2013高三数学复习平面向量
【考纲知识梳理】
一、平面向量的概念及其线性运算 1、向量的有关概念及表示方法 （1）向量的有关概念
（2）向量的表示方法
①字母表示法，如：a , AB 等；
②几何表示法：用一条有向线段表示向量。 2、向量的线性运算
3、向量a (a ≠0) 与向量b 共线的充要条件为存在唯一一个实数λ，使b =λa .
注：用向量法证明三点A 、B 、C 共线时，首先求出AB 、AC ，然后证明AB =λAC ，即AB 与AC 共线
即可。
二、平面向量的基本定理及坐标表示 1、两个向量的夹角 （1）定义
已知两个非零向量a 和b ，作OA =a , OA =b ，则∠AOB=θ叫做向量a 与b 的夹角。
注：在ΔABC 中，设AB =a , BC =b ，则向量a 与b 的夹角为∠ABC 是否正确？
（2）范围
00
向量夹角θ的范围是0≤θ≤180，a 与b 同向时，夹角θ=0；a 与b 反向时，夹角θ=180。
（3）向量垂直
如果向量a 与b 的夹角是90，则a 与b 垂直，记作a ⊥b 。
3、平面向量的坐标运算 （1）加法、减法、数乘运算 （2）向量坐标的求法 （3）平面向量共线的坐标表示
设a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) ，其中b ≠0，则a 与b 共线⇔a =λb ⇔ x 1y 2-x 2y 1=0。
三、平面向量的数量积及其应用举例 （一）主要知识：
1．平面向量数量积的概念；
a ⋅b
2 2cos =|a ||b |； 2．平面向量数量积的性质：|a |=a 、
3．向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ⋅b =0．
【热点难点精析】
一、平面向量的概念及其线性运算 （一）向量的有关概念
1、着重理解向量以下几个方面：
（1）向量的模；（2）向量的方向；（3）向量的几何表示；（4）向量的起点和终点。 2、判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况： （1）零向量的方向及与其他向量的关系； （2）单位向量的长度及方向。
【例1】下列结论中，不正确的是 （ ）
（A ） 向量AB ，CD 共线与向量AB //CD 同义；
（B ） 若向量AB //CD ，则向量AB 与DC 共线；
（C ） 若向量AB =CD ，则向量BA =DC ；
（D ） 只要向量a ，b 满足|a |=|b |，就有a =b 。
【例2】给出下列命题：
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②若AB =DC , 则ABCD 为平行四边形； ③若a //b , b //c , 则a =c ； ④若a //b , b //c , 则a //c 。
其中正确命题的个数是 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （二）向量的线性运算
（1）用已知向量来表示别外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法、数乘向量外，
还应充分利用平面几何的一些定理；
（2）在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解。
【例3】如图，在 ABC 中，AD ⊥
AB , BC =,
AD =1, 则AC AD =
（三）向量的共线问题
〖例〗设两个非零向量a 与b 不共线，
（1） 若AB =a +b , BC =2a +8b , CD =3(a -b ). 求证：A 、B 、D 三点共线；
（2） 试确定实数k ，使ka +b 和a +kb 共线
二、平面向量的基本定理及坐标表示
1、向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用；
2、利用向量的坐标运算解题。主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；
3、利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数；
4、向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算。
平面向量共线的坐标表示
1、凡遇到与平行有关的问题时，一般地要考虑运用向量平行的充要条件；
2、向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法。解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题。
〖例〗已知a =(1,2), b =(-3,2), 当k 为何值时，ka +b 与a -3b 平行；平行时它们是同向还是反向？
（四）向量与其他知识的综合
〖例〗已知向量u =(x , y ) 现向量v =(y ,2y -x ) 的对应关系用v =f (u ) 表示。设a =(1,1), b =(1,0) ，
求向量f (a ) 与f (b ) 的坐标；
三、平面向量的数量积及平面向量应用举例 （一）平面向量的数量积的运算及向量的模问题
1、向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式a ⋅b =|a ||b |cos θ来计算，二是利用
a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用。
2、利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
2 2 (1)|a |=a =a ⋅a ;
2 2 2 2
(2)|a +b |=(a ±b ) =a ±2a ⋅b +b ;
(3)若a =(x , y ), 则|a |= 3π
〖例〗已知|a |=3,|b |=4, ，a 与b 的夹角为，求：（1）(3a -2b ) （2）|a +b |。 (a -2b ) ；
4
（二）平面向量的垂直问题
1、非零向量a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0
2、当向量a 与b 是非坐标形式时，要把a 、b 用已知的不共线的向量表示。
注：把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异。 （三）平面向量的夹角问题
1、当a 与b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角。需求得a ⋅b 及a , b 或得出它们的关系。
2、若已知a 与b 的坐标，则可直接利用公式cos θ=
.
