期末复习——有关二次函数的数形结合问题
一、掌握二次函数中对“数”的基本要求 1、二次函数顶点坐标的求法
配方法；公式法；横坐标用公式法，纵坐标代入求值；横坐标用中点（或对称性），纵坐标代入求值（或用公式） 2、二次函数解析式的求法 一般式、顶点式、交点式
二、掌握二次函数y =ax 2+bx +c ( a≠0) 的图象示意图的画法： 1、开口方向、对称轴； 2、与y 轴交点，
3、与x 轴交点（如有的话）； 三、数形结合的几种类型
1、读图：a 、b 、c 的符号对二次函数y =ax 2+bx +c 图象的影响． 由图象判断a 、b 、c 、∆取值的情况； (1) a 决定开口方向和开口大小：
a >0，开口向上，a
(2) c 决定抛物线与y 轴交点位置．
①当c >0时⇔抛物线与y 轴交点在x 轴上方． ②当c
b
b
>0⇔对称轴在y 轴右侧． ②a 、b 异号时⇔-2a
③b =0⇔-
b
=0⇔对称轴为y 轴⇔ 抛物线的顶点在y 轴上． 2a
(4) a 、b 、c 共同决定抛物线与x 轴交点个数．
①∆=b -4ac >0⇔抛物线与x 轴有两个交点．
②∆=b -4ac =0⇔抛物线与x 轴有一个交点⇔抛物线顶点在x 轴上． ③∆=b -4ac
(5) 重视图象中的特殊点（有时与根的分布特点有关）
4a +2b +c ）顶点、与坐标轴的交点、点（1，a +b +c ）、点（-1，a -b +c ）、点（2，、点（-2，4a -2b +c ）、-
222
b
与-1，1（2a －b ，2a ＋b ）的关系等与其它图象的交点、 2a
图象所经过的定点等 (6) 比大小
(7) 抛物线的几何变换（抓住开口和顶点坐标即可）
关于x 轴对称；关于y 轴对称；关于原点中心对称；关于顶点中心对称 (8) 二次函数y =ax 2+bx +c 的顶点x 轴上⇔∆=b -4ac =0 二次函数y =ax 2+bx +c 的顶点y 轴上⇔b =0 二次函数y =ax 2+bx +c 经过原点⇔c =0 【例题精选】
例1、已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）的对称轴为直线x =1，且经过点
2
(-1，y 1)，(2，y 2)，则y 1和y 2的大小关系__________．
例2、抛物线y =ax 2+bx +c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式为 ．
例3、已知抛物线C 1 的解析式 y = 2x 2 - 4x + 5，抛物线 C 2 与抛物线 C 1 关于 x 轴对称，则抛物线C 2 的解析式为 ．
例4、已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象如图所示，由下列结论：① a +b +c 0 . 其中正确结论的序号是（ ） A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③ 例5、已知抛物线y =ax +bx +c 如图所示，则下列结论：①c=1
；②
a+b+c=0 ；③ a-b+c0 ，其中正确
2
的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例6、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象（局部）如图所示，则下列四个判断中，错误的是（ ）
A.a>0，b0 C.a+b+c>0 D. b
y =ax -b 的图象是（ ）
例8、函数y =ax +bx +c 的图象如图所示，则下列关系式中
2
b b
b b
成立的是（ ） A. 0
例9、已知二次函数y =ax +bx +c (a ≠0) 的图象如图所示，有下列5个结论： ① abc >0；② b 0；④ 2c
2
a +b >m (am +b ) ，（m ≠1的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2
个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
2
例10、函数y =mx 和函数y =x -mx +m （ m 为常数）在同一个平
面直角坐标系中的图象可以是（ ）
（B ） （C ） （D ） （A ）
2
例11、已知二次函数y =ax +bx +c ，且a
C.
