14. 天津(20) (本小题满分14分) 已知函数f (x ) =x 2l n x . (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使t =f (s ) .
(Ⅲ) 设(Ⅱ) 中所确定的s 关于t 的函数为s =g (t ) , 证明: 当t >e2时, 有
2ln g (t ) 1
解析Ⅰ，
=2x
定义域为
+x=x
=0⟹x=
在Ⅱ，设t>0令
=
，x ∈
减
，
，
所以存在唯一存在唯一的s, 使t =f (s ) . Ⅲ，因为s =g (t ) , 由Ⅱ知，
t=
，且
s>1，从
而
其中u=要使
,u>1，
,
的单调性，有t=
矛盾，所以s>e
当t>时，若s=即u>1，从而另一方面，令F
=0时u=2，u ∈，
u ∈0故对u>1，F
所以t >e2时, 有
2ln g (t ) 1
因此成立
15. 山东（21）（本小题满分13分）
（1）求f (x ) 的单调区间，最大值；
（2）讨论关于x 的方程|ln x |=f (x ) 根的个数.
设函数f (x ) =ln x -ax ，g (x ) =e x -ax ，其中a 为实数．
（1）若f (x ) 在(1, +∞) 上是单调减函数，且g (x ) 在(1, +∞) 上有最小值，求a 的取值范围；
（2）若g (x ) 在(-1, +∞) 上是单调增函数，试求f (x ) 的零点个数，并证明你的结论． 解：（1）f '(x ) =
11
-a ≤0在(1, +∞) 上恒成立，则a ≥，x ∈(1，+∞) ．
x x
故：a ≥1．
g '(x ) =e x -a ，
若1≤a ≤e ，则g '(x ) =e x -a ≥0在(1, +∞) 上恒成立，
此时，g (x ) =e x -ax 在(1, +∞) 上是单调增函数，无最小值，不合；
若a ＞e ，则g (x ) =e x -ax 在(1，ln a ) 上是单调减函数，在(lna ，+∞) 上是单调增函数，g min (x ) =g (ln a ) ，满足． 故a 的取值范围为：a ＞e ．
（2）g '(x ) =e x -a ≥0在(-1, +∞) 上恒成立，则a ≤e x ，
1
故：a ≤ ．
e
f '(x ) =
11-ax -a =x x
(x >0) ．
11
(ⅰ) 若0＜a ≤ ，令f '(x ) ＞0得增区间为(0， )；
e a 1
令f '(x ) ＜0得减区间为(，﹢∞) ．
a
当x →0时，f(x)→﹣∞；当x →﹢∞时，f(x)→﹣∞； 111
当x ＝时，f(＝﹣lna －1≥0，当且仅当a ＝ 时取等号．
a a e 11
故：当a ＝ 时，f(x)有1个零点；当0＜a ＜ 时，f(x)有2个零点．
e e (ⅱ) 若a ＝0，则f(x)＝﹣lnx ，易得f(x)有1个零点．
1
(ⅲ) 若a ＜0，则f '(x ) =-a >0在(0，+∞) 上恒成立，
x 即：f (x ) =ln x -ax 在(0，+∞) 上是单调增函数， 当x →0时，f(x)→﹣∞；当x →﹢∞时，f(x)→﹢∞． 此时，f(x)有1个零点．
11
综上所述：当a ＝ 或a ＜0时，f(x)有1个零点；当0＜a ＜ 时，f(x)
e e 有2个零点．
17.[新课标I]（21）（本小题满分共12分）
已知函数f (x ) ＝x 2+ax +b ，g (x ) ＝e x (cx +d ) ，若曲线y =f (x ) 和曲线y =g (x ) 都过点P(0，2) ，且在点P 处有相同的切线y =4x +2 （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值
（Ⅱ）若x ≥－2时，f (x ) ≤kg (x ) ，求k 的取值范围。 【解析】（Ⅰ）由已知得f (0)=2, g (0)=2, f '(0)=4, g '(0)=4，
而f '(x ) =2x +b ，g '(x ) =e x (cx +d +c ) ，∴a =4，b =2，c =2，d =2；……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f (x ) =x 2+4x +2，g (x ) =2e x (x +1) ， 设函数F (x ) =kg (x ) -f (x ) =2ke x (x +1) -x 2-4x -2（x ≥-2），
F '(x ) =2ke x (x +2) -2x -4=2(x +2)(ke x -1) ，