注：平面向量a 、b 的夹角
〖例〗已知a 、b 都是非零向量，且a +3b 与7a -5b 垂直，a -4b 与7a -2b 垂直，求a 与b 的夹
角θ。
【考点精题精练】
1．若、、为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是（ ） A ．(a +b ) +c =a +(b +c )
B ．(a +b ) ⋅c =a ⋅c +b ⋅c
D ．(⋅) ⋅=⋅(⋅)
C ．m (a +b ) =ma +mb
2．已知a =(1,2), b =(x ,1) ，且a +2b 与2a -b 平行，则x =（ ）
（A ）1
（B ）2
（C ）
1 2
3．已知|a |=2, |b |=1, a 与b 的夹角为60，又，c =ma +3b , d =2a -mb , 且c ⊥b ，则实数m 的值为
（D ）
（A ）0
（B ）6或－6
（C ）1或－6
（D ）－1或6
1 3
4. 向量a =(-1, 2) 、b =(-x , x +2) 满足a =λb (λ∈R ) ，则实数λ= ．
→＋CD →＋EF →＝( ) ．
5. 如图，正六边形ABCDEF 中，BA
A ．0
→ C. AD → B. BE
→ D. CF
→等于( ) ．
6. D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＋1→ A ．－BC
2→－1BA → C 、BC
2
→－1BA → B ．－BC
2→＋1→ D. BC
2
→＋DC →－2DA →)·→－AC →) ＝0，则△ABC 的形状
7. 平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB (AB 是( ) ．
A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定
8. 如图，在矩形ABCD
中，AB BC =2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD
上，若AB AF
则AE BF 的值是 ．
→＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·→＝________.
9. 在边长为1的正三角形ABC 中，设BC BE
→|＝1，AP →＝2PM →，则P →→＋PC →) ＝_______ 10. 在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM A ·(PB
11. 如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，
若AB =mAM ，AC =nAN ，则m +n 的值为
．
2
12．点P 在△ABC 内一点，且AP = AB +tAC 则t 的取值范围是
3 A ．0
2
3
B ．0
1 3
C ．
1
D ．
2
1 1
13． P是△ABC 内一点， AP =AB +AC ，则S ∆PBC ：S∆ABC = 。
23
1111
A ． B ． C ． D ．
23612
C AB D 14．已知圆的半径为3，直径上一点使AB =3AD , E , F 为另一直径的两个端点，则
DE ⋅DF =( )
A ．-3
B．-4
C ．-8
D ．-9
15. 若两个非零向量a , b 满足a +b =a -b =2a ，则向量a +b 与a -b 的夹角是 ．
16. 若非零向量a ，b 满足a +b =b ，则（ ） Ａ．2a >2a +b Ｃ．2b >a +2b
Ｂ．2a
2013高三数学复习平面向量
【考纲知识梳理】
一、平面向量的概念及其线性运算 1、向量的有关概念及表示方法 （1）向量的有关概念
（2）向量的表示方法
①字母表示法，如：a , AB 等；
②几何表示法：用一条有向线段表示向量。 2、向量的线性运算
3、向量a (a ≠0) 与向量b 共线的充要条件为存在唯一一个实数λ，使b =λa .
注：用向量法证明三点A 、B 、C 共线时，首先求出AB 、AC ，然后证明AB =λAC ，即AB 与AC 共线
即可。
二、平面向量的基本定理及坐标表示 1、两个向量的夹角 （1）定义
已知两个非零向量a 和b ，作OA =a , OA =b ，则∠AOB=θ叫做向量a 与b 的夹角。
注：在ΔABC 中，设AB =a , BC =b ，则向量a 与b 的夹角为∠ABC 是否正确？
（2）范围
00
向量夹角θ的范围是0≤θ≤180，a 与b 同向时，夹角θ=0；a 与b 反向时，夹角θ=180。
（3）向量垂直
如果向量a 与b 的夹角是90，则a 与b 垂直，记作a ⊥b 。
3、平面向量的坐标运算 （1）加法、减法、数乘运算 （2）向量坐标的求法 （3）平面向量共线的坐标表示
设a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) ，其中b ≠0，则a 与b 共线⇔a =λb ⇔ x 1y 2-x 2y 1=0。
三、平面向量的数量积及其应用举例 （一）主要知识：
1．平面向量数量积的概念；
a ⋅b
2 2cos =|a ||b |； 2．平面向量数量积的性质：|a |=a 、
3．向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ⋅b =0．
【热点难点精析】
一、平面向量的概念及其线性运算 （一）向量的有关概念
1、着重理解向量以下几个方面：
（1）向量的模；（2）向量的方向；（3）向量的几何表示；（4）向量的起点和终点。 2、判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况： （1）零向量的方向及与其他向量的关系； （2）单位向量的长度及方向。
【例1】下列结论中，不正确的是 （ ）
（A ） 向量AB ，CD 共线与向量AB //CD 同义；
（B ） 若向量AB //CD ，则向量AB 与DC 共线；
（C ） 若向量AB =CD ，则向量BA =DC ；
（D ） 只要向量a ，b 满足|a |=|b |，就有a =b 。
【例2】给出下列命题：
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②若AB =DC , 则ABCD 为平行四边形； ③若a //b , b //c , 则a =c ； ④若a //b , b //c , 则a //c 。
其中正确命题的个数是 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （二）向量的线性运算
（1）用已知向量来表示别外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法、数乘向量外，
还应充分利用平面几何的一些定理；
（2）在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解。
