2
2
2
∴所求轨迹方程为：-＝1(x≥2)
说明：在求轨迹方程时，要注意使用曲线的定义，此时的思路：位置关系(内切，外切)数量关系(｜MO1｜＝r+r1,｜MO2｜＝r-r2其中r为动圆半径)曲线形状(写出标准方程)，可以简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值，此时不含绝对值，要求｜MO1｜>｜MO2｜，所以是双曲线的右支，而不是整个双曲线.
例2 过双曲线-＝1的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB的中点C到右焦点F
的距离，并求弦AB的长.
分析 将直线方程与双曲线方程联立，求出A、B两点的坐标，再求其中点，由两点的距离公式求出｜CF｜.
解：∵双曲线的右焦点为F(5，0)，直线AB的方程为y＝x-5，故
消去y，并整理得 7x+90x-369＝0
2
③
此方程的两个根x1、x2是A、B两点的横坐标，设AB的中心点C的坐标为(x,y)，则
x＝＝＝-.
C点的坐标满足方程②，故 y＝--5＝-
∴｜CF｜＝＝(5+)
＝
又设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2)，则y1＝x1-5,y2＝x2-5. ∴y1-y2＝x1-x2， ｜AB｜＝
＝＝
＝由方程③知 x1+x2＝-,x1²x2＝-
∴｜AB｜＝
＝
【命题趋势分析】
＝＝27
点评：利用韦达定理及两点间距离公式求弦长.
双曲线与直线、圆和椭圆联系密切，涉及到距离公式、弦长及面积公式、方程中的韦达定理和判别式的运用；还涉及到弦的中点轨迹问题、中点弦问题，对称问题与最值问题等都是高考的重要内容.如“能力演练”中有许多曾是高考题或样题，同学们在学习中应该重基础知识和基本的数学思想数学方法的运用.训练能力，创新思维，做到举一反三.触类旁通. 【典型热点考题】
例1 设F1和F2为曲线求△F1PF2的面积.
-y=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则
2
分析一 依题意求出P点的纵坐标，据面积公式计算△F1PF2的面积. 设P(x1,y1),由PF1⊥PF2得
²
即 y1=5-x1 又 x1-4y1=4
2
2
2
2
=-1
联立解得y1=±
∴=｜F1F2｜²｜y1｜=²2c² =1
分析二 运用双曲线定义解题 由点P在双曲线上，知
｜｜PF1｜-｜PF2｜｜=4且｜PF1｜+｜PF2｜=20 联立解得｜PF1｜²｜PF2｜=2 ∴
=
｜PF1｜²｜PF2｜=1
，0)的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y-x=1
2
2
2
2
例2 已知l1、l2是过点P(-(1)求l1的斜率k1的取值范围. (2)若｜A1B1｜=
各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.
｜A2B2｜；求l1、l2的方程.
分析 设直线斜率为k，联立方程组求解.
(1)因为l1、l2中有一条斜率不存在，就可推出另一条斜率为零而与双曲线不相交，所以l1、l2的斜率k1、k2均不为零.
设l1:y=k1(x+
),
l2:y=-(x+)
把它们代入双曲线方程分别得 (k1-1)x+2(k1-1)x-2
2
2
2
2
k1x+2k1-1=0 x+k1-2=0
2
22
②
①
当k1=±1时，方程①、②均为一次方程不符合题意， 所以，当k1≠±1时由①、②的判别式都大于零得
k1∈(-，-)∪(
，
)且k1≠±1
(2)由①、②可知 ｜A1B1｜ =
²
=²
｜A2B2｜=∵｜A1B1｜=
²｜A2B2｜
∴解得 k1=±,k2=±
∴所求直线方程为
l1:y=(x+),l2:y=- (x+)
或l1:y=- (x+),l2:y=(x+).
例3 如图，给出定点A(a,0)，(a＞0)和直线l:x=-1.B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.