有题设可得F (0)≥0，即k ≥1， 令F '(x ) =0得，x 1=-ln k ，x 2=－2，
（1）若1≤k
∴当x ≥－2时，F '(x ) ≥0，∴F (x ) 在(－2,+∞) 单调递增，而F (-2)=0， ∴当x ≥－2时，F (x ) ≥0，即f (x ) ≤kg (x ) 恒成立， (3)若k>e 2，则F (-2) =-2ke -2+2=-2e -2(k -e 2) ＜0， ∴当x ≥－2时，f (x ) ≤kg (x ) 不可能恒成立， 综上所述，k 的取值范围为[1,e 2]. 18.[湖南] 22．（本小题满分13分） 已知a >0，函数f (x ) =
x -a
。
x +2a
（I ）；记f (x ) 在区间[0, 4]上的最大值为g(a ), 求g(a ) 的表达式； （II ）是否存在a ，使函数y =f (x ) 在区间(0, 4)内的图像上存在两点，在该两
点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。
3a ⎧1-, 当a ∈(0, 1]时⎪1⎪4+2a
【答案】 （Ⅰ） g(a)=⎨ （Ⅱ）(0, )
2⎪1, 当a ∈(1, +∞) 时
⎪⎩2
3a ⎧x -a
=1-, 当x
【解析】a >0, f (x ) =⎨
⎪-x +a =-1+3a , 当-2a 由上知，当a >4时，f (x ) 在x ∈[0, 4]上单调递减，其最大值为f (0) =-1+
3a 1
= 2a 2
当a ≤4时，f (x ) 在[0, a ]上单调递减，在[a , 4]上单调递增。
令f (4) =1-3a 1
当a ∈(0, 1]时，g (a ) 的最大值为f (4) 3a ⎧1-, 当a ∈(0, 1]时⎪⎪4+2a
综上，g(a)=⎨
⎪1, 当a ∈(1, +∞) 时⎪⎩2
（II ）由前知，y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的。因此，若在图像上存在两点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) 满足题目要求，则P,Q 分别在两个图像上，且
f ' (x 1) ⋅f ' (x 2) =-1。
⎧3a
⎪(x +2a ) 2, 当x
⎪-3a
f ' (x ) =⎨, 当-2a (x +2a ) ⎪
⎪0
不妨设
3a -3a
⋅=-1, x 1∈(0, a ), x 2∈(a , 8]⇒3a =(x 1+2a )(x 2+2a ) 22
(x 1+2a ) (x 2+2a )
2
⎧3a -2ax 2-4a 2
⇒0=x 1x 2+2a (x 1+x 2) +4a 2-3a ⇒x 1=⇒⎨ x 2+2a
x 2+2a ⎪a
2⎩
⎧0
11⎪⎪⎪
⇒⎨132⎪a
22⎩⎩⎩
1
所以，当a ∈(0, ) 时，函数y =f (x ) 在区间(0, 4)内的图像上存在两点，在该两
2
点处的切线相互垂直
28. 新课标II （21）（本小题满分12分）
已知函数f (x ) =e x -ln(x +m ) 。
（Ⅰ）设x =0是f (x ) 的极值点，求m 并讨论f (x ) 的单调性； （Ⅱ）当m ≤2时，证明f (x ) ＞0。
29.
30. 全国22．（本小题满分12分） 已知函数f (x )=ln (1+x )-
x (1+λx )
. 1+x
（I ）若x ≥0时, f (x )≤0, 求λ的最小值; ；
1111
>ln 2. （II ）设数列{a n }的通项a n =1+++⋅⋅⋅+, 证明：
a 2n -a n +
23n 4n
，由已知
若λ0 所以>0
⎧x 2+2x +a , x
31. 四川21．(本小题满分14分) 已知函数f (x ) =⎨，其中a 是实
⎩ln x , x >0
数．设A (x 1, f (x 1)) ，B (x 2, f (x 2)) 为该函数图象上的两点，且x 1
（Ⅱ）若函数f (x ) 的图象在点A , B 处的切线互相垂直，且x 2
（Ⅲ）若函数f (x ) 的图象在点A , B 处的切线重合，求a 的取值范围．
24. 广东21. （本小题满分14分） 设函数f (x ) =(x -1) e x -kx 2(k ∈R ) . （1）当k =1时，求函数f (x ) 的单调区间；
1
（2）当k ∈(,1]时，求函数f (x ) 在[0,k ]的最大值M.