一、二、三、四象限
D.二、三、四象限
例12、已知二次函数y =ax 2+bx +c , 且a 0，则一定有（ ） A ．b 2-4ac >0 B．b 2-4ac =0 C．b 2-4ac
例13、已知二次函数y =x 2-x +a (a >0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ ） A. m -1的函数值小于0 B. m -1的函数值大于0
C. m -1的函数值等于0 D. m -1的函数值与0的大小关系不确定
例14、如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是①y =ax 2；②y =bx 2③y =cx 2 ④y =dx 2则a , b , c , d 的大小关系为（ ） A. a >b >c >d B. a >b >d >c C. b >a >c >d D. b >a >d >c
OA =OC ，例15、如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则（ ）
（A ）ac +1=b （B ）ab +1=c
（C ）bc +1=a （D ）以上都不对
例16、已知抛物线y =x +2mx +m -7与x 轴的两个交点在点(1,0)的两旁，则关于x 的方程
2
12
x +(m +1) x +m 2+5=0的根的情况是（ ） 4
A. 有两个整数根 B. 有两个负数根 C. 有一个正根和一个负根 D. 无实数根 例17、已知抛物线y =3ax 2+2bx +c ，
（1）若a =b =1，c =-1，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；
（2）若a =b =1，且当-1
（3）若a +b +c =0，且x 1=0时，对应的y 1>0；x 2=1时，对应的y 2>0，试判断当0
2、利用函数图象解不等式或解方程 【例题精选】 例1、方程 2x -x -A ．0个
2
=0的实根的个数为（ ） x B ．1个 C ．2个 D ．3个
2
例2、若m 、n （m
n ，a ，b 的大小（用小于号连接）关系为例3、已知二次函数y 1=ax 2+bx +c (a >0) 与一次函数y 2=kx +m (k ≠0) 的图象相交于点A (-2,4) 和B (8,2) ，则能使y 1>y 2成立的x 的取值范围 . 3、综合题
【例题精选】
例1、（07年海淀区期末）已知：某函数的自变量x >0时，其相应的函数值y >0。 (1) 请写出一个满足条件的一次函数的解析式；
(2) 当函数的解析式为y =(m +4) x 2-2(m +4) x +5-m ，求m 的取值范围。
(3) 过动点C (0，n ) 作直线l ⊥y 轴，点O 为坐标原点
① 当直线l 与(2)中的抛物线只有一个公共点时，求n 的取值范围；
② 当直线l 与(2)中的抛物线相交于A 、B 两点时，是否存在实数n ，使得ΔAOB 的
面积为定值？如果存在，求出n 的值；如果不存在，说明理由。
2
在平面直角坐标系中，抛物线 y = x + bx + c 与轴交于 A ， B 两点（点 在点 的左侧），与轴交于点 C ，点 B 的坐标为 (3 ， 0) ，将直线 y = kx 沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B,C 两点． （1）求直线 BC 及抛物线的解析式；
= ∠（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且 ∠ APD ACB ，
求点P 的坐标；
OCD （3）连结CD ，求 ∠ OCA 与 ∠ 两角和的度数．
期末复习——有关二次函数的数形结合问题
一、掌握二次函数中对“数”的基本要求 1、二次函数顶点坐标的求法
配方法；公式法；横坐标用公式法，纵坐标代入求值；横坐标用中点（或对称性），纵坐标代入求值（或用公式） 2、二次函数解析式的求法 一般式、顶点式、交点式
二、掌握二次函数y =ax 2+bx +c ( a≠0) 的图象示意图的画法： 1、开口方向、对称轴； 2、与y 轴交点，
3、与x 轴交点（如有的话）； 三、数形结合的几种类型
1、读图：a 、b 、c 的符号对二次函数y =ax 2+bx +c 图象的影响． 由图象判断a 、b 、c 、∆取值的情况； (1) a 决定开口方向和开口大小：
a >0，开口向上，a
(2) c 决定抛物线与y 轴交点位置．
①当c >0时⇔抛物线与y 轴交点在x 轴上方． ②当c
b
b
>0⇔对称轴在y 轴右侧． ②a 、b 异号时⇔-2a
③b =0⇔-
b
=0⇔对称轴为y 轴⇔ 抛物线的顶点在y 轴上． 2a
(4) a 、b 、c 共同决定抛物线与x 轴交点个数．
①∆=b -4ac >0⇔抛物线与x 轴有两个交点．
②∆=b -4ac =0⇔抛物线与x 轴有一个交点⇔抛物线顶点在x 轴上． ③∆=b -4ac
(5) 重视图象中的特殊点（有时与根的分布特点有关）
4a +2b +c ）顶点、与坐标轴的交点、点（1，a +b +c ）、点（-1，a -b +c ）、点（2，、点（-2，4a -2b +c ）、-
222
b
与-1，1（2a －b ，2a ＋b ）的关系等与其它图象的交点、 2a
图象所经过的定点等 (6) 比大小
(7) 抛物线的几何变换（抓住开口和顶点坐标即可）
关于x 轴对称；关于y 轴对称；关于原点中心对称；关于顶点中心对称 (8) 二次函数y =ax 2+bx +c 的顶点x 轴上⇔∆=b -4ac =0 二次函数y =ax 2+bx +c 的顶点y 轴上⇔b =0 二次函数y =ax 2+bx +c 经过原点⇔c =0 【例题精选】
例1、已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）的对称轴为直线x =1，且经过点
2
(-1，y 1)，(2，y 2)，则y 1和y 2的大小关系__________．
例2、抛物线y =ax 2+bx +c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式为 ．
例3、已知抛物线C 1 的解析式 y = 2x 2 - 4x + 5，抛物线 C 2 与抛物线 C 1 关于 x 轴对称，则抛物线C 2 的解析式为 ．