分析 设B(-1，y0)，C(x,y)，由角平分线的性质有
=,当y0≠0时，又由平行线性质有
===
∴==
即有==
(易知y与y0-y同号，0＜x＜a)
由
2
2
=
2
得
2
a(x+1)=(a-x)(1+y0) ①
又由
2
=得y0=
2
²y
②
③
由①、②消去y0并整理得 (1-a)x-2ax+(1+a)y=0
2
2
当y0=0时易知点C即为原点，此时x=0，y=0，亦满足③，故所求点C的轨迹方程是： (1+a)x-2ax+(1+a)y=0(0≤x＜a)④ (1)当a=1时，方程为y=x(0≤x＜1) 表示抛物线弧段. (2)当a≠1时，④变形为
2
+＝1(0≤x＜a)
当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.
本周强化练习：
【同步达纲检测】
A级
一、选择题 1.设θ∈(
，π)则方程x²cosθ-ysecθ=1所表示的曲线是( )
B.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线
2
2
A.焦点在x轴上的双曲线 C.焦点在x轴上的椭圆
2.如果双曲线AF2｜等于( )
A.5+
-y=1的两个焦点为F1、F2，A是双曲线上一点，且｜AF1｜=5，那么｜
2
B.5+2
2
2
2
2
C.8 D.11
B.两条双曲线
D.一个椭圆与一条双曲线
3.与两圆x+y=1和x+y-8x+7=0都相切的圆的圆心轨迹是( ) A.两个椭圆
C.一条双曲线和一条直线
4.以椭圆是( )
+=1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程
A.-y=1
2
B.y-
2
=1
C.-=1 D. -=1
5.设动点P到定点F1(-5，0)的距离与它到定点F2(5，0)的距离的差等于6，则P点轨迹方程是( )
A. -=1 B. -=1
C. -=1(x≥3)
2
2
D.
2
-2
=1(x≤-3)
二、填空题
6.若椭圆mx+ny=1(0＜m＜n)和双曲线ax-by=1(a＞0,b＞0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则｜PF1｜²｜PF2｜= .
7.过点A(-2三、解答题
，4
2
2
)、B(3，-2)的双曲线的标准方程为 .
8.与双曲线16x-9y=-144有共同焦点，且过点(0，2)的双曲线方程为 .
9.已知点A(3，0)，圆C：(x+3)+y=16，动圆P与圆C相外切并过点A，求动圆圆心P的轨迹方程.
10.在双曲线x-y=1上求一点P，使它到直线y=x的距离为
AA级
一、选择题
2
2
22
.
1.直线l过双曲线A.4a+m
2
-=1的下方焦点F1且与双曲线的下支交于A、B两点，F2是双
2
2
曲线的另一个焦点，且｜AB｜=m,则△ABF2的周长为( )
2
2
B.4a+2m C.4a-m D.4a-2m
2.若曲线x-y=a与曲线(x-1)+y=1恰好有三个不同的公共点，则实数a的值只能是( )
A.a=0
B.a=±1 D.｜a｜＞1
C.0＜｜a｜＜1
3.若A.(
,-
+) )∪(
=1表示双曲线，a为负常数，则m的取值范围是( )
B.(D.(-
2
2
,-,
) )
D.正方形
C.(-∞,-,+∞)
2
2
4.依次连接双曲线x-y=12与圆x+y=25的交点，则所成的图形是( ) A.三角形 ( )
A.y=x
)
B.y=x(｜x｜＞D.y=x(｜x｜≥
) )
B.菱形
2
2
C.矩形
5.斜率为2的直线与双曲线2x-y=2交于P、Q两点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是
C.y=x(｜x｜＞2二、填空题
6.已知B(-5，0)，C(5，0)是△ABC的两个顶点，且sinB-sinC=迹方程是
.
sinA,则顶点A的轨
7.已知双曲线-=1(a＞0,b＞0)的弦AB的中点为M，O为坐标原点，则直线OM
.