2
解：f '(x ) =(x -1) e x +e x -2kx =xe x -2kx =x (e x -2k )
（1）当k =1时，令f '(x ) =x (e x -2) =0，得x 1=0, x 2=ln 2
当x 0；当0ln 2时，f '(x )>0； ∴函数f (x ) 的单调递增区间为(-∞,0) 、(ln2, +∞) ；单调递减区间为(0,ln2)
1
2k -11=记h (k ) =k -ln 2k , 则h '(k ) =1-在k ∈(,1) 有h '(k )
1∴当k ∈(,1) 时，h (k ) =k -ln 2>h (1)=1-ln 2>0。即k >ln 2k >0 2
1∴当k ∈(,1) 时，函数f (x ) 在[0,ln2k ) 单调递减，在(ln2k , k ]单调递增。 2（2）∵
f (0)=-1，f (k ) =(k -1) e k -k 3，记g (k ) =f (k ) =(k -1) e k -k 3，下证明g (k ) ≥-1 g '(k ) =k (e k -3k ) ，设p (k ) =e k -3k ，令p '(k ) =e k -3=0得k =ln 3>1
1∴p (k ) =e k -3k 在(,1]为单调递减函数，
2
13而p () =>1.5=0，p (1)=e -3
1∴g '(k ) =k (e k -3k ) =0的一个非零的根为k 0∈(,1]，且e k 0=3k 0 2
1显然g (k ) =(k -1) e k -k 3在(, k 0) 单调递增，在(k 0,1]单调递减， 2
1∴g (k ) =f (k ) =(k -1) e k -k 3在(,1) 上的最大值为 2
332g (k 0) =(k 0-1)3k 0-k 0=-k 0+3k 0-3k 0=(1-k 0) 3-1>-
1
1177g () =>-
1⇔>
而>> 2844
1∴ g () >-1，g (1)=-1 2
1综上所述，当k ∈(,1]时，函数f (x ) 在[0,k ]的最大值M =(k -1) e k -k 3. 2
x -5)+6l n x ，其中a ∈R ，曲线y =f (x )在点(1, f (1))21. 重庆17、设f (x )=a (2
处的切线与y 轴相交于点(0,6)。
（1）确定a 的值；
（2）求函数f (x )的单调区间与极值。
22. 北京18. (本小题共13分)
设l 为曲线C ：y
(I)求l 的方程；
(II)证明：除切点(1，0) 之外，曲线C 在直线l 的下方
ln x 在点(1，0) 处的切线. x
23. 福建17. （本小题满分13分）
已知函数f (x ) =x -a ln x (a ∈R )
（1）当a =2时，求曲线y =f (x ) 在点A (1, f (1)) 处的切线方程；
（2）求函数f (x ) 的极值
14. 天津(20) (本小题满分14分) 已知函数f (x ) =x 2l n x . (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使t =f (s ) .
(Ⅲ) 设(Ⅱ) 中所确定的s 关于t 的函数为s =g (t ) , 证明: 当t >e2时, 有
2ln g (t ) 1
解析Ⅰ，
=2x
定义域为
+x=x
=0⟹x=
在Ⅱ，设t>0令
=
，x ∈
减
，
，
所以存在唯一存在唯一的s, 使t =f (s ) . Ⅲ，因为s =g (t ) , 由Ⅱ知，
t=
，且
s>1，从
而
其中u=要使
,u>1，
,
的单调性，有t=
矛盾，所以s>e
当t>时，若s=即u>1，从而另一方面，令F
=0时u=2，u ∈，
u ∈0故对u>1，F
所以t >e2时, 有
2ln g (t ) 1
因此成立
15. 山东（21）（本小题满分13分）
（1）求f (x ) 的单调区间，最大值；
（2）讨论关于x 的方程|ln x |=f (x ) 根的个数.