【例3】如图，在 ABC 中，AD ⊥
AB , BC =,
AD =1, 则AC AD =
（三）向量的共线问题
〖例〗设两个非零向量a 与b 不共线，
（1） 若AB =a +b , BC =2a +8b , CD =3(a -b ). 求证：A 、B 、D 三点共线；
（2） 试确定实数k ，使ka +b 和a +kb 共线
二、平面向量的基本定理及坐标表示
1、向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用；
2、利用向量的坐标运算解题。主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；
3、利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数；
4、向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算。
平面向量共线的坐标表示
1、凡遇到与平行有关的问题时，一般地要考虑运用向量平行的充要条件；
2、向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法。解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题。
〖例〗已知a =(1,2), b =(-3,2), 当k 为何值时，ka +b 与a -3b 平行；平行时它们是同向还是反向？
（四）向量与其他知识的综合
〖例〗已知向量u =(x , y ) 现向量v =(y ,2y -x ) 的对应关系用v =f (u ) 表示。设a =(1,1), b =(1,0) ，
求向量f (a ) 与f (b ) 的坐标；
三、平面向量的数量积及平面向量应用举例 （一）平面向量的数量积的运算及向量的模问题
1、向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式a ⋅b =|a ||b |cos θ来计算，二是利用
a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用。
2、利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
2 2 (1)|a |=a =a ⋅a ;
2 2 2 2
(2)|a +b |=(a ±b ) =a ±2a ⋅b +b ;
(3)若a =(x , y ), 则|a |= 3π
〖例〗已知|a |=3,|b |=4, ，a 与b 的夹角为，求：（1）(3a -2b ) （2）|a +b |。 (a -2b ) ；
4
（二）平面向量的垂直问题
1、非零向量a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0
2、当向量a 与b 是非坐标形式时，要把a 、b 用已知的不共线的向量表示。
注：把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异。 （三）平面向量的夹角问题
1、当a 与b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角。需求得a ⋅b 及a , b 或得出它们的关系。
2、若已知a 与b 的坐标，则可直接利用公式cos θ=
.
注：平面向量a 、b 的夹角
〖例〗已知a 、b 都是非零向量，且a +3b 与7a -5b 垂直，a -4b 与7a -2b 垂直，求a 与b 的夹
角θ。
【考点精题精练】
1．若、、为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是（ ） A ．(a +b ) +c =a +(b +c )
B ．(a +b ) ⋅c =a ⋅c +b ⋅c
D ．(⋅) ⋅=⋅(⋅)
C ．m (a +b ) =ma +mb
2．已知a =(1,2), b =(x ,1) ，且a +2b 与2a -b 平行，则x =（ ）
（A ）1
（B ）2
（C ）
1 2
3．已知|a |=2, |b |=1, a 与b 的夹角为60，又，c =ma +3b , d =2a -mb , 且c ⊥b ，则实数m 的值为
（D ）
（A ）0
（B ）6或－6
（C ）1或－6
（D ）－1或6
1 3
4. 向量a =(-1, 2) 、b =(-x , x +2) 满足a =λb (λ∈R ) ，则实数λ= ．
→＋CD →＋EF →＝( ) ．
5. 如图，正六边形ABCDEF 中，BA
A ．0
→ C. AD → B. BE
→ D. CF
→等于( ) ．
6. D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＋1→ A ．－BC
2→－1BA → C 、BC
2
→－1BA → B ．－BC
2→＋1→ D. BC
2
→＋DC →－2DA →)·→－AC →) ＝0，则△ABC 的形状
7. 平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB (AB 是( ) ．
A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定
8. 如图，在矩形ABCD
中，AB BC =2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD
上，若AB AF
则AE BF 的值是 ．
→＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·→＝________.
9. 在边长为1的正三角形ABC 中，设BC BE
→|＝1，AP →＝2PM →，则P →→＋PC →) ＝_______ 10. 在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM A ·(PB
11. 如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，
若AB =mAM ，AC =nAN ，则m +n 的值为
．
2
12．点P 在△ABC 内一点，且AP = AB +tAC 则t 的取值范围是
3 A ．0
2
3
B ．0
1 3
C ．
1
D ．
2
1 1
13． P是△ABC 内一点， AP =AB +AC ，则S ∆PBC ：S∆ABC = 。
23
1111
A ． B ． C ． D ．
23612
C AB D 14．已知圆的半径为3，直径上一点使AB =3AD , E , F 为另一直径的两个端点，则
DE ⋅DF =( )
A ．-3
B．-4
C ．-8
D ．-9
15. 若两个非零向量a , b 满足a +b =a -b =2a ，则向量a +b 与a -b 的夹角是 ．
16. 若非零向量a ，b 满足a +b =b ，则（ ） Ａ．2a >2a +b Ｃ．2b >a +2b
Ｂ．2a