和直线AB的斜率的乘积为
8.关于x的方程三、解答题
=x+b没有实数根，则实数b的取值范围是 .
2
9.已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x-2y=1总有公共点，试求实数k的取值范围.
10.双曲线3x-y=1上是否存在关于直线=2x对称的两点A、B?若存在，试求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.
【素质优化训练】
1.平面内有一条定线段AB，其长度为4，动点P满足｜PA｜-｜PB｜=3,O为线段AB的中点，则｜OP｜的最小值是( )
A.1
B.
C.2
D.4
2
2
2.P为双曲线C上的一点，F1、F2是双曲线C的两个焦点，过双曲线C的一个焦点作∠F1PF2的平分线的垂线，设垂足为Q，则Q点的轨迹是( )
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.双曲线
3.给出下列曲线：①4x+2y-1=0;②x+y=3;
③y=-2x-3有交点的所有曲线是( )
A.①③ 方程是( )
B.②④
2
2
22
+y=1;
④
2
-y=1，其中与直线
2
C.①②③ D.②③④
2
2
4.若动圆P与两定圆(x+5)+y=1及(x-5)+y=49都相内切或都相外切，则动圆圆心轨迹
A.
-=1 B.-=1(x＞0)
C.-=1 D.-=1(x＞0)
2
2
5.已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx-y+n=0与nx+my=mn所表示的示意曲线是
( )
二、填空题
6.已知双曲线x-
2
=1,过点P(2，1)作直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中
点，则｜AB｜= .
7.若圆C过双曲线为 .
-=1的两焦点，且截直线y=-1所得弦长为8，则圆C的方程
8.过点M(3，-1)且被点M平分的双曲
线为 .
-y=1的弦所在直线方程
2
三、解答题
9.若双曲线y-x=1上的点P与其焦点F1、F2的连线互相垂直，求P点的坐标.
10.设k和r是实数，且r＞0，使得：直线y=kx+1既与圆x+y=r相切，又与双曲线x-y=r有两个交点.
(1)求证：
-k=1,且｜k｜≠1;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(2)试问：直线y=kx+1能否经过双曲线x-y=4的焦点?为什么?
【生活实际运用】
活动1：求证直线y=kx+m与双曲线+=1相切的充要条件是：m=a²k-b
22
22
222
若过双曲线上一点P(x0,y0)斜率为k的切线为y=kx+y0-kx0,其中m=y0-kx.且bx0-ab,
联立可解得斜率k= (y≠0),代入切线方程可得过点P(x0,y0)双曲线的切线方程为
-特别地，当y0=0时亦合上面的方程.
=1
活动2：运用上面结论可求过双曲线-=1上一点(x0,y0)的切线方程与法线方程，
若双曲线方程为
【知识验证实验】
-=1时，过曲线上点(x0,y0)的切线和法线方程又是怎样?
1.运用双曲线定义解方程｜｜x-3｜-｜x+3｜｜=2.
解：该方程的解是以(-3，0)，(3，0)为焦点，2为实轴长的双轴线与x轴交点的横坐
标，其方程为x-
2
=1，令y=0得x=±1，即原方程的解为x=±1.
2.运用双曲线图形解无理不等式
2
＞x+1
解：令y1=2【知识探究学习】
,y2=x+1，即x-
2
=1(y1≥0),在同一坐标系中画出两图形，使得
双曲线的部分在直线部分上方的x的值为原不等式的解.故原不等式的解集为(-∞，-1).
1.设声速为a米/秒，在相距10a米的A、B两监听室中，听到一爆炸声的时间差为6秒，且纪录到B处的声强是A处的4倍，若已知声速a=340米/秒，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸点P到AB的中点M的距离.