设函数f (x ) =ln x -ax ，g (x ) =e x -ax ，其中a 为实数．
（1）若f (x ) 在(1, +∞) 上是单调减函数，且g (x ) 在(1, +∞) 上有最小值，求a 的取值范围；
（2）若g (x ) 在(-1, +∞) 上是单调增函数，试求f (x ) 的零点个数，并证明你的结论． 解：（1）f '(x ) =
11
-a ≤0在(1, +∞) 上恒成立，则a ≥，x ∈(1，+∞) ．
x x
故：a ≥1．
g '(x ) =e x -a ，
若1≤a ≤e ，则g '(x ) =e x -a ≥0在(1, +∞) 上恒成立，
此时，g (x ) =e x -ax 在(1, +∞) 上是单调增函数，无最小值，不合；
若a ＞e ，则g (x ) =e x -ax 在(1，ln a ) 上是单调减函数，在(lna ，+∞) 上是单调增函数，g min (x ) =g (ln a ) ，满足． 故a 的取值范围为：a ＞e ．
（2）g '(x ) =e x -a ≥0在(-1, +∞) 上恒成立，则a ≤e x ，
1
故：a ≤ ．
e
f '(x ) =
11-ax -a =x x
(x >0) ．
11
(ⅰ) 若0＜a ≤ ，令f '(x ) ＞0得增区间为(0， )；
e a 1
令f '(x ) ＜0得减区间为(，﹢∞) ．
a
当x →0时，f(x)→﹣∞；当x →﹢∞时，f(x)→﹣∞； 111
当x ＝时，f(＝﹣lna －1≥0，当且仅当a ＝ 时取等号．
a a e 11
故：当a ＝ 时，f(x)有1个零点；当0＜a ＜ 时，f(x)有2个零点．
e e (ⅱ) 若a ＝0，则f(x)＝﹣lnx ，易得f(x)有1个零点．
1
(ⅲ) 若a ＜0，则f '(x ) =-a >0在(0，+∞) 上恒成立，
x 即：f (x ) =ln x -ax 在(0，+∞) 上是单调增函数， 当x →0时，f(x)→﹣∞；当x →﹢∞时，f(x)→﹢∞． 此时，f(x)有1个零点．
11
综上所述：当a ＝ 或a ＜0时，f(x)有1个零点；当0＜a ＜ 时，f(x)
e e 有2个零点．
17.[新课标I]（21）（本小题满分共12分）
已知函数f (x ) ＝x 2+ax +b ，g (x ) ＝e x (cx +d ) ，若曲线y =f (x ) 和曲线y =g (x ) 都过点P(0，2) ，且在点P 处有相同的切线y =4x +2 （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值
（Ⅱ）若x ≥－2时，f (x ) ≤kg (x ) ，求k 的取值范围。 【解析】（Ⅰ）由已知得f (0)=2, g (0)=2, f '(0)=4, g '(0)=4，
而f '(x ) =2x +b ，g '(x ) =e x (cx +d +c ) ，∴a =4，b =2，c =2，d =2；……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f (x ) =x 2+4x +2，g (x ) =2e x (x +1) ， 设函数F (x ) =kg (x ) -f (x ) =2ke x (x +1) -x 2-4x -2（x ≥-2），
F '(x ) =2ke x (x +2) -2x -4=2(x +2)(ke x -1) ，
有题设可得F (0)≥0，即k ≥1， 令F '(x ) =0得，x 1=-ln k ，x 2=－2，
（1）若1≤k
∴当x ≥－2时，F '(x ) ≥0，∴F (x ) 在(－2,+∞) 单调递增，而F (-2)=0， ∴当x ≥－2时，F (x ) ≥0，即f (x ) ≤kg (x ) 恒成立， (3)若k>e 2，则F (-2) =-2ke -2+2=-2e -2(k -e 2) ＜0， ∴当x ≥－2时，f (x ) ≤kg (x ) 不可能恒成立， 综上所述，k 的取值范围为[1,e 2]. 18.[湖南] 22．（本小题满分13分） 已知a >0，函数f (x ) =
x -a
。
x +2a
（I ）；记f (x ) 在区间[0, 4]上的最大值为g(a ), 求g(a ) 的表达式； （II ）是否存在a ，使函数y =f (x ) 在区间(0, 4)内的图像上存在两点，在该两
点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。
3a ⎧1-, 当a ∈(0, 1]时⎪1⎪4+2a
【答案】 （Ⅰ） g(a)=⎨ （Ⅱ）(0, )
2⎪1, 当a ∈(1, +∞) 时
⎪⎩2
3a ⎧x -a
=1-, 当x
【解析】a >0, f (x ) =⎨
⎪-x +a =-1+3a , 当-2a 由上知，当a >4时，f (x ) 在x ∈[0, 4]上单调递减，其最大值为f (0) =-1+
3a 1
= 2a 2
当a ≤4时，f (x ) 在[0, a ]上单调递减，在[a , 4]上单调递增。
令f (4) =1-3a 1
当a ∈(0, 1]时，g (a ) 的最大值为f (4) 3a ⎧1-, 当a ∈(0, 1]时⎪⎪4+2a
综上，g(a)=⎨
⎪1, 当a ∈(1, +∞) 时⎪⎩2
（II ）由前知，y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的。因此，若在图像上存在两点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) 满足题目要求，则P,Q 分别在两个图像上，且
f ' (x 1) ⋅f ' (x 2) =-1。
⎧3a
⎪(x +2a ) 2, 当x
⎪-3a
f ' (x ) =⎨, 当-2a (x +2a ) ⎪
⎪0
不妨设
3a -3a
⋅=-1, x 1∈(0, a ), x 2∈(a , 8]⇒3a =(x 1+2a )(x 2+2a ) 22
(x 1+2a ) (x 2+2a )
2
⎧3a -2ax 2-4a 2
⇒0=x 1x 2+2a (x 1+x 2) +4a 2-3a ⇒x 1=⇒⎨ x 2+2a
x 2+2a ⎪a
2⎩
⎧0
11⎪⎪⎪
⇒⎨132⎪a
22⎩⎩⎩
1
所以，当a ∈(0, ) 时，函数y =f (x ) 在区间(0, 4)内的图像上存在两点，在该两
2
点处的切线相互垂直
28. 新课标II （21）（本小题满分12分）
已知函数f (x ) =e x -ln(x +m ) 。
（Ⅰ）设x =0是f (x ) 的极值点，求m 并讨论f (x ) 的单调性； （Ⅱ）当m ≤2时，证明f (x ) ＞0。
29.
