数列与不等式综合问题 一裂项放缩
放缩法证明与数列求和有关的不等式中，很多时候要留一手，即采用有保留的方法，保留数列第一项或前两项，从数列第二项或第三项开始放缩，这样才不至于结果放得过大或过小。常见裂项放缩技巧：
111111
n 2n 2-1n -1n +12n -1n +1111111
n n +1n nn n n -1n -1n
144411=
1
(2n -1)
2
11⎛11⎫
= -⎪
4n n -14⎝n -1n ⎭
n
2
2n -1=(1+1)-1>c 1n +c n =
n (n +1)
2
2
=
例1 求证（1） 1+12+13+......+1n
22
2
2
(2)
123n +2+3+..... +n
1117*
31+ +(∈n N ) ()2
2232n 4
变式训练
2S [2016·湖南怀化质检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1n 12
＝a n ＋1－32－n －3，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式； 1117
(2)证明：a a ＋…＋a
[2014·广东高考]设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且
2
S n 满足S n －(n 2＋n －3) S n －3(n 2＋n ) ＝0，n ∈N *.
(1)求a 1的值；
(2)求数列{a n }的通项公式；
111
(3)证明：对一切正整数n ，有＋a 1(a 1＋1)a 2(a 2＋1)a n (a n ＋1)1
二等比放缩（一般的，形如 a n = a - b n , a n = a - b 的数列，
求证 1+ 1+ .... + 1
a 1
a 2
a n
1111例+2+3+ +n
2+12+12+12+1
11113+22+33+.....+n
+2+3+.... +n
例4 [2014·课标全国卷Ⅱ]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.
1⎫⎧⎨(1)证明a n ＋2⎬是等比数列，并求{a n }的通项公式； ⎩⎭1113
(2)证明a a ＋…＋a
2
n
变式训练【2012. 广东理】已知数列{a n }满足2s n =a n +1-2n +1+1, a 1=1
（1）求{a n }的通项公式
（2）证明：对一切正整数n ，都有
三伯努利不等式应用及推广
对任意的实数x >-1, 有(1+x )≥1+nx (n ∈N *)伯努利不等式
n
1113++... +
1⎫⎛1⎫⎛1⎫
例：求证(
1+1)⎛1+1+.... 1+ ⎪⎪ ⎪>352n -1
⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭
变式训练【2008，福建理】已知函数f (x )=ln (1+x )-x （1）求f （x ）的单调区间
（2）记f （x ）在[0, n ](n ∈N )上的最小值是b n ，令a n =n l 1(+x )-b n ，
求证
伯努利不等式的推广
对任意的实数，
例，【2006，江西理】已知数列{a n }满足a 1=, a n =（1）已知数列{a n }满足
（2）证明：对于一切正整数n ，不等式a 1a 2a 3... a n
常见函数放缩(1)1-
例：求证 (1)n (
n +1)
2
2
1
x
x -1
x +1
a a ... a a 1a 1a 3
++... +132n -1
x k >-1且x k , x k +1同号(k ∈N *), (1+x 1)(1+x 2)... (1+x n )>1+∑x k (n ≥1)
k =1
n
3
2
3na n -1
(n ≥2)
2a n -1+n -1
(2)(n ≥2),
111111++
数列与不等式综合问题 一裂项放缩
放缩法证明与数列求和有关的不等式中，很多时候要留一手，即采用有保留的方法，保留数列第一项或前两项，从数列第二项或第三项开始放缩，这样才不至于结果放得过大或过小。常见裂项放缩技巧：
111111
n 2n 2-1n -1n +12n -1n +1111111
n n +1n nn n n -1n -1n
144411=
1
(2n -1)
2
11⎛11⎫
= -⎪
4n n -14⎝n -1n ⎭
n
2
2n -1=(1+1)-1>c 1n +c n =
n (n +1)
2
2
=
例1 求证（1） 1+12+13+......+1n
22
2
2
(2)
123n +2+3+..... +n
1117*
31+ +(∈n N ) ()2
2232n 4
变式训练
2S [2016·湖南怀化质检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1n 12
＝a n ＋1－32－n －3，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式； 1117
(2)证明：a a ＋…＋a
[2014·广东高考]设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且
2
S n 满足S n －(n 2＋n －3) S n －3(n 2＋n ) ＝0，n ∈N *.
(1)求a 1的值；
(2)求数列{a n }的通项公式；
111
(3)证明：对一切正整数n ，有＋a 1(a 1＋1)a 2(a 2＋1)a n (a n ＋1)1
二等比放缩（一般的，形如 a n = a - b n , a n = a - b 的数列，
求证 1+ 1+ .... + 1
a 1
a 2
a n
1111例+2+3+ +n
2+12+12+12+1
11113+22+33+.....+n
+2+3+.... +n
例4 [2014·课标全国卷Ⅱ]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.
1⎫⎧⎨(1)证明a n ＋2⎬是等比数列，并求{a n }的通项公式； ⎩⎭1113
(2)证明a a ＋…＋a
2
n
变式训练【2012. 广东理】已知数列{a n }满足2s n =a n +1-2n +1+1, a 1=1
（1）求{a n }的通项公式
（2）证明：对一切正整数n ，都有
三伯努利不等式应用及推广
对任意的实数x >-1, 有(1+x )≥1+nx (n ∈N *)伯努利不等式
n
1113++... +
1⎫⎛1⎫⎛1⎫
例：求证(
1+1)⎛1+1+.... 1+ ⎪⎪ ⎪>352n -1
⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭
变式训练【2008，福建理】已知函数f (x )=ln (1+x )-x （1）求f （x ）的单调区间
（2）记f （x ）在[0, n ](n ∈N )上的最小值是b n ，令a n =n l 1(+x )-b n ，
求证
伯努利不等式的推广
对任意的实数，
例，【2006，江西理】已知数列{a n }满足a 1=, a n =（1）已知数列{a n }满足
（2）证明：对于一切正整数n ，不等式a 1a 2a 3... a n
常见函数放缩(1)1-
例：求证 (1)n (
n +1)
2
2
1
x
x -1
x +1
a a ... a a 1a 1a 3
++... +132n -1
x k >-1且x k , x k +1同号(k ∈N *), (1+x 1)(1+x 2)... (1+x n )>1+∑x k (n ≥1)
k =1
n
3
2
3na n -1
(n ≥2)
2a n -1+n -1
(2)(n ≥2),
111111++