例4、已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象如图所示，由下列结论：① a +b +c 0 . 其中正确结论的序号是（ ） A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③ 例5、已知抛物线y =ax +bx +c 如图所示，则下列结论：①c=1
；②
a+b+c=0 ；③ a-b+c0 ，其中正确
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的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例6、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象（局部）如图所示，则下列四个判断中，错误的是（ ）
A.a>0，b0 C.a+b+c>0 D. b
y =ax -b 的图象是（ ）
例8、函数y =ax +bx +c 的图象如图所示，则下列关系式中
2
b b
b b
成立的是（ ） A. 0
例9、已知二次函数y =ax +bx +c (a ≠0) 的图象如图所示，有下列5个结论： ① abc >0；② b 0；④ 2c
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a +b >m (am +b ) ，（m ≠1的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2
个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
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例10、函数y =mx 和函数y =x -mx +m （ m 为常数）在同一个平
面直角坐标系中的图象可以是（ ）
（B ） （C ） （D ） （A ）
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例11、已知二次函数y =ax +bx +c ，且a
C.
一、二、三、四象限
D.二、三、四象限
例12、已知二次函数y =ax 2+bx +c , 且a 0，则一定有（ ） A ．b 2-4ac >0 B．b 2-4ac =0 C．b 2-4ac
例13、已知二次函数y =x 2-x +a (a >0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ ） A. m -1的函数值小于0 B. m -1的函数值大于0
C. m -1的函数值等于0 D. m -1的函数值与0的大小关系不确定
例14、如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是①y =ax 2；②y =bx 2③y =cx 2 ④y =dx 2则a , b , c , d 的大小关系为（ ） A. a >b >c >d B. a >b >d >c C. b >a >c >d D. b >a >d >c
OA =OC ，例15、如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则（ ）
（A ）ac +1=b （B ）ab +1=c
（C ）bc +1=a （D ）以上都不对
例16、已知抛物线y =x +2mx +m -7与x 轴的两个交点在点(1,0)的两旁，则关于x 的方程
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12
x +(m +1) x +m 2+5=0的根的情况是（ ） 4
A. 有两个整数根 B. 有两个负数根 C. 有一个正根和一个负根 D. 无实数根 例17、已知抛物线y =3ax 2+2bx +c ，
（1）若a =b =1，c =-1，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；
（2）若a =b =1，且当-1
（3）若a +b +c =0，且x 1=0时，对应的y 1>0；x 2=1时，对应的y 2>0，试判断当0
2、利用函数图象解不等式或解方程 【例题精选】 例1、方程 2x -x -A ．0个
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=0的实根的个数为（ ） x B ．1个 C ．2个 D ．3个
2
例2、若m 、n （m
n ，a ，b 的大小（用小于号连接）关系为例3、已知二次函数y 1=ax 2+bx +c (a >0) 与一次函数y 2=kx +m (k ≠0) 的图象相交于点A (-2,4) 和B (8,2) ，则能使y 1>y 2成立的x 的取值范围 . 3、综合题
【例题精选】
例1、（07年海淀区期末）已知：某函数的自变量x >0时，其相应的函数值y >0。 (1) 请写出一个满足条件的一次函数的解析式；
(2) 当函数的解析式为y =(m +4) x 2-2(m +4) x +5-m ，求m 的取值范围。
(3) 过动点C (0，n ) 作直线l ⊥y 轴，点O 为坐标原点
① 当直线l 与(2)中的抛物线只有一个公共点时，求n 的取值范围；
② 当直线l 与(2)中的抛物线相交于A 、B 两点时，是否存在实数n ，使得ΔAOB 的
面积为定值？如果存在，求出n 的值；如果不存在，说明理由。
2
在平面直角坐标系中，抛物线 y = x + bx + c 与轴交于 A ， B 两点（点 在点 的左侧），与轴交于点 C ，点 B 的坐标为 (3 ， 0) ，将直线 y = kx 沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B,C 两点． （1）求直线 BC 及抛物线的解析式；
= ∠（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且 ∠ APD ACB ，
求点P 的坐标；
OCD （3）连结CD ，求 ∠ OCA 与 ∠ 两角和的度数．