30. 全国22．（本小题满分12分） 已知函数f (x )=ln (1+x )-
x (1+λx )
. 1+x
（I ）若x ≥0时, f (x )≤0, 求λ的最小值; ；
1111
>ln 2. （II ）设数列{a n }的通项a n =1+++⋅⋅⋅+, 证明：
a 2n -a n +
23n 4n
，由已知
若λ0 所以>0
⎧x 2+2x +a , x
31. 四川21．(本小题满分14分) 已知函数f (x ) =⎨，其中a 是实
⎩ln x , x >0
数．设A (x 1, f (x 1)) ，B (x 2, f (x 2)) 为该函数图象上的两点，且x 1
（Ⅱ）若函数f (x ) 的图象在点A , B 处的切线互相垂直，且x 2
（Ⅲ）若函数f (x ) 的图象在点A , B 处的切线重合，求a 的取值范围．
24. 广东21. （本小题满分14分） 设函数f (x ) =(x -1) e x -kx 2(k ∈R ) . （1）当k =1时，求函数f (x ) 的单调区间；
1
（2）当k ∈(,1]时，求函数f (x ) 在[0,k ]的最大值M.
2
解：f '(x ) =(x -1) e x +e x -2kx =xe x -2kx =x (e x -2k )
（1）当k =1时，令f '(x ) =x (e x -2) =0，得x 1=0, x 2=ln 2
当x 0；当0ln 2时，f '(x )>0； ∴函数f (x ) 的单调递增区间为(-∞,0) 、(ln2, +∞) ；单调递减区间为(0,ln2)
1
2k -11=记h (k ) =k -ln 2k , 则h '(k ) =1-在k ∈(,1) 有h '(k )
1∴当k ∈(,1) 时，h (k ) =k -ln 2>h (1)=1-ln 2>0。即k >ln 2k >0 2
1∴当k ∈(,1) 时，函数f (x ) 在[0,ln2k ) 单调递减，在(ln2k , k ]单调递增。 2（2）∵
f (0)=-1，f (k ) =(k -1) e k -k 3，记g (k ) =f (k ) =(k -1) e k -k 3，下证明g (k ) ≥-1 g '(k ) =k (e k -3k ) ，设p (k ) =e k -3k ，令p '(k ) =e k -3=0得k =ln 3>1
1∴p (k ) =e k -3k 在(,1]为单调递减函数，
2
13而p () =>1.5=0，p (1)=e -3
1∴g '(k ) =k (e k -3k ) =0的一个非零的根为k 0∈(,1]，且e k 0=3k 0 2
1显然g (k ) =(k -1) e k -k 3在(, k 0) 单调递增，在(k 0,1]单调递减， 2
1∴g (k ) =f (k ) =(k -1) e k -k 3在(,1) 上的最大值为 2
332g (k 0) =(k 0-1)3k 0-k 0=-k 0+3k 0-3k 0=(1-k 0) 3-1>-
1
1177g () =>-
1⇔>
而>> 2844
1∴ g () >-1，g (1)=-1 2
1综上所述，当k ∈(,1]时，函数f (x ) 在[0,k ]的最大值M =(k -1) e k -k 3. 2
x -5)+6l n x ，其中a ∈R ，曲线y =f (x )在点(1, f (1))21. 重庆17、设f (x )=a (2
处的切线与y 轴相交于点(0,6)。
（1）确定a 的值；
（2）求函数f (x )的单调区间与极值。
22. 北京18. (本小题共13分)
设l 为曲线C ：y
(I)求l 的方程；
(II)证明：除切点(1，0) 之外，曲线C 在直线l 的下方
ln x 在点(1，0) 处的切线. x
23. 福建17. （本小题满分13分）
已知函数f (x ) =x -a ln x (a ∈R )
（1）当a =2时，求曲线y =f (x ) 在点A (1, f (1)) 处的切线方程；
（2）求函数f (x ) 的极值