高一数学_线面平行的判定与性质

[文件] sxgbk0025.doc

[科目] 数学

[关键词] 线面平行/知识要点/直线和平面的位置关系 [标题] 线面平行的判定与性质 [内容]

【知识要点】

一、直线和平面的位置关系

1、线面平行定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们说这条直线和这个平面平行。 2、位置关系

(1)直线在平面内______有无数个公共点； (2)直线和平面相交_____有且只有一个公共点； (3)直线和平面平行_______没有公共点

3、画法和表示

a (1)直线在平面内（图1）

a ⊂α α a （图1） (2)直线和平面相交(图2) a ⋂α=A A

（图2

(3)直线和平面平行(图3) a ||α

α (图3)

二、直线和平面平行的判定 1、根据线面平行定义，

注：线面平行是用否定的语句定义的，根据定义证明时常用反证法。

a 2、根据判定定理：如果平面外一条直线

和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

a ⊄α, b ⊂α, a ||b ⇒a ||α (图4)

(图4)

线面平行的判定与性质

思路：首先注意a ⊄α，然后在平面α内找到直线b ，证明a ||b ，根据线面平行的判定定理得a ||α。

a β 三、直线和平面平行的性质定理

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这

b 条直线就和交线平行

a ||α, a ⊂β, α⋂β=b ⇒a ||b (图5)

α 5)

注：直线和平面平行的判定定理和性质定理联用，是证题中常用的

【例题选讲】

例一、V 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为VB 的中点，O 为AC ，BD 的交

点，求证：EO ‖平面VCD 证明： V ∉平面AC ， ∴V , O , C , D 异面， ∴O ∉平面VCD ，

D ∴OE ⊄平面VCD ， C

∴O 为BD 的中点

又E 为VB 的中点， ∴OE ||VD ，图6 又VD ⊂平面VCD ， ∴OE ||平面VCD

例二、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N D 1 N

C 1 为A 1D 1，D 1C 1为中点，

求证：MN||平面AC

证明： M , N 为A 1D 1，D 1C 1的中点

连结A 1C 1，AC

A 1

∴MN ||A 1C 1又 AA 1||CC 1

∴A 1C 1||AC ∴MN ||AC

又AC ⊂平面AC, MN ∉平面AC

C 图7

∴MN||平面AC

例三、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面 BB 1E 1E ⋂平面DCC 1D 1＝EE 1，求证：EE 1||平面AA 1B 1B 。

证明： BB 1⊄平面DCC 1D 1，

A 1

BB 1||CC 1, CC 1⊂平面DCC 1D 1，

D 1

E 1

C 1

BB 1||平面DCC 1D 1，

又截面BB 1E 1E ⋂平面DCC 1D 1＝EE 1， BB 1||EE 1

又BB 1⊂平面AA 1B 1B ， EE 1⊄平面AA 1B 1B ，

∴EE 1||平面AA 1B 1B 。

例四、在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，

C 图8 B

已知M ，N 分别为A 1B 1 ，B 1C 1 的中点，求证：MN ||平面AA 1C 1C.

证明：取A 1C 1的中点E ，连结ME ，CE ， M , E 为A 1B 1A 1C 1的中点， ∴ME ||

B 1C 1, N 是BC 的中点 ∴NC ||

B 1C 1 ∴ME|| NC

∴MN ||CE 又MN ⊄平面ACC 1A 1

CE ⊂平面ACC 1A 1 ∴MN ||平面ACC 1A 1

例五、一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线和两个平面的交线平行。已知：α⋂β=b a ||α, a ||β 求证：a ||b

证明：在α内取一点A ，A ∉b ，直线a 和点A 确定一个平面α1

，设α⋂α1

=c , 则 a ||c ，

在β内取一点B ，B ∉b , 直线a 和点B

确定一个平面β1，设β⋂β1

=d , 则a ||d ,

∴c ||d ,

c ∉β, d ⊂β, ∴c ||β, 又 α⋂β=b , c ⊂α,

∴c ||b

∴a ||b

例六、设a,b 是异面直线，

求证：过b 有且仅有一个平面平行于a 。证明：在直线b 上任取一点O ，

过O 作直线a '||a , 直线a ' 和b 确定一个平面α，

b ⊂α, ∴a ⊄α.

又 a ||a ', a ' ⊂α

∴a ||α

∴存在过b 且与a 平行的平面；

假设还有一个平面β，使得b ⊂β, a ||β, 则O ∉β，

直线a 和点O 确定一个平面α，

A 1

C 1

C N

B c

(图α

α1

ββ

a b

图11

设β⋂α=c , 则a ||c

a ', c 均过O 点，且与a 平行 ∴直线a ', c 重合，

∴a ' ⊂α, b ⊂αa ' ⊂β, b ⊂β

∴过相交直线有两个平面， ∴矛盾，原假设不成立

∴过b 有且只有一个平面与a 平行。

【练习题】一、选择题

1、直线和平面平行是指该直线与平面内的（） (A)一条直线不相交 (B)两条直线不相交 (C)无数条直线不相交 (D)任意一条直线都不相交 2、已知a ||α, b ⊂α，则必有（） (A ) a ||b

(B ) a , b 异面

(C ) a , b 相交 (D ) a , b 平行或异面

3、若直线a,b 都与平面α平行，则a 和b 的位置关系是（） (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或相交或是异面直线

4、下列四个命题中，正确命题的个数是（）个 (1)过直线外一点，只能作一条直线与这条直线平行； (2)过平面外一点，只能作一条直线与这个平面平行； (3)过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行；

(4)过两条异面直线中的一条直线，只能作一个平面与另一条直线平行。 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

5、下列命题中，错误的命题是（）

(A)如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；

(B)一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行； (C)经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行； (D)空间四边形相邻两边的中点的连线，平行于经过另外两边的平面。二、填空题：

(1)直线a ||b , b ||α，则直线a 和平面α的位置关系是 (2)若a ||α，则在平面α内有条直线与a 平行。

(3)点A ∉平面α，a ⊂α，过A 画与a 平行的直线可以画与平面α的关系是。三、判断题（画图说明）

(1)经过平面外一点有只有一条直线与已知平面平行。

(2)若直线与平面平行，则平面内有具只有一条直线与已知直线平行。 (3)若平面和直线平行，则平面内的任何直线都和已知直线平行。四、解答题：

(1)如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这两条直线平行。

(2)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BD ，B 1C 上的中点，求证：MN ||平面ABB 1A 1

(3) 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是求证： A 1C ||平面DMB

A 1

1 D 1

【练习题答案】

一、D ， D ， D ， B ， B 二、(1)a ||α或a ⊂α,

D C 1

图13

(2)无数， (3)1，平行

三、(1)× (2)× (3)× (从正方体中容易找到相应图形) 四、(1)已知：α⋂β=c , a ⊂α, b ⊂β, a ||b 求证：a ||c , b ||c

证明： a ||b , a ⊄β, b ⊂β

∴a ||β

又α⋂β=c , a ⊂α

∴a ||c

同理b ||c

(2)证明：连结AC ，则M ∉AC ，且M 是AC 的中点，又N 是B 1C 的中点， ∴MN ||AB 1 又MN ⊄平面ABB 1A 1 AB 1⊂平面ABB 1A 1 ∴MN ||平面ABB 1A 1 (3)证明：连结AC ，交BD 于O 连结MO ，

M , O 分别是AA 1, AC 的中点， ∴MO ||A 1C 又A 1C ⊄平面BMD ， MO ⊂平面BMD ∴A 1C ||平面BMD