解：以AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A(-5a，
0)，B(5a,0)，P(x,y)，｜PA｜-｜PB｜=6a，到A、B两点距离差为6a的点在双曲线， -
22=1(x≥3a)上 ①, 又B处的声强是A处声强的4倍，∴｜PA｜=4｜PB｜,即(x+5a)+y=4［(x-5a)+y］，22222223x+3y-50ax+75a=0 ②，
由①、②消去y,得25x-150ax+81a=0，x=22a或x=a(舍去)，y=a，∴｜PM｜==a=340(米)，
米. 答：P点到AB中点M的距离为340
2.如图所示，某农场在P处有一肥堆，今要把这堆肥沿道路PA或PB送到大田ABCD中去，已知AP=100m，PB=150m,∠APB=60°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿PA送肥较近，而另一侧的点沿PB送肥较近?如能，请确定这条界线
.
解题思路：大田ABCD中的点分成三类：第一类设PA送肥较近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA和PB送肥一样远近，第三类构成第一类、第二类点的界线，即我们所要求的轨迹，设以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，设M为界线所在曲线上的一点，则满足｜PA｜+｜AM｜=｜PB｜+｜BM｜,于是｜MA｜-｜MB｜=｜PB｜-｜PA｜=50.可知M点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支其方程可求得为25≤x≤35)界线为双曲线在矩形中的一段.
-=1.(0≤y≤60，
参考答案：
【同步达纲检测】
A级 1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6. - 7.-=1 8. -=1
9.解：设P(x,y),依题意有｜PC｜=｜PA｜+4，∴P点的轨迹是以C(-3，0)，A(3，0)为
焦点，且实轴长为4的双曲线的右支、其方程为-=1(x≥2)
10.解：设P(cscθ,cotθ)，则由万能公式求得P(±,±) =∴, =±2，∴tan=±2，
AA级 1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6. -=1(x＜-3) 7. 8.(-∞,-1)∪［9，1］
9.解：联立方程
组
22222消去y得(2k-1)x+4kbx+2b+1=0,依题意有△2222=(4kb)-4(2k-1)(2b+1)=-4(2k-2b-1)＞0，对所有实数b恒成立，∴2k-1＜0，得-＜k＜
10.解：设AB：y=-
22x+m,代入双曲线方程得11x+4mx-4(m+1)=0,这里△=(4m)-4³11222［-4(m+1)］=16(2m+11)＞0 恒成立，设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0,)则x1+x2=-
上，∴，∴x0=-=-,y0=-x0+m=,若A、B关于直线y=2x对称，则M必在直线y=2xx与双曲线的交点的A、B必得m=1，由双曲线的对称性知，直线y=-
关于直线y=2x对称.∴存在A、B且求得A(
【素质优化训练】 ，-)，B(-，)
1.B 2.B 3.D 4.C 5.C 6.4 7.x+(y-4)=41 8.3x+4y-5=0 22
9.解：设P(x,y),∵F1
(0,-),F2
(0, ),
∴
=
,
=,
∵
²=-1,即x+y=1,又y-x=1，∴x=±2222,y=±,∴P的坐标为(
，)，(，-)，(-，)和(-，-)
10.解(1)因为直线y=kx+1与圆x+y=r相切，所以有222=r,∴=r,∵2
r≠0,∴2-k=1，又由于直线y=kx+1与双曲线x-y=r相交，故交点坐标(x,y)满足方程
2222
组
≠1 ,将①代入②得(1-k)x-2kx-(1+r)=0 ③,因直线与双曲线有两个2222交点，且对任意实数k，直线不平行y轴，故③有两个不同的实数根，因此1-k≠1,∴｜k｜
(2)双曲线x2-y2=r2的过点是F1
(-r,0),F2
(r,0)，若直线y=kx+1过点F1,则 - rk+1=0,即k=，又由(1)结论-k2=1得k2=1与｜k｜≠1矛质.故直线y=kx+1不可能过双曲线x2-y2=r2的左焦点，同理可得，直线y=kx+1也不可能过双曲线x2-y2=r2的右焦点.